北师大版高中数学必修3第一章抽样方法教案12

抽样方法、频率分布、正态分布及线性回归分析

一、教学内容：抽样方法、频率分布、正态分布及线性回归分析 二、教学重点：

1、抽样方法：简单随机抽样、系统抽样和分层抽样是三种常见的抽样方法，其共同点是在抽样过程中每一个个体被抽取的概率相同。体现了这些抽样方法的客观性和公平性。当总体的个体量较小时，常用简单随机抽样；当总体中的个体量较大时，常采用系统抽样； 当已知总体有差异明显的几部分组成时，常采用分层抽样，实际简单随机抽样常采用抽签法和随机数表法。 2、关于样本频率分布 (1)样本频率分布条形图

当总体中的个体取不同数值很少时，其频率分布表由所取样本的不同数值及其相应的频率来表示．其几何表示就是相应的条形图．条形图是用其高度来表示取各个值的频率． (2) 频率分布直方图

当总体中的个体取不同值较多，甚至无限多时，对其频率分布的研究要用到初中学过的整理样本数据的知识，列出频率分布直方图．其频率分布表列出的是在各个不同区间内取值的频率，相应的直方图是用图形面积的大小来表示在各个区间内取值的频率．

(3) 总体密度曲线：当样本容量无限增大且分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限的接近于一条光滑曲线----总体密度曲线． 3、正态分布：

(1)总体密度曲线就是或近似地是函数

f(x)?1e2???(x??)22?2,x?R，的图象，其中，?,?(??0)是参数，分别为总体的平均数与

2标准差)，则其分布叫做正态分布，记作N(?,?)

记作许多社会现象和自然现象中的随机变量都是近似服从正态分布的，例如：一个地区成年人的身高；某零件的尺寸的误差；炮弹的弹着点，金属线抗拉程度，学生考试成绩等等．正态分布是概率论中最重要的分布． (2)正态曲线及其性质

定义：正态函数的图象称为正态曲线． 研究方法：回到函数角度研究正态函数：

正态曲线的特征(图像大致形状)：两头低、中间高、左右对称． 定义域：全体实数； 值域：大于0：

单调性：当x??时，曲线上升；当x>?时，曲线下降； 奇偶性(对称性)：关于直线x??对称； 最值：在x??时P(x)取得最大值P(?)=1 2??渐近线：以x轴为渐近线，向它无限靠近； (3)标准正态分布

1?x2标准正态分布的密度函数：?(x)?e,x?R

2?标准正态分布的分布函数?(x0)?P(x?x0)

在正态分布函数中，当??0,??1时，正态分布成为标准正态分布，其图象称为标准正态

曲线(即标准正态分布的分布函数) 说明：

[1]?(x0)?P(x?x0); [2]若x0<0，则Φ(x0)=1-Φ(-x0)

[3]正态分布N(?,?)可转化为标准正态分布N(0，1)来进行研究，因为正态分布取值小于x

22

的概率F(x)????x????，相当于在一般正态和标准正态之间建立一种对应，因为标准正态

???的分布函数值可以通过查表求得。 [4]对标准正态分布表的说明：

①计算标准正态分布的概率时，需要计算其分布函数Φ(x)的值，由于Φ(x)不是初等函数，计算它的值是困难的，为此，人们编制了Φ(x)的函数值表，称为标准正态分布表； ②表中x的取值范围[0,5]，当x≥5时，Φ(x)≈1

③当x≤0时，可先查表求得Φ(-x)的值再利用公式Φ(x0)=1-Φ(-x0)得到Φ(x)的值。 [5]3?原则：

从计算上可以看出，随机变量X的取值大部分落在区间(???,???)内，基本落在

(??2?,??2?)内，几乎全落在(??3?,??3内?，仅有约3%落在

原则。 (??3?,??外，在统计上称3?)?4. 线性回归

回归分析是研究随即变量与非随机变量之间的关系。设x、y是具有相关关系的两个变量，且相应于n组观测值的n个点大致分布在一条直线的附近，这条与n个点在整体上最接近的直线成为回归直线，其方程称为回归直线方程。

??bx?a，其中b=yn?(x-x)(y-y)iii=1n?(x-x)ii=1n=?xyii=1ni22?xi=1iin?,a=y-bx,y=bx+a

2i-nx其中b??(xi?1ni?x)(yi?y)?i?xyi?1nn?nxy2,a?y?bx.

?(xi?1?x)2?xi?12i?nx二、例题：

例1. 一批产品，有一级品100个，二级品60个，三级品40个，分别用系统抽样和分层抽样的方法，从这批产品中抽取一容量为20的样本。 解：

(1)系统抽样方法 将200件产品编号，并随机分成20个组，每组10个产品，每组用抽签的方法抽取一个产品，这样就得到容量为20的一个样本。 (2)分层抽样方法：

因为一、二、三级产品的个数比为5：3：2。 所以需要从一级品中抽取：从三级品中抽取：

53?20?10个；从二级品中抽：?20=6个， 10102?20?4个. 10将100个一级品按00-99编号；将二级品60个按00-59编号，将三级品40个按00-39编号，采用随机数表法，分别从中抽取10个、6个、4个，这样就得到一个容量为20的样本。 例2. 若?~N(1,4)，(1)求P(ξ<3)；(2)求P(0<ξ≤2)；(3)求P(ξ≥3) (4)若P(ξ≥C)=2P(ξ≤C)，求C。 解：若ξ~N(1,4)，则??1,??2 (1)P(??3)?F(3)??(3?1)??(1)?0.8413; 22?10?1P(0???2)?F(2)?F(0)??()??()

22

(2)??()??(?)??()?(1??())

121212121?2?()?1?2?0.6915?1?0.3830

23?1)?1??(1)?1?0.8413?0.1587 (3)P(??3)?1?F(3)?1??(2(4)∵P(ξ≥C)=2P(ξ≤C) 1-F(C)=2F(C)

1C?1??() 32C?11??()??0.5

23C?1??0

2C?11?C1??()?1??()?

2231?C2??()?

232查表得：?(0.43)?0.6664?

31?C?0.43?C?0.14 2F(C)?例3. 下面的表格是收集到的新房屋的销售价格y与房屋的大小x的数据； 115 110 80 135 房屋大小(m2) 24.8 21.6 18.4 29.2 销售价格(万元) (1)画出数据的散点图； (2)用最小二乘估计求回归直线方程，并在散点图中加上回归直线； (3)此回归直线有意义吗？ 解：(1)图略

(2)x?109;y?23.2.

5105 22 ?xi?12i?13225?12100?6400?18225?11025?60975

?yi?15i?152i?615.04?466.56?338.56?852.64?484?2756.8

i?xyin?2852?2376?1472?3942?2310?12952;

iib??xyi?1n?nxy?nx2??xi?12i12952?5?109?23.2308??0.196178

60975?5?109?1091570a?y?bx?23.2?0.196178?109?1.816561 ??bx?a?0.1962x?1.8166; ?y(3)相关性检验：

r??xy?nxyiii?1n(?x?nx)(?yi2?ny)2ii?1i?1n2n?212952?5?109?23.2

(60975?5?109?109)(2756.8?5?23.2?23.2)?308308??0.9597

102992320.924又查表当n=5即n-2=3时，r0.05=0.878；

r

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/mxep.html