数学高考综合能力题选讲26- 南海实验学校

数学高考综合能力题选讲26

建构数列模型的应用性问题

100080 北京中国人民大学附中 梁丽平

题型预测

数列作为特殊的函数，在高中数学中占有相当重要的位置，涉及实际应用的问题广泛而多样，如：增长率、银行信贷等．解答这一类问题，要充分应用观察、归纳、猜想的手段，注意其间的递推关系，建立出等差、等比、或递推数列的模型．

建立数列的递推关系来解题将有可能成为高考命题革新的一个方向．

范例选讲

例1．某县位于沙漠边缘，当地居民与风沙进行着艰苦的斗争，到2000年底全县的绿地已占全县总面积的30%．从2001年起，市政府决定加大植树造林、开辟绿地的力度，则每年有16%的原沙漠地带变成了绿地，但同时，原有绿地的4%又被侵蚀，变成了沙漠．

（Ⅰ）在这种政策之下，是否有可能在将来的某一年，全县绿地面积超过80%？ （Ⅱ）至少在多少年底，该县的绿地面积才能超过全县总面积的60%？

讲解：本题为实际问题，首先应该读懂题意，搞清研究对象，然后把它转化为数学问题．不难看出，这是一道数列型应用问题．因此，我们可以设：

全县面积为1，记2000年底的全县绿地面积占总面积的百分比为a0，经过n年后全县绿地面积占总面积的百分比为an，则我们所要回答的问题就是：

（Ⅰ）是否存在自然数n，使得an>80% ？ （Ⅱ）求使得an>60%成立的最小的自然数n.

为了解决这些问题，我们可以根据题意，列出数列?an?的相邻项之间的函数关系，然后由此递推公式出发，设法求出这个数列的通项公式．

3由题可知：a0?30%?，

1044an?1??1?4%?an?16%?1?an??an?

52544所以，当n?1时，an?an?1?，两式作差得：

5254an?1?an??an?an?1?

5

4?411?4又a1?a0??a0???a0??a0?，

25?25510?5所以，数列?an?an?1?是以a1?a0?14为首项，以为公比的等比数列． 105

所以，an??an?an?1???an?1?an?2?????a1?a0??a0

14(1?()n)5?3?4?1?(4)n ?104105251?54 由上式可知：对于任意n?N，均有an?．即全县绿地面积不可能超过总面积的80%．

5342 （Ⅱ）令an?，得()n?，

5554由指数函数的性质可知：g?n??()n随n的增大而单调递减，因此，我们只需从n?0开

542始验证，直到找到第一个使得()n?的自然数n即为所求．

554242验证可知：当n?0,1,2,3,4时，均有()n?，而当n?5时，()n?0.32768?，

555542由指数函数的单调性可知：当n?5时，均有()n?．

55所以，从2000年底开始，5年后，即2005年底，全县绿地面积才开始超过总面积的60%．

点评：（Ⅱ）中，也可通过估值的方法来确定n的值．

例2．某人计划年初向银行贷款10万元用于买房．他选择10年期贷款，偿还贷款的方式为：分10次等额归还，每年一次，并从借后次年年初开始归还，若10年期贷款的年利率为4％，且每年利息均按复利计算（即本年的利息计入次年的本金生息），问每年应还多少元（精确到1元）？

讲解：作为解决这个问题的第一步，我们首先需要明确的是：如果不考虑其它因素，同等款额的钱在不同时期的价值是不同的．比如说：现在的10元钱，其价值应该大于1年后的10元钱．原因在于：现在的10元钱，在1年的时间内要产生利息．

在此基础上，这个问题，有两种思考的方法：

法1．如果注意到按照贷款的规定，在贷款全部还清时，10万元贷款的价值，与这个人还款的价值总额应该相等．则我们可以考虑把所有的款项都转化到同一时间（即贷款全部付清时）去计算．

10万元，在10年后（即贷款全部付清时）的价值为105?1?4%?元．

设每年还款x元．则第1次偿还的x元，在贷款全部付清时的价值为x?1?4%?； 第2次偿还的x元，在贷款全部付清时的价值为x?1?4%?； ……；

第10次偿还的x元，在贷款全部付清时的价值为x元．于是： 105×(1+4％)10= x(1+4％)9+x(1＋4％)8＋x(1＋4％)7+…+x

1.0410-1?x．其中 由等比数列求和公式可得：10?1.04=1.04-151089101.0410=(1+0.04)10=1+10?0.04+45?0.042+120?0.043+210?0.044+??1.4802

105?1.4802?0.04=12330 所以，x?0.4802

法2．从另一个角度思考，我们可以分步计算．考虑这个人在每年还款后还欠银行多少钱．

5仍然设每年还款x元．则第一年还款后，欠银行的余额为：??10?1?4%??x??元；

如果设第k年还款后，欠银行的余额为ak元，则ak?ak?1?1?4%??x． 不难得出：a10＝105×(1+4％)10－x(1+4％)9－x(1＋4％)8－x(1＋4％)7－…－x 另一方面，按道理，第10次还款后，这个人已经把贷款全部还清了，故有a10?0．由此布列方程，得到同样的结果．

点评：存、贷款问题为典型的数列应用题，解决问题的关键在于：1．分清单利、复利（即等差与等比）；2．寻找好的切入点（如本题的两种不同的思考方法），恰当转化．

例3．将四边形的每条边都涂以红、黄、蓝三种颜色中的一种，要使得相邻的边的颜色互不相同，有多少种不同的涂色方法？

讲解：本题从表面上看是排列组合的问题，与数列没有关系，但直接考虑并不简单，为此，我们考虑更一般的问题（即对于n边形的涂色问题），并建构如下递推数列的模型：

设n边形（各边依次为a1,a2,…,an）满足条件的涂色方法有bn种．考虑n＋1边形的涂法：

从边a1开始考虑，对于a1，有3种涂法；对于边a2，由于要不同于边a1，故有2种涂法；……；对于an，有2种涂法；最后考虑边an?1，如果不考虑这条边是否与边a1同色，则也应该有2种涂法，故涂法种数为3?2n．

上述涂色的方法中，包括两种，第一种是边an?1与边a1的颜色不同，这种涂色方法恰好符合题意，其总数应该为bn?1；第二种是边an?1与边a1的颜色相同，对于这一种涂色方法，如果我们把边an?1与边a1看作是同一条边，则其涂色方法也满足题目中对于n边形的要求，故涂色方法总数应该为bn．由此，不难得出：

bn?1?bn?3?2n．

所以，bn?1?bn?1?3?2n?1．另一方面，显然有b3?3?2?1?6．所以，

b2k?1??b2k?1?b2k?1???b2k?1?b2k?3?????b5?b3??b3 ?3?22k?1?3?22k?3???3?2?3?2?232k?1?2

b2k?3?22k?b2k?1?22k?2，?k?N,且k?2?

显然，b4?18．

点评：本题的难点在于递推数列模型的建立．一般来说，数列型应用题的特点是：与n有关．

高考真题

1. （1999年全国高考）右图为一台冷轧机的示

图．冷轧机由若干对轧辊组成，带钢从一端入，经过各对轧辊逐步减薄后输出．

意输

（Ⅰ）输入带钢的厚度为?，输出带钢的厚度为?，若每对轧辊的减薄率不超过r0．问冷轧机至少需要安装多少对轧辊？ (一对轧辊减薄率?输入该对的带钢厚度?从该对输出的带钢厚度)

输入该对的带钢厚度（Ⅱ）已知一台冷轧机共有4对减薄率为20％的轧辊，所有轧辊周长均为1600mm．若第k对轧辊有缺陷，每滚动一周在带钢上压出一个疵点，在冷轧机输出的带钢上，疵点的间距为Lk．为了便于检修，请计算L1、L2、L3并填入下表（轧钢过程中，带钢宽度不变，且不考虑损耗）

轧锟序号k 疵点间距Lk(单位：mm) 1 2 3 4 1600

2. (2001年全国高考) 从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并

以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上一年减少1．本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，估51计今后的旅游业收入每年会比上一年增加．

4（Ⅰ）设n年内（本年度为第一年）总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an,bn的表达式．

（Ⅱ）至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？

3. （2002年全国高考）某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一

年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同，为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？ [答案与提示：1．（Ⅰ）至少需要安装不小于

lg??lg?的整数对轧辊；（Ⅱ）

lg?1?r0?4???5? 2．（Ⅰ）an?4000??1?()n?，（Ⅱ）L1?3125,L2?2500,L3?2000．bn?1600??()n?1?；

54????5年． 3．每年新增汽车数量不应超过3.6万辆]

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