数学高考综合能力题选讲26- 南海实验学校

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数学高考综合能力题选讲26

建构数列模型的应用性问题

100080 北京中国人民大学附中 梁丽平

题型预测

数列作为特殊的函数,在高中数学中占有相当重要的位置,涉及实际应用的问题广泛而多样,如:增长率、银行信贷等.解答这一类问题,要充分应用观察、归纳、猜想的手段,注意其间的递推关系,建立出等差、等比、或递推数列的模型.

建立数列的递推关系来解题将有可能成为高考命题革新的一个方向.

范例选讲

例1.某县位于沙漠边缘,当地居民与风沙进行着艰苦的斗争,到2000年底全县的绿地已占全县总面积的30%.从2001年起,市政府决定加大植树造林、开辟绿地的力度,则每年有16%的原沙漠地带变成了绿地,但同时,原有绿地的4%又被侵蚀,变成了沙漠.

(Ⅰ)在这种政策之下,是否有可能在将来的某一年,全县绿地面积超过80%? (Ⅱ)至少在多少年底,该县的绿地面积才能超过全县总面积的60%?

讲解:本题为实际问题,首先应该读懂题意,搞清研究对象,然后把它转化为数学问题.不难看出,这是一道数列型应用问题.因此,我们可以设:

全县面积为1,记2000年底的全县绿地面积占总面积的百分比为a0,经过n年后全县绿地面积占总面积的百分比为an,则我们所要回答的问题就是:

(Ⅰ)是否存在自然数n,使得an>80% ? (Ⅱ)求使得an>60%成立的最小的自然数n.

为了解决这些问题,我们可以根据题意,列出数列?an?的相邻项之间的函数关系,然后由此递推公式出发,设法求出这个数列的通项公式.

3由题可知:a0?30%?,

1044an?1??1?4%?an?16%?1?an??an?

52544所以,当n?1时,an?an?1?,两式作差得:

5254an?1?an??an?an?1?

5

4?411?4又a1?a0??a0???a0??a0?,

25?25510?5所以,数列?an?an?1?是以a1?a0?14为首项,以为公比的等比数列. 105

所以,an??an?an?1???an?1?an?2?????a1?a0??a0

14(1?()n)5?3?4?1?(4)n ?104105251?54 由上式可知:对于任意n?N,均有an?.即全县绿地面积不可能超过总面积的80%.

5342 (Ⅱ)令an?,得()n?,

5554由指数函数的性质可知:g?n??()n随n的增大而单调递减,因此,我们只需从n?0开

542始验证,直到找到第一个使得()n?的自然数n即为所求.

554242验证可知:当n?0,1,2,3,4时,均有()n?,而当n?5时,()n?0.32768?,

555542由指数函数的单调性可知:当n?5时,均有()n?.

55所以,从2000年底开始,5年后,即2005年底,全县绿地面积才开始超过总面积的60%.

点评:(Ⅱ)中,也可通过估值的方法来确定n的值.

例2.某人计划年初向银行贷款10万元用于买房.他选择10年期贷款,偿还贷款的方式为:分10次等额归还,每年一次,并从借后次年年初开始归还,若10年期贷款的年利率为4%,且每年利息均按复利计算(即本年的利息计入次年的本金生息),问每年应还多少元(精确到1元)?

讲解:作为解决这个问题的第一步,我们首先需要明确的是:如果不考虑其它因素,同等款额的钱在不同时期的价值是不同的.比如说:现在的10元钱,其价值应该大于1年后的10元钱.原因在于:现在的10元钱,在1年的时间内要产生利息.

在此基础上,这个问题,有两种思考的方法:

法1.如果注意到按照贷款的规定,在贷款全部还清时,10万元贷款的价值,与这个人还款的价值总额应该相等.则我们可以考虑把所有的款项都转化到同一时间(即贷款全部付清时)去计算.

10万元,在10年后(即贷款全部付清时)的价值为105?1?4%?元.

设每年还款x元.则第1次偿还的x元,在贷款全部付清时的价值为x?1?4%?; 第2次偿还的x元,在贷款全部付清时的价值为x?1?4%?; ……;

第10次偿还的x元,在贷款全部付清时的价值为x元.于是: 105×(1+4%)10= x(1+4%)9+x(1+4%)8+x(1+4%)7+…+x

1.0410-1?x.其中 由等比数列求和公式可得:10?1.04=1.04-151089101.0410=(1+0.04)10=1+10?0.04+45?0.042+120?0.043+210?0.044+??1.4802

105?1.4802?0.04=12330 所以,x?0.4802

法2.从另一个角度思考,我们可以分步计算.考虑这个人在每年还款后还欠银行多少钱.

5仍然设每年还款x元.则第一年还款后,欠银行的余额为:??10?1?4%??x??元;

如果设第k年还款后,欠银行的余额为ak元,则ak?ak?1?1?4%??x. 不难得出:a10=105×(1+4%)10-x(1+4%)9-x(1+4%)8-x(1+4%)7-…-x 另一方面,按道理,第10次还款后,这个人已经把贷款全部还清了,故有a10?0.由此布列方程,得到同样的结果.

点评:存、贷款问题为典型的数列应用题,解决问题的关键在于:1.分清单利、复利(即等差与等比);2.寻找好的切入点(如本题的两种不同的思考方法),恰当转化.

例3.将四边形的每条边都涂以红、黄、蓝三种颜色中的一种,要使得相邻的边的颜色互不相同,有多少种不同的涂色方法?

讲解:本题从表面上看是排列组合的问题,与数列没有关系,但直接考虑并不简单,为此,我们考虑更一般的问题(即对于n边形的涂色问题),并建构如下递推数列的模型:

设n边形(各边依次为a1,a2,…,an)满足条件的涂色方法有bn种.考虑n+1边形的涂法:

从边a1开始考虑,对于a1,有3种涂法;对于边a2,由于要不同于边a1,故有2种涂法;……;对于an,有2种涂法;最后考虑边an?1,如果不考虑这条边是否与边a1同色,则也应该有2种涂法,故涂法种数为3?2n.

上述涂色的方法中,包括两种,第一种是边an?1与边a1的颜色不同,这种涂色方法恰好符合题意,其总数应该为bn?1;第二种是边an?1与边a1的颜色相同,对于这一种涂色方法,如果我们把边an?1与边a1看作是同一条边,则其涂色方法也满足题目中对于n边形的要求,故涂色方法总数应该为bn.由此,不难得出:

bn?1?bn?3?2n.

所以,bn?1?bn?1?3?2n?1.另一方面,显然有b3?3?2?1?6.所以,

b2k?1??b2k?1?b2k?1???b2k?1?b2k?3?????b5?b3??b3 ?3?22k?1?3?22k?3???3?2?3?2?232k?1?2

b2k?3?22k?b2k?1?22k?2,?k?N,且k?2?

显然,b4?18.

点评:本题的难点在于递推数列模型的建立.一般来说,数列型应用题的特点是:与n有关.

高考真题

1. (1999年全国高考)右图为一台冷轧机的示

图.冷轧机由若干对轧辊组成,带钢从一端入,经过各对轧辊逐步减薄后输出.

意输

(Ⅰ)输入带钢的厚度为?,输出带钢的厚度为?,若每对轧辊的减薄率不超过r0.问冷轧机至少需要安装多少对轧辊? (一对轧辊减薄率?输入该对的带钢厚度?从该对输出的带钢厚度)

输入该对的带钢厚度(Ⅱ)已知一台冷轧机共有4对减薄率为20%的轧辊,所有轧辊周长均为1600mm.若第k对轧辊有缺陷,每滚动一周在带钢上压出一个疵点,在冷轧机输出的带钢上,疵点的间距为Lk.为了便于检修,请计算L1、L2、L3并填入下表(轧钢过程中,带钢宽度不变,且不考虑损耗)

轧锟序号k 疵点间距Lk(单位:mm) 1 2 3 4 1600

2. (2001年全国高考) 从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并

以此发展旅游产业,根据规划,本年度投入800万元,以后每年投入将比上一年减少1.本年度当地旅游业收入估计为400万元,由于该项建设对旅游业的促进作用,估51计今后的旅游业收入每年会比上一年增加.

4(Ⅰ)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元,旅游业总收入为bn万元,写出an,bn的表达式.

(Ⅱ)至少经过几年,旅游业的总收入才能超过总投入?

3. (2002年全国高考)某城市2001年末汽车保有量为30万辆,预计此后每年报废上一

年末汽车保有量的6%,并且每年新增汽车数量相同,为保护城市环境,要求该城市汽车保有量不超过60万辆,那么每年新增汽车数量不应超过多少辆? [答案与提示:1.(Ⅰ)至少需要安装不小于

lg??lg?的整数对轧辊;(Ⅱ)

lg?1?r0?4???5? 2.(Ⅰ)an?4000??1?()n?,(Ⅱ)L1?3125,L2?2500,L3?2000.bn?1600??()n?1?;

54????5年. 3.每年新增汽车数量不应超过3.6万辆]

本文来源:https://www.bwwdw.com/article/mx8d.html

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