2016年高考 天津卷 文科数学（原题+解析）

2016年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)

文 数

本卷满分150分,考试时间120分钟.

参考公式:

·如果事件A,B互斥,那么 ·如果事件A,B相互独立,那么 P(A∪B)=P(A)+P(B). ·棱柱的体积公式V=Sh.

P(AB)=P(A)P(B). ·圆锥的体积公式V=Sh.

13

其中S表示棱柱的底面面积,h表示棱柱的高. 锥的高.

其中S表示圆锥的底面面积,h表示圆

第Ⅰ卷(选择题,共40分)

一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合A={1,2,3},B={y|y=2x-1,x∈A},则A∩B=( ) A.{1,3}

B.{1,2}

C.{2,3}

D.{1,2,3}

1

1

2.甲、乙两人下棋,两人下成和棋的概率是2,甲获胜的概率是3,则甲不输的概率为( ) A.

56

B.

25

C.

16

D.

13

3.将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥,得到的几何体的正视图与俯视图如图所示,则该几何体的侧(左)视图为( )

4.已知双曲线2-2=1(a>0,b>0)的焦距为2 5,且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直,则双曲线的方程为( )

??22

A.-y=1 4

??2??2????

B.x2-

??2

=1 43??23??2

C.-=1 2053??23??2

D.-=1 520

5.设x>0,y∈R,则“x>y”是“x>|y|”的( ) A.充要条件

B.充分而不必要条件 D.既不充分也不必要条件

C.必要而不充分条件

6.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a满足f(2|a-1|)>f(- 2),则a的取值范围是( ) A. -∞,

2

1

B. -∞, ∪ ,+∞ C. ,

2222

1313

D. ,+∞

2

3

7.已知△ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的中点,连结DE并延长到点 ·???? 的值为( ) F,使得DE=2EF,则 ????A.-8 5

B.8

1

????1

C.4

1

1

D.8

11

8.已知函数f(x)=sin22+2sin ωx-2(ω>0),x∈R.若f(x)在区间(π,2π)内没有零点,则ω的取值范围是( ) A. 0,8

1

B. 0,4 ∪ 8,1

15

C. 0,8

5

D. 0,8 ∪ 4,8

115

第Ⅱ卷(非选择题,共110分)

二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.

9.i是虚数单位,复数z满足(1+i)z=2,则z的实部为 .

10.已知函数f(x)=(2x+1)ex, f '(x)为f(x)的导函数,则f '(0)的值为 . 11.阅读下边的程序框图,运行相应的程序,则输出S的值为 .

12.已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0, 5)在圆C上,且圆心到直线2x-y=0的距离为

4 5,则圆5

C的方程为 .

13.如图,AB是圆的直径,弦CD与AB相交于点E,BE=2AE=2,BD=ED,则线段CE的长为 .

??2+(4a-3)x+3a,x<0,14.已知函数f(x)= (a>0,且a≠1)在R上单调递减,且关于x的方程

log??(x+1)+1,x≥0|f(x)|=2-3恰有两个不相等的实数解,则a的取值范围是 .

??

三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分13分)

在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知asin 2B= 3bsin A. (Ⅰ)求B;

(Ⅱ)若cos A=3,求sin C的值.

16.(本小题满分13分)

某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,需要A,B,C三种主要原料.生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示:

原料 肥料 甲 乙 A 4 5 B 8 5 C 3 10 1

现有A种原料200吨,B种原料360吨,C种原料300吨,在此基础上生产甲、乙两种肥料.已知生产1车皮甲种肥料,产生的利润为2万元;生产1车皮乙种肥料,产生的利润为3万元.分别用x,y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数.

(Ⅰ)用x,y列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;

(Ⅱ)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮,能够产生最大的利润?并求出此最大利润.

17.(本小题满分13分)

如图,四边形ABCD是平行四边形,平面AED⊥平面

ABCD,EF∥AB,AB=2,BC=EF=1,AE= 6,DE=3,∠BAD=60°,G为BC的中点. (Ⅰ)求证:FG∥平面BED; (Ⅱ)求证:平面BED⊥平面AED;

(Ⅲ)求直线EF与平面BED所成角的正弦值.

18.(本小题满分13分)

已知{an}是等比数列,前n项和为Sn(n∈N*),且-=,S6=63. (Ⅰ)求{an}的通项公式;

2

(Ⅱ)若对任意的n∈N*,bn是log2an和log2an+1的等差中项,求数列{(-1)n????}的前2n项和.

112

??1??2??3

19.(本小题满分14分)

设椭圆??2+3=1(a> 3)的右焦点为F,右顶点为A.已知|????|+|????|=|????|,其中O为原点,e为椭圆的离心率. (Ⅰ)求椭圆的方程;

(Ⅱ)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上),垂直于l的直线与l交于点M,与y轴交于点H.若BF⊥HF,且∠MOA=∠MAO,求直线l的斜率.

20.(本小题满分14分)

设函数f(x)=x3-ax-b,x∈R,其中a,b∈R. (Ⅰ)求f(x)的单调区间;

(Ⅱ)若f(x)存在极值点x0,且f(x1)=f(x0),其中x1≠x0,求证:x1+2x0=0; (Ⅲ)设a>0,函数g(x)=|f(x)|,求证:g(x)在区间[-1,1]上的最大值不小于.

···

??2??2

113??

14

2016年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)

一、选择题

1.A 由题意可得B={1,3,5},∴A∩B={1,3},故选A.

易错警示 不能列举出集合B中的所有元素是造成失分的主要原因. 2.A 设“两人下成和棋”为事件A,“甲获胜”为事件B.事件A与B是互斥事件,所以甲不输的概率P=P(A+B)=P(A)+P(B)=+=,故选A.

236115

3.B 由几何体的正视图、俯视图以及题意可画出几何体的直观图,如图所示.

该几何体的侧视图为选项B.故选B.

=2,????2

4.A 由题意可得 ??2+??2=5,解得a=2,b=1,所以双曲线的方程为4-y2=1,故选A.

??>0,??>0,易错警示 容易把双曲线标准方程中a,b,c的关系与椭圆标准方程中a,b,c的关系混淆,这是失分的主要原因. 5.C 令x=1,y=-2,满足x>y,但不满足x>|y|;又x>|y|≥y,∴x>y成立,故“x>y”是“x>|y|”的必要而不充分条件.

6.C ∵f(x)是偶函数且在(-∞,0)上单调递增,∴f(x)在(0,+∞)上单调递减,且f(- 2)=f( 2),∴原不等式可化为f(2|a-1|)>f( 2).故有2|a-1|< 2,即|a-1|<2,解得2

思路分析 由已知可得出f(x)在(0,+∞)上单调递减,且f(- 2)=f( 2),利用单调性将f(2|a-1|)>f( 2)转化为2|a-1|< 2,解该不等式即可. 7.B 建立如图所示的平面直角坐标系.

1

1

3

??

1

11 3 =(1,0). 则B -2,0 ,C 2,0 ,A 0,2 ,所以????

易知DE=2AC,∠FEC=∠ACE=60°,则EF=4AC=4, 所以点F的坐标为 8,-8 , = 1,-5 3 , 所以????88

·???? = 1,-5 3 ·(1,0)=1.故选B. 所以????888

疑难突破 利用公式a·b=|a||b|cos求解十分困难,可以考虑建立适当的平面直角坐标系,利用坐标运算求解.确定点F的坐标是解题的关键. 8.D f(x)=

21-cos????12

1

111

3+2sin ωx-2=2(sin ωx-cos

π

π

π

11

ωx)=2sin ????-4 ,∵x∈(π,2π),ω>0,∴ωx-4∈ ??π-4,2ωπ-4 ,∵f(x)在区间(π,2π)内没有零点,∴有以下两种情况:

① ??π-,2ωπ- ?(2kπ,2kπ+π),k∈Z,

44则有

??π-4≥2kπ,

πππ

π

π

k∈Z, 2??π-4≤2kπ+π,

14

58

得ω∈ 2??+,k+ ,k∈Z, 当k=0时,ω∈ 4,8 ;

② ??π-4,2ωπ-4 ?(2kπ+π,2kπ+2π),k∈Z, 则有

??π-≥2kπ+π,

4πππ

π15

∈Z, k

2??π-4≤2kπ+2π,

5

9

31

1

得ω∈ 2??+4,k+8 ,k∈Z,当k=-1时,ω∈ -4,8 ,又ω>0,∴ω∈ 0,8 . 综上,ω∈ 0,8 ∪ 4,8 ,故选D.

1

15

疑难突破 将函数化简为f(x)=2sin ????-4 ,将ωx-4看作一个整体,借助函数y=sin x的图象得出f(x)在(π,2π)内没有零点时需满足的条件,建立不等式组求解. 二、填空题 9.答案 1

解析 ∵z==1-i,∴z的实部为1.

1+i2

2ππ10.答案 3

解析 ∵f '(x)=2ex+(2x+1)ex=(2x+3)ex,∴f '(0)=3. 11.答案 4

解析 由程序框图可知, S=8,n=2; S=2,n=3;

S=4,n=4,此时退出循环,输出S=4. 易错警示 审题不清是失分的主要原因. 12.答案 (x-2)2+y2=9

解析 设圆C的方程为(x-a)2+y2=r2(a>0),

,解得 ??=2,所以圆C的方程为(x-2)2+y2=9. 5由题意可得 5??2=9,222

(-??)+( 5)=??,

方法总结 待定系数法是求解圆方程的常用方法,一般步骤为①设出圆的方程;②列出关于系数的方程组,并求出各系数的值;③检验各值是否符合题意,并写出满足题意的圆的方程.有时也可利用圆的几何性质进行求解. 13.答案

2 33|2??|=

4 5

解析 连结AC,BC.由同弧所对的圆周角相等知∠DBA=∠ACE,又易知∠DBA=∠DEB=∠AEC,故而有∠AEC=∠ACE,所以AC=AE.∵BE=2AE=2,∴AC=AE=1,AB=3.易知△ACB为直角三角形,∠ACB=90°,AC=1,AB=3,

则cos A=3.在△ACE中,由余弦定理易得CE= 12+12-2×1×1×3=14.答案 ,

33

-2≥0,13解析 ∵函数f(x)在R上单调递减,∴ 0

34

3??≥1,y=|f(x)|与y=2-3的图象,如图所示.

??

4??-3

121

12 33

.

方程|f(x)|=2-恰有两个不相等的实数解等价于y=|f(x)|的图象与y=2-的图象恰有两个交点,

3

3

??

??

则需满足3a<2,得a<3,综上可知,3≤a<3. -≥0,2易错警示 (1)f(x)在R上单调递减,需满足 0

15.解析 (Ⅰ)在△ABC中,由

??

4??-3212

sin??sin??

=

??

,可得asin B=bsin A,又由asin 2B= 3bsin A,得2asin

3

π

Bcos B= 3bsin A= 3asin B,所以cos B=2,得B=6. (Ⅱ)由cos A=,可得sin A=

31

2 23

,

π

则sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sin ??+6 =2sin A+2cos A= 31

2 6+16

.

思路分析 (Ⅰ)利用正弦定理与二倍角公式将原式转化为角B的三角函数式进行求解;(Ⅱ)利用三角形的性质及两角和的正弦公式求sin C的值. 16.解析 (Ⅰ)由已知,x,y满足的数学关系式为

4??+5??≤200, 8??+5??≤360,

3??+10??≤300,

??≥0,

??≥0.

该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分:

图1

(Ⅱ)设利润为z万元,则目标函数为z=2x+3y.

考虑z=2x+3y,将它变形为y=-3x+3,这是斜率为-3,随z变化的一族平行直线.3为直线在y轴上的截距,当3取最大值时,z的值最大.又因为x,y满足约束条件,所以由图2可知,当直线z=2x+3y经过可行域上的点M时,截距3最大,即z最大.

??

??

2

??

2

??

图2

4??+5??=200,解方程组 得点M的坐标为(20,24).

3??+10??=300,

所以zmax=2×20+3×24=112.

答:生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大,且最大利润为112万元. 疑难突破 解决有关线性规划实际问题的关键是找出两变量之间所满足的关系式,利用图解法进行解答. 17.解析 (Ⅰ)证明:取BD中点O,连结OE,OG.在△BCD中,因为G是BC中点,所以OG∥DC且OG=2DC=1,又因为EF∥AB,AB∥DC,所以EF∥OG且EF=OG,即四边形OGFE是平行四边形,所以FG∥OE.

又FG?平面BED,OE?平面BED, 所以,FG∥平面BED.

1

(Ⅱ)证明:在△ABD中,AD=1,AB=2,∠BAD=60°,由余弦定理可得BD= 3,进而∠ADB=90°,即BD⊥AD.又因为平面AED⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,平面AED∩平面ABCD=AD,所以BD⊥平面AED.又因为BD?平面BED, 所以,平面BED⊥平面AED.

(Ⅲ)因为EF∥AB,所以直线EF与平面BED所成的角即为直线AB与平面BED所成的角. 过点A作AH⊥DE于点H,连结BH. 又平面BED∩平面AED=ED, 由(Ⅱ)知AH⊥平面BED.

所以,直线AB与平面BED所成的角即为∠ABH.

在△ADE中,AD=1,DE=3,AE= 6,由余弦定理得cos∠ADE=,所以sin∠ADE=,因

3

3

2 5此,AH=AD·sin∠ADE=.

3

5在Rt△AHB中,sin∠ABH=????=6. 所以,直线EF与平面BED所成角的正弦值为. 6

???? 5 5方法总结 证明线面平行常用线线平行或面面平行进行转化;在证明面面垂直时注意线、面垂直之间的相互转化;解决线面角的关键是找出斜线在平面内的射影,常用定义法求解. 18.解析 (Ⅰ)设数列{an}的公比为q.由已知,有-=又由S6=a1·

1-??61-??

1

1

2

??1??1q??1??2

,解得q=2,或q=-1.

=63,知q≠-1,所以a1·

12

1-261-212

=63,得a1=1.所以an=2n-1.

12

(Ⅱ)由题意,得bn=(log2an+log2an+1)=(log22n-1+log22n)=n-, 即{bn}是首项为,公差为1的等差数列.

21

2

设数列{(-1)n????}的前n项和为Tn,则 222222T2n=(-??1+??2)+(-??3+??4)+…+(-??2+??2??) ??-1

=b1+b2+b3+b4+…+b2n-1+b2n=

2??(??1+??2??)

2

=2n2.

思路分析 (Ⅰ)利用“基本量”思想,建立关于a1,q的方程求解;(Ⅱ)利用分组求和法. 19.解析 (Ⅰ)设F(c,0),由|????|+|????|=|????|,即??+??=??(??-??),可得a2-c2=3c2, 又a2-c2=b2=3,所以c2=1,因此a2=4. 所以,椭圆的方程为4+3=1. (Ⅱ)设直线l的斜率为k(k≠0), 则直线l的方程为y=k(x-2).

=1,设B(xB,yB),由方程组 43消去y,

??=??(??-2)整理得(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0.

??2??2??2

1

1

3??

11

3??

+

??2

解得x=2,或x=

8??2-6

2

4??+3

,由题意得xB=

8??2-6

2

4??+3

,从而yB=

-12??

4??2+3

2

.

??12??

=(-1,yH),???? = 9-4由(Ⅰ)知,F(1,0),设H(0,yH),有????, . 2

4??+34??2+3

·???? =0,所以由BF⊥HF,得????

1

4??2-9

4??2+34??2+3

9-4??2

+

12??????

=0,解得yH=

9-4??212??

. 因此直线MH的方程为y=-??x+12??. 设M(xM,yM),由方程组

20??2+9

??=??(??-2),??=-x+

??1

9-4??212??

消去y,

解得xM=在△MAO

64

12(??2+1)

. xM=1,即

20??2+9

222中,∠MOA=∠MAO?|MA|=|MO|,即(xM-2)2+????=????+????,化简得

64

12(??2+1)

=1,解

得k=-,或k=. 所以,直线l的斜率为-或.

4

4

6 620.解析 (Ⅰ)由f(x)=x3-ax-b,可得f '(x)=3x2-a. 下面分两种情况讨论:

(1)当a≤0时,有f '(x)=3x2-a≥0恒成立,所以f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞). (2)当a>0时,令f '(x)=0,解得x=

3??3

,或x=-

3??3

.

当x变化时, f '(x), f(x)的变化情况如下表:

x -∞,- 3a3 - 3a30 - 3a 3a, 33- 3a 30 3a ,+∞ 3+f '(x)f(x)+ 单调递增极大值单调递减极小值单调递增

所以f(x)的单调递减区间为 - 3?? 3??3

,

3

,单调递增区间为 -∞,-

3??3

,

3??3

,+∞ .

??3

22

(Ⅱ)证明:因为f(x)存在极值点,所以由(Ⅰ)知a>0,且x0≠0.由题意,得f '(x0)=3??0-a=0,即??0=,进而3f(x0)=??0-ax0-b=-3x0-b.

2??

3

又f(-2x0)=-8??0+2ax0-b=-3x0+2ax0-b=-3x0-b=f(x0),且-2x0≠x0,由题意及(Ⅰ)知,存在唯一实数x1

8??2??

满足 f(x1)=f(x0),且x1≠x0,因此x1=-2x0. 所以x1+2x0=0.

(Ⅲ)证明:设g(x)在区间[-1,1]上的最大值为M,max{x,y}表示x,y两数的最大值.下面分三种情况讨论: (1)当a≥3时,- 3??3

≤-1<1≤

3??3

,由(Ⅰ)知, f(x)在区间[-1,1]上单调递减,所以f(x)在区间[-1,1]上的取

值范围为[f(1), f(-1)],

??-1+??,??≥0,因此M=max{|f(1)|,|f(-1)|}=max{|1-a-b|,|-1+a-b|}=max{|a-1+b|,|a-1-b|}=

??-1-??,??<0.所以M=a-1+|b|≥2. (2)当4≤a<3时,- - 3??33

2 3??3

≤-1<-

3?? 3??3

<

3

<1≤

2 3??3

,由(Ⅰ)和(Ⅱ)知f(-1)≥f -

2 3??3

=f

3??3

, f(1)≤f

2 3??3

=f

,

3??3

所以f(x)在区间[-1,1]上的取值范围为 ?? 因此M=max ?? =max -2??9

, f -

3??3

,

3??

3

, ?? -

3??

3

3??-b , 9 3??-b

2??

2??

=max 9 3??+b , 9 3??-b =9 3??+|b|≥9×4× 3×4=4. (3)当0

2 3??2 3??3

2??

23

31

2??

<3

<1,由(Ⅰ)和(Ⅱ)知f(-1)

2 3??3

=f

3??3

, f(1)>f

2 3??3

=f -

3??3

,

所以f(x)在区间[-1,1]上的取值范围为[f(-1), f(1)], 因此M=max{|f(-1)|,|f(1)|}=max{|-1+a-b|,|1-a-b|} =max{|1-a+b|,|1-a-b|} =1-a+|b|>4. 综上所述,当a>0时,g(x)在区间[-1,1]上的最大值不小于4. 1

1

思路分析 (Ⅰ)求含参数的函数f(x)的单调区间,需要进行分类讨论;(Ⅱ)由第(Ⅰ)问可知a>0,要证x1+2x0=0,只需证出f(-2x0)=f(x0),其中x1=-2x0,即可得结论;(Ⅲ)求g(x)在[-1,1]上的最大值,对a分情况讨论即可.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/mx5.html