圆的基本性质

21．圆的基本性质

一、选择题

1. （2009年娄底）如图，AB是⊙O的弦，OD⊥AB于D交⊙O于E，则下列说法错误的是 ．．( )

? D．OD＝DE A．AD＝BD B．∠ACB＝∠AOE C．?AE?BE

【关键词】垂径定理、圆周角、圆心角 【答案】D

2.（2009恩施市）如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于P，且P是半径OB的中点，CD＝6cm，则直径AB的长是（ ）

A．23cm B．32cm C．42cm D．43cm 【关键词】垂径定理、勾股定理 【答案】D

3．（2009年甘肃白银）如图，⊙O的弦AB＝6，M是AB上任意一点，且OM最小值为4，则⊙O的半径为（ ） A．5 B．4 C．3 D．2

- 1 -

【关键词】点和圆的位置关系 【答案】A

4．（2009年甘肃庆阳）如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，M是弦AB上的动点，则OM不可能为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5

【关键词】点和圆的位置关系 【答案】A

5．（2009年广西南宁）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB＝30°,⊙O的半径为3cm，则弦CD的长为（ ） A．

3cm B．3cm C．23cm D．9cm 2

【关键词】垂径定理及其逆定理 【答案】B

6．（2009年孝感）如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠B＝60°，则∠CAO的度数是( )

- 2 -

A．15° B．30° C．45° D．60°

【关键词】圆的有关性质 【答案】B

7.（2009泰安）如图，⊙O的半径为1，AB是⊙O 的一条弦，且AB＝3，则弦AB所对圆周角的度数为

A.30° B.60° C.30°或150° D.60°或120°

【关键词】圆周角 【答案】D

8．（2009江西）在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为2.下列说法中不正确的是（ ） ．．．A．当a＜5时，点B在⊙A内 B．当1＜a＜5时，点B在⊙A内 C．当a＜1时，点B在⊙A外 D．当a＞5时，点B在⊙A外 【关键词】数轴、点与圆的位置关系 【答案】A

9.（2009年嘉兴市）如图，⊙P内含于⊙O，⊙O的弦AB切⊙P于点C，且AB∥OP． 若阴影部分的面积为9?，则弦AB的长为（ ▲ ） A．3 B．4 C．6 D．9

- 3 -

【关键词】圆 【答案】C

10.（2009年天津市）如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB＝28°，则∠C的大小为（ ） A．28° B．56° C．60° D．62°

【关键词】圆周角和圆心角 【答案】D

11. （2009南宁）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E,∠CDB＝30°, ⊙O的半径为

3cm，则弦CD的长为（ ）

A．

3cm B．3cm C．23cm D．9cm 2

【关键词】圆周角和圆心角 【答案】B

12.（2009年湘西自治州）⊙O的半径为10cm，弦AB＝12cm，则圆心到AB的距离为（ ）

- 4 -

A． 2cm B． 6cm C． 8cm D． 10cm 【关键词】圆的计算，弦，点到直线的距离 【答案】C

13.（2009年白银市）如图，⊙O的弦AB＝6，M是AB上任意一点，且OM最小值为4， 则⊙O的半径为（ ） A．5 B．4 C．3 D．2 【关键词】圆的相关概念、点到直线的距离 【答案】A

14.（2009年清远）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连结OC，若OC＝5，CD＝8,，则tan∠COE＝（ ） A．

3434 B． C． D． 5543

【关键词】锐角三角函数、垂径定理及其逆定理 【答案】D

15．（2009年长春）如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回，点P在运动过程中速度大小不变，则以点A为圆心，线段AP长为半径的圆的面积S与点P

- 5 -

的运动时间t之间的函数图象大致为（ ）

【关键词】弧长、弓形面积及简单组合图形的面积 【答案】A

16．（2009年安徽）如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，且CD＝22，BD＝3，则AB的长为【 】

A．2 B．3 C．4 D．5

【关键词】垂径定理及其逆定理 【答案】B

17．（2009年安徽）△ABC中，AB＝AC，∠A为锐角，CD为AB边上的高，I为△ACD的内切圆圆心，则∠AIB的度数是【 】

A．120° B．125° C．135° D．150° 【关键词】与圆有关的综合题 【答案】C

18．（2009年福州）如图，弧AD是以等边三角形ABC一边AB为半径的四分之一圆周， P为弧AD上任意一点，若AC＝5，则四边形ACBP周长的最大值是（ ） A． 15 B． 20 C．15+52 D．15+55 - 6 -

【关键词】等边三角形,勾股定理,同圆的半径相等 【答案】C

19．（2009年重庆）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径．若∠BOC＝80°， 则∠A等于（ ）

A．60° B．50° C．40° D．30°

【关键词】圆周角和圆心角 【答案】C．

20．(2009年甘肃定西)如图，⊙O的弦AB＝6，M是AB上任意一点，且OM最小值为4，则⊙O的半径为（ ） A．5 B．4 C．3 D．2

【关键词】垂径定理、勾股定理. 【答案】A

- 7 -

21.（2009年长沙）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∠BOC＝44°，则∠A的度数为 ．

答案：22° 【关键词】圆、角

22.（2009年长沙）如图，已知⊙O ⊙O的半径OA＝6，∠AOB＝90°，则∠AOB所对的弧AB的长为（ ）

A．2π B．3π C．6π D．12π

答案：B

【关键词】圆、弧长

23.（2009肇庆）如图 ，⊙O是正方形 ABCD的外接圆，点 P 在⊙O上，则∠APB等于（ ） A． 30° B． 45° C． 55° D． 60°

【关键词】外接圆 【答案】B

24．(2009年南充)如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠BOC＝110°，AD∥OC, ，则∠AOD＝（ ）

- 8 -

A．70° B．60° C．50° D．40°

【关键词】平行线、等腰三角形的性质及临补角的概念 【答案】D

25. (2009年温州)如图，∠AOB是⊙0的圆心角，∠AOB＝80°，则弧AB所对圆周角∠ACB的度数是( )

A．40° B．45° C．50° D．80°

【关键词】圆心角与圆周角的数量关系 【答案】A

26.（2009年凉山州）如图，⊙0是△ABC的外接圆，已知∠ABO＝50°，则∠ACB的大小为（ ）

A．40° B．30° C．45° D．50°

【关键词】圆的基本概念和性质 【答案】A

- 9 -

27.（2009年遂宁）如图，已知⊙O的两条弦AC，BD相交于点E，∠A＝70，∠C＝50， 那么sin∠AEB的值为( )

A. 1 B. 3 C.2 D. 3

2322

oo

【关键词】圆的基本性质、正弦概念 【答案】D

28.（2009年兰州）如图，点A、B、C、D为圆O的四等分点，动点P从圆心O出发， 沿O-C-D-O的路线作匀速运动.设运动时间为t秒, ∠APB的度数为y度，则下列图象中表示y与t之间函数关系最恰当的是( ).

【关键词】圆的基本性质、函数图象 【答案】C

29. （2009年兰州）如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米， 拱的半径为13米，则拱高为( )

A．5米 B．8米 C．7米 D．53米

- 10 -

【关键词】圆的基本性质、弓形、勾股定理 【答案】B

30.（2009年台湾）如图，在坐标平面上，ABC为直角三角形，?B＝90?，AB垂直x轴，M为ABC的外心。若A点坐标为(3,4)，M点坐标为(?1,1)，则B点坐标为何？ A. (3,?1) B. (3,?2) C. (3,?3) D. (3,?4) 。

【关键词】直角三角形 圆 平面直角坐标系 【答案】B

ABC 、 ADC 的30. （2009年台湾）如图，圆上有A、B、C、D四点，其中?BAD＝80?。若 BAD 的长度为何？ 长度分别为7?、11?，则 A. 4? B. 8? C. 10? D. 15?

【关键词】圆有关的运算 【答案】C

31． （2009年台湾） AB是一圆的直径，C、D是圆周上的两点。已知AC＝7，BC＝24，

AD＝15，求BD＝？

A.16 B. 20 C.

3556 D. 85【关键词】与圆有关的计算 【答案】B

- 11 -

32. （2009年台湾）如图，长方形ABCD中，以A为圆心，AD长为半径画弧，交AB于E

DE 于G点。求?AGF＝？ 点。取BC的中点为F，过F作一直线与AB平行，且交 A. 110? B. 120? C. 135? D. 150?

【关键词】与圆有关的计算 【答案】D

33．(2009年河北)如图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O是小正方 形顶点，⊙O的半径为1，P是⊙O上的点，且位于右上方的小正方形内，则∠APB等于（ ） A．30° B．45° C．60° D．90°

【关键词】正方形和圆的圆心角和圆周角的关系 【答案】B

34．（2009年湖北十堰市）如图，△ABC内接于⊙O，连结OA、OB，若∠ABO＝25°，则∠C的度数为（ ）．

A．55° B．60° C．65° D．70°

【关键词】圆周角和圆心角

- 12 -

【答案】C

35．（2009年山东青岛市）一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽0.8米，最深处水深0.2米，则此输水管道的直径是（ ）． A．0.4米 B．0.5米 C．0.8米 D．1米

【关键词】垂径定理及其逆定理 【答案】D

36.（2009 黑龙江大兴安岭）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半 径为

3，AC＝2， 则sinB的值是 （ ） 22334 B． C． D． 3243A．

【关键词】圆周角、锐角三角函数 【答案】A

37.(2009年肇庆市)如图 ，⊙O是正方形 ABCD的外接圆，点 P 在⊙O上，则∠APB等于（ ）

A． 30° B． 45° C． 55° D． 60°

- 13 -

【关键词】圆心角与圆周角的关系 【答案】B

38.(2009武汉)10．如图，已知⊙O的半径为1，锐角△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点D，OM⊥AB于点M，则sin∠CBD的值等于（ ） A．OM的长 B．2OM的长 C．CD的长 D．2CD的长

【关键词】互余角的三角函数关系 圆心角与圆周角 三角函数定义. 【答案】A

提示：sin∠CBD＝cos∠C＝ cos∠BOM＝OM.

OB

39.（2009威海）已知⊙O是△ABC的外接圆，若AB＝AC＝5，BC＝6，则⊙的半径为（ ） A．4 B．3.25 C．3.125 D．2.25 【关键词】三角形的外接圆 【答案】C

40.(2009年安顺)如图，已知CD为⊙O的直径，过点D的弦DE平行于半径OA，若∠D的度数是50°，则∠C的度数是： A．25° B．40° C．30° D．50°

- 14 -

【关键词】圆周角和圆心角 【答案】A

41．（2009山西省太原市）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，若以点C为圆心， CB长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则AC的长等于（ ） A．53

B．5 C．52 D．6

C A D B 解析：本题考查圆中的有关性质，连接CD，∵∠C＝90°，D是AB中点，AB＝10，∴CD＝

1AB＝5，∴BC＝5，根据勾股定理得AC＝53，故选A． 2【关键词】圆的性质、直角三角形 【答案】A

42. （2009山西省太原市）如图，AB是半圆O的直径，点P从点O出发，沿OA??AB?BO的路径运动一周．设OP为s，运动时间为t，则下列图形能大致地刻画s与t之间关系的是（ ） A

P s s s s O B O A．

t O B．

t O C．

t O D．

t - 15 -

解析：本题考查圆的有关性质、函数图象等知识，点P从点O向点A运动，OP逐渐增大，当点P从点A向点B运动，OP不变，当点P从点B向点O运动，OP逐渐减小，故能大致地刻画s与t之间关系的是C． 【关键词】圆的性质、函数 【答案】C

43.(2009年梅州市)如图，在⊙O中，∠ACB＝20°，则∠AOB＝______度.

【答案】40

【关键词】圆心角,圆周角

，?A?40°，44．（2009年山西省）如图所示，A、B、C、D是圆上的点，?1?70°则

?C? 度．

B 1 C D

【关键词】圆周角和圆心角 【答案】30

45.（2009呼和浩特）如图，AB是⊙O的直径，点C在圆上，CD⊥AB，DE∥BC，则图中与△ABC相似的三角形的个数有（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

A - 16 -

【关键词】圆周角和圆心角 【答案】

46.(2009年云南省)如图，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径，若∠D ＝ 35°，则∠OAC的度数是（ ）

A．35°B．55° C．65°D．70°

【关键词】圆 圆周角 圆心角 【答案】B

47．（2009年枣庄市）如图，AB是⊙O的直径，C，D为圆上两点∠AOC ＝130°，则∠D等于（ ） A．25° B．30° C．35° D．50°

【关键词】圆周角和圆心角 【答案】A

- 17 -

二、填空题

48.（2009丽水市）如图，在⊙O中，∠ABC＝40°，则∠AOC＝ ▲ 度．

AOBC

【关键词】圆周角和圆心角的关系 【答案】80

49.(2009年鄂州)在⊙O中，已知⊙O的直径AB为2，弦AC长为3，弦AD长为2．则DC＝______

【关键词】圆的有关性质 【答案】2?3或2?3

50.（2009年河南）如图，AB为半圆O的直径，延长AB到点P，使BP＝

2

1AB，PC切半圆2O于点C，点D是?AC上和点C不重合的一点，则?D的度数为 .

【关键词】圆的有关性质 【答案】30°

51.（2009年新疆）如图，在平面直角坐标系中，已知一圆弧过小正方形网格的格点A，B，C，已知A点的坐标是（-3,5），则该圆弧所在圆的圆心坐标是___________．

- 18 -

【关键词】直角坐标系 圆心 【答案】（-1,0）

53．（2009年长春）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，AB?10，?A?30°，则BC的长为 ．

【关键词】圆周角和圆心角、直角三角形的有关计算 【答案】5

54. （2009年福州）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上 ，OD∥AC，若BD＝1，则BC的长为

- 19 -

【关键词】直径所对的圆周角,垂径定理 【答案】2

55．（2009年广西梧州）某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图（2）所示，已知 AB＝16m，半径OA＝10m，则中间柱CD的高度为 ★ m．

【关键词】垂径定理、勾股定理 【答案】4

56．（2009年牡丹江）如图，一条公路的转变处是一段圆弧（图中的?，点O是这段弧AB）

CD?50m，的圆心，C是?则这段弯AB上一点，OC⊥AB，垂足为D，AB?300m，路的半径是 m．

【关键词】垂径定理有关计算 【答案】250

57.（2009年哈尔滨）如图，⊙O的直径CD＝10，弦AB＝8，AB⊥CD，垂足为M，则DM的长为 ．

- 20 -

【关键词】垂径定理

【答案】8【解析】连接OA，根据垂径定理可知AM＝4，又OA＝5，则根据勾股定理可得：OM＝3。又OD＝5，则DM＝8

58.（2009年中山）已知⊙O的直径AB?8cm，C为⊙O上的一点，?BAC?30°，则

BC＝ _ cm．

【关键词】圆的直径的性质，直角三角形30°角的性质 【答案】4cm

59.（2009年兰州）如图所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠AED的正切值等于 ．

【关键词】圆的基本性质、正切概念 【答案】

60.(2009年济南)如图，?O的半径OA?5cm，弦AB?8cm，点P为弦AB上一动点，则

- 21 -

1 2点P到圆心O的最短距离是 cm．

【关键词】圆的基本概念和性质 【答案】3

?上一点，61. （2009年北京市）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为BC若∠CEA＝28，

?则∠ABD＝ °.

CAEBD

【关键词】圆周角 【答案】28

62．(2009年宁德市)如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，若∠ACO＝32°，则∠COB的度数等于 ．

【关键词】同弧所对的圆心角和圆周角 【答案】64o

63．(2009年咸宁市)为庆祝祖国六十华诞，某单位排练的节目需用到如图所示的扇形布扇，布扇完全打开后，外侧两竹条AB、AC夹角为120°，AB的长为30cm，贴布部分BD的长为20cm，则贴布部分的面积约为____________cm．（π取3）

- 22 -

2

【关键词】扇形面积 【答案】

23．（09湖南怀化）亲爱的同学们，我们在教材中已经学习了:①等边三角形；②等腰梯形；③平行四边形；④等腰三角形；⑤圆．在以上五种几何图形中，既是轴对称图形， 又是中心对称图形的是 ． 【关键词】圆的对称性 【答案】圆（或填⑤）

64.（2009年）14．若一边长为40㎝的等边三角形硬纸板刚好能不受损地从用铁丝围成的圆形铁圈中穿过，则铁圈直径的最小值为 ㎝．(铁丝粗细忽略不计) 【关键词】圆 【答案】

65．（2009年山东青岛市）如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，∠ACD＝42°，则∠BAD＝______°.

500? 3

【关键词】圆周角和圆心角 【答案】48

66．（2009年新疆乌鲁木齐市）如图，点C、D在以AB为直径的⊙O上，且CD平分?ACB，

- 23 -

若AB＝2,∠CBA＝15°，则CD的长为 ．

【关键词】圆周角和圆心角 【答案】3

67.（2009年广东省）已知⊙O的直径AB＝8cm，C为⊙O上的一点，∠BAC＝30则BC＝______cm.

【关键词】直角三角形性质；圆周角和圆心角 【答案】4

，?A?40°，68．（2009年山西省）如图所示，A、B、C、D是圆上的点，?1?70°则?C? 度．

【关键词】圆周角和圆心角 【答案】30

69.(2009年肇庆市)75°的圆心角所对的弧长是2.5π，则此弧所在圆的半径为 ． 【关键词】弧长

- 24 -

【答案】6

70.(2009年上海市) 在⊙O中，弦AB的长为6，它所对应的弦心距为4，那么半径OA＝ ． 【关键词】垂径定理 【答案】5

71.(2009成都)如图，△ABC内接于⊙O，AB＝BC，∠ABC＝120°，AD为⊙O的直径，AD＝6，那么BD＝_________．

DOABC

【关键词】三角形的外接圆 【答案】33

72.(2009年安顺)如图，⊙O的半径OA＝10cm，P为AB上一动点，则点P到圆心O的最短距离为___________cm。

【关键词】点和圆的位置关系 【答案】6

73.(2009成都)如图，A、B、C是⊙0上的三点，以BC为一边，作∠CBD＝∠ABC，过BC上一点P，作PE∥AB交BD于点E．若∠AOC＝60°，BE＝3，则点P到弦AB的距离为_______．

- 25 -

ACOPBED

【关键词】圆周角和圆心角 【答案】

74．（2009年湖南长沙）如图，AB是⊙0的直径，C是⊙0上一点，∠BOC＝44°，则∠A的度数为 ．

33. 2

【答案】22°

【解析】本题考查了圆周角和圆心角的有关知识。根据圆周角定理：一条弧所对的圆周角等

于它所对的圆心角的一半，所以本题的答案为44?

75.（2009年浙江省绍兴市）如图，小量角器的零度线在大量角器的零度线上，且小量角器的中心在大量角器的外缘边上．如果它们外缘边上的公共点P在小量角器上对应的度数为65°，那么在大量角器上对应的度数为__________°（只需写出0°～90°的角度）．

01?220。 2

【关键词】圆的基本性质 【答案】50°

- 26 -

76.（2009年贵州省黔东南州）如图，⊙O的半径为5，P为圆内一点，P点到圆心O的距离为4，则过P点的弦长的最小值是_______。

【关键词】垂径定理 【答案】6

77.（2009年江苏省）如图，，AB是⊙0的直径，弦CD∥AB．若∠ABD＝65°，则∠ADC＝______.

【关键词】圆周角 【答案】25

78.（2009眉山）如图，AB、CD是⊙O的两条互相垂直的弦，圆心角∠AOC＝130°，AD、CB的延长线相交于P，∠P＝ °

【关键词】弦与圆心角 【答案】40°

79．(2009年云南省)已知圆上一段弧长为6π，它所对的圆心角为120°，则该圆的半 径为___________．

- 27 -

【关键词】弧长 圆心角 半径 【答案】9

80.（2009贺州）如图，正方形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是劣弧?AB上 不同于点B的任意一点，则∠BPC＝ 度．

【关键词】圆周角 【答案】45

81．（2009年广东省）已知⊙O的直径AB＝8cm, C为⊙O上的一点，∠BAC＝30°则BC＝______cm..

C A

O B

【关键词】直角三角形性质；圆周角和圆心角 【答案】4

82．（2009年铁岭市）小丽想用一张半径为5cm的扇形纸片围成一个底面半径为4cm的圆锥，接缝忽略不计，则扇形纸片的面积是 cm2．（结果用π表示） 【关键词】圆周角和圆心角；弧长；圆锥的侧面展开图 【答案】20π

83．（2009年铁岭市）如图所示，AB为⊙O的直径，P点为其半圆上一点，∠POA＝40°,C为另一半圆上任意一点（不含A,B），则∠PCB＝ 度．

- 28 -

C A P B

40° O 【关键词】圆周角和圆心角 【答案】70

84.（2009龙岩）如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB ＝ 8，CD ＝ 6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为 ．

【关键词】点和圆的位置关系、圆的对称性 【答案】72． 三、解答题

85.（2009柳州）如图，AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE于点F．

（1）求证：CF＝BF；

（2）若AD＝2，⊙O的半径为3，求BC的长．

【关键词】圆

证明：（1） 连结AC，如图。

- 29 -

∵C是弧BD的中点 ∴∠BDC＝∠DBC 又∠BDC＝∠BAC

在三角形ABC中，∠ACB＝90°，CE⊥AB ∴ ∠BCE＝∠BAC ∠BCE＝∠DBC ∴ CF＝BF 因此，CF＝BF．

（2）证法一：作CG⊥AD于点G，

∵C是弧BD的中点

∴ ∠CAG＝∠BAC ， 即AC是∠BAD的角平分线． ∴ CE＝CG，AE＝AG

在Rt△BCE与Rt△DCG中，CE＝CG ， CB＝CD ∴Rt△BCE≌Rt△DCG ∴BE＝DG

∴AE＝AB-BE＝AG＝AD+DG

- 30 -

即 6-BE＝2+DG ∴2BE＝4，即 BE＝2 又 △BCE∽△BAC

·AB?12 ∴ BC?BE2BC??23（舍去负值）

∴BC?23

（2）证法二：∵AB是⊙O的直径，CE⊥AB ∴∠BEF＝?ADB?90?， 在Rt△ADB与Rt△FEB中， ∵?ABD??FBE ∴△ADB∽△FEB，则

ADAB? EFBF即

26?， ∴BF?3EF EFBF又∵BF?CF， ∴CF?3EF 利用勾股定理得：

BE?BF2?EF2?22EF

又∵△EBC∽△ECA 则

CEBE2?，即则CE?AE?BE AECE2∴(CF?EF)?(6?BE)?BE

即(3EF?EF)2?(6?22EF)?22EF ∴EF?∴BC?

86.(2009年四川省内江市)如图，四边形ABCD内接于圆，对角线AC与BD相交于点E、F在AC上，AB＝AD，∠BFC＝∠BAD＝2∠DFC.

- 31 -

2 2BE2?CE2?23.

求证：（1）CD⊥DF； （2）BC＝2CD

【关键词】三角形全等的判定.

【答案】证：（1）设∠DFC＝θ，则∠BAD＝2θ 在△ABD中，∵AB＝AD， ∴∠ABD＝∠ADB ∠ABD＝12（180°-∠BAD）＝90°-θ 又∠FCD＝∠ABD＝90°-θ ∴∠FCD+∠DFC＝90° ∴CD⊥DF

（2）过F作FG⊥BC于G

在△FGC和△FDC中 ，∠FCG＝∠ADB＝∠ABD＝∠FCD ∠FGC＝∠FDC＝90°,FC＝FC ∴△FGC≌△FDC

∴GC＝CD且∠GFC＝∠DFC 又∠BFC＝2∠DFC ∴∠GFB＝∠GFC ∴BC＝2GC， ∴BC＝2CD.

87．（2009年甘肃庆阳）（10分）如图，在边长为2的圆内接正方形ABCD中，AC是对角线，P为边CD的中点，延长AP交圆于点E． （1）∠E＝ 度；

（2）写出图中现有的一对不全等的相似三角形，并说明理由；

- 32 -

（3）求弦DE的长．

【关键词】圆周角和圆心角；相似三角形 【答案】本小题满分10分 解：（1）45． （2）△ACP∽△DEP．

理由：∵∠AED＝∠ACD，∠APC＝∠DPE， ∴ △ACP∽△DEP． （3）方法一：

∵ △ACP∽△DEP， ∴ AP?AC.

DPDE

又 AP＝AD2?DP2?5，AC＝AD2?DC2?22， ∴ DE＝210．

5

方法二：

如图2，过点D作DF?AE于点F． 在Rt△ADP中， AP＝AD2?DP2?5,

又?S△ADP?

11AD?DP?AP?DF， 22∴ DF＝25． 5 - 33 -

∴ DE?2DF?210．

5

88.(2009年衢州）如图，AD是⊙O的直径．

(1) 如图①，垂直于AD的两条弦B1C1，B2C2把圆周4等分，则∠B1的度数是 ，∠B2的度数是 ；

(2) 如图②，垂直于AD的三条弦B1C1，B2C2，B3C3把圆周6等分，分别求∠B1，∠B2，

∠B3的度数；

(3) 如图③，垂直于AD的n条弦B1C1，B2C2，B3 C3，…，BnCn把圆周2n等分，请你用含n的代数式表示∠Bn的度数(只需直接写出答案)．

【关键词】开放性试题

【答案】解：(1) 22.5°，67.5°

(2) ∵ 圆周被6等分，

?C＝C?C＝C?C＝360°÷6＝60°． ∴ B111223∵ 直径AD⊥B1C1，

m11??∴ ?＝30°，∴ ∠BAC1＝BCAC1＝15°． ?11122∠B2?∠B3?mm1?1AC2＝×(30°＋60°)＝45°， 221?1AC3＝×(30°＋60°＋60°)＝75°． 2211360?360?(90n?45)?(3) ?Bn?[?． ?(n?1)?]?222n2nn

- 34 -

(或?Bn?90??

360?45?) ?90??8nn

89. （2009年广州市）如图，在⊙O中，∠ACB＝∠BDC＝60°，AC＝23cm， （1）求∠BAC的度数； （2）求⊙O的周长

【关键词】圆 【答案】

90.（2009年广西钦州）（2）已知：如图2，⊙O1与坐标轴交于A（1，0）、B（5，0）两点，点O1的纵坐标为5．求⊙O1的半径． yO1O AOA B xB图2

【关键词】垂径定理、勾股定理、坐标系 【答案】

（2）解：过点O1作O1C⊥AB，垂足为C， 则有AC＝BC．

yO1O CAOA B xB图2 由A（1，0）、B（5，0），得AB＝4，∴AC＝2．

在Rt△AO1C中，∵O1的纵坐标为5， ∴O1C＝5．

- 35 -

∴⊙O1的半径O1A＝O1C2?AC2?(5)2?22＝3．

91．(2009年南充)如图8，半圆的直径AB?10，点C在半圆上，BC?6． （1）求弦AC的长；

（2）若P为AB的中点，PE⊥AB交AC于点E，求PE的长．

C E A

P

B

【关键词】圆的性质，三角形相似的性质

【答案】解：?AB是半圆的直径，点C在半圆上，

??ACB?90°．

在Rt△ABC中，AC?（2）?PE⊥AB，

AB2?BC2?102?62?8

??APE?90°．??ACB?90°， ??APE??ACB．

又??PAE??CAB，

?△AEP∽△ABC，

?PEAP? BCAC?PE?610?812

?PE?

3015?． 8492．（2009年哈尔滨）如图，在⊙O中，D、E分别为半径OA、OB上的点，且AD＝BE． 点C为弧AB上一点，连接CD、CE、CO，∠AOC＝∠BOC． 求证：CD＝CE．

- 36 -

【关键词】圆的半径，圆心角 【答案】

此题证明△OCD与△OCE全等即可，给出了一对角相等，再利用半径相等的性质即可得证

?OA?OB，AD?BE，

?OA?AD?OB?BE，即OD?OE．

93．（2009年中山）（1）如图1，圆心接△ABC中，AB?BC?CA，OD、OE为⊙O的半径，OD?BC于点F，OE?AC于点G， 求证：阴影部分四边形OFCG的面积是△ABC的面积的（2）如图2，若?DOE保持120°角度不变，

求证：当?DOE绕着O点旋转时，由两条半径和△ABC的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是△ABC的面积的

1． 31． 3

【关键词】圆的内接三角形

【答案】（1）如图1，连结OA，OC，

- 37 -

因为点O是等边三角形ABC的外心， 所以Rt△OFC≌Rt△OGC≌Rt△OGA．

SOFCG?2S△OFC?S△OAC，

因为S△OAC?所以SOFCG?1S△ABC， 31S△ABC． 3（2）解法一：

连结OA，OB和OC，则△AOC≌△COB≌△BOA，?1??2， 不妨设OD交BC于点F，OE交AC于点G，

?AOC??3??4?120°，?DOE??5??4?120°， ??3??5．

在△OAG和△OCF中，

??1??2，? ?OA?OC，??3??5，??△OAG≌△OCF，

1?SOFCG?S△AOC?S△ABC．

3 - 38 -

解法二：

不妨设OD交BC于点F，OE交AC于点G， 作OH?BC，OK?AC，垂足分别为H、K，

，?C?60°， 在四边形HOKC中，?OHC??OKC?90°??HOK?360°-90 ?90??60??120?，

即?1??2?120°．

又??GOF??2??3?120°，

??1??3． ?AC?BC， ?OH?OK， ?△OGK≌△OFH，

1?SOFCG?SOHCK?S△ABC．

3

?OD?OE?在△ODC 和△OEC中，??DOC??EOC

?OC?OC??△ODC≌△OEC． ?CD?CE．

- 39 -

94.（2009年广州市）如图，在⊙O中，∠ACB＝∠BDC＝60°，AC＝23cm， （1）求∠BAC的度数； （2）求⊙O的周长

【关键词】圆 【答案】

95. （2009年株洲市）（本题满分10分）如图，点A、B、C是?O上的三点，AB//OC. （1）求证：AC平分?OAB.

（2）过点O作OE?AB于点E，交AC于点P. 若

AB?2，?AOE?30?，求PE的长．

【关键词】与圆有关的综合题

【答案】（1）∵AB//OC， ∴?C??BAC；∵OA?OC，∴?C??OAC ∴?BAC??OAC 即AC平分?OAB. （2）∵OE?AB ∴AE?BE?1AB?1 又??AOE?30?，?PEA?90?∴2?OAE?60?∴?EAP?11?OAE?30?， ∴PE?PA，设PE?x，则PA?2x，22- 40 -

根据勾股定理得x2?12?(2x)2，解得x?PE3（或者用tan?EAP?）

AE3即PE的长是

3. 397.(2009年潍坊)如图所示，圆O是△ABC的外接圆，?BAC与?ABC的平分线相交于点I，延长AI交圆O于点D，连结BD、DC． （1）求证：BD?DC?DI；

（2）若圆O的半径为10cm，?BAC?120°，求△BDC的面积．

（1）证明：?AI平分?BAC

??BAD??DAC，?BD?DC ?BI平分?ABC，??ABI??CBI

??BAD??DAC，?DBC??DAC

??BAD??DBC，又?DBI??DBC??CBI，?DIB??ABI??BAD ??DBI??DIB，△?BDI为等腰三角形 ?BD?ID，?BD?DC?DI

（2）解：当?BAC?120°时，△ABC为钝角三角形，

?圆心O在△ABC外，

连结OB、OD、OC，

??DOC??BOD?2?BAD?120°， ??DBC??DCB?60°，

?△BDC为正三角形．

又知OB?10cm，

- 41 -

?BD?2OBsin60°?2?10??S△BDC?3?103cm 23?(103)2?753cm24.

答：△BDC的面积为753cm．

2

??CD??DE?，∠BAE＝90°． 98.（09湖北宜昌）已知：如图，⊙O的直径AD＝2，BC(1)求△CAD的面积；

(2)如果在这个圆形区域中，随机确定一个点P，那么点P落在四边形ABCD区域的概率是多少？

【关键词】圆的基本性质、圆周角和圆心角 【答案】解：（1）∵AD为⊙O的直径，

∴∠ACD＝∠BAE＝90°．

??CD??DE?，∴ ∠BAC＝∠CAD＝∠DAE ． ∵ BC∴∠BAC＝∠CAD＝∠DAE ＝30°．

∵在Rt△ACD中，AD＝2，CD＝2sin30°＝1， AC＝2cos30°＝3 ．

- 42 -

∴S△ACD＝

12AC×CD ＝

32．

(2) 连BD，∵∠ABD＝90°， ∠BAD＝ ＝60°， ∴∠BDA＝∠BCA＝ 30°，∴BA＝BC. 作BF⊥AC，垂足为F，（5分） ∴AF＝

12AC＝

1232 ，∴BF＝AFtan30°＝

3412 ，

∴S△ABC＝AC×BF ＝ ， ∴SABCD＝334 ．

33∵S⊙O＝π ，∴P点落在四边形ABCD区域的概率＝4?＝

334?．

（2）解法2：作CM⊥AD，垂足为M．

∵∠BCA＝∠CAD（证明过程见解法），∴BC∥AD． ∴四边形ABCD为等腰梯形． ∵CM＝ACsin30°＝

32，∴SABCD＝

12(BC+AD)CM＝

33334．

∵S⊙O＝π， ∴P点落在四边形ABCD区域的概率＝4?＝334?．

99.(2009年黄冈市)如图，已知AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连结BC，AC，过点C作直线CD⊥AB于点D，点E是AB上一点，直线CE交⊙O于点F，连结BF，与直线CD交于点G．求证：BC?BG?BF.

2 - 43 -

【关键词】圆周角性质 【答案】∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90° 又∵CD⊥AB于点D，

∴∠BCD＝90°－∠ABC＝∠A＝∠F ∵∠BCD＝ ＝∠F，∠FBC＝∠CBG ∴△FBC∽△CBG ∴

BCFB? BGCB2∴BC?BG?BF

100. （2009襄樊市）如图12，已知：在?O中，直径AB?4，点E是OA上任意一点，

?上一点，连接AF交CE于H，过E作弦CD?AB，点F是BC连接AC、CF、BD、OD．

（1）求证：△ACH∽△AFC；

（2）猜想：AH?AF与AE?AB的数量关系，并说明你的猜想； （3）探究：当点E位于何处时，S△AEC:S△BOD?1:4?并加以说明．

- 44 -

证明：（1）∵直径AB?CD ∴?AC??AD ∴?F??ACH 又?CAF??FAC ∴△ACH∽△AFC

（2）答：AH?AF?AE?AB,连接FB ∵AB是直径，

∴∠AFB?∠AEH?90? 又∠EAH?∠FAB ∴Rt△AEH∽Rt△AFB

AEAH?AFAB

∴AH?AF?AE?AB

∴

（3）当OE?31（或AE?）时，S△AEC:S△BOD?1:4． 22∵直径AB?CD ∴CE?ED ∵S△AEC?∴

11AE?EC，S△BOD?OB?ED 22S△AECAE1??

S△BODOB4∵?O的半径为2 ∴

2?OE1? 243 2∴OE? - 45 -

101.（2009湖北省荆门市）如图，半径为25的⊙O内有互相垂直的两条弦AB、CD相交于P点．

（1）求证：PA·PB＝PC·PD；

（2）设BC中点为F，连接FP并延长交AD于E，求证：EF⊥AD； （3）若AB＝8，CD＝6，求OP的长．

解:（1）∵∠A、∠C所对的圆弧相同，∴∠A＝∠C． ∴Rt△APD∽Rt△CPB，∴

AP?PD，∴PA·PB＝PC·PD； CPPB（2）∵F为BC中点，△BPC为Rt△，∴FP＝FC，∴∠C＝∠CPF． 又∠C＝∠A，∠DPE＝∠CPF，∴∠A＝∠DPE．∵∠A＋∠D＝90°， ∴∠DPE＋∠D＝90°．∴EF⊥AD．

（3）作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，由垂径定理： ∴OM＝（25）－4＝4，ON＝（25）－3＝11 又易证四边形MONP是矩形， ∴OP＝OM2?ON2?15.

- 46 -

2

2

2

2

2

2

102. 44.（2009年泸州）如图，在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，过D作DF⊥BC， 交AB的延长线于E，垂足为F． (1)求证：直线DE是⊙O的切线； (2)当AB＝5，AC＝8时，求cosE的值．

【关键词】三角函数及切线的判定. 【答案】

(1)如图,连结OD、BD. ∵AB是⊙O的直径, ∴∠ADB＝90°,∴BD⊥AC. ∵AB＝BC,∴AD＝DC. ∵OA＝OB,∴OD∥BC, ∵DE⊥BC,OD⊥DE, ∴直线DE是⊙O的切线.

(2)作DH⊥AB,垂足为H,则∠EDH+∠E＝90°, 又∵DE⊥OD,

∴∠ODH+∠EDH＝90°,∴∠E＝∠ODH, ∵AD＝DC,AC＝8,∴AD＝4. 在Rt△ADB中,BD?AB2?AD2?52?42?3,

12, 5由三角形面积公式得:AB·DH＝DB·DA,即5DH＝4×3,解得DH?1224在Rt△ODH中,cos∠ODH＝5＝,

2.525∴cosE＝

24. 25- 47 -

103. （2009年常德市）如图，△ABC内接于⊙O，AD是△ABC的边BC上的高，AE是⊙O 的直径，连接BE，△ABE与△ADC相似吗？请证明你的结论．

【关键词】圆 【答案】

△ABE 与△ADC相似．理由如下： 在△ABE与△ADC中

∵AE是⊙O的直径， ∴∠ABE＝90， ∵AD是△ABC的边BC上的高， ∴∠ADC＝90， ∴∠ABE＝∠ADC．

又∵同弧所对的圆周角相等， ∴∠BEA＝∠DCA． ∴△ABE ～△ADC．

104.如图，A、P、B、C是⊙O上的四点，∠APC ＝∠BPC ＝ 60?，AB与PC交于Q点． （1）判断△ABC的形状，并证明你的结论； （2）求证：

o

o

APAQ?； PBQB（3）若∠ABP ＝ 15?，△ABC的面积为43，求PC的长．

- 48 -

解:

（1） 证明:∵ ∠ABC ＝∠APC ＝ 60?，∠BAC ＝∠BPC ＝ 60?，

∴ ∠ACB ＝ 180?－∠ABC－∠BAC ＝ 60?， ∴ △ABC是等边三角形．

（2）如图，过B作BD∥PA交PC于D，则 ∠BDP ＝∠APC ＝ 60?．

又 ∵ ∠AQP ＝∠BQD， ∴ △AQP∽△BQD，

AQAP?． QBBD∵ ∠BPD ＝∠BDP ＝ 60?， ∴ PB ＝ BD． ∴

AQAP?． QBPB（3）设正△ABC的高为h，则 h ＝ BC· sin 60?． ∵

1BC · h ＝ 43， 21BC · BC· sin 60? ＝ 43， 2 即

解得BC ＝ 4．

连接OB，OC，OP，作OE⊥BC于E．

由△ABC是正三角形知∠BOC ＝ 120?，从而得∠OCE ＝ 30?，

- 49 -

∴ OC?CE4． ?cos30?3

由∠ABP ＝ 15? 得 ∠PBC ＝∠ABC +∠ABP ＝ 75?，于是 ∠POC ＝ 2∠PBC ＝ 150?． ∴ ∠PCO ＝（180?－150?）÷2 ＝ 15?．

如图，作等腰直角△RMN，在直角边RM上取点G，使∠GNM ＝ 15?，则∠RNG ＝ 30?，作GH⊥RN，垂足为H．设GH ＝ 1，则 cos∠GNM ＝ cos15? ＝ MN． ∵ 在Rt△GHN中，NH ＝ GN · cos30?，GH ＝ GN · sin30?． 于是 RH ＝ GH，MN ＝ RN · sin45?，∴ cos15? ＝

2?6． 426． 3在图中，作OF⊥PC于E，∴ PC ＝ 2FD ＝ 2 OC ·cos15? ＝22?

105.(2009年福建省泉州市)已知：直线y＝kx(k≠0)经过点（3，-4）.

(1)求k的值；

(2)将该直线向上平移m（m＞0）个单位，若平移后得到的直线与半径为6的⊙O相离（点O为坐标原点）,试求m的取值范围.

【关键词】直线与⊙O相离

【答案】解：（1）依题意得：-4＝3k，∴k＝?4 34x+m(m＞0) 3（2）由（1）及题意知，平移后得到的直线l所对应的函数关系式为y＝?设直线l与x轴、y轴分别交于点A、B，（如图所示）

- 50 -

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/mx45.html