微分几何试题库（填空题）

微分几何试题库 填空题

一．填空题

1．向量函数r?r(t)对任意t有r'(t)? r(t)的充要条件是 。 2．向量函数

r?r(t)具有固定长，则r'(t)?r(t)= 。

3．向量r?{cost,sint,?et}具有固定长，则?= 。 4． 函数r(t)关于t的旋转速度等于其微商的模|r'(t)|。 5．非零向量r(t)对任意是 。

6．向量r?{t,3t,a}具有固定方向，则a = 。

7．非零向量r(t)平行于固定平面的充要条件是 。 8．非零向量

t

有则r't()?r(t)=0的充要条件

r(t)满足(r,r'?r,'其充要条件是，

r(t) 。

9．非零向量函数

r?r(t)具有固定方向，则r'(t)?r(t)= 。

10．对光滑曲线r?r(t)，它上面使 的点叫做它的正常点。 11．曲线r?r(t)的点都是 时，称该曲线为正则曲线。

12．曲线r?r(t)的切向量r'(t)的正向与曲线的 方向是一致的。

13．向量函数r?a?tb（其中a,b为常矢，b?0）表示的曲线是 。 14．圆柱螺线

r(t)?{acost,asint,bt}在

t =

?处的切向量3是 。

15．圆柱螺线 r(t)?{acost,asint,bt}在是 。

16．光滑曲线r?r(t)上从点r(a)到r?t?(t 0)的弧长?(t)= 。t =

?处的法面方程617．设曲线r?r(s)，s是曲线的自然参数，则|r'(s)|= 。 18．过空间曲线上一点P的切线和P的邻近一点Q作一平面? ，当点Q沿曲线趋于P时，平面?的极限位置平面?称为曲线在P点的 。

19．设曲线在P点的切向量为?，主法向量?，则过P由?，?确定的平面是曲线在

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P点的 平面。

20．设曲线r?r(t)上t?t0对应的是非逗留点，曲线在r(t0)点的密切平面的法向量可以取为 。

21．若r(t0)是曲线r?r(t)的非逗留点，则曲线r?r(t)在r(t0)点的密切平面方程是 。

22．螺旋线x=cost,y=cost,z=t上点（1，0，0）的密切平面方程是 。

23．P(s)是C类曲线(C)：r?r(s)上一点，（S为其自然参数），则的 向量。

24．已知曲线r?r(t)在P点的单位切向量为?，主法向量?，则曲线在P点的副法向量?= 。

25．过曲线r?r(t)上一点P，且与曲线在P点的切线垂直的平面叫曲线在P点的 面。

26．曲线(C) 在 P(s)的三个基本向量为?，?，?。则过P点由?和?确定的平面叫曲线在P点的 平面。

27．过空间曲线上一点P的切线且与曲线在P点的主法向量垂直的平面是曲线在P点的 面。

28．曲线r?r(t)在r(t0)点的单位切向量为?，则曲线在r(t0)点的法平面方程是 。

29．曲线r?r(t)在r(t0)点的主法向量?，则曲线在r(t0)点的从切面方程是 。

30．由曲线的三个基本向量和密切平面、法平面、从切面所构成的图形称为曲线的 。

31．曲线是直线的充要条件是曲线的曲率K= 。

32．曲线r?r(t)的导矢r'(t) ，则该曲线是直线。 33．挠率是零的曲线一定是 曲线。

34．已知a,b是非零常向量，则曲线r?a?tb的曲率k= 。 35．在空间，平面曲线的基本三棱形中 平面是固定的。 36．一曲线的挠率 ，则该曲线的密切平面固定。

37．一曲线的副法向量是常向量，则这曲线的挠率?= 。 38．一曲线的挠率?=0，则该曲线的基本向量中 是常向量。 39．半径为R的圆的曲率K= 。 40．半径为R的圆的挠率?= 。

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2r是曲线(C)在 P(s)|r|微分几何试题库 填空题

41．在曲线上一点附近，曲线穿过在该点的法平面和 平面，但从不穿过该点的 平面。

42．曲线的的主法向量?总是指向曲线 方向。 43．当曲线在一点的挠率? 时，曲线在该点附近是右旋曲线。 44．当曲线在一点的挠率? 时，曲线在该点附近是左旋曲线。

45．曲线r?r(t)在点r(t0)处挠率?(t0)=3，则r?r(t)在点r(t0)附近的形状是 的。

46．曲线r?r(t)在点r(t0)处挠率?(t0)=－2，则r?r(t)在点r(t0)附近的形状是 的。

47．曲线r?r(t)在点t=2处有?=3?，则曲线在t=2对应的点处曲率K= 。

48．曲线r?r(t)在点t=1处有?=2?，则曲线在t=1对应的点处其挠率?= 。 49．设kr是平面曲线的相对曲率，则在曲线向右转的地方kr 。 50．设kr是平面曲线的相对曲率，则在曲线向左转的地方kr 。 51．曲线y=f(x)的相对曲率的计算公式是kr= 。 52．抛物线y=x在任一点(x,y)处的相对曲率kr= 。 53．抛物线y=x在原点(0，0)处的相对曲率kr= 。 54．平面曲线在K?0的点处，其形状近似于 。

55．平面曲线在曲率K=0，K?0的点处，其形状近似于 。 56．平面曲线(C)的 称为平面曲线(C)的渐缩线。

57．若曲线(C) 是曲线（C）的渐缩线，则称（C）是曲线(C)的 。 58．平面曲线(C)的法线和它的渐缩线（C）在对应点 。 59．设曲线(C)的方程是r?r(s)，S为其弧长。?(s)为(C)的单位切向量。则

?

?

?

22r??r(s)?(c?s)? ，(s＜c＝ 表示的曲线是(C)的 。

60．曲线的切线与一固定方向成固定角的曲线称为 。 61．曲线的 与一固定方向作固定角，则该曲线是一般螺线。 62．一般螺线的主法线与一固定方向 。 63．主法线与一固定方向垂直的曲线是 。

64．曲线的副法线与一固定方向作成固定角，这样的曲线称为 。 65．如果一曲线是一般螺线，则它的副法线与一固定方向 。 66．如果一曲线的切向与一固定方向成固定角，则曲线的主法线与这一固定方向

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。

67．如果一曲线的切向与一固定方向成固定角，则曲线的副法线与这一固定方向 。

68．如果一曲线的主法线与一固定方向垂直，则这曲线的切向与这固定方向 。 69．如果一曲线的主法线与一固定方向垂直，则这曲线的副法线与这固定方向 。

70．如果一曲线的副法线与一固定方向成固定角，则这曲线的切向与 成固定角。

71．曲线?的副法向量??1{sint,cost,1}，则曲线?一定是 线。 272．如果一曲线的副法线与一固定方向成固定角，则这曲线的主法线与这固定方向 。

? 。 ?? 74．如果一曲线的切向与一固定方向成固定角，则这曲线的曲率与挠率之比

?73．如果曲线是一般螺线，则这曲线的曲率与挠率之比 。

75． 如果曲线的曲率与挠率之比

?是一常数，则这曲线是 。 ? 76．在曲面r?r(u,v)上，由 确定的曲线是曲面的v-曲线。 77．在曲面r?r(u,v)上，由v=常数确定的曲线是曲面的 。 78．圆柱面

r?{Rcos?,Rsin?,z}上?=常数确定的曲线是圆柱面上的 。

79．对于球面r?{Rcos?cos?,Rcos?sin?,Rsin?}， 曲线是球面上的等纬度的圆----纬圆。

80．球面r?{Rcos?cos?,Rcos?sin?,Rsin?}上， 曲线是球面上的过两极的半圆-----子午线。

81．在旋转曲面r?{?(t)cos?,?(t)sin?,?(t)}上， 线是旋转曲面的经线。

82．如果曲面方程r?r(u,v)中函数有 ，则称为K阶正则曲面或称为C类曲面。

83．如果经过曲面上每一点有唯一的一条u—曲线和唯一的一条v—曲线，而且这两族曲线彼此不相切，这样的两族曲线称为曲面上的 。 84．曲面r?r(u,v)上使 的点叫做曲面上的正常点。 85．曲面r?r(u,v)在正常点r(u0,v0)处的切平面方程是 。

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k

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86．对于曲面r?r(u,v)上的正常点r(u0,v0)，过该点的法线方程是 。

87．曲面r?{x,y,z(x,y)}在点（x0,y0）处的切平面的方程是 。

88．对于曲面r?r(u,v)，方程??r(u,v)??(ru?rv) （?为参数）表示曲面在正常点P(u,v)的 线。

89．曲面z=z(x,y)在(x0,y0,z0)点的法线方程是 。 90．曲面r?r(u,v)上的曲线u=u(t),v=v(t) 在A(t0)与B(t)之间的弧长S= 。

91．平面的第一基本形式是I = 。

92．曲面r?r(u,v)上两方向du:dv与?u:?v垂直的条件用第一基本量表示是 。 93．设曲面上两坐标曲线的交角为?，则用曲面的第一基本量表示cos?= 。 94．曲面的坐标网为正交网的充分必要条件是 。

95．已知曲面的第一基本量??2du2?(u2?4)dv2 ，则曲面的曲纹坐标网一定是 。

96．已知曲面r?r(u,v)有dr?4du?4dudv?3dv ，则曲面的第一类基本量E、F、G 分别是 。

97．已知曲面r?r(u,v)有dr?4du?3dv，则曲面上任意曲线的弧长平方

222222ds2= 。

98．已知曲面r?r(u,v)有dr?4du?3dv，则曲面上曲线u=u(t), v=v(t)从t0到t的弧长s= 。

99．设曲面r?r(u,v)上一块曲面D，其在(u,v)平面上对应的区域为D ,则曲面域D 的面积用第一基本量可表示为 。 100．已知一族曲线，则与其正交的另一族曲线叫做这族曲线的 。 101．已知曲面S: r?r(u,v)上的一族曲线Adu+Bdv=0， S的第一基本量是E，F，G，则这族曲线的正交轨线的微分方程是 。

102．曲面之间的一个变换，如果它保持曲面上任一曲线的长度不变，则这个变换称为 。 103．两个曲面之间的一个变换是 的充要条件是经过适当参数选择以后，它们具有相同的第一基本形式。

104．曲面上可以仅仅用第一基本量E,F,G 表示出来的几何量称为曲面

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222

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的 。

105．曲面之间的一个变换，如果使两曲面间对应曲线的交角相等，则这个变换称为 。

106．两个曲面之间的一个变换是保角变换的充要条件是 。

107．曲面r?r(u,v)的第二类基本量L,M,N分别等于 。 108．曲面r?r(u,v)在（0，1）处有nu?ru?1，nu?rv?0,nv?rv?3 ，则在（0，1）处L,M,N分别等于 。

109．曲面r?r(s,t)的第二类基本形式II= 。 110．若曲面r?r(u,v)在（0，1）处的第二基本形式是????du?3dv，则在（0，1）点的处，ru?nu? 。

111．曲面r?r(u,v)的第二类基本量L=ruu?n，其中n= 。

22(u,v)的第二类基本量M= ，其中 112．曲面r?rn= 。

113．设n是曲面r?r(u,v)的单位法向量，当曲面在给定点向n的 弯曲时，曲面的第二基本形式II ＞0。

114．设n是曲面r?r(u,v)的单位法向量，当曲面在给定点向n的 弯曲时，曲面的第二基本形式II ＜0。

115．曲面r?r(s,t)在点(s,t)的单位法向量n= 。

116．设曲面在P点的单位法向量为n，曲面在P点切向量为dr，则过P且由n和dr确定的平面叫作曲面在P点的 。

117．曲面S在P点的沿方向(d)的法截面与曲面的交线叫做曲面在P点沿方向(d)的 。

118．半径为R的球面在任一点沿方向dr的法截线是 。

119．半径为R的球面在任一点沿任一方向dr的法曲率kn= 。 120．曲面S在P点沿方向（d）的法截线的曲率为k0，则曲面S在P点沿方向（d）的法曲率kn= 。

121．平面在每一点沿方向dr的法截线是 。 122．平面在每一点沿方向dr的法曲率kn= 。

123．曲面在给定点沿一方向的法曲率为kn，当沿这方向的法截线朝曲面法向量n的

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弯曲时kn＞0。

124．曲面在给定点沿一方向的法曲率为kn，当沿这方向的法截线朝曲面法向量n的 弯曲时，kn ＜0。

125．在曲面S: r?r(u,v)上P点处，取{P;ru,rv}为坐标系，则S在P点的杜邦指标线的方程为 。

126．在曲面S: r?r(u,v)上P点处，取{P;ru,rv}为坐标系，当曲面向法向量n的正侧弯曲时，S在P点的杜邦指标线的方程为 。 127．曲面上渐近曲线的微分方程是 。

128．设曲面r?r(u,v)上P点处的第二基本量是L,M,N，则P点的一个方向du:dv是渐近方向的充分必要条件是 。

129．曲面上在点P处使kn 的方向称为曲面在P点的渐近方向。 130．曲面上的曲线，如果它上面每一点的切方向 则称该曲线为曲面上的渐近曲线。

131．沿曲面上的曲线( C)有II = 0 , 则曲线( C)是曲面上的 。

132．曲面上的曲纹坐标网是渐近网的充分必要条件是 。 133．曲面上的曲纹坐标网是 网的充分必要条件为L = N = 0 。

134．若在曲面上r?r(u,v)有L = N = 0，则曲面的坐标曲线是 线。 135．曲面上非直线的曲线是渐近线的充分必要条件为曲线的主法线垂直于曲面上同一点的 。

136．如果沿曲面上一曲线每一点处的密切平面是曲面在那点处的切平面，则这曲线一定是曲面的 。

137．如果沿曲面上一曲线每一点，曲线的副法向量平行于曲面的法向量，则这曲线一定是曲面的 。

138．如果曲面S在它上面的曲线?的每一点处的法线垂直于曲线?在同一点的主法线，则曲线?一定是曲面S的 。

139．对于曲面S在P点的方向dr，如果存在?r与dr既正交又共轭，则称dr为曲面S在P点的 方向。

140．如果曲面S在P点的两个方向dr与?r既正交又 ，则称这两个方向为曲面S在P点的两个主方向。

141．曲面S在P点的两个方向dr与?r，如果有dn??r?0,dr??r?0，则dr与?r叫做曲面S在P点的 。

142．曲面S在P点的两个方向dr与?r是曲面在P点的杜邦指标线的一对共轭直径的方向，则称dr与?r是曲面在P点的 。

143．曲面S在P点的第一类基本量为E、F、G，第二类基本量为L、M、N。则曲面S在P点的方向du:dv是主方向的充分必要条件 。

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144．曲面S在P点的第二类基本量为L0,M0,N0 ，则dr=du:dv和?r=?u:?v是曲面在P点的一对共轭方向的充要条件是 。

145．曲面S在P点的两个方向dr与?r，如果有dn??r?0,则两个方向dr与

?r 。

146．曲面S在P点的两个方向dr与?r，如果 ，则称dr与?r是曲面S在P点的一对共轭方向。

147．曲面S在P点的单位法向量为n，则在P点的一个切向dr是主方向的充分必要条件是 。

148设曲面S在P点的单位法向量为n，若曲面在P点的一个方向dr满足dn??dr，则dr一定是曲面在P点的 。

149．若曲面在P点的一个方向dr是主方向，则dn??dr，其中n是曲面在P点的单位法向量，?= 。

150．曲面上一曲线，如果它的每一点处的切方向是主方向，则称其为 。 151．曲面上一曲线，如果它的每一点处的切方向是 ，则称其为曲率线。 152．给定曲面S：r?r(u,v)，则曲面上曲率线的微分方程为 。 153．在曲面上给定一族曲线Adu+Bdv=0，则曲面上与其共轭的曲线族的微分方程是 。

154．曲面上的曲纹坐标网是 的充分必要条件是F=M=0。

155．曲面上取曲率网为曲纹坐标网，则它的法曲率公式可简化为kn= 。 156．曲面上取曲率网为曲纹坐标网，则沿u-线的方向对应的主曲率为K1= 。 157．曲面上取曲率网为曲纹坐标网，则v-线的方向对应的主曲率为K2= 。 158．曲面上 一点用主曲率

?1,?2表示法曲率的欧拉公式是

kn= 。

159．在欧拉公式中kn=k1cos2??k2sin2?中，?是 。 160．曲面上一（非脐）点的主曲率是曲面在这点的所有法曲率中的 。 161．主曲率KN是方程 的解。

162．设K1,K2为曲面在一点的两个主曲率，则K1,K2的乘积叫曲面在这点的 。

163．设K1,K2为曲面在一点的两个主曲率，则其平均数的 。

164．半径为R的球面的高斯曲率K= 。 165．半径为R的球面的平均曲率H= 。

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1(K1?K2)叫曲面在这点2微分几何试题库 填空题

166．曲面的球面表示的第?基本形式叫做原曲面的 。

167．n?n(u,v)是曲面上任一点P（u,v）处的单位法向量，则曲面的第三基本形式是

III= 。

168．曲面的三个基本形式与高斯曲率K和平均曲率H之间的关系为 。 169．直纹面的参数表示总可以写成r= 。 170．直纹面的参数表示=a(u)?vb(u)中， 叫直纹面的导线。 171．在直纹面上总有高斯曲率K 。 172．在可展曲面上总有高斯曲率K 。

173．在直纹面r=a(u)?vb(u)上，导线a(u)是腰曲线的充要条件是 。 174．在直纹面r=a(u)?vb(u)上，过a(u)点的直母线上腰点的向径表达式是r= 。

175．直纹面r=a(u)?vb(u)是可展曲面的充要条件是 。

176．每一个可展曲面或是锥面或是柱面或是 。 177．一个曲面为可展曲面的充要条件是此曲面为 。

178．一个曲面为可展曲面的充要条件是它的高斯曲率 。

179．曲面上的曲线是曲率线的充要条件是 组成一可展曲面。 180．曲面上的曲线是 的充要条件是沿此曲线的曲面的法线组成一可展曲面。

181．曲线（C）在P点的曲率向量r?k?在?上的投影称为曲线（C）在P点的测地曲率，其中?= 。

182．曲线（C）在P点的曲率向量r?k?在（S于）P点的切平面?上的投影称为 。 183．曲面上曲线（C）在P点的 在??n??的投影称为曲线（C）在P点的测地曲率。

184．曲面上曲线（C）在P点的曲率为k，副法向量为?，曲面在P点的单位法向量为n，则k?在n上的射影是曲线（C）在P点的 。

185．曲面上曲线（C）在P点的曲率为k，副法向量为?，曲面在P点的单位法向量为n，（C）在P点的主法向量

?与n的夹角为?，则曲线（C）在P点的测地曲率

kg= 。

186．曲面上曲线（C）在同一点P的曲率k，法曲率kn，测地曲率kg之间的关系

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是 。

187．曲面上曲线（C）在一点P 的曲率k=2，测地曲率kg=1，则曲面在P点沿（C）的切向的法曲率kn= 。 188．在正交坐标网下，测地曲率kg=

d?- + ds1?lnGsin? 。

2E?u 189．在正交坐标网下，u—线 的测地曲率kgu= 。 190．在正交坐标网下，v—线 的测地曲率kgv= 。

191．曲面S上曲线（C）在P点的测地曲率的绝对值等于曲线（C）在P点的 曲率。

192．曲面上的一条曲线，如果 ，则称为测地线。 193．曲面上非直线的曲线是测地线的充分必要条件是，除曲率为零的点外，曲线的主法线 。

194．曲面上的非直线的曲线是 ，则除曲率为零的点外，曲线的主法线重合于曲面的法线。

195．曲面上的非直线的曲线，如果除曲率为零的点外，曲线的主法线重合于曲面的法线，则该曲线一定是 。

196．曲面上的一个坐标网，其中一族是测地线，另一族是 ，则这个坐标网称为半测地坐标网。

197．曲面上的半测地坐标网是平面上 在曲面上的推广。

198．在充分小的领域内，连接曲面上两点P，Q的测地线是曲面上 的曲线。 199．高斯—泼涅公式中 200．高斯—泼涅公式中

??kd???kds??(???)= 。

giG?Gi?1k??kd???kds? =2?。

gG?G 201．如果?G是光滑闭曲线，则高斯—泼涅公式是 =2?。 202．如果?G是由测地线组成，则 =2?。 203．如果?G是测地三角形组成，则

??kd??s(?)??。其中s???表示

G 。

204．在球面上， 是测地线。 205．在球面上， 是曲率线。 206．在圆柱面上， 是曲率线。 207．在圆柱面上， 是测地线。

208．在旋转曲面上， 一定是曲率线。 209．在旋转曲面上， 一定是测地线。

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210．在正螺面上， 是曲面的渐近线。

211．在可展曲面上，测地三角形的三内角之和 。 212．在球面上，测地三角形的三内角之和 。

213．在高斯曲率为负常数的曲面上，测地三角形的三内角之和 。 214．曲面r?r(u,v)的坐标网是正交网，则曲面的第一基本形式可以写成 。

215．曲面r?r(u,v)的坐标网是共轭网，则曲面的第二基本形式可以写成 。

216．曲面r?r(u,v)的坐标网是半测地坐标网，则曲面的第一基本形式可以写成 。 217．设曲面在点M处的单位法向量是n，曲面在点M处的向量a沿曲面上的曲线（C）移动到邻近点M的绝对微分为Da，则Da?n= 。

218．曲面上曲线（C）是 的充要条件为（C）的单位切向量在勒维—其维塔平行移动的意义下沿（C）是互相平行的。

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210．在正螺面上， 是曲面的渐近线。

211．在可展曲面上，测地三角形的三内角之和 。 212．在球面上，测地三角形的三内角之和 。

213．在高斯曲率为负常数的曲面上，测地三角形的三内角之和 。 214．曲面r?r(u,v)的坐标网是正交网，则曲面的第一基本形式可以写成 。

215．曲面r?r(u,v)的坐标网是共轭网，则曲面的第二基本形式可以写成 。

216．曲面r?r(u,v)的坐标网是半测地坐标网，则曲面的第一基本形式可以写成 。 217．设曲面在点M处的单位法向量是n，曲面在点M处的向量a沿曲面上的曲线（C）移动到邻近点M的绝对微分为Da，则Da?n= 。

218．曲面上曲线（C）是 的充要条件为（C）的单位切向量在勒维—其维塔平行移动的意义下沿（C）是互相平行的。

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