东城区2013-2014学年第一学期期末教学统一检测 高三数学理科 试题及答案(word)
更新时间:2023-03-19 21:38:01 阅读量: 人文社科 文档下载
东城区2013-2014学年第一学期期末教学统一检测
高三数学 (理科)
学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷共5页,共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分(选择题 共40分)
一、选择题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目
要求的一项。
(1)已知集合A {x|0 x 2},B {x|(x 1)(x 1) 0},则A B
(A)(0,1) (B) (1,2)
(C)( , 1) (0, ) (D) ( , 1) (1, ) (2)在复平面内,复数
2 i
的对应点位于 i
(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限
(3)设a R,则“a 1”是“直线ax y 1 0与直线x ay 5 0平行”的
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
(4)执行右图所示的程序框图,输出的a的值为
(A)3 (B)5 (C)7 (D)9
(5)在△ABC中,a 15,b 10,A 60,则cosB
1(A) (B
3(C
(D
(6)已知直线y kx 3与圆(x 2)2 (y 3)2 4相交于M,N两点,
若MN 则k的取值范围为 (A
)[11 (B)[ ,]
33 (C)
( , (D
) ) (7)在直角梯形ABCD中, A 90 , B 30
,AB BC 2,点E在线段CD
上,若AE AD AB,则 的取值范围是
(A)[0,1] (B
) (C)[0, (D)[,2]
1212
a,a b, x 2,
(8)定义max{a,b} 设实数x,y满足约束条件 则
b,a b, y 2,
z max{4x y,3x y} 的取值范围是
(A)[ 6,10]
(B)[ 7,10] (C)[ 6,8] (D)[ 7,8]
第二部分(非选择题 共110分)
二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。
(9)若函数f(x)为奇函数,当x 0时,f(x) x x,则f( 2)的值为 . (10)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体
的体积为 .
2
2
(主视图)
(侧视图)
(俯视图)
(11)若点P(4,4)为抛物线y 2px上一点,则抛物线焦点坐标为P到抛
物线的准线的距离为 .
(12)函数y .
1
(13)如图,已知点A(0,),点P(x0,y0)(x0 0)
4
上,若阴影部分面积与△OAP面积相等时,则x0
(14)设等差数列 an 满足:公差d N,an N*,且 an 中任意两项之和也是该数列
*
中的一项. 若a1 1,则d ; 若a1 25,则d的所有可能取值之和为
三、解答题共6小题,共80分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 (15)(本小题共13分)
已知函数f(x) xcosx 2sin2x 1. (Ⅰ)求f(
)的值; 12
2
(Ⅱ)求f(x)在区间[0,]上的最大值和最小值.
(16)(本小题共13分)
已知 an 是一个公差大于0的等差数列,且满足a3a5 45, a2 a6 14. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)若数列 bn 满足:
(17)(本小题共14分)
如图,在三棱柱ABC A1B1C1中,B1B 平面A1B1C1AC CB CC1 2
,
bb1b2
2 n an 1(n N*),求数列{bn}的前n项和. 222n
ACB 90 , D,E分别是A1B1,CC1的中点.
(Ⅰ)求证:C1D∥平面A1BE;
(Ⅱ)求证:平面A1BE 平面AA1B1B; (Ⅲ)求直线BC1与平面A1BE所成角的正弦值.
(18)(本小题共13分)
已知a R,函数f(x) lnx
1
ax. x
(Ⅰ)当a 0时,求f(x)的最小值;
(Ⅱ)若f(x)在区间[2, )上是单调函数,求a的取值范围.
(19)(本小题共13分)
x2y2
已知椭圆2 2 1(a b 0)上的点到其两焦点距离之和为4,且过点(0,1).
ab
(Ⅰ)求椭圆方程;
(Ⅱ)O为坐标原点,斜率为k的直线过椭圆的右焦点,且与椭圆交于点A(x1,y1),
B(x2,y2),若
x1x2y1y2
2 0,求△AOB的面积. 2ab
(20)本小题共14分)
an an 2
an 1
若无穷数列{an}满足:①对任意n N*,;②存在常数M,对任2
意n N*,an M,则称数列{an}为“T数列”.
(Ⅰ)若数列{an}的通项为an 8 2n(n N*),证明:数列{an}为“T数列”; (Ⅱ)若数列{an}的各项均为正整数,且数列{an}为“T数列”,证明:对任意n N*,
an an 1;
(Ⅲ)若数列{an}的各项均为正整数,且数列{an}为“T数列”,证明:存在 n0 N*,数列{an0 n}为等差数列.
东城区2013-2014学年第一学期期末教学统一检测
高三数学参考答案及评分标准 (理科)
一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分)
(1)C (2)D (3)A (4)C (5)C (6)A (7)C (8)B 二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分)
(9) 6 (10)
3
(11) (1,0) ,5 2
(12
(13
)三、解答题(共6小题,共80分) (15)(共13分)
(14)1,63 4
解:
(Ⅰ)由f(x) xcosx 2sin2x
1
xcosx cos2x,
得f(x) 2sin(2x 所以f(
).
6
) 2sin 8分 123
, 2
(Ⅱ)因为0 x
所以
2x . 666
,即x 时, 626
2
当2x
函数f(x)在区间[0,]上的最大值为2. 当2x
,即x 时, 662
2
函数f(x)在[0,]上的最小值为 1. 13分
(16)(共13分)
解:(Ⅰ)设等差数列 an 的公差为d,则依题设d 0. 由a2 a6 14,可得a4 7.
由a3a5 45,得(7 d)(7 d) 45,可得d 2. 所以a1 7 3d 1.
可得an 2n 1. 6分 (Ⅱ)设cn
bn
,则c1 c2 cn an 1. 2n
即c1 c2 cn 2n,
可得c1 2,且c1 c2 cn cn 1 2(n 1). 所以cn 1 2,可知cn 2(n N*). 所以bn 2n 1,
所以数列 bn 是首项为4,公比为2的等比数列.
4(1 2n)
2n 2 4. 13分 所以前n项和Sn
1 2
(17)(共14分)
M,可知M为DF中点, 证明:(Ⅰ)取AB的中点F,连结DF,交A1B于点
连结EM,易知四边形C1DME为平行四边形, 所以C1D∥EM.
又C1D 平面A1BE,EM 平面A1BE,
所以C1D∥平面A1BE. 4分 证明:(Ⅱ)因为AC1B1的中点, 11 C1B1,且D是A
所以C1D A1B1.
因为BB1 平面A1B1C1,所以BB1 C1D. 所以C1D 平面AA1B1B.
又C1D∥EM,所以EM 平面AA1B1B.
又EM 平面A1BE,
所以平面A1BE 平面AA1B1B. 9分 解:(Ⅲ)如图建立空间直角坐标系C xyz,
则B(0,2,0),C1(0,0,2), E(0,0,1),A1(2,0,2).
BC1 (0 , 2,,EA2)1 (2,0,1),EB (0,2, 1).
设平面A1BE的法向量为n (x,y,z).
EA1 n 0,则 EB n 0.
所以
2x z 0,
2y z 0.
令x 1. 则n (1, 1, 2).
设向量n与BC1的夹角为 ,
BC1 n则cos BC1n
所以直线BC1与平面A1BE
(18)(共13分)
解:(Ⅰ)当a 0时,f(x) lnx
14分 1
(x 0), x
f'(x)
11x 1 2. xx2x
所以,当0 x 1时,f'(x) 0;当x 1时,f'(x) 0. 所以,当x 1时,函数有最小值f(1) 1. 6分
11ax2 x 1
(Ⅱ)f'(x) 2 a .
xxx2
当a 0时,ax2 x 1在x [2, )上恒大于零,即f (x) 0,符合要求. 当a 0时,要使f(x)在区间[2, )上是单调函数,
当且仅当x [2, )时,ax x 1 0恒成立.
2
1 x
恒成立. 2x
1 x
设g(x) 2,
xx 2
则g'(x) ,
x3
即a
又x [2, ),所以g'(x) 0,即g(x)在区间[2, )上为增函数, g(x)的最小值为g(2)
11,所以a . 441
综上, a的取值范围是a ,或a 0. 13分
4
(19)(共13分)
解(Ⅰ)依题意有a 2, b 1.
x2
y2 1. 5分 故椭圆方程为4
(Ⅱ)因为直线AB
过右焦点,设直线AB的方程为
y k(x.
x22
y 1,
联立方程组 4
y k(x
消去y
并整理得(4k2 1)x2 2x 12k2 4 0. (*)
12k2 42
故x1 x2 ,x1x2 .
4k2 14k2 1
y1y2 k(x k)x( k2
. 2
4k 1
x1x2y1y2x1x2
0 y1y2 0. ,即2 又a2
b4
3k2 1 k21
所以2. 2 0,可得k2 ,即
k
24k 14k 12
方程(*
)可化为3x2 2 0,
由AB 1 x2,可得AB 2.
原点O到直线AB
的距离d 所以S AOB
1.
1
AB d 1. 13分 2
(20)(共14分)
(Ⅰ)证明:由an 8 2n,可得an 2 8 2n 2,an 1 8 2n 1,
所以an an 2 2an 1 8 2n 8 2n 2 2(8 2n 1) 2n 0,
an an 2
an 1
所以对任意n N*,. 2
又数列{an}为递减数列,所以对任意n N*,an a1 6. 所以数列{an}为“T数列”. 5分
(Ⅱ)证明:假设存在正整数k,使得ak ak 1.
由数列{an}的各项均为正整数,可得ak ak 1 1.
ak ak 2
ak 1
由,可得ak 2 2ak 1 ak 2(ak 1) ak ak 2. 2
且ak 2 2ak 1 ak 2ak 1 ak 1 ak 1. 同理ak 3 ak 1 2 ak 3,
依此类推,可得,对任意n N*,有ak n ak n. 因为ak为正整数,设ak m,则m N*. 在ak n ak n中,设n m,则ak n 0.
与数列{an}的各项均为正整数矛盾.
所以,对任意n N*,an an 1. 10分
(Ⅲ)因为数列{an}为“T数列”,
所以,存在常数M,对任意n N*,an M. 设M N*.
由(Ⅱ)可知,对任意n N*,an an 1,
则a1 a2 a3 an an 1 .
若an an 1,则an 1 an 0;若an an 1,则an 1 an 1. 而n 2时,有an a1 (a2 a1) (a3 a2) (an an 1).
所以a1,a2 a1,a3 a2, ,an an 1, ,中最多有M个大于或等于1, 否则与an M矛盾.
所以,存在n0 N*,对任意的n n0,有an an 1 0. 所以,对任意n N*,an0 n 1 an0 n 0 .
所以,存在 n0 N*,数列{an0 n}为等差数列. 14分
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