东城区2013-2014学年第一学期期末教学统一检测 高三数学理科 试题及答案(word)

东城区2013-2014学年第一学期期末教学统一检测

高三数学 （理科）

学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷共5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目

要求的一项。

（1）已知集合A {x|0 x 2}，B {x|(x 1)(x 1) 0}，则A B

（A）(0,1) （B） (1,2)

（C）( , 1) (0, ) （D） ( , 1) (1, ) （2）在复平面内，复数

2 i

的对应点位于 i

（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限

（3）设a R，则“a 1”是“直线ax y 1 0与直线x ay 5 0平行”的

（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件

（4）执行右图所示的程序框图，输出的a的值为

（A）3 （B）5 （C）7 （D）9

（5）在△ABC中，a 15，b 10，A 60，则cosB

1（A） （B

3（C

（D

（6）已知直线y kx 3与圆(x 2)2 (y 3)2 4相交于M，N两点，

若MN 则k的取值范围为 （A

）[11 （B）[ ,]

33 （C）

( , （D

） ) （7）在直角梯形ABCD中， A 90 ， B 30

，AB BC 2，点E在线段CD

上，若AE AD AB，则 的取值范围是

（A）[0,1] （B

） （C）[0, （D）[,2]

1212

a,a b, x 2,

（8）定义max{a,b} 设实数x,y满足约束条件 则

b,a b, y 2,

z max{4x y,3x y} 的取值范围是

（A）[ 6,10]

（B）[ 7,10] （C）[ 6,8] （D）[ 7,8]

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）若函数f(x)为奇函数，当x 0时，f(x) x x，则f( 2)的值为 ． （10）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体

的体积为 ．

2

2

（主视图）

（侧视图）

（俯视图）

（11）若点P(4,4)为抛物线y 2px上一点，则抛物线焦点坐标为P到抛

物线的准线的距离为 ．

（12）函数y ．

1

（13）如图，已知点A(0,),点P(x0,y0)(x0 0)

4

上，若阴影部分面积与△OAP面积相等时，则x0

（14）设等差数列 an 满足：公差d N，an N*，且 an 中任意两项之和也是该数列

*

中的一项. 若a1 1，则d ； 若a1 25，则d的所有可能取值之和为

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （15）（本小题共13分）

已知函数f(x) xcosx 2sin2x 1． （Ⅰ）求f(

)的值； 12

2

（Ⅱ）求f(x)在区间[0,]上的最大值和最小值．

（16）（本小题共13分）

已知 an 是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a5 45, a2 a6 14. （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）若数列 bn 满足：

（17）（本小题共14分）

如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，B1B 平面A1B1C1AC CB CC1 2

，

bb1b2

2 n an 1(n N*)，求数列{bn}的前n项和. 222n

ACB 90 ， D，E分别是A1B1，CC1的中点．

（Ⅰ）求证：C1D∥平面A1BE；

（Ⅱ）求证：平面A1BE 平面AA1B1B； （Ⅲ）求直线BC1与平面A1BE所成角的正弦值．

（18）（本小题共13分）

已知a R，函数f(x) lnx

1

ax． x

（Ⅰ）当a 0时，求f(x)的最小值；

（Ⅱ）若f(x)在区间[2, )上是单调函数，求a的取值范围．

（19）（本小题共13分）

x2y2

已知椭圆2 2 1(a b 0)上的点到其两焦点距离之和为4，且过点(0,1)．

ab

（Ⅰ）求椭圆方程；

（Ⅱ）O为坐标原点，斜率为k的直线过椭圆的右焦点，且与椭圆交于点A(x1,y1)，

B(x2,y2)，若

x1x2y1y2

2 0，求△AOB的面积. 2ab

（20）本小题共14分）

an an 2

an 1

若无穷数列{an}满足：①对任意n N*，；②存在常数M，对任2

意n N*，an M，则称数列{an}为“T数列”.

（Ⅰ）若数列{an}的通项为an 8 2n(n N*)，证明：数列{an}为“T数列”； （Ⅱ）若数列{an}的各项均为正整数，且数列{an}为“T数列”，证明：对任意n N*，

an an 1；

（Ⅲ）若数列{an}的各项均为正整数，且数列{an}为“T数列”，证明：存在 n0 N*，数列{an0 n}为等差数列.

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高三数学参考答案及评分标准 （理科）

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）

（1）C （2）D （3）A （4）C （5）C （6）A （7）C （8）B 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）

（9） 6 （10）

3

（11） (1,0) ，5 2

（12

（13

）三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分）

（14）1,63 4

解：

（Ⅰ）由f(x) xcosx 2sin2x

1

xcosx cos2x，

得f(x) 2sin(2x 所以f(

)．

6

) 2sin 8分 123

， 2

（Ⅱ）因为0 x

所以

2x ． 666

，即x 时， 626

2

当2x

函数f(x)在区间[0,]上的最大值为2． 当2x

，即x 时， 662

2

函数f(x)在[0,]上的最小值为 1． 13分

（16）（共13分）

解：（Ⅰ）设等差数列 an 的公差为d，则依题设d 0． 由a2 a6 14,可得a4 7．

由a3a5 45，得(7 d)(7 d) 45，可得d 2． 所以a1 7 3d 1．

可得an 2n 1． 6分 （Ⅱ）设cn

bn

，则c1 c2 cn an 1. 2n

即c1 c2 cn 2n，

可得c1 2，且c1 c2 cn cn 1 2(n 1)． 所以cn 1 2，可知cn 2(n N*)． 所以bn 2n 1，

所以数列 bn 是首项为4，公比为2的等比数列．

4(1 2n)

2n 2 4． 13分 所以前n项和Sn

1 2

（17）（共14分）

M，可知M为DF中点， 证明：（Ⅰ）取AB的中点F，连结DF，交A1B于点

连结EM，易知四边形C1DME为平行四边形， 所以C1D∥EM．

又C1D 平面A1BE，EM 平面A1BE，

所以C1D∥平面A1BE． 4分 证明：（Ⅱ）因为AC1B1的中点， 11 C1B1，且D是A

所以C1D A1B1．

因为BB1 平面A1B1C1，所以BB1 C1D． 所以C1D 平面AA1B1B．

又C1D∥EM，所以EM 平面AA1B1B．

又EM 平面A1BE，

所以平面A1BE 平面AA1B1B． ９分 解：（Ⅲ）如图建立空间直角坐标系C xyz，

则B(0,2,0)，C1(0,0,2), E(0,0,1)，A1(2,0,2)．

BC1 (0 , 2，,EA2)1 (2,0,1)，EB (0,2, 1)．

设平面A1BE的法向量为n (x,y,z).

EA1 n 0,则 EB n 0.

所以

2x z 0,

2y z 0.

令x 1. 则n (1, 1, 2).

设向量n与BC1的夹角为 ，

BC1 n则cos BC1n

所以直线BC1与平面A1BE

（18）（共13分）

解：（Ⅰ）当a 0时，f(x) lnx

14分 1

（x 0）， x

f'(x)

11x 1 2． xx2x

所以，当0 x 1时，f'(x) 0；当x 1时，f'(x) 0． 所以，当x 1时，函数有最小值f(1) 1． ６分

11ax2 x 1

（Ⅱ）f'(x) 2 a ．

xxx2

当a 0时，ax2 x 1在x [2, )上恒大于零，即f (x) 0，符合要求． 当a 0时，要使f(x)在区间[2, )上是单调函数，

当且仅当x [2, )时，ax x 1 0恒成立．

2

1 x

恒成立． 2x

1 x

设g(x) 2，

xx 2

则g'(x) ，

x3

即a

又x [2, )，所以g'(x) 0，即g(x)在区间[2, )上为增函数， g(x)的最小值为g(2)

11，所以a ． 441

综上， a的取值范围是a ，或a 0． 13分

4

（19）（共13分）

解（Ⅰ）依题意有a 2， b 1．

x2

y2 1． ５分 故椭圆方程为4

（Ⅱ）因为直线AB

过右焦点，设直线AB的方程为

y k(x.

x22

y 1，

联立方程组 4

y k(x

消去y

并整理得(4k2 1)x2 2x 12k2 4 0． （*）

12k2 42

故x1 x2 ，x1x2 ．

4k2 14k2 1

y1y2 k(x k)x( k2

． 2

4k 1

x1x2y1y2x1x2

0 y1y2 0． ，即2 又a2

b4

3k2 1 k21

所以2． 2 0，可得k2 ，即

k

24k 14k 12

方程（*

）可化为3x2 2 0，

由AB 1 x2，可得AB 2．

原点O到直线AB

的距离d 所以S AOB

1.

1

AB d 1． 13分 2

（20）（共14分）

（Ⅰ）证明：由an 8 2n，可得an 2 8 2n 2，an 1 8 2n 1，

所以an an 2 2an 1 8 2n 8 2n 2 2(8 2n 1) 2n 0，

an an 2

an 1

所以对任意n N*，． 2

又数列{an}为递减数列，所以对任意n N*，an a1 6． 所以数列{an}为“T数列”． 5分

（Ⅱ）证明：假设存在正整数k，使得ak ak 1．

由数列{an}的各项均为正整数，可得ak ak 1 1．

ak ak 2

ak 1

由，可得ak 2 2ak 1 ak 2(ak 1) ak ak 2． 2

且ak 2 2ak 1 ak 2ak 1 ak 1 ak 1． 同理ak 3 ak 1 2 ak 3，

依此类推，可得，对任意n N*，有ak n ak n． 因为ak为正整数，设ak m，则m N*. 在ak n ak n中，设n m，则ak n 0．

与数列{an}的各项均为正整数矛盾．

所以，对任意n N*，an an 1. 10分

（Ⅲ）因为数列{an}为“T数列”，

所以，存在常数M，对任意n N*，an M． 设M N*．

由（Ⅱ）可知，对任意n N*，an an 1，

则a1 a2 a3 an an 1 ．

若an an 1，则an 1 an 0；若an an 1，则an 1 an 1． 而n 2时，有an a1 (a2 a1) (a3 a2) (an an 1)．

所以a1，a2 a1，a3 a2， ，an an 1， ，中最多有M个大于或等于1， 否则与an M矛盾．

所以，存在n0 N*，对任意的n n0，有an an 1 0． 所以，对任意n N*，an0 n 1 an0 n 0 ．

所以，存在 n0 N*，数列{an0 n}为等差数列. 14分

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