高考数学一轮复习第九章平面解析几何课时跟踪训练51双曲线文

课时跟踪训练(五十一) 双曲线

[基础巩固]

一、选择题

1．(2017·江西九江一模)若双曲线mx＋2y＝2的虚轴长为4，则该双曲线的焦距为( )

A．25 B.5 C．23 D.3 [解析] 双曲线方程为y－

2

2

2

21

＝1，∴－＝4，∴m＝－，双曲线的焦距为25，故2m2－

x2

m选A.

[答案] A

x22

2．(2017·全国卷Ⅱ)若a>1，则双曲线2－y＝1的离心率的取值范围是( )

aA．(2，＋∞) C．(1，2)

[解析] 依题意得，双曲线的离心率e＝C.

[答案] C

3．(2017·全国卷Ⅰ)已知F是双曲线C：x－＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与

3

2

B．(2，2) D．(1,2)

1

1＋2，因为a>1，所以e∈(1，2)，选

ay2

x轴垂直，点A的坐标是(1,3)，则△APF的面积为( )

1123A. B. C. D. 3232

[解析] 解法一：由题可知，双曲线的右焦点为F(2,0)，当x＝2时，代入双曲线C的方程，得4－＝1，解得y＝±3，不妨取点P(2,3)，因为点A(1,3)，所以AP∥x轴；又PF3113

⊥x轴，所以AP⊥PF，所以S△APF＝|PF|·|AP|＝×3×1＝.故选D.

222

解法二：由题可知，双曲线的右焦点为F(2,0)，当x＝2时，代入双曲线C的方程，得4－＝1，解得y＝±3，不妨取点P(2,3)，因为点A(1,3)，所以AP＝(1,0)，PF＝(0，－3)，

3113

所以AP·PF＝0，所以AP⊥PF，所以S△APF＝|PF||AP|＝×3×1＝.故选D.

222

→

→

y2

y2

→→

1

[答案] D

x2y2

4．(2017·天津卷)已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐

ab近线上，△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为( )

A.－＝1 412C.－y＝1 3

x2x2

y2

B.

－＝1 124

2

x2y2

2

D．x－＝1

3

y2

[解析] 由△OAF是边长为2的等边三角形可知，c＝2，＝tan60°＝3，又c＝a＋b，联立可得a＝1，b＝3，∴双曲线的方程为x－＝1.

3

[答案] D

2

2

ba22

y2

5．(2018·广东六校联盟联考)设F1，F2是双曲线x－＝1的两个焦点，P是双曲线上

24的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于( )

A．42 B．83 C．24 D．48

[解析] 依题意，得F1(－5,0)，F2(5,0)，|F1F2|＝10. 4

∵3|PF1|＝4|PF2|，设|PF2|＝x，则|PF1|＝x.

34

由双曲线的性质知x－x＝2，解得x＝6.

3∴|PF1|＝8，|PF2|＝6，∴∠F1PF2＝90°， 1

∴△PF1F2的面积＝×8×6＝24.故选C.

2[答案] C

2

y2

x2y2

6．(2016·天津卷)已知双曲线－2＝1(b>0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半

4b径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为( )

A.－＝1 44C.－＝1 44

x23y2x2y2

B.－＝1 43D.－＝1 412

2

2

x24y2x2

y2

x＋y＝4，??

[解析] 根据对称性，不妨设点A在第一象限，其坐标为(x，y)，于是有?by＝x??2

2

??x＝????y＝

故选D.

44

b2＋4

，·，

b2＋42

b

y2

16bb2xy则xy＝2·＝?b＝12.故所求双曲线的方程为－＝1，

b＋422412

22

[答案] D 二、填空题

7．若双曲线的渐近线方程为x±2y＝0，焦距为10，则该双曲线的方程为__________． [解析] 设双曲线的方程为x－4y＝λ(λ≠0)，焦距2c＝10，c＝25， λ

当λ>0时，－＝1，λ＋＝25，∴λ＝20；

λλ4

4

2

2

2

x2

?λ?当λ<0时，－＝1，－λ＋?－?＝25，

λ－λ?4?－4

∴λ＝－20.

故该双曲线的方程为－＝1或－＝1.

205520[答案]

y2x2

x2y2y2x2

x2

20

－＝1或－＝1 5520

y2y2x2

x2y2

8．(2018·银川第二中学月考)若以双曲线－2＝1(b>0)的左、右焦点和点P(1，2)

2b为顶点的三角形为直角三角形，则b等于__________．

x2y2

[解析] 设双曲线－2＝1(b>0)的左、右焦点为F1(－c,0)，F2(c,0)，依题意，kPF1·kPF2

2b＝

2222

·＝－1，∴c＝3，b＝1，∴b＝1. 1＋c1－c[答案] 1

x2y2

9．(2017·全国卷Ⅰ)已知双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，以A为圆心，

abb为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．若∠MAN＝60°，则C的离

心率为________．

[解析] 双曲线的右顶点为A(a,0)，一条渐近线的方程为y＝x，即bx－ay＝0，圆心

baA到此渐近线的距离d＝

|ba－a×0|ab＝，因为∠MAN＝60°，圆的半径为b，所以b·sin60°cb2＋a2

3

＝，即abc3bab223＝，所以e＝＝. 2c3323

3

[答案]

三、解答题

x2y2

10．如图，已知F1、F2为双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的焦点，过F2作垂直于x轴的直

ab线交双曲线于点P，且∠PF1F2＝30°.求：

(1)双曲线的离心率； (2)双曲线的渐近线方程．

[解] (1)∵∠PF2F1＝90°，∠PF1F2＝30°.

|F1F2|2c43c123c在Rt△PF2F1中，|PF1|＝＝＝，|PF2|＝|PF1|＝，

cos∠PF1F2cos30°32323c又|PF1|－|PF2|＝2a，即c＝2a，＝3，

3a∴e＝＝3.

(2)对于双曲线，有c＝a＋b，∴b＝ c－a.

2

2

2

2

2

cabc2－a2∴＝＝aa?c?2－1＝3－1＝2.

?a???

∴双曲线的渐近线方程为y＝±2x.

[能力提升]

x2y2

11．(2017·广东佛山一中段考)已知双曲线2－2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过点

abF1作圆x2＋y2＝a2的一条切线分别交双曲线的左、右两支于点B，C，与双曲线的渐近线在第

二象限内交于点D，且|CD|＝|CF2|，则双曲线的离心率为( )

A.6 B.5 C.3 D.2

[解析] ∵过F1作圆x＋y＝a的切线分别交双曲线的左、右两支于点B，C，且|CD|＝|CF2|，∴|DF1|＝2a，

4

2

2

2

由题意，切线的斜率为，切线方程为y＝(x＋c)，

与y＝－x垂直，∴2a＝b，∴c＝a＋b＝5a，∴e＝＝5，故选B. [答案] B

ababba22

cax2y2

12．(2017·吉林长春市二模)已知双曲线C1：－y＝1，双曲线C2：2－2＝1(a>b>0)

4ab2

x2

的左、右焦点分别为F1，F2，M是双曲线C2的一条渐近线上的点，且OM⊥MF2，O为坐标原点，若S△OMF2＝16，且双曲线C1，C2的离心率相同，则双曲线C2的实轴长是( )

A．32 B．16 C．8 D．4

52

[解析] 双曲线C1：－y＝1的离心率为，设F2(c,0)，双曲线C2一条渐近线方程

42为y＝x，

可得|F2M|＝

x2

babc＝b， a2＋b2

2

2

即有|OM|＝c－b＝a， 1

由S△OMF＝16，可得ab＝16，

22即ab＝32，又a＋b＝c， 且＝2

2

2

ca5， 2

解得a＝8，b＝4，c＝45， 即有双曲线的实轴长为16，故选B. [答案] B

y2

13．(2017·江西上饶一模)已知双曲线方程为2－2＝1，若其过焦点的最短弦长为

m＋4b2，则该双曲线的离心率的取值范围是( )

A.?1，C.?1，x2

????

6?? 2?6?? 2?

2

B.?D.?

?6?

，＋∞? ?2??6?

，＋∞? ?2?

2b[解析] 由题意，＝2，a≥2，

a∴b＝a， ∴e＝ b21＋2＝a161＋≤， a2

5

∵e>1， ∴1

6. 2

[答案] A

x2y2

14．(2018·山东日照模拟)已知双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)，其右顶点是A，若双

ab曲线C右支上存在两点B，D，使△ABD为正三角形，则双曲线C的离心率e的取值范围是________．

[解析] 双曲线C的渐近线方程为y＝±x，要使△ABD为正三角形，则只需过右顶点

baA，且斜率为

的斜率．∴

3b的直线与双曲线有两个不同的交点，即只需该直线的斜率大于渐近线y＝x3a3b3>，∴b

12232321222

即b

333323又e>1，所以1

323

[答案] 1

3

x2y2

15．(2017·云南省高三统一检测)已知双曲线M：2－2＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，

ab过点F且垂直于x轴的直线与双曲线M交于A，B两点，与双曲线M的两条渐近线交于C，D3

两点．若|AB|＝|CD|，则双曲线M的离心率是________．

5

2b[解析] 设双曲线的右焦点为F(c,0)，易知，|AB|＝.该双曲线的渐近线方程为y＝

2

a2

bbc2bc32b32bc3±x，当x＝c时，y＝±，所以|CD|＝.由|AB|＝|CD|，得＝×，即b＝c，aaa5a5a5

4c522所以a＝c－b＝c，所以e＝＝.

5a4

5

[答案]

4

x2y2

16．设A，B分别为双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为43，

ab焦点到渐近线的距离为3.

(1)求双曲线的方程；

6

(2)已知直线y＝

3

x－2与双曲线的右支交于M，N两点，O为坐标原点，且在双曲线的3

→

→→

右支上存在点D，使OM＋ON＝tOD，求t的值及点D的坐标．

[解] (1)由题意知a＝23.

∵一条渐近线为y＝x，即bx－ay＝0，右焦点的坐标为(c,0)， ∴由焦点到渐近线的距离为3，得∴b＝3，∴双曲线的方程为

2

ba|bc|

b2＋a2＝3.

x2

12

－＝1. 3

y2

(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)， 则x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0.

3xy2

将直线的方程y＝x－2代入双曲线的方程－＝1，得x－163x＋84＝0，

3123则x1＋x2＝163，y1＋y2＝

3

(x1＋x2)－4＝12， 3

2

2

x43??y＝3，∴?xy??12－3＝1，

002

0

20

?x0＝43，∴?

?y0＝3，

∴t＝4，点D的坐标为(43，3)．

[延伸拓展]

x2y2

1．(2017·福州市高三质量检测)已知双曲线E：2－2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分

ab别为F1，F2，|F1F2|＝6，P是双曲线E右支上一点，PF1与y轴交于点A，△PAF2的内切圆与

AF2相切于点Q.若|AQ|＝3，则双曲线E的离心率是( )

A．23 B.5 C.3 D.2 [解析]

如图所示，设△PAF2的内切圆与PF2相切于点M.依题意知，|AF1|＝|AF2|，根据双曲线

7

的定义，以及P是双曲线E右支上一点，得2a＝|PF1|－|PF2|，根据三角形内切圆的性质，得|PF1|＝|AF1|＋|PA|＝|AF1|＋(|PM|＋|AQ|)，|PF2|＝|PM|＋|MF2|＝|PM|＋|QF2|＝|PM|＋(|AF2|－|AQ|)．所以2a＝2|AQ|＝23，即a＝3.因为|F1F2|＝6，所以c＝3，所以双曲线

c3

E的离心率是e＝＝＝3，故选C.

a3

[答案] C

x2y2

2．(2017·武汉武昌区高三三调)已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别为

abl1，l2，经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1，l2于A，B两点．若|OA|，|AB|，|OB|成

→

→

等差数列，且AF与FB反向，则该双曲线的离心率为( )

A.

55 B.3 C.5 D. 22

[解析] 设实轴长为2a，虚轴长为2b，令∠AOF＝α，则由题意知tanα＝，在△AOB中，∠AOB＝180°－2α，tan∠AOB＝－tan2α＝，∵|OA|，|AB|，|OB|成等差数列，∴1222

设|OA|＝m－d，|AB|＝m，|OB|＝m＋d，∵OA⊥BF，∴(m－d)＋m＝(m＋d)，整理，得d＝

4

baABOAm，∴－tan2α＝－2tanαABm4bb1

＝＝＝，解得＝2或＝－(舍去)，∴b＝2a，c＝4a2＋a22

1－tanαOA33aa2

m4

＝5a，∴e＝＝5.故选C.

[答案] C

ca 8

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