河南省淮阳中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案

河南省淮阳中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

?x?1,x?0,1． 若函数f(x)??则f(?3)的值为（ ）

?f(x?2),x?0,A．5 B．?1 C．?7 D．2 2． 已知是虚数单位，若复数?3i(a?i)（a?R）的实部与虚部相等，则a?（ ）

A．?1 B．?2 C． D． 3． 若直线l的方向向量为=（1，0，2），平面α的法向量为=（﹣2，0，﹣4），则（ ） A．l∥α B．l⊥α

C．l?α D．l与α相交但不垂直

4． 已知a?(?2,1)，b?(k,?3)，c?(1,2)c?(k,?2)，若(a?2b)?c，则|b|?（ ） A．35 B．32 C．25 D．10 【命题意图】本题考查平面向量的坐标运算、数量积与模等基础知识，意在考查转化思想、方程思想、逻辑思维能力与计算能力．

5． 某校为了了解1500名学生对学校食堂的意见，从中抽取1个容量为50的样本，采用系统抽样法，则分段间隔为（ ）1111]

A．10 B．15 C．20 D．30

6． 如图在圆O中，AB，CD是圆O互相垂直的两条直径，现分别以OA，OB，OC，OD为直径作四个 圆，在圆O内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）

A

D

O B

C

A．

1? B．

11111 C．? D．? 2?2?42?

【命题意图】本题考查几何概型概率的求法，借助圆这个载体，突出了几何概型的基本运算能力，因用到圆的几何性质及面积的割补思想，属于中等难度． 7． 已知Py）（x，为区域A．6

B．0

C．2

D．2

z=2x﹣y的最大值是 内的任意一点，当该区域的面积为4时，（ ）

第 1 页，共 16 页

8． 已知z1?1?3i，z2?3?i，其中i是虚数单位，则A．?1 B．

z1的虚部为（ ） z244 C．?i D．i 55【命题意图】本题考查复数及共轭复数的概念，复数除法的运算法则，主要突出对知识的基础性考查，属于容易题.

9． 圆心在直线2x＋y＝0上，且经过点（－1，－1）与（2，2）的圆，与x轴交于M，N两点，则|MN|＝（ ） A．42 C．22

B．45 D．25

10．已知f（x）=m?2x+x2+nx，若{x|f（x）=0}={x|f（f（x））=0}≠?，则m+n的取值范围为（ ） A．（0，4） B．[0，4） C．（0，5] D．[0，5]

11．为了解决低收入家庭的住房问题，某城市修建了首批108套住房，已知A,B,C三个社区分别有低收入家 庭360户，270户，180户，现采用分层抽样的方法决定各社区所分配首批经济住房的户数，则应从C社 区抽取低收入家庭的户数为（ ）

A．48 B．36 C．24 D．18

【命题意图】本题考查分层抽样的概念及其应用，在抽样考查中突出在实际中的应用，属于容易题． 12．在?ABC中，若?A?60，?B?45，BC?32，则AC?（ ） A．43 B．23 C.

3 D．3 2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）

13．不等式ax??a?1?x?1?0恒成立，则实数的值是__________.

214．已知一个算法，其流程图如图，则输出结果是 ．

15．如图，在棱长为的正方体ABCD?A1B1C1D1中，点E,F分别是棱BC,CC1的中点,P是侧

AEF,则线段A1P长度的取值范围是_________. 面BCC1B1内一点，若AP1平行于平面

第 2 页，共 16 页

16．已知函数f(x)?asinxcosx?sinx?___________．

21?的一条对称轴方程为x?，则函数f(x)的最大值为26【命题意图】本题考查三角变换、三角函数的对称性与最值，意在考查逻辑思维能力、运算求解能力、转化思想与方程思想．

三、解答题（本大共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

17．在等比数列{an}中，a3=﹣12，前3项和S3=﹣9，求公比q．

18．已知函数f(x)?(x?k)ex（k?R）． （1）求f(x)的单调区间和极值； （2）求f(x)在x??1,2?上的最小值．

（3）设g(x)?f(x)?f'(x)，若对?k??,?及?x??0,1?有g(x)??恒成立，求实数?的取值范围． 22

19．在直角坐标系xOy中，已知一动圆经过点(2,0)且在y轴上截得的弦长为4，设动圆圆心的轨 迹为曲线C．

（1）求曲线C的方程；111]

（2）过点(1,0)作互相垂直的两条直线，，与曲线C交于A，B两点与曲线C交于E，F两点， 线段AB，EF的中点分别为M，N，求证：直线MN过定点P，并求出定点P的坐标．

?35???第 3 页，共 16 页

20．某民营企业生产A，B两种产品，根据市场调查和预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图1，B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2（注：利润与投资单位是万元） （1）分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数，并写出它们的函数关系式．

（2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A，B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元．（精确到1万元）．

21．（本小题满分12分）

已知函数f(x)?3sinxcosx?cosx?（1）求函数y?f(x)在[0,21. 2]上的最大值和最小值； 2（2）在?ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，满足c?2，a?3，f(B)?0，求sinA的值.1111]

?第 4 页，共 16 页

22． （本题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，直线AF?平面ABCD，EF//AB，

AD?2,AB?AF?2EF?1，点P在棱DF上.

（1）求证：AD?BF；

（2）若P是DF的中点，求异面直线BE与CP所成角的余弦值； （3）若FP?1FD，求二面角D?AP?C的余弦值. 3

第 5 页，共 16 页

河南省淮阳中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案（参考答案） 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1． 【答案】D111] 【解析】

试题分析：f??3??f??1??f?1??1?1?2. 考点：分段函数求值． 2． 【答案】A

考

点：复数运算． 3． 【答案】B

【解析】解：∵ =（1，0，2），=（﹣2，0，4）， ∴=﹣2， ∴∥， 因此l⊥α． 故选：B．

4． 【答案】A 【

解

析

】

5． 【答案】D 【解析】

试题分析：分段间隔为考点：系统抽样 6． 【答案】C

【解析】设圆O的半径为2，根据图形的对称性，可以选择在扇形OAC中研究问题，过两个半圆的交点分别

1500?50，故选D. 30第 6 页，共 16 页

向OA，OC作垂线，则此时构成一个以1为边长的正方形，则这个正方形内的阴影部分面积为

??1，扇形2?OAC的面积为?，所求概率为P?27． 【答案】A 解析：解：由

?1??11?． 2?作出可行域如图，

由图可得A（a，﹣a），B（a，a）， 由

∴A（2，﹣2），

化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，

∴当y=2x﹣z过A点时，z最大，等于2×2﹣（﹣2）=6． 故选：A． 8． 【答案】B

【解析】由复数的除法运算法则得，9． 【答案】

【解析】选D.设圆的方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r＞0）． 2a＋b＝0??

由题意得?（－1－a）＋（－1－b）＝r，

??（2－a）＋（2－b）＝r

2

2

2

2

2

2

，得a=2．

4zz11?3i(1?3i)(3?i)6?8i34?????i，所以1的虚部为.

5z23?i(3?i)(3?i)1055z2解之得a＝－1，b＝2，r＝3，

∴圆的方程为（x＋1）2＋（y－2）2＝9， 令y＝0得，x＝－1±5，

第 7 页，共 16 页

∴|MN|＝|（－1＋5）－（－1－5）|＝25，选D. 10．【答案】B

【解析】解：设x1∈{x|f（x）=0}={x|f（f（x））=0}， ∴f（x1）=f（f（x1））=0， ∴f（0）=0， 即f（0）=m=0， 故m=0；

2

故f（x）=x+nx，

f（f（x））=（x2+nx）（x2+nx+n）=0， 当n=0时，成立；

2

当n≠0时，0，﹣n不是x+nx+n=0的根， 2

故△=n﹣4n＜0，

故0＜n＜4；

综上所述，0≤n+m＜4； 故选B．

【点评】本题考查了函数与集合的关系应用及分类讨论的思想应用，同时考查了方程的根的判断，属于中档题．

11．【答案】C

【解析】根据分层抽样的要求可知在C社区抽取户数为108?12．【答案】B 【解析】

1802?108??24．

360?270?1809考点：正弦定理的应用.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）

13．【答案】a?1 【解析】

2试题分析：因为不等式ax??a?1?x?1?0恒成立，所以当a?0时，不等式可化为x?1?0，不符合题意；

第 8 页，共 16 页

?a?0?a?0当a?0时，应满足?，即?，解得a?1.1 22???(a?1)?4a?0?(a?1)?0考点：不等式的恒成立问题.

14．【答案】 5 ．

【解析】解：模拟执行程序框图，可得 a=1，a=2

不满足条件a＞4a+1，a=3

222

不满足条件a＞4a+1，a=4 不满足条件a＞4a+1，a=5

2

满足条件a＞4a+1，退出循环，输出a的值为5．

故答案为：5．

【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，依次正确写出每次循环得到的a的值是解题的关键，属于基本知识的考查．

?32,5?，? 15．【答案】?42??【解析】

第 9 页，共 16 页

考点：点、线、面的距离问题.

【方法点晴】本题主要考查了点、线、面的距离问题，其中解答中涉及到直线与平面平行的判定与性质，三角形的判定以及直角三角形的勾股定理等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，同时考查了学生空间想象能力的训练，试题有一定的难度，属于中档试题. 16．【答案】1 【

解

析

】

第 10 页，共 16 页

三、解答题（本大共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

17．【答案】

【解析】解：由已知可得方程组

=，

，

第二式除以第一式得

2

整理可得q+4q+4=0，解得q=﹣2．

18．【答案】（1）f(x)的单调递增区间为(k?1,??)，单调递减区间为(??,k?1)，

f(x)极小值?f(k?1)??ek?1，无极大值；（2）k?2时f(x)最小值?f(1)?(1?k)e，2?k?3时

f(x)最小值?f(k?1)??ek?1，k?3时，f(x)最小值?f(2)?(2?k)e2；（3）???2e.

【解析】

（2）当k?1?1，即k?2时，f(x)在?1,2?上递增，∴f(x)最小值?f(1)?(1?k)e；

2当k?1?2，即k?3时，f(x)在?1,2?上递减，∴f(x)最小值?f(2)?(2?k)e；

当1?k?1?2，即2?k?3时，f(x)在?1,k?1?上递减，在?k?1,2?上递增，

第 11 页，共 16 页

∴f(x)最小值?f(k?1)??ek?1．

（3）g(x)?(2x?2k?1)ex，∴g'(x)?(2x?2k?3)ex， 由g'(x)?0，得x?k?当x?k?3， 23时，g'(x)?0； 23当x?k?时，g'(x)?0，

233∴g(x)在(??,k?)上递减，在(k?,??)递增，

223k?3故g(x)最小值?g(k?)??2e2，

23k?33?35?又∵k??,?，∴k???0,1?，∴当x??0,1?时，g(x)最小值?g(k?)??2e2，

22?22?∴g(x)??对?x??0,1?恒成立等价于g(x)最小值??2e又g(x)最小值??2e∴(?2ek?32k?32??；

k?32?35???对?k??,?恒成立．

?22?)min?k，故???2e．1

考点：1、利用导数研究函数的单调性进而求函数的最值；2、不等式恒成立问题及分类讨论思想的应用. 【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性进而求函数的最值、不等式恒成立问题及分类讨论思想的应用.属于难题. 数学中常见的思想方法有：函数与方程的思想、分类讨论思想、转化与划归思想、数形结合思想、建模思想等等，分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.本题（2）就是根据这种思想讨论函数单调区间的. 19．【答案】（１） y?4x；（２）证明见解析；(3,0)． 【解析】

2第 12 页，共 16 页

（2）易知直线，的斜率存在且不为0，设直线的斜率为，A(x1,y1)，B(x2,y2)， 则直线：y?k(x?1)，M(x1?x2y1?y2,)， 22?y2?4x,由?得k2x2?(2k2?4)x?k2?0， ?y?k(x?1),??(2k2?4)2?4k4?16k2?16?0，

考点：曲线的轨迹方程；直线与抛物线的位置关系．

''【易错点睛】导数法解决函数的单调性问题：（1）当f(x)不含参数时，可通过解不等式f(x)?0(f(x)?0)直接得到单调递增（或递减）区间．（2）已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件

f'(x)?0(f'(x)?0),x?(a,b)恒成立，解出参数的取值范围（一般可用不等式恒成立的理论求解），应注意

第 13 页，共 16 页

参数的取值是f'(x)不恒等于的参数的范围． 20．【答案】

【解析】解：（1）投资为x万元，A产品的利润为f（x）万元，B产品的利润为g（x）万元， 由题设f（x）=k1x，g（x）=k2由图知f（1）=，∴k1= 又g（4）=，∴k2= 从而f（x）=

，g（x）=

（x≥0）

，（k1，k2≠0；x≥0）

（2）设A产品投入x万元，则B产品投入10﹣x万元，设企业的利润为y万元 y=f（x）+g（10﹣x）=令

，∴

，（0≤x≤10），

（0≤t≤

）

当t=，ymax≈4，此时x=3.75

∴当A产品投入3.75万元，B产品投入6.25万元时，企业获得最大利润约为4万元．

【点评】本题考查利用待定系数法求函数的解析式、考查将实际问题的最值问题转化为函数的最值问题．解题的关键是换元，利用二次函数的求最值的方法求解．

21．【答案】（1）最大值为，最小值为?【解析】

试题分析：（1）将函数利用两角和的正余弦公式,倍角公式,辅助角公式将函数化简f(x)?sin(2x?再利用f(x)?Asin(?x??)?b(??0,|?|?3321；（2）. 214?6)?1

)的性质可求在[0,]上的最值；（2）利用f(B)?0,可得B,22再由余弦定理可得AC,再据正弦定理可得sinA.1

试题解析：

??第 14 页，共 16 页

（2）因为f(B)?0，即sin(2B?)?1 6??11????)，∴2B??，∴B? ∵B?(0,?)，∴2B??(?,666623又在?ABC中，由余弦定理得，

?1b2?c2?a2?2c?a?cos?4?9?2?2?3??7，所以AC?7.

32ba73321??由正弦定理得：，即，所以sinA?.

?sinAsinBsinA14sin3考点：1.辅助角公式；2.f(x)?Asin(?x??)?b(??0,|?|??

?2)性质；3.正余弦定理.

【思路点睛】本题主要考查倍角公式,正余弦定理.在利用正,余弦定理 解三角形的过程中,当所给的等式中既有正弦又有余弦时,常利用正弦定理将边的关系转化为角的关系;如果出现边的平方或者两边长的乘积时 可考虑使用余弦定理判断三角形的形状.解三角形问题时,要注意正,余弦定理的变形应用,解题思路有两个:一个是角化为边,二是边化为角. 22．【答案】

【解析】【命题意图】本题考查了线面垂直、线线垂直等位置关系及线线角、二面角的度量，突出考查逻辑推理能力及利用坐标系解决空间角问题，属中等难度.

第 15 页，共 16 页

（3）因为AB?平面ADF，所以平面ADF的一个法向量n1?(1,0,0).由FP?且此时P(0,1FD知P为FD的三等分点32222,).在平面APC中，AP?(0,,)，AC?(1,2,0).所以平面APC的一个法向量3333n2?(?2,1,?1).……………………10分

所以|cos?n1,n2?|?|n1?n2||n1||n2|?6，又因为二面角D?AP?C的大小为锐角，所以该二面角的余弦值为36.……………………………………………………………………12分 3

第 16 页，共 16 页

（3）因为AB?平面ADF，所以平面ADF的一个法向量n1?(1,0,0).由FP?且此时P(0,1FD知P为FD的三等分点32222,).在平面APC中，AP?(0,,)，AC?(1,2,0).所以平面APC的一个法向量3333n2?(?2,1,?1).……………………10分

所以|cos?n1,n2?|?|n1?n2||n1||n2|?6，又因为二面角D?AP?C的大小为锐角，所以该二面角的余弦值为36.……………………………………………………………………12分 3

第 16 页，共 16 页

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/mwqx.html