2+2概率论题目 - 图文

概率论

1、设钻头的寿命(即钻头直到磨损报废为止所钻透的地层厚度，以米为单位)服从参数为 0.001 的指数分布， 现要打一口深度为2000米的井，求: （1）只需一根钻头的概率； （2）恰好用两根钻头的概率.

?0.001e?0.001x , x?0解 (1) 设钻头的寿命为X，其密度函数 f(x)??，

0 , x?0?只需一根钻头的概率为：

P(X?2000)????20000.001e?0.001xdx?e?2；

（2） 设两根钻头的寿命分别为X和Y，它们是相互独立的，其联合密度函数为：

?0.0012e?0.001(x?y) , x?0,y?0， g(x,y)?? 0 , 其它?恰好用两根钻头的概率为：

20000P(X?2000,X?Y?2000)??dx???2000?x0.0012e?0.001(x?y)dy

2、一工厂生产的某种设备的寿命 X ( 以年计 ) 服从指数分布，概率密度为

x?1?4?f(x)??4e , x?0，

?? 0 , y?0工厂规定，出售的设备若在一年之内损坏可予以调换。若工厂售出一台设备赢利100元，调换一台设备厂方需花费300元。试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望。 解 一台设备在一年内调换的概率为

p?P{X?1}??Y 101?4edx?1?e?1/4. 4x以Y记厂方出售一台设备的净赢利值,则Y具有分布律:

100 100-300 e?1/4pk 故有

1?e?1/4 E(Y)?100?e?1/4?200?(1?e?1/4)

?100(3e?1/4?2)?33.64(元).

3、设自动生产线加工的某种零件的内径?~N(?,1)；内径小于10或者大于12的为不合格品，其余为合格品，销售每件合格品可获利20元，销售每件不合格品要亏损，其中内径小于10的亏1元，内径大于12的亏5元，求平均内径?取何值时，销售一个零件的平均利润最大？

【详解】设销售一个零件获利为L，则

??1 , ??10? L??20 , 10???20，

??5 , 10???12?因为?~N(?,1)，所以

P{??10}??(10??)，P{10???12}??(12??)??(10??)， P{??12}?1??(12??)，

于是销售一个零件的平均利润为

E(L)???(10??)?20[?(12??)??(10??)]?5[1??(12??)]

?25?(12??)?21?(10??)?5， dE(L)??25?(12??)?21?(10??)?0， 令

d?即 25?(12??)?21?(10??)，

252?2?(12?2?)2(10?2?)2ln25??ln21?两边取对数得 ，

221251414?11?ln(1?)?11???10.9. 解得 ??11?ln2212212214、已知男性中有5％为色盲患者，女性中有0.25％为色盲患者。今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，其恰好是色盲患者，则此人是男性的概率为 。 解 设A：任选一人是男性；B：任选一人是色盲。 由贝叶斯公式知，所求概率为

e?(12?2?)22?21e?(10?2?)22，

P(A|B)?0.5?0.0520P(A)P(B|A)??

P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)0.5?0.05?0.5?0.025215、一个复杂的系统由 100 个相互独立起作用的部件组成，在整个运行期间，每个部件损坏的概率为 0.1 ，为了使整个系统起作用，至少必须有 85个部件正常工作，则整个系统起作用的概率约为（ ）。（ ?(x) 为标准正态分布函数）

（A）?(1) （B）1－?(1) （C）?() （D）?() 解 设X为完好的元件数，则X~B(100, 0.9),

4353n?100比较大，利用D-L中心极限定理，X~?N(90, 9),

所以

5100?9085?90P{85?X?100}??()??()?1??(?)

399155?1?[1??()]??().

336、已知随机向量(?,?)的联合密度函数为

?1?(6?x?y) , 0?x?2,2?y?4f(x,y)??8，

?0 , 其它? 则概率值 P(????4)?（ ）。 （A）

1233 （B） （C） （D） 23844?y141142解 P(????4)??dy?(6?x?y)dx??[(6?y)(4?y)?(4?y)]dy

082822?14122(16?6y?y)dy?. ?2823或：上式

4?y?t121212122[t(2?t)?t]dt?(2t?t)dt?. 8?028?023?ax2 , 0?x?17、设随机变量?的密度函数为f(x)??，求（1）常数a；（2）?的

0 , 其它?期望E? 和方差D?；（3）?2的概率密度函数；（4）概率值P(??2)，其中?表示对?的三次独立重复观察中事件{??}出现的次数.

12a2axdx? ? a?3； ?0311333932222E??3x?xdx?E??3x?xdx?D????（2）， ，. ?0?04551680解 （1）1?1（3）记 Y??2，则Y的概率分布为 FY(y)?P{?2?y}，

当y?0时，FY(y)?0；当y?1时，FY(y)?1； 当0?y?1时，FY(y)?P{??y}?P{0???求导得 fY(y)?f?(y)?2y}??y0f?(x)dx，

12y?3y?12y，

?3y? , 0?y?1所以 fY(y)??2 .

? 0 , 其它?1211121272（4）P{??}??23xdx?，?~B(3,),P{??2}?C3()??.

0888512288、已知随机向量(?,?)的联合分布律为

1? ? －1 2 －1 1 2 0.25 0.1 0.3 0.15 0.15 0.05 求（1）???的分布律； （2）在???1条件下?的分布律；（3）期望值E(???)。 解 (1) ???可能取值为：－2，0，1，3，4

P(?????2)?P(???1,???1)?0.25， P(????0)?P(???1,??1)?0.1，

P(????1)?P(???1,??2)?P(??2,???1)?0.45， P(????3)?P(??2,??1)?0.15， P(????4)?P(??2,??2)?0.05，

所以

??? -2 0 1 3 4

（2）P(???1|???1)?

P 0.25 0.1 0.45 0.15 0.05

P(???1,???1)50.25?， ?P(???1)0.25?0.158P(??2|???1)?所以

P(??2,???1)0.153??，

P(???1)0.25?0.158 ? －1 2

P??

(3)E(???)?53 88??xyii?1j?123jpij?0.25?0.1?2?0.3?2?0.15?2?0.15?4?0.05??0.25

9、已知男性中有5％为色盲患者，女性中有0.25％为色盲患者。今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，其恰好是色盲患者，则此人是男性的概率为 。 解 设A：任选一人是男性；B：任选一人是色盲。 由贝叶斯公式知，所求概率为

10、

11、

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