天津市五区县2013年高三质量调查试卷数学（理工类）（一）

天津市五区县201 3年高三质量调查试卷（一）

数 学（理工类）

本试卷分第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟，第1卷1至2页，第Ⅱ卷3至6页，

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上．答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效， 祝各位考生考试顺利l

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

3?i等于 1?i (A)2?i (B)2?i (C) 1?2i (D)1?2i

1(2)设x∈R，则“x>0\是“x??2\的

x(1)i是虚数单位，复数

(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件

(D)既不充分也不必要条件

(3)阅读右边的程序框图，运行相应的程序， 当输入的值为10时，输出S的值为 (A) 45 (B) 49

(C) 52 (D) 54 (4)在(x?25)的二项展开式中，x2的系数为 x (A) 40 (B) -40 (C) 80 (D) -80 (5)在等比数列

111???????an?中，a1?a2?????a5?27,aaa12?3，则a3?

5 (A)±9 (B)9

(C)±3 (D)3

(6)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a，b,c，且a?2,b?3,cosC?1,则sinA= 4 (A)1515 (B) 4866 (D) 44? ( C)???????? (7)直角三角形ABC中，?C?90,AB?2,AC?1，点D在斜边AB上，且AD??AB,??R,

????????若CD?CB?2，则??

(A)

11 (B) 2323 (D）

33，若f(1)??2，则f(x)对任意x?R都有f(x?1)?f(3?x) (C) (8)定义在R上奇函数，

2012f(2012)?2013f(2013)?

(A) -4026 (B) 4026

(C) -4024 (D) 4024

天津市五区县201 3年高三质量调查试卷（一）

数学（理工类）

第Ⅱ卷

注意事项：

1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共12小题，共110分，

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

(9)某奥运代表团由112名男运动员，84名女运动员和28名教练员组成，现拟采用分层抽样的方法抽出一个容量为32的样本，则女运动员应抽取_______人． (10)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_______． (11)已知集合A?

?x?R|x?1?2?，集合

B??x?R|2x?(a?1)x?a?,若A?B?(3,5) ?0 则实数a=______. (12)若直线x - y+t=0被曲线? 弦长为4?x?1?4cos?（?为参数）截得的

y?3?4sin??2，则实数t的值为______。

(13)如图，在?O中，CD垂直于直径AB，垂足为D， DE?BC，垂足为E，若AB =8，CE?CB?7，

则AD=____． (14)

设

函

数

2???x?1 (x?0)f(x)??2??x?bx?c(x?0若

f(?3)?f(?1),f(?2)??3，则关于x的方程f(x)?x的解的个数为_______个，

三、解答题：本大题共6小题，共80分． (15)（本小题满分13分） 已知函数 (I)求函数

?f(x)?sin2x?acos2x,a，a为常数，a?R，且f()?0．

4f(x)的最小正周期。

(Ⅱ)当x????11??时，求函数

f(x)的最大值和最小值， ,??2424?(16)（本小题满分13分）

一盒中装有9个大小质地相同的小球，其中红球4个，标号分别为0，1，2，3；白球3个，标号分别为0，1，2；黑球2个，标号分别为0，l；现从盒中不放回地摸出2个小球． (I)求两球颜色不同且标号之和为3的概率； ．．

(Ⅱ)记所摸出的两球标号之积为?，求?的分布列与数学期望． ．．(17)（本小题满分13分）

在三棱锥S -ABC中，?ABC是边长为2的正三角形，平面SAC?平面ABC，SA?SC?3，E，F分别为AB、

SB的中点．

(I)证明：AC?SB；

(Ⅱ)求锐二面角F -CE –B的余弦值； (Ⅲ)求B点到平面CEF的距离． 18．（本小题满分13分） 已知数列

1?an?中a1?2,an?1?2?a，数列

?bn?中

nbn?1?。其中n?N． an?1 (I)求证：数列

?bn?是等差数列：

1?1?的前n项和，求11??...?； bn?S1S2Sn?3? (Ⅱ)设Sn最是数列? (Ⅲ)设Tn是数列?(?1n?的前n 项和，求证：T?3．

)?bn?n43??2,2)(19)（本小题满分14分）

设椭圆的中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，一个顶点为A(0,2)，右焦点F到点B(的距离为2.

(I)求椭圆的方程；

????????? (Ⅱ)设经过点（0，-3）的直线Z与椭圆相交于不同两点M，N满足AM?AN，试

求直线l的方程． (20)（本小题满分14分） 已知函数f(x)?ax3?bx2在点(2,f(2))处的切线方程为6x+3y -10=0，且对任意

的x??0,???f'(x)?kln(x?1)恒成立．

(I)求a,b的值；

(Ⅱ)求实数k的最小值； (Ⅲ)证明：?n1?ln(n?1)?2 (n?N?)．i?1i

天津市五区县2013年高三质量调查试卷参考答案

数 学（理工类）

一、选择题：每小题5分，满分40分.

（1）B （2）C （3）D （4）A （5）C （6）C （7）D （8）A

二、填空题：每小题5分，共30分.

（9）12 （10）36? （11）5 （12）-2或6 （13）1 （14）3

三、解答题 （15）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由已知得 即1+???f()=sin+acos2?0 4241a=，0………………………………………………………………2分 2 所以a=-2 ………………………………………………3分

所以

f(x)?sinx2-22coxs=s-xin2 s……………………4分 -xc o21 所以函数（Ⅱ）由x??=2sinx(-2?-) 1 …………………………………5分 4f(x)的最小正周期为π …………………………………6分

???2????11??，得

,?2x-??-,? …………………………………7分

4?63??2424?(x2-??1? ……………………………………………………9分 ?)?-,? 14?2? 则sin 所以-2? …………………………………11分 -1≤2sinx-(-)≤1-2124f(x)的最大值为2-1；最小值为- 所以函数y?2-1…………………13分 2

（16）（本小题满分13分）

2?36种 ………… 2分 解：(Ⅰ)从盒中不放回地摸出2个小球的所有可能情况有C9 颜色不同且标号之和为3的情况有6种 ………………………………… 4分

∴P?

61? …………………………………………… 5分 366(Ⅱ) 依题意?的可取值为0,1,2,3,4,6

11C3C6?C32217 ………………………………………………6分 P(??0)???；363612C321 ………………………………………………7分 P(??1)??；361211C2C31 ………………………………………………8分 P(??2)??；3661C31 ………………………………………………9分 P(??3)??；36121 ………………………………………………10分 P(??4)?；361C21P(??6)?? ………………………………………………11分

3618? P 0 1 2 3 4 6 7 121 121 61 121 361 18（不列表不扣分）

E??71111110?0??1??2??3??4??6? …………………13分 121261236189

（17）（本小题满分13分） 证明：（Ⅰ）法一：取AC中点O，连结SO，BO． ∵SA?SC,AB?AC, ∴AC?SO且AC?BO,

∴AC?平面SOB，又SB?平面SOB，∴AC?SB …………………………3分 法二：取AC中点O，以O为原点， z S 分别以OA、OB、OS为x轴、y轴、z轴， 建立空间直角坐标系，则A(1,0,0),B(0,3,0)

O A x C F B y 1332S(0,0,2)，E(,,0),F(0,,),C(-1,0,0)

2222???????∴AC?(-2,0,0)，SB?(0,3,?2) ????????AC?SB?(?2,0,0)?(0,3,?2)?0

E ∴AC?SB． ……………………………………………………………………3分

????33????12 (Ⅱ)由（Ⅰ）得CE?(,,0),EF?(?,0,),

2222??3????3CE?n?x?y?0??22设n?(x,y,z)为平面CEF的一个法向量，则? ??????EF?n??1x?2z?0??22 取z=1,x=∴

2,y??6．

n?(2,?6,1)． …………………………………………………………6分

??????????????n?OS1

0,2)为平面ABC的一个法向量， ∴cosn,OS??又OS?(0,?????n?OS3∴二面角F?CE?B的余弦值为

1． ………………………………………9分 3?????131)为平面CEF的一个法向量 (Ⅲ)由（Ⅰ）（Ⅱ）得EB?(?,,0)，n?(2,?6,22?????n?EB22 ……………………………13分

∴点B到平面CEF的距离 d???3n

（18）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）bn?1?1an?1?11?1an?1?an， ………………………………1分 an?1 而

bn?1， an?1an1??1．n?N* …………………………3分 an?1an?11?1，公差为1的等差数列． …………4分 a1?1 ∴

bn?1?bn? ∴ {bn}是首项为b1?（Ⅱ）由（Ⅰ）可知bn?n， ………………………………………………………5分

111n(n?1)bn?n.?Sn?(1?2???n)?, …………………………………6分 3336

于是

1116 =6(?), …………………………………………7分 ?nn?1Snn(n?1)11111111) ?????6(1???????223nn?1S1S2Sn故有

16n)? …………………………………9分 n?1n?11n1n （Ⅲ）证明：由（Ⅰ）可知 ()?bn?n?(), ……………………………10分

331121n 则Tn?1??2?()???n?().

333 =6(1?

1111?1? ∴Tn?1?()2?2?()3????n?1????n?()n?1． …………11分

3333?3?21111111n?1n?1Tn??()2?()3+…+()n?n?()n?1 ??1?()?n?()， ??3333332?3?3n 则

∴

311n13Tn??()n?1??(n)?． ………………………13分

443234

（19）（本小题满分14分）

x2y2解：(Ⅰ) 依题意,设椭圆方程为2?2?1(a?b?0),

ab则其右焦点坐标为F(c,0),c?由|FB|?即(c?a2?b2, ………………………………1分

2,得(c?2)2?(0?2)2?2,

2)2?2?4,故c?22. …………………………………………2分

2又∵b?2, ∴a?12, ……………………………………………………3分

x2y2??1. ……………………4分 ∴所求椭圆方程为

124(Ⅱ)由题意可设直线l的方程为y?kx?3(k?0), ……………………5分 由|AM|?|AN|，知点A在线段MN的垂直平分线上,

?y?kx?3?由?x2 得x2?3(kx-3)2?12 y2??1??124即(1?3k2)x2-18kx?15?0……（*） ………………………………………6分

?=(-18k)2-4(1?3k2)?15?144k2-60?0

即k2>5时方程（*）有两个不相等的实数根 …………………………7分 1218k …………8分

1?3k2设M(x1,y1)，N(x2,y2)，线段MN的中点P(x0,y0) 则x1，x2是方程（*）的两个不等的实根，故有x1?x2?x1?x29k2-3(1?3k2)-39k?y?kx-3??从而有x0?， 0021?3k21?3k21?3k29k-3,) ………………9分 221?3k1?3k-3-2-5-6k22又由于k?0，因此直线AP的斜率为k1?1?3k ………10分 ?9k9k1?3k2于是，可得线段MN的中点P的坐标为P(-5-6k2?k?-1 …………………………11分 由AP?MN，得

9k即5?6k2256， …………………………12分 ?9，解得k2??，∴k??3123∴所求直线l的方程为：y??6x-3. …………………………14分 3方法二：设直线l的方程为y?kx?3(k?0)， ………………………………5分

?y?kx?3?2则?x y2??1??124 得：(1?3k由??144k22)x2?18kx?15?0 ………………………………………6分

-60?0

18k?x?x???121?3k2设M(x1,y1)、N(x2,y2) 由韦达定理得? ， ……………8分

?x1x2?15?1?3k2? 又|

2?(y2?2)2 ……………9分 AM|2?|AN|2，则x12?(y1?2)2?x2移项得：k＝

y2?y1x2?x1x2?x1＝－＝－＝－

x2?x1y2?y1?4k(x2?x1)?101

10(1?3k2)k?18k解得k??6， …………………………………………………………12分 36x－3 …………………………………14分 3此时△＞0适合题意， ∴所求直线l的方程为：y=±

（20）（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）

f?(x)?3ax2?2bx,f?(2)??2， ∴12a?4b??2 ① ………………1分

22，∴8a?4b?? ② ………………2分 3311 ①②联立，解得a??,b? ……………………………………………4分

321312（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)??x?x

32将x?2代入直线方程得y??f?(x)=?x2?x，∴?x2?x?kln(x?1)在x??0,???上恒成立；

即x2?x?kln(x?1)?0在x??0,???恒成立； ………………………………5分

设g(x)?x2?x?kln(x?1)，g(0)?0， ∴只需证对于任意的x??0,???有g(x)?g(0) …………………………6分

k2x2?x?k?1g?(x)?2x?1??,x??0,???

x?1x?1设h(x)?2x2?x?k?1， 1）当?=1?8(k?1)?0，即k?9时，h(x)?0，∴g?(x)?0 8

g(x)在?0,???单调递增，∴g(x)?g(0) ……………………………………7分

2）当?=1?8(k?1)?0，即k?由x1?x292时，设x1,x2是方程2x?x?k?1?0的两根且x1?x2 81??，可知x1?0，

2分析题意可知当x2?0时对任意x?∴k?1?0,k?1，∴1?k?0,???有g(x)?g(0)；

9? …………………………………8分 8综上分析，实数k的最小值为1. …………………………………9分

（Ⅲ）令k?1，有?x2?x?ln(x?1),即x?x2?ln(x?1)在x?令x?n?0,???恒成立…10分

11111，得?2?ln(?1)?2?ln(n?1)?lnn ……………………11分

nnnnn∴

1111?1??????(ln2?ln1)?(ln3?ln2)???[ln(n?1)?lnn] ?22223ni=1i=1?111?????lnn(? 1)2232n2

?1?111?????lnn(?1) 1?22?3n(?n1)

1?2??lnn(?1)

n?lnn(?1)? 2∴原不等式得证. ……………………………………………………………14分

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g(x)在?0,???单调递增，∴g(x)?g(0) ……………………………………7分

2）当?=1?8(k?1)?0，即k?由x1?x292时，设x1,x2是方程2x?x?k?1?0的两根且x1?x2 81??，可知x1?0，

2分析题意可知当x2?0时对任意x?∴k?1?0,k?1，∴1?k?0,???有g(x)?g(0)；

9? …………………………………8分 8综上分析，实数k的最小值为1. …………………………………9分

（Ⅲ）令k?1，有?x2?x?ln(x?1),即x?x2?ln(x?1)在x?令x?n?0,???恒成立…10分

11111，得?2?ln(?1)?2?ln(n?1)?lnn ……………………11分

nnnnn∴

1111?1??????(ln2?ln1)?(ln3?ln2)???[ln(n?1)?lnn] ?22223ni=1i=1?111?????lnn(? 1)2232n2

?1?111?????lnn(?1) 1?22?3n(?n1)

1?2??lnn(?1)

n?lnn(?1)? 2∴原不等式得证. ……………………………………………………………14分

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