2018年高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用课时达标10函数与方程理

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2018年高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 课时达标10

函数与方程 理

[解密考纲]本考点考查函数与方程的关系、函数的零点．在近几年的高考卷中选择题、填空题、解答题都出现过．选择题、填空题通常排在中间位置，解答题往往与其他知识综合考查，题目难度中等．

一、选择题

1．函数f(x)＝x＋2x－1的零点所在的大致区间是( A ) A．(0,1) C．(2,3)

B．(1,2) D．(3,4)

3

3

解析：f(0)＝－1<0，f(1)＝2>0，则f(0)·f(1)＝－2<0，且函数f(x)＝x＋2x－1的图象是连续曲线，所以f(x)在区间(0,1)内有零点．

2．满足方程ln x＋x－4＝0的x0属于区间( C ) A．(0,1) C．(2,3)

B．(1,2) D．(3,4)

解析：构造函数f(x)＝ln x＋x－4，因为f(2)＝ln 2＋2－4<0，f(3)＝ln 3＋3－4>0，故零点一定在区间(2,3)内．

3．f(x)＝2sin πx－x＋1的零点个数为( B ) A．4 C．6

B．5 D．7

解析：令f(x)＝2sin πx－x＋1＝0，则2sin πx＝x－1，令h(x)＝2sin πx，g(x)＝x－1，则f(x)＝2sin πx－x＋1的零点个数问题转化为两个函数h(x)与g(x)图象的交点2π个数问题．h(x)＝2sin πx的最小正周期为T＝＝2，在同一坐标系中，画出两个函数的

π图象，如图所示，两个函数图象的交点一共有5个，所以f(x)＝2sin πx－x＋1的零点个数为5.

4．已知方程|x－a|－x＋2＝0有两个不等的实数根，则实数a的取值范围为( B ) A．(0,4) C．(0,2)

2

2

B．(4，＋∞) D．(2，＋∞)

2

解析：依题意，知方程|x－a|＝x－2有两个不等的实数根，即函数y1＝|x－a|的图象

K12的学习需要努力专业专心坚持

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与函数y2＝x－2的图象有两个不同的交点．如图，则a>2，即a>4，故选B．

5．已知函数f(x)＝e＋|x|，若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是( B )

A．(0,1) C．(－1,0)

解析：因为f(－x)＝e

|－x|

|x|

|x|

B．(1，＋∞) D．(－∞，－1)

＋|－x|＝e＋|x|＝f(x)，故f(x)是偶函数．当x≥0时，

f(x)＝ex＋x是增函数，故f(x)≥f(0)＝1，由偶函数图象关于y轴对称，知f(x)在(－∞，

0)上是减函数，值域为[1，＋∞)，作出函数y＝f(x)与y＝k的图象，如图所示，由图可知，实数k的取值范围是(1，＋∞)，故选B．

6．已知f(x＋1)＝f(x－1)，f(x)＝f(－x＋2)，方程f(x)＝0在[0,1]内有且只有一个1

根x＝，则f(x)＝0在区间[0，2 017]内根的个数为( C )

2

A．2 015 C．2 017

B．1 008 D．1 009

解析：由f(x＋1)＝f(x－1)，可知f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)的周期是2.由f(x)＝f(－x＋2)可知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．因为函数f(x)＝0在[0,1]内有且只1

有一个根x＝，所以函数f(x)＝0在区间[0,2 017]内根的个数为2 017，故选C．

2

二、填空题

7．若二次函数f(x)＝x－2ax＋4在(1，＋∞)内有两个零点，则实数a的取值范围为

2

?2，2?. ?5???

解析：依据二次函数的图象有

??－2a?－2>1，??f1>0，

Δ>0，

??a>1，

即?

5a

4a－16>0，

2

5

解得2

8．定义在R上的奇函数f(x)满足：当x>0时，f(x)＝2 017＋log2 017x，则在R上，函K12的学习需要努力专业专心坚持

x生活的色彩就是学习 数f(x)零点的个数为3.

解析：函数f(x)为R上的奇函数，因此f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝2 017＋log2 017x1??在区间?0，?内存在一个零点，又f(x)为增函数，因此在(0，＋∞)内有且仅有一个零?2 017?点．根据对称性可知函数在(－∞，0)内有且仅有一解，从而函数f(x)在R上的零点的个数为3.

??2－a，x≤0，

9．已知函数f(x)＝?2

?x－3ax＋a，x>0，?

xx

有3个不同的零点，则实数a的取值范围是

?4，1?.

?9???

解析：依题意，要使函数f(x)有三个不同的零点，则当x≤0时，方程2－a＝0，即2＝a必有一个根，此时0

当x>0时，方程x－3ax＋a＝0有两个不等的实根，即方程x－3ax＋a＝0有两个不等的正实根，

Δ＝9a－4a>0，??

于是有?3a>0，

??a>0，

2

2

2

xx

4

解得a>，

9

0

因此，满足题意的实数a需满足?4

a>，??9三、解答题

4

即

10．设函数f(x)＝ax＋bx＋b－1(a≠0)． (1)当a＝1，b＝－2时，求函数f(x)的零点；

(2)若对任意b∈R，函数f(x)恒有两个不同零点，求实数a的取值范围．

解析：(1)当a＝1，b＝－2时，f(x)＝x－2x－3，令f(x)＝0，得x＝3或x＝－1.所以函数f(x)的零点为3或－1.

(2)依题意，f(x)＝ax＋bx＋b－1＝0有两个不同实根， 所以b－4a(b－1)>0恒成立，

即对于任意b∈R，b－4ab＋4a>0恒成立， 所以有(－4a)－4×(4a)<0?a－a<0， 解得0

11．已知y＝f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x－2x. (1)写出函数y＝f(x)的解析式；

(2)若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，求a的取值范围．

2

2

2

2

2

2

2

2

K12的学习需要努力专业专心坚持

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解析：(1)当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)， 因为y＝f(x)是奇函数，

所以f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)－2(－x)]＝－x－2x，

??x－2x，x≥0，

所以f(x)＝?2

?－x－2x，x<0.?

2

2

2

2

2

(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x－2x＝(x－1)－1，最小值为－1； 当x∈(－∞，0)时，f(x)＝－x－2x＝1－(x＋1)，最大值为1.

可作出函数y＝f(x)的图象(如图所示)，根据图象，若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，则a的取值范围是(－1,1)．

2

2

e

12．已知函数f(x)＝－x＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋(x>0)．

2

2

x(1)若y＝g(x)－m有零点，求m的取值范围；

(2)确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．

e2

解析：(1)∵x>0时，g(x)＝x＋≥2e＝2e，等号成立的条件是x＝e，故g(x)的值

2

x域是[2e，＋∞)，因而只需m≥2e时，y＝g(x)－m就有零点．所以m的取值范围是[2e，＋∞)．

(2)若g(x)－f(x)＝0有两个相异的实根，即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，作e

出g(x)＝x＋(x>0)的大致图象．

2

x∵f(x)＝－x＋2ex＋m－1＝－(x－e)＋m－1＋e. ∴其图象的对称轴为x＝e，开口向下，最大值为m－1＋e.

故当m－1＋e>2e，即m>－e＋2e＋1时，g(x)与f(x)有两个交点，即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．

∴m的取值范围是(－e＋2e＋1，＋∞)．

2

2

2

2

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