《高等数学》第二章 导数和微分的习试题库完整

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第二章 导数与微分

一、判断题

,其中x0是函数f(x)定义域内的一个点。 （ ） 1. f'(x0)??f(x0)?'

2. 若f(x)在x0处可导，则f(x)在x0处连续。

（ ）

3. 因为f(x)?x在x?0处连续，所以f(x)在x?0处可导。 （ ）

4. 因为f(x)?x在x?0处的左、右导数都存在，所以f(x)在x?0处可导。（ ） 5. f(x)在x0处可导的充要条件左、右导数存在且相等。 6. 若曲线y?f(x)在x0处存在切线，则f'(x0)必存在。

（ ） （ ）

7. 若f(x)在点x0处可导，则曲线f(x)在点x0处切线的斜率为f??x0?。（ ）

?cosx?sinx???sinx??????cotx。 8. ?tanx????cosx?sinx???cosx?? （ ）

??sinx??cosx??cosx??sinxsinx???9. ?tanx????sec2x。 ??2cosx?cosx?（ ）

10. 若f(x)，g(x)在x处均可导，则?f(x)g(x)???f(x)?g(x)?。 （ ）

'x)'?(?sinx)cosx。 11. 设f(x)?sinxcosx，f'(x)?(sinx).(cos（ ）

exex'。 12. 设f(x)?2，则f(x)?x2x （ ）

1y'yy'y??(e?y)。（ ）由参数方程的两边求导得，于是 e?xy?0e?x?xy?0 13.

x14. ?ex?(n)?ex。

（ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ）

15. (cos?x)?????3sin?x。

16. (sin?x)??????3cos?x。

(n)17. (cosx)?cos(x?n?)。

2?(n)(n)18. 由(sinx)?sin(x?n?)得(sin2x)??sin(2x?n?)。

22??19. ?ln(1?x)??4??3!?1?x?n。

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20. y?f(x)在x0处可导的充要条件是y?f(x)在x0处可微。 （ ）

'21. 函数y?f(x)在x0处可微，且f(x0)?0，则当?x?0时?y与dy是的等价无穷小。

（ ）

二、选择题

1. 当函数f(x)的自变量x由x0改变到x0??x时，函数值的改变量?y?（ ）

'fx0??x) B.f（fx0??x)?f(x0) x0??x) C.（A.（

D.f(x0)?x （ ）

2. 设f(x)在x?x0处可导,则f'(x0)=

（fx0??x)?f(x0)

?x?0?x（fx0)?f(x0?2x)C.lim x?02x

A.lim

（fx0?h)?f(x0?h)

h?02h（fx)?f(0)D.lim x?0xB.lim3. 函数f(x)在x?0处连续是f(x)在x?0处可导的

A.必要但非充分条件 C.充分必要条件

（ ）

B.充分但非必要条件 D.既非充分又必要条件

?23?x,x?14. 若f(x)??3则f(x)在x?1处

2??x,x?1A.左、右导数都存在

（ ）

B. 左导数存在，但右导数不存在 D. 左、右导数都不存在

C. 右导数存在，但左导数不存在

5. 曲线y?lnx在哪一点处的切线平行于直线y?2x?3

1A.(,?ln2)

2（ ）

11B.(,?ln)

22h?0 C.(2,ln2) D.(2,?ln2)

6. 设函数f(x)在x?0处可导，则limf(2h)?f(?3h)=

h（ ）

A.?f'(0) B.f'(0) C.5f'(0) D.2f'(0)

f2(x??x)?f2(x)7. 设f(x)可导，则lim

?x?0?x （ ）

A.0 B.2f(x) C. 2f'(x) D.2f(x)f'(x)

fx）=(x-a)?(x),其中?(x)在x?a连续，则 8. 设（ （ ）

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'x）=?(x) A.f（

'a）=?(a) B.f（'a）=?'(a) C.f（ 'x）=?(x)?(x?a)?'(x) D.f（'x）=4x3?x,f(1)??1，则该函数为 9. 若对于任意x，有f（（ ）

x2fx）=x? A.（24

x25fx）=x?? B.（224fx）=12x2?1 C.（fx）=x4?x2?3 D.（10. 曲线y=x3?3x上切线平行于x轴的点是

（ ）

A.(0,0) B. (?2,?2) C. (?1,2) D. (2,2) 11. 已知f(x)为可导的偶函数，且limx?0f(1?x)?f(1)??2则曲线y?f(x)在处(?1,2)的

2x切线方程是 （ ）

D.y??4x?2 D.

（ ）

A.y?4x?6 B.y??4x?2 C.y?4x?6

1dy12. 设y?x?sinx，则?

2dx1A.1?cosy

2 C.

1B.1?cosx

22

2?cosy2

2?cosx13. 若f(x)?(x?a)(x?b)(x?c)(x?d)，f'(x0)?(a?b)(a?c)(a?d)，则（ ）

A.x0?a

B.x0?b

dx? dy

Ｃ.x0?c

D.x0?d

x x?114. 设y?x?lnx，则

A.

x?1 x（ ）

x1 C. 1? x?1xdf(sin2x)? 15. 设f'(x)?g(x)，则dxB. D. ?

（ ）

A.2g(x)sinx B.g(x)sin2x C.g(x)sin2x 16. 设y?f(ex)ef(x)，且f'(x)存在则y'?

A. f'(ex)ef(x)?f'(ex)ef(x) C.f'(ex)ef(x)

D.g(sin2x)sin2x

（ ）

B.f'(ex)ef(x)f'(x)

'xxx'f(x)?D.? f(e)e?f(e)f(x)e??17. 已知a是大于零的常数，f(x)?ln(1?a?2x)则f('0)?

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（ ）

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A.?lna B.lna

1

Ｃ.lna

2

D.

1 218. 已知y?lnx，则y(n)=

A.(?1)nn!xn

( )

B.(?1)n(n?1)!x?2n

C.(?1)n?1(n?1)!x?n D.(?1)n?1n!x?n?1

n?) 419. 函数y?cos(2x?)，则y(n)?

42n+1A.2ncos(2x+?)

4C.cos(2x?n?) 2?（ ）

B.2ncos(2x?

(2n+1)???D.cos?2x? ?4??20. y?xn?a1xn?1?????an，则y(n)=

（ ）

A.0 B.(n?1)a C.(n?1)! D.n ！d2x21. 设x?at,y?bt，则2

dy23 C.? D.

（ ）

A.?2a 9b2t4B.

2a 9b2t4

2a 3b2t42a 3b2t4?x?acos3td2y?22. 参数方程?确定的函数的二阶导数2? 3dx??y?asint（ ）

D.

1sec4tcsct 3aA. ?3acos2tsint B.3asin2tcost

C.

1sec4tcsct 2a23. 由方程exy?sin(x?y)?0所确定函数的一阶导数y??

（ ）

yexy?cos(x?y)yexy?cos(x?y)exy?cos(x?y)yexy?cos(x?y)A. ?xy B.xy C.xy D.xy

xe?cos(x?y)xe?cos(x?y)xe?cos(x?y)e?cos(x?y)d2y24. 由方程e?xy?0所确定函数的二阶导数2?

dxy （ ）

A.

2y?yey?x??y2ey?ey?x?2 B.

2?yey?x??y2ey?ey?x?3 C.

2y?ey?x??y2eyx?e?x?y3 D.

2?yey?x??y2ey?ey?x?2

25. 若f(x)可微当?x?0时在点x处的?y?dy是关于?x的 （ ）

A.高阶无穷小 B.等价无穷小 C.同阶无穷小 D.低阶无穷小

26. f(x)?x2在点x0处有增量?x?0.2，对应函数值增量的主部为1.2时，x0=（ ）

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A.3 B.-3 C.0.3 D.-0.3

三、填空题

f(1??x)?f(1)?2，则f?(1)? 。

?x?0?xf(1?2x)?f(1)2. 已知f?(1)?2，则lim? 。

x?0xf(x0??x)3. 若f(x0)?0，f?(x0)?4，则极限lim? 。

?x?0?xf(x0?h)?f(x0?h)4. 若f(x)在x0处的导数f?(x0)，则lim? 。

h?0hf(x)5. f'(0)存在且f(0)?0，则lim? 。

x?0xf(3?h)?f(3)6. 若f??3??2，则lim? 。

h?02h1. 已知lim7. 曲线y?ex在点x= 处切线与连接曲线上两点(0,1)，(1,e)的弦平行。 8. 若函数y?3x2?2，则y?? 。 9. 若函数y?3x2?5x?1，则y?? 。 10. 若函数y?2x3?x?1，则y?? 。

111. 若函数y?2x??43，则y?? 。

x??12. 若函数f(x)?2x3?5x2?3x?7，则f?(1)? 。 13. 设函数y?5x3?2x?3ex?2，y?? 。 14. 若函数y?x3?4cosx?sin?2，则y?? 。

15. 若函数y?exsinx，则y?? 。 16. 若函数y?excosx，则y?? 。 17. 若函数y?ecos2x，则y?? 。 18. 若函数y?xlnx，则y?? 。

sinx，则y?? 。

cosx?1?cosx20. 若函数y?，则y?? 。

sinx?1x?121. 若函数y?，则y?? 。

x?1x219. 若函数y? word版 整理

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x3?x?122. 若函数y?，则y?? 。 3x?1lnx，则y?? 。 xsin2x24. 若函数y?，则y?? 。

x23. 若函数y?25. 若函数y?cos?x3?1?，则y?? 。 26. 若函数y??x?x?1?，则y?? 。

53n27. 若函数y?lncos2x，则y?? 。 28. 若函数y?lncosx2，则y?? 。 29. 若函数y?lnx?1?x2，则y?? 。 30. 若函数y?x?x，则y?? 。

x，则y?? 。 2x32. 若函数y?sin2，则y?? 。

2??31. 若函数y?cos23?dy?x?acost33. 由参数方程?确定的函数的导数? 。 3dx??y?asint?t?dy?x?3e34. 由参数方程?确定的函数的导数? 。 tdx??y?2et?dy?x?esint35. 由参数方程?确定的函数的导数? 。 tdx??y?ecost?x?ln(1?t2)dy36. 由参数方程?确定的函数的导数? 。

dx?y?t?arctant37. 函数y?esinx的微分dy? 。 38. 函数y?e?axcosbx的微分dy? 。 39. 函数y?arcsin1?x2的微分dy? 。 40. 函数y?lncosx2的微分dy? 。 41. 函数y?ln1?x3的微分dy? 。 42. 函数y?x?x的微分dy? 。

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四、求解题

1. 已知f??2??3，求limx?0f?2?x??f?2?x?。

x 2. 已知limh?0h?3，求f??2?。

f?2??f?2?h?

?sinx,x?03. 求函数f?x???3在x?0处的是否可导，并讨论在x?0处的连续性。

?x,x?0

?sinxx?04. 求f?x???在x?0处的导数。

ln(1?x)x?0?

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5. 求f?x??x在x?0处的可导性。

6. 求f?x??x?1在x?1处的可导性。

1?2xsin,x?0?7. 求函数y??在x?0处的连续性与可导性。 x?x?0?0,

8. 求函数y?sinx在x?0处的连续性与可导性。

?x2;x?39. 使函数y??在x?3处可导，a,b应取什么值？

ax?b;x?3?

?x2;x?110. 使函数y??在x?1处可导，a,b应取什么值？

ax?b;x?1?

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11. 设f(x)在x0处的导数为f?(x0)，求lim

12. 设f(x)在x0处的导数为f?(x0)，求lim

13. 设f?(0)存在，且limf(x)?0，求limx?0x?0?x?0?x?0f(x0?3?x)?f(x0)。

?xf(x0?3?x)?f(x0?2?x)。

?xf(x)。 x

14. 求曲线y?lnx在点?e,1?处的切线的斜率，以及切线方程和法线方程。

15. 求曲线y?x2?x?2在点?1,2?处的切线方程和法线方程。

16. 求曲线y?

17. 求曲线y?ex在点?0,1?处的切线方程和法线方程。

18. 求曲线y?x2上的一点，使得曲线上过点x1?1，x2?3连线平行的切线。且求出过

该点的切线方程和法线方程。

19. f(x)?(x?a)?(x)，?(x)在x?a处有连续的一阶导数，求f'(a)。

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1?1?在点?,2?处的切线的斜率，以及切线方程和法线方程。 x?2? 范文 范例 指导 参考

20. f(x)?x(x?1)(x?2)???(x?2015)，求f'(0)。 21. 设函数y?1?lnx，求y?。 1?lnx22. 设函数y?ln(secx?tanx)，求y?。 23. 设函数y?ln(cscx?cotx)，求y?。 24. 设函数y?1?ln2x，求y?。

x??25. 设函数y?ln?tan?，求y?。

2??26. 设函数y?ln?ln?lnx??，求y?。 27. 设函数y?ex，求y?。 28. 设函数y?(3x3?5)5，求y?。

1?x23)，求y?。 29. 设函数y?(1?x330. 设函数y?cos34x，求y?。 31. 设函数y?ln?cosex?，求y?。 32. 设函数y?sin2x，求y?。 21?x33. 设函数y?lnsinx，求y?。 34. 设函数y?31?2x2，求y?。 35. 设函数y?ln?sinex?，求y?。 36. 设函数y? 37. 设函数y?3?x?1??x?2?，求y?。

?x?3??x?4?1?x，求y?。 1?x word版 整理

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38. 设函数y?x?2(3?x)4求y?。 5(x?1)x(x2?1)求y?。 22(x?1)39. 设函数y?3

40. 设函数y?xsinx，求y?。

41. 求由方程xy?3x2?5y?7?0所确定的隐函数y?f(x)的导数。 42. 求由方程y?1?xey所确定的隐函数y?f(x)的导数以及y?(0)。

43. 求由方程y?1?xey所确定的隐函数y?f(x)的导数。 44. 求由方程y2?2xy?b2?0所确定的隐函数y?f(x)的导数。 45. 求由方程xy?ex?y所确定的隐函数y?f(x)的导数。 46. 求由方程y2?2xy?9?0所确定的隐函数y?f(x)的导数。 47. 求由方程x3?y3?3axy?0所确定的隐函数y?f(x)的导数。 48. 求由方程xey?lny?5?0所确定的隐函数y?f(x)的导数。 49. 求曲线y?xlnx平行于直线2x?2y?3?0的法线方程。

t??x?2e50. 求曲线y??在t?0处的切线方程和法线方程。 ?t??y?e?x?sint?51. 求曲线?在t?所给参数值相应的点处的切线方程和法线方程。

4?y?cost word版 整理

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x2y2?1相切的切线方程。 52. 求过椭圆外一点(4,?1)与椭圆?63

53. 求y?e?tsint的二阶导数。 54. 求y?ln(1?x2)的二阶导数。 55. 求y?1的二阶导数。 1?x223d2y56. 求方程y?xy?2x所确定的隐函数y?f(x)的二阶导数2。

dx57. 设函数y?arccos(1?x)，求y?。 1?x1?x)，求y?。 1?x58. 设函数y?arcsin(59. 设函数y?arcsin1，求y?。 x60. 设函数y?(arcsinx)3，求y?。 61. 设函数y?esin1x，求y?。

62. 求y?sinx?e2x?1的二阶导数。 63. 求y?ln(x?1?x2)的二阶导数。 64. 设f(x)?(x?10)6,求f(5)??9?，f(20)?x?。 65. 求y?xlnx的n阶导数。 66. 求y?xex的n阶导数。 67. 求31.01的近似值。

68. 求3998.5的近似值。

69. 求26的近似值。

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70. 求lg11的近似值。（ln10?2.30585 小数点后保留4位数）

四、证明题

1. 证明当x很小时，近似公式1?x?1?

2. 证明当x很小时，近似公式ln(1?x)?x。

3. 证明当x很小时，近似公式tanx?x。（其中x的单位为弧度） 五、应用题

1. 半径为10厘米的金属圆片加热后，其半径增大了0.05cm，问该圆片面积增大了多少？

该圆片面积增大的近似值是多少？

x。 2 word版 整理

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