中考数学考点过关专题训练：考点试题分类汇编（二）

中考数学考点过关专题训练：考点试题分类汇编（二）

（含详细解析）

目录

中考数学考点过关专题训练：考点21 全等三角形（含解析） 中考数学考点过关专题训练：考点22 勾股定理（含解析） 中考数学考点过关专题训练：考点23 多边形（含解析） 中考数学考点过关专题训练：考点24 平行四边形（含解析） 中考数学考点过关专题训练：考点25 矩形（含解析） 中考数学考点过关专题训练：考点26 正方形（含解析） 中考数学考点过关专题训练：考点27 菱形（含解析） 中考数学考点过关专题训练：考点28 圆的有关概念（含解析） 中考数学考点过关专题训练：考点29 与园有关的位置关系（含解析） 中考数学考点过关专题训练：考点30 切线的性质和判定（含解析） 中考数学考点过关专题训练：考点31 弧长和扇形面积（含解析） 中考数学考点过关专题训练：考点32 尺规作图（含解析） 中考数学考点过关专题训练：考点33 命题与证明（含解析） 中考数学考点过关专题训练：考点34 图形的对称（含解析） 中考数学考点过关专题训练：考点35 图形的平移和旋转（含解析） 中考数学考点过关专题训练：考点36 相似三角形（含解析）

中考数学考点过关专题训练：考点37 锐角三角函数和解直角三角形（含解析） 中考数学考点过关专题训练：考点38 投影与视图（含解析） 中考数学考点过关专题训练：考点39 统计初步（含解析） 中考数学考点过关专题训练：考点40 概率初步（含解析） 中考数学考点过关专题训练：考点41 数据的搜集与处理（含解析）

考点21 全等三角形

一．选择题（共9小题）

1．（安顺）如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（ ）

A．∠B=∠C B．AD=AE C．BD=CE D．BE=CD

【分析】欲使△ABE≌△ACD，已知AB=AC，可根据全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加条件，逐一证明即可．

【解答】解：∵AB=AC，∠A为公共角，

A、如添加∠B=∠C，利用ASA即可证明△ABE≌△ACD； B、如添AD=AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；

C、如添BD=CE，等量关系可得AD=AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；

D、如添BE=CD，因为SSA，不能证明△ABE≌△ACD，所以此选项不能作为添加的条件． 故选：D．

2．（黔南州）下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是（ ）

A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．只有丙

【分析】根据三角形全等的判定方法得出乙和丙与△ABC全等，甲与△ABC不全等． 【解答】解：乙和△ABC全等；理由如下：

在△ABC和图乙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：SAS， 所以乙和△ABC全等；

在△ABC和图丙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：AAS， 所以丙和△ABC全等；

不能判定甲与△ABC全等； 故选：B．

3．（河北）已知：如图，点P在线段AB外，且PA=PB，求证：点P在线段AB的垂直平分线上，在证明该结论时，需添加辅助线，则作法不正确的是（ ）

A．作∠APB的平分线PC交AB于点C B．过点P作PC⊥AB于点C且AC=BC C．取AB中点C，连接PC D．过点P作PC⊥AB，垂足为C

【分析】利用判断三角形全等的方法判断即可得出结论．

【解答】解：A、利用SAS判断出△PCA≌△PCB，∴CA=CB，∠PCA=∠PCB=90°，∴点P在线段AB的垂直平分线上，符合题意；

C、利用SSS判断出△PCA≌△PCB，∴CA=CB，∠PCA=∠PCB=90°，∴点P在线段AB的垂直平分线上，符合题意；

D、利用HL判断出△PCA≌△PCB，∴CA=CB，∴点P在线段AB的垂直平分线上，符合题意， B、过线段外一点作已知线段的垂线，不能保证也平分此条线段，不符合题意； 故选：B．

4．（南京）如图，AB⊥CD，且AB=CD．E、F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD．若CE=a，BF=b，EF=c，则AD的长为（ ）

A．a+c B．b+c C．a﹣b+c D．a+b﹣c

【分析】只要证明△ABF≌△CDE，可得AF=CE=a，BF=DE=b，推出AD=AF+DF=a+（b﹣c）=a+b﹣c； 【解答】解：∵AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD，

∴∠AFB=∠CED=90°，∠A+∠D=90°，∠C+∠D=90°， ∴∠A=∠C，∵AB=CD， ∴△ABF≌△CDE， ∴AF=CE=a，BF=DE=b， ∵EF=c，

∴AD=AF+DF=a+（b﹣c）=a+b﹣c， 故选：D．

5．（临沂）如图，∠ACB=90°，AC=BC．AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，AD=3，BE=1，则DE的长是（ ）

A． B．2 C．2 D．

【分析】根据条件可以得出∠E=∠ADC=90°，进而得出△CEB≌△ADC，就可以得出BE=DC，就可以求出DE的值．

【解答】解：∵BE⊥CE，AD⊥CE， ∴∠E=∠ADC=90°， ∴∠EBC+∠BCE=90°． ∵∠BCE+∠ACD=90°， ∴∠EBC=∠DCA． 在△CEB和△ADC中，

，

∴△CEB≌△ADC（AAS）， ∴BE=DC=1，CE=AD=3． ∴DE=EC﹣CD=3﹣1=2 故选：B．

6．（台湾）如图，五边形ABCDE中有一正三角形ACD，若AB=DE，BC=AE，∠E=115°，则∠BAE的度数为何？（ ）

A．115 B．120 C．125 D．130

【分析】根据全等三角形的判定和性质得出△ABC与△AED全等，进而得出∠B=∠E，利用多边形的内角和解答即可．

【解答】解：∵正三角形ACD， ∴AC=AD，∠ACD=∠ADC=∠CAD=60°， ∵AB=DE，BC=AE， ∴△ABC≌△AED，

∴∠B=∠E=115°，∠ACB=∠EAD，∠BAC=∠ADE， ∴∠ACB+∠BAC=∠BAC+∠DAE=180°﹣115°=65°， ∴∠BAE=∠BAC+∠DAE+∠CAD=65°+60°=125°， 故选：C．

7．（成都）如图，已知∠ABC=∠DCB，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DCB的是（ ）

A．∠A=∠D B．∠ACB=∠DBC C．AC=DB D．AB=DC

【分析】全等三角形的判定方法有SAS，ASA，AAS，SSS，根据定理逐个判断即可．

【解答】解：A、∠A=∠D，∠ABC=∠DCB，BC=BC，符合AAS，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误；

B、∠ABC=∠DCB，BC=CB，∠ACB=∠DBC，符合ASA，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误； C、∠ABC=∠DCB，AC=BD，BC=BC，不符合全等三角形的判定定理，即不能推出△ABC≌△DCB，故本选项正确；

D、AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=BC，符合SAS，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误； 故选：C．

8．（黑龙江）如图，四边形ABCD中，AB=AD，AC=5，∠DAB=∠DCB=90°，则四边形ABCD的面积为（ ）

A．15 B．12.5 C．14.5 D．17

【分析】过A作AE⊥AC，交CB的延长线于E，判定△ACD≌△AEB，即可得到△ACE是等腰直角三角形，四边形ABCD的面积与△ACE的面积相等，根据S△ACE=

×5×5=12.5，即可得出结论．

【解答】解：如图，过A作AE⊥AC，交CB的延长线于E， ∵∠DAB=∠DCB=90°，

∴∠D+∠ABC=180°=∠ABE+∠ABC， ∴∠D=∠ABE，

又∵∠DAB=∠CAE=90°， ∴∠CAD=∠EAB， 又∵AD=AB， ∴△ACD≌△AEB，

∴AC=AE，即△ACE是等腰直角三角形， ∴四边形ABCD的面积与△ACE的面积相等， ∵S△ACE=

×5×5=12.5，

∴四边形ABCD的面积为12.5， 故选：B．

9．（绵阳）如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB，CE=CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上，若AE=

，AD=

，则两个三角形重叠部分的面积为（ ）

A． B．3 C． D．3

【分析】如图设AB交CD于O，连接BD，作OM⊥DE于M，ON⊥BD于N．想办法求出△AOB的面积．再求出OA与OB的比值即可解决问题；

【解答】解：如图设AB交CD于O，连接BD，作OM⊥DE于M，ON⊥BD于N．

∵∠ECD=∠ACB=90°， ∴∠ECA=∠DCB， ∵CE=CD，CA=CB， ∴△ECA≌△DCB， ∴∠E=∠CDB=45°，AE=BD=∵∠EDC=45°，

∴∠ADB=∠ADC+∠CDB=90°， 在Rt△ADB中，AB=∴AC=BC=2， ∴S△ABC=

×2×2=2，

=2

，

，

∵OD平分∠ADB，OM⊥DE于M，ON⊥BD于N， ∴OM=ON，

∵====，

∴S△AOC=2×故选：D．

=3﹣，

二．填空题（共4小题）

10．（金华）如图，△ABC的两条高AD，BE相交于点F，请添加一个条件，使得△ADC≌△BEC（不添加其他字母及辅助线），你添加的条件是 AC=BC ．

【分析】添加AC=BC，根据三角形高的定义可得∠ADC=∠BEC=90°，再证明∠EBC=∠DAC，然后再添加AC=BC可利用AAS判定△ADC≌△BEC． 【解答】解：添加AC=BC， ∵△ABC的两条高AD，BE， ∴∠ADC=∠BEC=90°，

∴∠DAC+∠C=90°，∠EBC+∠C=90°， ∴∠EBC=∠DAC， 在△ADC和△BEC中∴△ADC≌△BEC（AAS）， 故答案为：AC=BC．

11．（衢州）如图，在△ABC和△DEF中，点B，F，C，E在同一直线上，BF=CE，AB∥DE，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是 AB=ED （只需写一个，不添加辅助线）．

，

【分析】根据等式的性质可得BC=EF，根据平行线的性质可得∠B=∠E，再添加AB=ED可利用SAS判定△ABC≌△DEF． 【解答】解：添加AB=ED， ∵BF=CE， ∴BF+FC=CE+FC， 即BC=EF， ∵AB∥DE， ∴∠B=∠E， 在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（SAS）， 故答案为：AB=ED．

12．（绍兴）等腰三角形ABC中，顶角A为40°，点P在以A为圆心，BC长为半径的圆上，且BP=BA，则∠PBC的度数为 30°或110° ．

【分析】分两种情形，利用全等三角形的性质即可解决问题； 【解答】解：如图，当点P在直线AB的右侧时．连接AP． ∵AB=AC，∠BAC=40°， ∴∠ABC=∠C=70°， ∵AB=AB，AC=PB，BC=PA， ∴△ABC≌△BAP， ∴∠ABP=∠BAC=40°， ∴∠PBC=∠ABC﹣∠ABP=30°，

当点P′在AB的左侧时，同法可得∠ABP′=40°， ∴∠P′BC=40°+70°=110°， 故答案为30°或110°．

，

13．（随州）如图，在四边形ABCD中，AB=AD=5，BC=CD且BC＞AB，BD=8．给出以下判断： ①AC垂直平分BD；

②四边形ABCD的面积S=AC?BD；

③顺次连接四边形ABCD的四边中点得到的四边形可能是正方形； ④当A，B，C，D四点在同一个圆上时，该圆的半径为

；

⑤将△ABD沿直线BD对折，点A落在点E处，连接BE并延长交CD于点F，当BF⊥CD时，点F到直线AB的距离为

．

其中正确的是 ①③④ ．（写出所有正确判断的序号）

【分析】依据AB=AD=5，BC=CD，可得AC是线段BD的垂直平分线，故①正确；依据四边形ABCD的面积S=

，故②错误；依据AC=BD，可得顺次连接四边形ABCD的四边中点得到的四边形是正

方形，故③正确；当A，B，C，D四点在同一个圆上时，设该圆的半径为r，则r2=（r﹣3）2+42，得r=

，故④正确；连接AF，设点F到直线AB的距离为h，由折叠可得，四边形ABED是菱形，

×BD×OE=

×BE×DF，可得DF=

，进而得出EF=

，

AB=BE=5=AD=GD，BO=DO=4，依据S△BDE=再根据S△ABF=S梯形ABFD﹣S△ADF，即可得到h=

，故⑤错误．

【解答】解：∵在四边形ABCD中，AB=AD=5，BC=CD，

∴AC是线段BD的垂直平分线，故①正确； 四边形ABCD的面积S=

，故②错误；

当AC=BD时，顺次连接四边形ABCD的四边中点得到的四边形是正方形，故③正确； 当A，B，C，D四点在同一个圆上时，设该圆的半径为r，则 r2=（r﹣3）2+42， 得r=

，故④正确；

将△ABD沿直线BD对折，点A落在点E处，连接BE并延长交CD于点F，如图所示， 连接AF，设点F到直线AB的距离为h，

由折叠可得，四边形ABED是菱形，AB=BE=5=AD=GD，BO=DO=4， ∴AO=EO=3， ∵S△BDE=∴DF=

×BD×OE=

=

×BE×DF，

，

∵BF⊥CD，BF∥AD， ∴AD⊥CD，EF=

∵S△ABF=S梯形ABFD﹣S△ADF， ∴

×5h=

（5+5+

）×

﹣

×5×

，

=

，

解得h=，故⑤错误；

故答案为：①③④．

三．解答题（共23小题）

14．（柳州）如图，AE和BD相交于点C，∠A=∠E，AC=EC．求证：△ABC≌△EDC．

【分析】依据两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等进行判断． 【解答】证明：∵在△ABC和△EDC中，

，

∴△ABC≌△EDC（ASA）．

15．（云南）如图，已知AC平分∠BAD，AB=AD．求证：△ABC≌△ADC．

【分析】根据角平分线的定义得到∠BAC=∠DAC，利用SAS定理判断即可． 【解答】证明：∵AC平分∠BAD， ∴∠BAC=∠DAC， 在△ABC和△ADC中，

，

∴△ABC≌△ADC．

16．（泸州）如图，EF=BC，DF=AC，DA=EB．求证：∠F=∠C．

【分析】欲证明∠F=∠C，只要证明△ABC≌△DEF（SSS）即可； 【解答】证明：∵DA=BE，

∴DE=AB，

在△ABC和△DEF中，

，

∴△ABC≌△DEF（SSS）， ∴∠C=∠F．

17．（衡阳）如图，已知线段AC，BD相交于点E，AE=DE，BE=CE． （1）求证：△ABE≌△DCE； （2）当AB=5时，求CD的长．

【分析】（1）根据AE=DE，BE=CE，∠AEB和∠DEC是对顶角，利用SAS证明△AEB≌△DEC即可． （2）根据全等三角形的性质即可解决问题． 【解答】（1）证明：在△AEB和△DEC中，

，

∴△AEB≌△DEC（SAS）．

（2）解：∵△AEB≌△DEC， ∴AB=CD， ∵AB=5， ∴CD=5．

18．（通辽）如图，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF=CD，连接CF． （1）求证：△AEF≌△DEB；

（2）若AB=AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．

【分析】（1）由AF∥BC得∠AFE=∠EBD，继而结合∠EAF=∠EDB、AE=DE即可判定全等； （2）根据AB=AC，且AD是BC边上的中线可得∠ADC=90°，由四边形ADCF是矩形可得答案． 【解答】证明：（1）∵E是AD的中点， ∴AE=DE， ∵AF∥BC，

∴∠AFE=∠DBE，∠EAF=∠EDB， ∴△AEF≌△DEB（AAS）；

（2）连接DF，

∵AF∥CD，AF=CD，

∴四边形ADCF是平行四边形， ∵△AEF≌△DEB， ∴BE=FE， ∵AE=DE，

∴四边形ABDF是平行四边形， ∴DF=AB， ∵AB=AC， ∴DF=AC，

∴四边形ADCF是矩形．

19．（泰州）如图，∠A=∠D=90°，AC=DB，AC、DB相交于点O．求证：OB=OC．

【分析】因为∠A=∠D=90°，AC=BD，BC=BC，知Rt△BAC≌Rt△CDB（HL），所以AB=CD，证明△ABO与△CDO全等，所以有OB=OC．

【解答】证明：在Rt△ABC和Rt△DCB中

，

∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）， ∴∠OBC=∠OCB， ∴BO=CO．

20．（南充）如图，已知AB=AD，AC=AE，∠BAE=∠DAC． 求证：∠C=∠E．

【分析】由∠BAE=∠DAC可得到∠BAC=∠DAE，再根据“SAS”可判断△BAC≌△DAE，根据全等的性质即可得到∠C=∠E． 【解答】解：∵∠BAE=∠DAC，

∴∠BAE﹣∠CAE=∠DAC﹣∠CAE，即∠BAC=∠DAE， 在△ABC和△ADE中， ∵

，

∴△ABC≌△ADE（SAS）， ∴∠C=∠E．

21．（恩施州）如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD，AD交BE于O． 求证：AD与BE互相平分．

【分析】连接BD，AE，判定△ABC≌△DEF（ASA），可得AB=DE，依据AB∥DE，即可得出四边形ABDE是平行四边形，进而得到AD与BE互相平分． 【解答】证明：如图，连接BD，AE， ∵FB=CE， ∴BC=EF，

又∵AB∥ED，AC∥FD， ∴∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE， 在△ABC和△DEF中，

，

∴△ABC≌△DEF（ASA）， ∴AB=DE， 又∵AB∥DE，

∴四边形ABDE是平行四边形， ∴AD与BE互相平分．

22．（哈尔滨）已知：在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，且AC⊥BD，作BF⊥CD，垂足为点F，BF与AC交于点C，∠BGE=∠ADE． （1）如图1，求证：AD=CD；

（2）如图2，BH是△ABE的中线，若AE=2DE，DE=EG，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于△ADE面积的2倍．

【分析】（1）由AC⊥BD、BF⊥CD知∠ADE+∠DAE=∠CGF+∠GCF，根据∠BGE=∠ADE=∠CGF得出∠DAE=∠GCF即可得；

（2）设DE=a，先得出AE=2DE=2a、EG=DE=a、AH=HE=a、CE=AE=2a，据此知S△ADC=2a2=2S△ADE，证△ADE≌△BGE得BE=AE=2a，再分别求出S△ABE、S△ACE、S△BHG，从而得出答案． 【解答】解：（1）∵∠BGE=∠ADE，∠BGE=∠CGF， ∴∠ADE=∠CGF， ∵AC⊥BD、BF⊥CD，

∴∠ADE+∠DAE=∠CGF+∠GCF， ∴∠DAE=∠GCF， ∴AD=CD；

（2）设DE=a，

则AE=2DE=2a，EG=DE=a， ∴S△ADE=

AE?DE=

?2a?a=a，

2

∵BH是△ABE的中线， ∴AH=HE=a， ∵AD=CD、AC⊥BD， ∴CE=AE=2a， 则S△ADC=

AC?DE=

?（2a+2a）?a=2a2=2S△ADE；

在△ADE和△BGE中， ∵

，

∴△ADE≌△BGE（ASA）， ∴BE=AE=2a， ∴S△ABE=

AE?BE=

?（2a）?2a=2a2，

S△ACE=S△BHG=

CE?BE=HG?BE=

?（2a）?2a=2a， ?（a+a）?2a=2a，

2

2

综上，面积等于△ADE面积的2倍的三角形有△ACD、△ABE、△BCE、△BHG．

23．（武汉）如图，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，AF与DE交于点G，求证：GE=GF．

【分析】求出BF=CE，根据SAS推出△ABF≌△DCE，得对应角相等，由等腰三角形的判定可得结论． 【解答】证明：∵BE=CF， ∴BE+EF=CF+EF， ∴BF=CE， 在△ABF和△DCE中

∴△ABF≌△DCE（SAS）， ∴∠GEF=∠GFE， ∴EG=FG．

24．（咸宁）已知：∠AOB． 求作：∠A'O'B'，使∠A'O′B'=∠AOB

（1）如图1，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C、D；

（2）如图2，画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径间弧，交O′A′于点C′； （3）以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所而的弧交于点D′； （4）过点D′画射线O′B'，则∠A'O'B'=∠AOB． 根据以上作图步骤，请你证明∠A'O'B′=∠AOB．

【分析】由基本作图得到OD=OC=O′D′=O′C′，CD=C′D′，则根据“SSS“可证明△OCD≌△O′C′D′，然后利用全等三角形的性质可得到∠A'O'B′=∠AOB． 【解答】证明：由作法得OD=OC=O′D′=O′C′，CD=C′D′， 在△OCD和△O′C′D′中

，

∴△OCD≌△O′C′D′， ∴∠COD=∠C′O′D′， 即∠A'O'B′=∠AOB．

25．（安顺）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF． （1）求证：AF=DC；

（2）若AC⊥AB，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．

【分析】（1）连接DF，由AAS证明△AFE≌△DBE，得出AF=BD，即可得出答案；

（2）根据平行四边形的判定得出平行四边形ADCF，求出AD=CD，根据菱形的判定得出即可； 【解答】（1）证明：连接DF， ∵E为AD的中点， ∴AE=DE， ∵AF∥BC， ∴∠AFE=∠DBE， 在△AFE和△DBE中，

，

∴△AFE≌△DBE（AAS）， ∴EF=BE， ∵AE=DE，

∴四边形AFDB是平行四边形， ∴BD=AF， ∵AD为中线， ∴DC=BD， ∴AF=DC；

（2）四边形ADCF的形状是菱形，理由如下： ∵AF=DC，AF∥BC，

∴四边形ADCF是平行四边形， ∵AC⊥AB， ∴∠CAB=90°， ∵AD为中线， ∴AD=

BC=DC，

∴平行四边形ADCF是菱形；

26．（广州）如图，AB与CD相交于点E，AE=CE，DE=BE．求证：∠A=∠C．

【分析】根据AE=EC，DE=BE，∠AED和∠CEB是对顶角，利用SAS证明△ADE≌△CBE即可． 【解答】证明：在△AED和△CEB中，

，

∴△AED≌△CEB（SAS），

∴∠A=∠C（全等三角形对应角相等）．

27．（宜宾）如图，已知∠1=∠2，∠B=∠D，求证：CB=CD．

【分析】由全等三角形的判定定理AAS证得△ABC≌△ADC，则其对应边相等． 【解答】证明：如图，∵∠1=∠2， ∴∠ACB=∠ACD． 在△ABC与△ADC中，

，

∴△ABC≌△ADC（AAS）， ∴CB=CD．

28．（铜仁市）已知：如图，点A、D、C、B在同一条直线上，AD=BC，AE=BF，CE=DF，求证：AE∥BF．

【分析】可证明△ACE≌△BDF，得出∠A=∠B，即可得出AE∥BF； 【解答】证明：∵AD=BC，∴AC=BD， 在△ACE和△BDF中，∴△ACE≌△BDF（SSS） ∴∠A=∠B， ∴AE∥BF；

29．（温州）如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，AD∥EC，∠AED=∠B． （1）求证：△AED≌△EBC． （2）当AB=6时，求CD的长．

，

【分析】（1）利用ASA即可证明；

（2）首先证明四边形AECD是平行四边形，推出CD=AE=【解答】（1）证明：∵AD∥EC， ∴∠A=∠BEC， ∵E是AB中点， ∴AE=EB， ∵∠AED=∠B， ∴△AED≌△EBC．

（2）解：∵△AED≌△EBC， ∴AD=EC， ∵AD∥EC，

AB即可解决问题；

∴四边形AECD是平行四边形， ∴CD=AE， ∵AB=6， ∴CD=

30．（菏泽）如图，AB∥CD，AB=CD，CE=BF．请写出DF与AE的数量关系，并证明你的结论．

AB=3．

【分析】结论：DF=AE．只要证明△CDF≌△BAE即可； 【解答】解：结论：DF=AE． 理由：∵AB∥CD， ∴∠C=∠B， ∵CE=BF，

∴CF=BE，∵CD=AB， ∴△CDF≌△BAE， ∴DF=AE．

31．（苏州）如图，点A，F，C，D在一条直线上，AB∥DE，AB=DE，AF=DC．求证：BC∥EF．

【分析】由全等三角形的性质SAS判定△ABC≌△DEF，则对应角∠ACB=∠DFE，故证得结论． 【解答】证明：∵AB∥DE， ∴∠A=∠D， ∵AF=DC， ∴AC=DF．

∴在△ABC与△DEF中，

，

∴△ABC≌△DEF（SAS）， ∴∠ACB=∠DFE， ∴BC∥EF．

32．（嘉兴）已知：在△ABC中，AB=AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，且DE=DF．求证：△ABC是等边三角形．

【分析】只要证明Rt△ADE≌Rt△CDF，推出∠A=∠C，推出BA=BC，又AB=AC，即可推出AB=BC=AC； 【解答】证明：∵DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F， ∴∠AED=∠CFD=90°， ∵D为AC的中点， ∴AD=DC，

在Rt△ADE和Rt△CDF中，

，

∴Rt△ADE≌Rt△CDF， ∴∠A=∠C， ∴BA=BC，∵AB=AC， ∴AB=BC=AC，

∴△ABC是等边三角形．

33．（滨州）已知，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D为BC的中点． （1）如图①，若点E、F分别为AB、AC上的点，且DE⊥DF，求证：BE=AF；

（2）若点E、F分别为AB、CA延长线上的点，且DE⊥DF，那么BE=AF吗？请利用图②说明理由．

【分析】（1）连接AD，根据等腰三角形的性质可得出AD=BD、∠EBD=∠FAD，根据同角的余角相等可得出∠BDE=∠ADF，由此即可证出△BDE≌△ADF（ASA），再根据全等三角形的性质即可证出BE=AF； （2）连接AD，根据等腰三角形的性质及等角的补角相等可得出∠EBD=∠FAD、BD=AD，根据同角的余角相等可得出∠BDE=∠ADF，由此即可证出△EDB≌△FDA（ASA），再根据全等三角形的性质即可得出BE=AF．

【解答】（1）证明：连接AD，如图①所示． ∵∠A=90°，AB=AC，

∴△ABC为等腰直角三角形，∠EBD=45°． ∵点D为BC的中点， ∴AD=

BC=BD，∠FAD=45°．

∵∠BDE+∠EDA=90°，∠EDA+∠ADF=90°， ∴∠BDE=∠ADF． 在△BDE和△ADF中，∴△BDE≌△ADF（ASA）， ∴BE=AF；

（2）BE=AF，证明如下： 连接AD，如图②所示． ∵∠ABD=∠BAD=45°， ∴∠EBD=∠FAD=135°．

∵∠EDB+∠BDF=90°，∠BDF+∠FDA=90°， ∴∠EDB=∠FDA． 在△EDB和△FDA中，∴△EDB≌△FDA（ASA）， ∴BE=AF．

， ，

34．（怀化）已知：如图，点A．F，E．C在同一直线上，AB∥DC，AB=CD，∠B=∠D． （1）求证：△ABE≌△CDF；

（2）若点E，G分别为线段FC，FD的中点，连接EG，且EG=5，求AB的长．

【分析】（1）根据平行线的性质得出∠A=∠C，进而利用全等三角形的判定证明即可； （2）利用全等三角形的性质和中点的性质解答即可． 【解答】证明：（1）∵AB∥DC， ∴∠A=∠C， 在△ABE与△CDF中∴△ABE≌△CDF（ASA）；

（2）∵点E，G分别为线段FC，FD的中点， ∴ED=

CD，

，

∵EG=5， ∴CD=10， ∵△ABE≌△CDF， ∴AB=CD=10．

35．（娄底）如图，已知四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD，过O点作EF⊥BD，分别交AD、BC于点E、F． （1）求证：△AOE≌△COF；

（2）判断四边形BEDF的形状，并说明理由．

【分析】（1）首先证明四边形ABCD是平行四边形，再利用ASA证明△AOE≌△COF； （2）结论：四边形BEDF是菱形．根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明； 【解答】（1）证明：∵OA=OC，OB=OD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠EAO=∠FCO， 在△AOE和△COF中，

，

∴△AOE≌△COF．

（2）解：结论：四边形BEDF是菱形， ∵△AOE≌△COF， ∴AE=CF， ∵AD=BC，

∴DE=BF，∵DE∥BF， ∴四边形BEDF是平行四边形， ∵OB=OD，EF⊥BD， ∴EB=ED，

∴四边形BEDF是菱形．

36．（桂林）如图，点A、D、C、F在同一条直线上，AD=CF，AB=DE，BC=EF． （1）求证：△ABC≌DEF；

（2）若∠A=55°，∠B=88°，求∠F的度数．

【分析】（1）求出AC=DF，根据SSS推出△ABC≌△DEF．

（2）由（1）中全等三角形的性质得到：∠A=∠EDF，进而得出结论即可． 【解答】证明：（1）∵AC=AD+DC，DF=DC+CF，且AD=CF ∴AC=DF

在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SSS） （2）由（1）可知，∠F=∠ACB ∵∠A=55°，∠B=88°

∴∠ACB=180°﹣（∠A+∠B）=180°﹣（55°+88°）=37° ∴∠F=∠ACB=37°

考点22 勾股定理

一．选择题（共7小题）

1．（滨州）在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（ ） A．5

B．6

C．7

D．8

【分析】直接根据勾股定理求解即可．

【解答】解：∵在直角三角形中，勾为3，股为4， ∴弦为故选：A．

=5．

2．（枣庄）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若AC=3，AB=5，则CE的长为（ ）

A． B． C． D．

【分析】根据三角形的内角和定理得出∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，根据角平分线和对顶角相等得出∠CEF=∠CFE，即可得出EC=FC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案． 【解答】解：过点F作FG⊥AB于点G， ∵∠ACB=90°，CD⊥AB， ∴∠CDA=90°，

∴∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°， ∵AF平分∠CAB， ∴∠CAF=∠FAD， ∴∠CFA=∠AED=∠CEF， ∴CE=CF，

∵AF平分∠CAB，∠ACF=∠AGF=90°， ∴FC=FG，

∵∠B=∠B，∠FGB=∠ACB=90°， ∴△BFG∽△BAC， ∴

=

，

∵AC=3，AB=5，∠ACB=90°， ∴BC=4， ∴

=

，

∵FC=FG， ∴

=

， ，

解得：FC=

即CE的长为故选：A．

．

3．（泸州）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（ ）

A．9 B．6 C．4 D．3

【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长．

【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b， ∵每一个直角三角形的面积为：∴4×

ab+（a﹣b）2=25，

ab=

×8=4，

∴（a﹣b）2=25﹣16=9， ∴a﹣b=3， 故选：D．

4．（温州）我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a=3，b=4，则该矩形的面积为（ ）

A．20 B．24 C． D．

【分析】欲求矩形的面积，则求出小正方形的边长即可，由此可设小正方形的边长为x，在直角三角形ACB中，利用勾股定理可建立关于x的方程，解方程求出x的值，进而可求出该矩形的面积． 【解答】解：设小正方形的边长为x， ∵a=3，b=4， ∴AB=3+4=7，

在Rt△ABC中，AC+BC=AB， 即（3+x）2+（x+4）2=72， 整理得，x+7x﹣12=0， 解得x=

或x=

（舍去）， +3）（

+4）=24，

2

2

2

2

∴该矩形的面积=（故选：B．

5．（娄底）如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，小正方形的面积为49，则sinα﹣cosα=（ ）

A． B．﹣ C． D．﹣

【分析】分别求出大正方形和小正方形的边长，再利用勾股定理列式求出AC，然后根据正弦和余弦的定义即可求sinα和cosα的值，进而可求出sinα﹣cosα的值．

【解答】解：∵小正方形面积为49，大正方形面积为169， ∴小正方形的边长是7，大正方形的边长是13， 在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2， 即AC+（7+AC）=13， 整理得，AC+7AC﹣60=0， 解得AC=5，AC=﹣12（舍去）， ∴BC=∴sinα=

=

=12， ，cosα=﹣

=﹣

=

， ，

2

2

2

2

∴sinα﹣cosα=故选：D．

6．（长沙）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里=500米，则该沙田的面积为（ ）

A．7.5平方千米 B．15平方千米 C．75平方千米 D．750平方千米 【分析】直接利用勾股定理的逆定理进而结合直角三角形面积求法得出答案． 【解答】解：∵52+122=132，

∴三条边长分别为5里，12里，13里，构成了直角三角形， ∴这块沙田面积为：故选：A．

7．（东营）如图所示，圆柱的高AB=3，底面直径BC=3，现在有一只蚂蚁想要从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食，则它爬行的最短距离是（ ）

×5×500×12×500=7500000（平方米）=7.5（平方千米）．

A． B． C． D．

【分析】要求最短路径，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，然后利用勾股定理即可求解．

【解答】解：把圆柱侧面展开，展开图如右图所示，点A、C的最短距离为线段AC的长． 在Rt△ADC中，∠ADC=90°，CD=AB=3，AD为底面半圆弧长，AD=1.5π， 所以AC=故选：C．

，

二．填空题（共8小题）

8．（吉林）如图，在平面直角坐标系中，A（4，0），B（0，3），以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，则点C坐标为 （﹣1，0） ．

【分析】求出OA、OB，根据勾股定理求出AB，即可得出AC，求出OC长即可． 【解答】解：∵点A，B的坐标分别为（4，0），（0，3）， ∴OA=4，OB=3，

在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB=∴AC=AB=5，

=5，

∴OC=5﹣4=1，

∴点C的坐标为（﹣1，0）， 故答案为：（﹣1，0），

9．（玉林）如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，则AD的取值范围是 2＜AD＜8 ．

【分析】如图，延长BC交AD的延长线于E，作BF⊥AD于F．解直角三角形求出AE、AF即可判断； 【解答】解：如图，延长BC交AD的延长线于E，作BF⊥AD于F．

在Rt△ABE中，∵∠E=30°，AB=4， ∴AE=2AB=8， 在Rt△ABF中，AF=

AB=2，

∴AD的取值范围为2＜AD＜8， 故答案为2＜AD＜8．

10．（襄阳）已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD=2

．

，AD=1，AB=2AC，则BC的长为 2

或

【分析】分两种情况：

①当△ABC是锐角三角形，如图1， ②当△ABC是钝角三角形，如图2， 分别根据勾股定理计算AC和BC即可． 【解答】解：分两种情况： ①当△ABC是锐角三角形，如图1，

∵CD⊥AB， ∴∠CDA=90°， ∵CD=

，AD=1，

∴AC=2， ∵AB=2AC， ∴AB=4， ∴BD=4﹣1=3， ∴BC=

=

=2

；

②当△ABC是钝角三角形，如图2， 同理得：AC=2，AB=4， ∴BC=

=

或2．

=2．

；

综上所述，BC的长为2故答案为：2

或2

11．（盐城）如图，在直角△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，P、Q分别为边BC、AB上的两个动点，若要使△APQ是等腰三角形且△BPQ是直角三角形，则AQ=

或

．

【分析】分两种情形分别求解：①如图1中，当AQ=PQ，∠QPB=90°时，②当AQ=PQ，∠PQB=90°时；

【解答】解：①如图1中，当AQ=PQ，∠QPB=90°时，设AQ=PQ=x， ∵PQ∥AC， ∴△BPQ∽△BCA， ∴∴∴x=∴AQ=

==， ． ， ，

②当AQ=PQ，∠PQB=90°时，设AQ=PQ=y． ∵△BQP∽△BCA， ∴∴∴y=

=

．

或

．

=

， ，

综上所述，满足条件的AQ的值为

12．（黔南州）如图，已知在△ABC中，BC边上的高AD与AC边上的高BE交于点F，且∠BAC=45°，BD=6，CD=4，则△ABC的面积为 60 ．

【分析】首先证明△AEF≌△BEC，推出AF=BC=10，设DF=x．由△ADC∽△BDF，推出方程求出x即可解决问题；

【解答】解：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠AEF=∠BEC=∠BDF=90°，

=，构建

∵∠BAC=45°， ∴AE=EB，

∵∠EAF+∠C=90°，∠CBE+∠C=90°， ∴∠EAF=∠CBE， ∴△AEF≌△BEC， ∴AF=BC=10，设DF=x． ∵△ADC∽△BDF， ∴∴

==， ，

整理得x2+10x﹣24=0， 解得x=2或﹣12（舍弃）， ∴AD=AF+DF=12， ∴S△ABC=

?BC?AD=

×10×12=60．

故答案为60．

13．（滨州）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点E、F分别在BC、CD上，若AE=则AF的长为

．

，∠EAF=45°，

【分析】取AB的中点M，连接ME，在AD上截取ND=DF，设DF=DN=x，则NF=x，再利用矩形的性

质和已知条件证明△AME∽△FNA，利用相似三角形的性质：对应边的比值相等可求出x的值，在直角三角形ADF中利用勾股定理即可求出AF的长．

【解答】解：取AB的中点M，连接ME，在AD上截取ND=DF，设DF=DN=x， ∵四边形ABCD是矩形，

∴∠D=∠BAD=∠B=90°，AD=BC=4， ∴NF=

x，AN=4﹣x，

∵AB=2， ∴AM=BM=1，

∵AE=，AB=2，

∴BE=1， ∴ME=

∵∠EAF=45°， ∴∠MAE+∠NAF=45°， ∵∠MAE+∠AEM=45°， ∴∠MEA=∠NAF， ∴△AME∽△FNA， ∴∴解得：x=∴AF=故答案为：

， ， ，

=．

．

=

，

14．（湘潭）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，AC+AB=10，BC=3，求AC的长，如果设AC=x，则可列方程为 x+3=（10﹣x）2 ．

2

2

【分析】设AC=x，可知AB=10﹣x，再根据勾股定理即可得出结论． 【解答】解：设AC=x， ∵AC+AB=10，

∴AB=10﹣x．

∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°， ∴AC2+BC2=AB2，即x2+32=（10﹣x）2． 故答案为：x+3=（10﹣x）．

15．（黄冈）如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为 20 cm（杯壁厚度不计）．

2

2

2

【分析】将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求． 【解答】解：如图：

将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′， 连接A′B，则A′B即为最短距离，A′B=故答案为20．

三．解答题（共2小题）

16．（杭州）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段AB于点D；以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E，连结CD． （1）若∠A=28°，求∠ACD的度数．

=

=20（cm）．

（2）设BC=a，AC=b．

①线段AD的长是方程x2+2ax﹣b2=0的一个根吗？说明理由． ②若AD=EC，求

的值．

【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠B，根据等腰三角形的性质求出∠BCD，计算即可； （2）①根据勾股定理求出AD，利用求根公式解方程，比较即可； ②根据勾股定理列出算式，计算即可． 【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，∠A=28°， ∴∠B=62°， ∵BD=BC，

∴∠BCD=∠BDC=59°， ∴∠ACD=90°﹣∠BCD=31°； （2）①由勾股定理得，AB=∴AD=

﹣a，

=

，

解方程x2+2ax﹣b2=0得，x==﹣a，

∴线段AD的长是方程x2+2ax﹣b2=0的一个根； ②∵AD=AE， ∴AE=EC=

，

b+a）2，

由勾股定理得，a2+b2=（整理得，

=

．

17．（台湾）嘉嘉参加机器人设计活动，需操控机器人在5×5的方格棋盘上从A点行走至B点，且每个小方格皆为正方形，主办单位规定了三条行走路径R1，R2，R3，其行经位置如图与表所示：

路径 编号 图例 行径位置

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/mw4.html