第三章习题和答案分解

第三章习题和答案

100h21. 计算能量在E=Ec到E?EC?*2 之间单位体积中的量子态数。

8mnL解：

2. 试证明实际硅、锗中导带底附近状态密度公式为式（3-6）。

22h2kx?kykz2导带底附近（Ek）?EC?(?)2mtml1（2m）dZg(E)??4?V(E?EC)23dEhdZ单位体积内的量子态数Z0?VEc?100h2?28mnl3*2n1Z0?VEc?100h2?28mnlEC3*2n?g(E)dE?EC?1（2m）4?(E?EC)2dE3h3*2n3（2m）22?4?(E?E)Ch33100h2Ec??28mnLEc?1000?3L3x2y2z2对于椭球方程： 2?2?2?1abc2mt(E(k)?EC)?a?b?[]2??h则：??c?[2ml(E(k)?EC)]1/2?h2?椭球体积公式： V=1/24?abc34?2mt(E(k)?Ec)2ml(E(k)?Ec)1/2?v??[]223hh4??3(8mt2ml)1/2?(E(k)?EC)3/23h?dv??4?21/231/2(8mm)??(E(k)?E)dEtlC33h22?21/21/2(8mm)?(E(k)?E)dEtlC3h

在E~E?dE空间内的量子态数dZ

dZ?2VdV 2?=2V?3(8mt2ml)1/2(E(k)?EC)1/2dEh

又因为，导带极值不是1个，而是s个，则： 2?2V?3(8mt2ml)1/2(E(k)?EC)1/2dEdZh g(E)?=S?dEdE 4S?V?(8mt2ml)1/2(E(k)?EC)1/23 h若令： (2mdn)3/2?S(8mt2ml)1/2 12*33?2则有：mn?mdn?s?mtml??

3. 当E-EF为1.5k0T，4k0T, 10k0T时，分别用费米分布函数和玻耳兹曼分布函数计算电子占据各该能级的概率。

费米能级 E?EF1.5k0T 4k0T 10k0T

4. 画出-78oC、室温（27 oC）、500 oC三个温度下的费米分布函数曲线，并进行比较。 y=(1.38065e-23)*(273.15-78)*log(1./x-1);(图中红色)

y=(1.38065e-23)*(273.15+27)*log(1./x-1); （图中粗蓝色）

费米函数 1E?EF1?ek0T0.182 0.018 4.54?10?5玻尔兹曼分布函数 f(E)?f(E)?e?E?EFk0T0.223 0.0183 4.54?10?5y=(1.38065e-23)*(273.15+300)*log(1./x-1); （图中细蓝色）

5. 利用表3-2中的m*n，m*p数值，计算硅、锗、砷化镓在室温下的NC , NV以及本征载流子的浓度。

?3?2?k0Tmn2?NC?2(h2)?2?k0Tm??p32)?NV?2(2h?Eg??1?ni?(NcNv)2e2koT???Ge:mn?0.56m0;m?p?0.37m0;Eg?0.67ev?????Si:mn?1.08m0;mp?0.59m0;Eg?1.12ev???GaAs:m?0.068m;m?n0p?0.47m0;Eg?1.428ev?19

-3

18

-3

13

-3

Ge：Nc=1.05×10cm Nv=5.7×10cm Ni=2.0×10cm Si：Nc=2.80×1019cm-3 Nv=1.1×1019cm-3 Ni=7.8×109cm-3 GaAs: Nc=4.5×1017cm-3 Nv=8.1×1018cm-3 Ni=2.3×106cm-3

6. 计算硅在-78 oC，27 oC，300 oC时的本征费米能级，假定它在禁带中间合理吗？

????Si的本征费米能级，表3-2Si:m?1.08m,m n0p?0.59m0???EC?EV3k0Tmp EF?Ei??ln? (3-30)24mn

3k0T10.59m0当T?195K时，kT?0.016eV,ln??0.0072eV01 141.08m0 3kT0.59当T2?300K时，k0T2?0.026eV,02ln??0.01166eV41.08

3k0T30.59当T?573K时，kT?0.0497eV,ln??0.022eV03 241.08 所以假设本征费米能级在禁带中间合理，特别是温度不太高的情况下。 7. ①在室温下，锗的有效状态密度Nc=1.05?1019cm-3，NV=5.7?1018cm-3，试求锗的载流子有效质量m*n m*p。计算77K时的NC 和NV。 已知300K时，Eg=0.67eV。77k时Eg=0.76eV。求这两个温度时锗的本征载流子浓度。②77K时，锗的电子浓度为1017cm-3 ，假定受主浓度为零，而Ec-ED=0.01eV，求锗中施主浓度ED为多少？

?32?k0Tmn2解：（）根据1Nc?2()2h2?k0Tm?p32Nv?2()得h2?mn?h?Nc??31?5.1?10kg?2?k0T?2??223223h?Nv?m???2?k0T?2??p?3.39?10?31kg（2）根据：?32?k0Tmn2Nc?2()2hN(T)T有C1?(1)3/2NC(T2)T2N(T)T同理：V1?(1)3/2NV(T2)T2'?NC?NC?（

773773）?1.05?1019?（）?1.37?1018/cm3300300773773'NV?NV?（）?5.7?1018?（）?7.41?1017/cm3300300

(3)ni?(NcNv)2e1?Eg2koT1?0.672k0?300?室温：ni?(1.05?10?5.7?10)2e1918?1.96?1013/cm3?1.42?10?7/cm3

77K时，ni?(1.37?1018?7.41?1017)2e?EC?EFn0?Ncexp(?)则有ek0T?同时有n0?nD?EC?EFk0T10.762k0?77?n0NCND?ED?Ec?EC?EFk0TND1?2exp?ED?EFk0T?1?2e?NDn1?2?0ek0TNC?EDn0?ED10170.0117173?ND?n0(1?2exp())?10(1?2?exp())?1.65?10/cmNCk0T1.37?10180.00678. 利用题 7所给的Nc 和NV数值及Eg=0.67eV，求温度为300K和500K时，含施主浓度ND=5?1015cm-3，受主浓度NA=2?109cm-3的锗中电子及空穴浓度为多少？

4.774?10?4T2Eg?Eg(0K)? ?Eg?0??0.74eV Eg?500K??0.60eVT?235300K时：ni?(NcNV)2e'C'V121?Eg2k0TEg2k0T'?2.0?1013/cm3?1.6?1016/cm3?500K时：ni?(NN)e根据电中性条件：导带电子由有效施主和本征激发共同提供??n0?p0+(ND?NA)22?n?n(N?N)?n?00DAi?02??n0p0?niN?NA?ND?NA2??n0?D??()?ni2?22??ni2p0?n0153??n0?5?10/cmT?300K时：?103p?7.68?10/cm??0153??n0?9.84?10/cmt?500K时：?153p?4.84?10/cm??012

其中：300K时，n0?ND?NA?p0?ND=5×1015cm-3

ni2(1.96?1013)210?3 p0? ??7.68?10cm15n05?10 9.计算施主杂质浓度分别为1016cm3，,1018 cm-3，1019cm-3的硅在室温下的费米能级，

并假定杂质是全部电离，再用算出的的费米能 级核对一下，上述假定是否在每一种情况下都成立。计算时，取施主能级在导带底下的面的0.05eV。

193?ND?NC?2.8?10/cmEF?Ec?k0Tln,T?300K时,?103NC??ni?1.5?10/cm或EF?Ei?k0TlnNDNDND(2)163ND,Ni1016?10/cm;EF?Ec?0.026ln?Ec?0.21eV192.8?101018183?10/cm;EF?Ec?0.026ln?Ec?0.087eV2.8?10191019193?10/cm;EF?Ec?0.026ln?Ec?0.027eV192.8?10EC?ED?0.05eV施主杂质全部电离标准为90%,10%占据施主111?e2ED?EFk0TnD?ND是否?10%?nD或?ND11?2eED?EF?k0T?90?0.42%成立0.1610.0261?e2

?ND?1016:nD?ND11?e2ED?EC?0.210.0261?32.5%不成立0.03710.0261?e2n1ND?1019:D??82.9%?10%不成立?0.023ND10.0261?e2'（2）求出硅中施主在室温下全部电离的上限2N?ED??(D)expD(未电离施主占总电离杂质数的百分比）NCk0TND?1018:0.1NC2ND0.0510%?exp,ND?exp0.026?2.05?1017/cm3NC0.0262ND?1016小于2.05?1017cm3全部电离ND?10,10?2.05?10cm没有全部电离1819173?0.05nD?ND

''（也可比较ED与EF，ED?EF??k０T全电离 2）

ND?1016/cm3;ED?EF??0.05?0.21?0.16??0.026成立，全电离

ND?1018/cm3;ED?EF?0.037~0.026EF在ED之下，但没有全电离 ND?1019/cm3;ED?EF??0.023?0.026，EF在ED之上，大部分没有电离 10. 以施主杂质电离90%作为强电离的标准，求掺砷的n型锗在300K时，以杂质电

离为主的饱和区掺杂质的浓度范围。

As的电离能?ED?0.0127eV,NC?1.05?1019/cm3

室温300K以下，As杂质全部电离的掺杂上限 2ND?ED??exp(D)NCk0T

10%?

2ND0.0127expNC0.0260.01270.0127 0.1NC?0.0260.1?1.05?1019?0.026?ND上限?e?e?3.22?1017/cm322

As掺杂浓度超过ND上限的部分，在室温下不能电离

Ge的本征浓度ni?2.4?1013/cm3

?As的掺杂浓度范围5ni~ND上限，即有效掺杂浓度为2.4?1014~3.22?1017/cm3

11. 若锗中施主杂质电离能?ED=0.01eV，施主杂质浓度分别为ND=1014cm-3及

1017cm-3。计算①99%电离；②90%电离；③50%电离时温度各为多少？

[解]未电离杂质占的百分比为：

D_?求得：

2ND?ED?EDD_Ncexp?＝ln； Nck0Tk0T2ND?ED0.01116?19??1.6?10?； ?23k0TT1.38?10T2(2?mkT)Nc??2?1015(T2)/cm3

h*n03323116D_NcD_?2?10?T1015∴?ln?ln()?ln(D_T2)

T2ND2NDND(1) ND=10cm，99%电离，即D_=1-99%=0.01

14

-3

153231163?ln(10?1T2)?lnT?2.3 T23即：

1163?lnT?2.3, T＝37.2K T21163?ln104T2?lnT?4ln10 T23将ND=1017cm-3，D_=0.01代入得：

即：

1163?lnT?9.2, T=536K T2ND?1014cm?3 ?(2) 90%时，D_=0.1

?ED0.1Nc?ln k0T2ND331160.1?2?1015210142?lnT?lnT T2NDND1163?lnT, T=24.3K T21163ND=1017cm-3得：?lnT?3ln10

T21163即：?lnT?6.9； T=160.5K

T2即：

(3) 50％电离不能再用上式 ∵nD?nD??ND 2即：

NDND ?E?EE?E1FF1?exp(D)1?2exp(?D)2k0Tk0TED?EFE?EF)?4exp(?D) k0Tk0TED?EFE?EF?ln4?D

k0Tk0T∴exp(即：EF?ED?k0Tln2

n0?Ncexp(?取对数后得：

Ec?EFN)?D k0T2?EC?ED?k0Tln2N?lnD

k0T2Nc整理得下式：

?ED?ln2?lnND2Nc ∴ ?EDNk?lnDk 0T0TNc即：

?EDk?lnNc 0TND当N14

-3

D＝10cm时，

3116153?2?10?T2Tln1014?ln(20T2)?32lnT?ln20 得

1163T?2lnT?3 ,T=16K 当N17-3

时1163D＝10cmT?2lnT?3.9 ,T=25k

12. 若硅中施主杂质电离能?ED=0.04eV，施主杂质浓度分别为1015cm-3，算①99%电离；②90%电离；③50%电离时温度各为多少？

18cm-3。计

10

13. 有一块掺磷的 n型硅，ND=1015cm-3,分别计算温度为①77K；②300K；③500K；④

800K时导带中电子浓度（本征载流子浓度数值查图3-7） 解：查出NC=2.8×1019cm-3，

77K时，为低温弱电离区：

772772NC.(77K)?NC(300K)?()?2.5?1019?()?3.64?1018 cm-3

30030033公式n0?(NDNC1/2)e2??ED2k0T?10?3.64?10=??2?1518?2?1.38?10?23?7715-3

?=1.54×10cm e??12?0.044?1.6?10?19这样，出现n0>ND=1015cm-3,跟假设的n型半导体处于低温弱电离区矛盾。

?根据：n0?nD可以得到：

NCe? EC?EFk0T?NCe? EC?EDk0T?e? ED?EFk0T?NCe? ?EDk0T?e? ? ED?EFk0T?ND1?2e? ED?EFk0T

代入数值有：3.64?10?eED?EFk0T18? 0.044?1.6?101.38?10-23?77-19?eED?EFk0T=

10151?2e? ED?EFk0T

解出：e? 1015?7.60×1014cm-3 =0.1575 ?n0?1?2?0.1575

14. 计算含有施主杂质浓度为ND=9?1015cm-3，及受主杂质浓度为1.1?1016cm3，的硅在

33K时的电子和空穴浓度以及费米能级的位置。

解：T?300K时，Si的本征载流子浓度ni?1.5?1010cm?3,掺杂浓度远大于本征载流子浓度，处于强电离饱和区p0?NA?ND?2?1015cm?3ni2n0??1.125?105cm?3 p0p02?1015EF?EV??k0Tln??0.026ln?0.224eV19Nv1.1?10p02?1015或：EF?Ei??k0Tln??0.026ln??0.336eVni1.5?101015. 掺有浓度为每立方米为10硼原子的硅材料，分别计算①300K；②600K时费米

能级的位置及多子和少子浓度（本征载流子浓度数值查图3-7）。

(1)T?300K时，ni?1.5?1010/cm3,杂质全部电离ap0?1022/106?1016/cm3ni2n0??2.25?104/cm3p0p01016EE?Ei??k0Tln??0.026ln10??0.359eVni10p01016或EE?EV??k0Tln??k0Tln??0.184eVNv1.1?1019(2)T?600K时，ni?1?1016/cm3处于过渡区：p0?n0?NAn0p0?ni2p0?1.62?1016/cm3n0?6.17?1015/cm322

EF?Ei??k0Tsh?1(NA)?2ni0.025eV

16. 掺有浓度为每立方米为1.5?1023砷原子 和每立方米5?1022铟的锗材料，分别计

算①300K；②600K时费米能级的位置及多子和少子浓度（本征载流子浓度数值查图3-7）。

解：ND?1.5?1017cm?3,NA?5?1016cm?3300K:ni?2?1013cm?3杂质在300K能够全部电离，杂质浓度远大于本征载流子浓度，所以处于强电离饱和区n0?ND?NA?1?1017cm?3ni24?1026p0???109cm?317n01?10EF?EC?k0TlnNDeffNC?k0Tlnn0?-0.12eV NC600K:ni?2?1017cm?3本征载流子浓度与掺杂浓度接近，处于过度区n0?NA?p0?NDn0p0?ni2ND?NA?(ND?NA)2?4ni2n0??2.6?10172ni2p0??1.6?1017n0n02.6?1017EF?Ei?k0Tln?0.072ln?0.013eV17ni2?10

17. 施主浓度为1013cm3的n型硅，计算400K时本征载流子浓度、多子浓度、少子浓

度和费米能级的位置。

17.si:ND?1013/cm3,400K时，ni?0.2?1013/cm3(查表）?n0?p0?ND?0ND12213,n??N?4n?1.62?10?0Di222?n0p0?nini2p0??6.17?1012/cm3non01.62?1013EF?Ei?k0Tln?0.035?ln?0.025eVni0.8?101318. 掺磷的n型硅，已知磷的电离能为０.０４４eV，求室温下杂质一半电离时费米

能级的位置和浓度。 18.解：n?D

ND1E?EF1?eD2koTED?EFkoTnD?1ND则有分母为2，即e?2 EF?ED?koTln22

EF?ED?koTln2?(ED?EC?EC)?koTln2?(??ED?EC)?koTln2 ?E?0.044?0.026ln2?E?0.062eVCc si:Eg?1.12eV,EF?Ei?0.534eV n?Ne0c?EC?EFkoT?2.8?1019?e?0.0620.026?2.54?1018cm3 n0?50%ND?ND?5.15?1018/cm319. 求室温下掺锑的n型硅，使EF=（EC+ED）/2时锑的浓度。已知锑的电离能为0.039eV。

E?ED .解：19?EF?C2 E?ED2EC?EC?EDEC?ED0.039?EC?EF?EC?C????0.0195?k0T2222

发生弱减并

?EF?EC?22?n?NF?NF1(?0.71)c1?C? 0?2?k0T??22

?2.8?1019??0.3?9.48?1018/cm33.14

?求用：n0?nD

E?EDE?EDEF?ED?C?ED?C?0.019522

??2ND NCF?EF?EC???1?k0T?1?2exp(EF?ED)2 k0T

EF?EC?EF?ED ND?2NCF1??（1?2exp(）??k0T?2?k0T? 2NC0.0195??0.0195?193?F?（1?2exp）?6.5?10/cm ?1?0.026?0.026?2 20. 制造晶体管一般是在高杂质浓度的n型衬底上外延一层n型外延层，再在外延

层中扩散硼、磷而成的。

（1）设n型硅单晶衬底是掺锑的，锑的电离能为0.039eV，300K时的EF位于导带

下面0.026eV处，计算锑的浓度和导带中电子浓度。

（2）设n型外延层杂质均匀分布，杂质浓度为4.6?1015cm-3,计算300K时EF的位置及电子和空穴浓度。

（3）在外延层中扩散硼后，硼的浓度分布随样品深度变化。设扩散层某一深度处硼浓度为5.2?1015cm-3,计算300K时EF的位置及电子和空穴浓度。

（4）如温度升到500K，计算③中电子和空穴的浓度（本征载流子浓度数值查图3-7）。

20.（）1EC?EF?0.026eV?k0T，发生弱简并,若用简并公式：

2NCE?EC?n0?F1/2(F) (3-110) k0T?

2?2.8?1019?F1(?1)??0.3?9.48?1018/cm3?23.14NDND?n0?nD??E?EDE?EC?EC?ED1?2exp(F)1?2exp(F)k0Tk0T2Nc0.039?1?EF?ED?ND?n0(1?2exp()?n0(1?2e0.026)k0T?9.48?1018?4.297?4.07?1019/cm3若用非简并公式，计算结果接近：n0?NCe?EC?EFk0T0.0260.026?NCe??2.8?1019?e?1?1.03?1019/cm3?n0?nD?NDND?E?EDE?EC?EC?ED1?2exp(F)1?2exp(F)k0Tk0T0.039?1?EF?ED?ND?n0(1?2exp()?n0(1?2e0.026)k0T?1.03?1019?4.297?4.43?1019/cm3(2)300K时杂质全部电离ND4.6?1015EF?Ec?k0Tln?EC?0.026ln?EC?0.227eV19NC2.8?10n0?ND?4.6?1015/cm3ni2(1.5?1010)243p0???4.89?10/cmn04.6?1015（3）p0?NA?ND?5.2?1015?4.6?1015?6?1014/cm3ni2(1.5?1010)253n0???3.75?10/cmp06?1014EF?EV?k0Tlnp06?1014?EV?0.026ln1.1?EV?0.255eV?1019NVp0 6?1014?Ei?0.026ln1.510??0.276eV?10ni或者EF?Ei?k0Tln(4)500K时：ni?4?1014cm?3,处于过度区n0?NA?p0?NDn0p0?ni2p0?8.83?1014n0?1.9?1014 使用式（3-104）计算EF：EF?Ei?k0Tln?Ei?k0Tln(NA?ND)?(NA?ND)2?4ni2 2p0?Ei?0.0245eVni21. 试计算掺磷的硅、锗在室温下开始发生弱简并时的杂质浓度为多少？

21.2NC?E?EC?NDNDNDF1?F?=???2?k0T?1?2exp(EF?ED)1?2exp(EF?EC?EC?ED)1?2exp(-2??ED)k0Tk0Tk0TP在Si中?ED?0.044eV；在Ge中?ED?0.012eV；发生弱减并EC?EF?2k0TNDsi?2NC0.044-2+??F1(?2)?1?2e0.026??2??0.044-2+2?2.8?10193??0.1?(1?2e0.026)?7.81?1018/cm（Si)3.14NDGe0.012-2+??2?1.05?1019?F1(?2)?1?2e0.026??1.7?1018/cm3(Ge)3.14??222. 利用上题结果，计算掺磷的硅、锗的室温下开始发生弱简并时有多少施主发生电离？导带中电子浓度为多少？

?n0?nD?NDE?ED1?2exp(F)k0T?D

Si:n0?n?7.81?1018-2+0.0440.026?3.16?1018cm?3 1?2e1.7?1018?18?3 Ge:n0?nD??1.19?10cm0.012-2+1?2e0.026

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