新人教版九年级数学上册全册教案

第二十一章二次根式

教材内容

1．本单元教学的主要内容：

二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式．

2．本单元在教材中的地位和作用：

二次根式是在学完了八年级下册第十七章《反比例正函数》、第十八章《勾股定理及其应用》等内容的基础之上继续学习的，它也是今后学习其他数学知识的基础．

教学目标

1．知识与技能

（1）理解二次根式的概念．

（2

a≥0）是一个非负数，

2=a（a≥0）

（a≥0）．

（3

a≥0，b≥0）

；

a≥0，b>0）

a≥0，b>0）．

（4）了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减．

2．过程与方法

（1）先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念．?再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简．

（2）用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘（除）法规定，?并运用规定进行计算．

（3）利用逆向思维，?得出二次根式的乘（除）法规定的逆向等式并运用它进行化简．

（4）通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，?给出最简二次根式的概念．利用最简二次根式的概念，来对相同的二次根式进行合并，达到对二次根式进行计算和化简的目的．

3．情感、态度与价值观

通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经过探索二次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展学生观察、分析、发现问题的能力．

教学重点

1

a≥0

a≥0）是一个非负数；

2＝a（a≥0）

（a≥0）?及其运用．

2．二次根式乘除法的规定及其运用．

3．最简二次根式的概念．

4．二次根式的加减运算．

教学难点

- - 1 - -

1

a≥0

2＝a（a≥0

（a≥0）的理解及应用．

2．二次根式的乘法、除法的条件限制．

3．利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式．

教学关键

1．潜移默化地培养学生从具体到一般的推理能力，突出重点，突破难点．

2．培养学生利用二次根式的规定和重要结论进行准确计算的能力，?培养学生一丝不苟的科学精神．单元课时划分

本单元教学时间约需11课时，具体分配如下：

21．1 二次根式3课时

21．2 二次根式的乘法3课时

21．3 二次根式的加减3课时

教学活动、习题课、小结2课时

21．1 二次根式

第一课时

教学内容

二次根式的概念及其运用

教学目标

a≥0）的意义解答具体题目．

提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．

教学重难点关键

1

a≥0）的式子叫做二次根式的概念；

2

a≥0）”解决具体问题．

教学过程

一、复习引入

（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题：

问题1：已知反比例函数y=3

x

，那么它的图象在第一象限横、?纵坐标相等的点的坐标是___________．

问题2：如图，在直角三角形ABC中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么AB边的长是__________．

问题3：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，那么甲这次射击的方差是S2，那么S=_________．

- - 2 - -

二、探索新知

式．因此，一般地，我们把形如a≥0）?的式子叫做二次根式，

“（学生活动）议一议：

1．-1有算术平方根吗？

2．0的算术平方根是多少？

3．当a<0

例1．下列式子，哪些是二次根式，

、

1

x

x>0）

、

1

x y

+

、x≥0，y?≥0）．

例2．当x

在实数范围内有意义？

三、巩固练习

教材P练习1、2、3．

四、应用拓展

例3．当x

1

1

x+

在实数范围内有意义？

例4(1)已知

，求

x

y

的值．

(2)

，求a2004+b2004的值．

五、归纳小结（学生活动，老师点评）

本节课要掌握：

1

a≥0）的式子叫做二次根式，

2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．

六、布置作业

1．教材P8复习巩固1、综合应用5．

21.1 二次根式(2)

第二课时

- - 3 - -

- - 4 - - 教学内容

1

a ≥0）是一个非负数； 2．

2=a （a ≥0）

． 教学目标

a ≥0

2=a （a ≥0）

，并利用它们进行计算和化简．

a ≥0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导

出（2=a （a ≥0）；最后运用结论严谨解题． 教学重难点关键

1

a ≥0）是一个非负数；

2=a （a ≥0）及其运用． 2

a ≥0）是一个非负数；?

2=a （a ≥0）． 教学过程

一、复习引入

1．什么叫二次根式？

2．当a ≥0

a<0

二、探究新知

议一议：（学生分组讨论，提问解答）

a ≥0）是一个什么数呢？

老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出

做一做：根据算术平方根的意义填空：

2=_______；

2=_______；

2=______；

2=_______；

2=______；2=_______；2=_______．

例1 计算

1．

22．（

23．

24．

（

2

）2

三、巩固练习

计算下列各式的值：

2

2

2

）2（

2 22

-

四、应用拓展

例2 计算

1．

（2（x≥0）2．

23．

2 4．

2

例3在实数范围内分解下列因式:

（1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3

五、归纳小结

本节课应掌握：

1

a≥0）是一个非负数；

2．

2=a（a≥0）;反之:a=

2（a≥0）．

六、布置作业

1．教材P8复习巩固2．（1）、（2）P9 7．

21.1 二次根式(3)

第三课时

教学内容

a（a≥0）

教学目标

（a≥0）并利用它进行计算和化简．

（a≥0），并利用这个结论解决具体问题．教学重难点关键

- - 5 - -

- - 6 - - 1

a （a ≥0）．

2．难点：探究结论．

3．关键：讲清a ≥0

a 才成立． 教学过程

一、复习引入

老师口述并板收上两节课的重要内容；

1

a ≥0）的式子叫做二次根式； 2

a ≥0）是一个非负数； 3．

2＝a （a ≥0）

． 那么，我们猜想当a ≥0

是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题． 二、探究新知

（学生活动）填空：

=_______

=______；

=________

．

例1 化简

（1

（2

（3 （4 三、巩固练习

教材P 7练习2．

四、应用拓展

例2

填空：当a ≥0；当a<0

，?并根据这一性质回答下列问题． （1

，则a 可以是什么数？ （2

，则a 可以是什么数？ （3

，则a 可以是什么数？

例3当x>2

五、归纳小结

（a≥0）及其运用，同时理解当a<0

a的应用拓展．

六、布置作业

1．教材P8习题21．1 3、4、6、8．

21．2 二次根式的乘除

第一课时

教学内容

a≥0，b≥0）

（a≥0，b≥0）及其运用．

教学目标

a≥0，b≥0）

（a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化简

由具体数据，发现规律，导出

＝（a≥0，b≥0）并运用它进行计算；?

利用逆向思维，得出

a≥0，b≥0）并运用它进行解题和化简．

教学重难点关键

a≥0，b≥0）

a≥0，b≥0）及它们的运用．

a≥0，b≥0）．

a<0,b<0）

教学过程

一、复习引入

（学生活动）请同学们完成下列各题．

1．填空

（1

；

（2

=_______

．

（3

．

参考上面的结果，用“>、<或＝”填空．

2．利用计算器计算填空

- - 7 - -

（1

（2

（3

（4

（5

．

老师点评（纠正学生练习中的错误）

二、探索新知

（学生活动）让3、4个同学上台总结规律．

老师点评：（1）被开方数都是正数；

（2）两个二次根式的乘除等于一个二次根式，?并且把这两个二次根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数．

一般地，对二次根式的乘法规定为

反过来:

例1．计算

（1

（2

（3

（4

例2 化简

（1

（2

（3

（4

（5

三、巩固练习

（1

）计算（学生练习，老师点评）

①

②

(2) 化简:

教材P11练习全部

四、应用拓展

例3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：

（1=

- - 8 - -

（2

五、归纳小结

本节课应掌握：（1

（a≥0，b≥0）

a≥0，b≥0）及其运用．

六、布置作业

1．课本P151，4，5，6．（1）（2）．

21．2 二次根式的乘除

第二课时

教学内容

a≥0，b>0）

a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简．

教学目标

a≥0，b>0

a≥0，b>0）及利用它们进行运算．

利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简．

教学重难点关键

1

a≥0，b>0）

，

a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简．

2．难点关键：发现规律，归纳出二次根式的除法规定．教学过程

一、复习引入

（学生活动）请同学们完成下列各题：

1．写出二次根式的乘法规定及逆向等式．

2．填空

（1

；

（2

；

（3

；

- - 9 - -

（4

．

3．利用计算器计算填空:

（1

=_________，（2

，（3

=______，（4

=________．

每组推荐一名学生上台阐述运算结果．

（老师点评）

二、探索新知

刚才同学们都练习都很好，上台的同学也回答得十分准确，根据大家的练习和回答，我们可以得到：一般地，对二次根式的除法规定：

下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目．

例1．计算：（1

（2

（3

（4

分析：上面4

a≥0，b>0）便可直接得出答案．

例2．化简：

（1

（2

（3

（4

a≥0，b>0）就可以达到化简之目的．

- - 10 - -

三、巩固练习

教材P14 练习1．四、应用拓展

例3．

，且x为偶数，求（1+x

五、归纳小结

a≥0，b>0

a≥0，b>0）及其运用．

六、布置作业

1．教材P15习题21．2 2、7、8、9．

21.2 二次根式的乘除(3)

第三课时

教学内容

最简二次根式的概念及利用最简二次根式的概念进行二次根式的化简运算．

教学目标

理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式．

通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求．重难点关键

1．重点：最简二次根式的运用．

2．难点关键：会判断这个二次根式是否是最简二次根式．

教学过程

一、复习引入

（学生活动）请同学们完成下列各题（请三位同学上台板书）

1．计算（1

（2

，（3

2．现在我们来看本章引言中的问题：如果两个电视塔的高分别是h1km，h2km，?那么它们的传播半径的比是_________．

．

二、探索新知

观察上面计算题1的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点：

- - 11 - -

1．被开方数不含分母；

2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．

我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．

那么上题中的比是否是最简二次根式呢？如果不是，把它们化成最简二次根式．学生分组讨论，推荐3～4个人到黑板上板书．

老师点评：不是．

2

==

例1．(1)

例2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2.5cm，BC=6cm，求AB的长．

B

A

C

三、巩固练习

教材P14练习2、3

四、应用拓展

例3．观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：

1

21

=

-

，

=

从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算

+

）的值．

五、归纳小结

本节课应掌握：最简二次根式的概念及其运用．

六、布置作业

1．教材P15习题21．2 3、7、10．

2．选用课时作业设计．

- - 12 - -

3.课后作业:《同步训练》

21.3 二次根式的加减(1)

第一课时

教学内容

二次根式的加减

教学目标

理解和掌握二次根式加减的方法．

先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对二次根式进行加减的方法的理解．再总结经验，用它来指导根式的计算和化简．

重难点关键

1．重点：二次根式化简为最简根式．

2．难点关键：会判定是否是最简二次根式．

教学过程

一、复习引入

学生活动：计算下列各式．

（1）2x+3x；（2）2x2-3x2+5x2；（3）x+2x+3y；（4）3a2-2a2+a3

教师点评：上面题目的结果，实际上是我们以前所学的同类项合并．同类项合并就是字母不变，系数相加减．

二、探索新知

学生活动：计算下列各式．

（1）

（2）

（3

（4）

所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，?再将被开方数相同的二次根式进行合并．例1．计算

（1

（2

例2．计算

（1）

（2）

）+

三、巩固练习

教材P19练习1、2．

四、应用拓展

- - 13 - -

例3．已知4x2+y2-4x-6y+10=0

，求（

2

3

-（x

）的值．

五、归纳小结

本节课应掌握：（1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；（2）相同的最简二次根式进行合并．

六、布置作业

1．教材P21习题21．3 1、2、3、5．

21.3 二次根式的加减(2)

第二课时

教学内容

利用二次根式化简的数学思想解应用题．

教学目标

运用二次根式、化简解应用题．

通过复习，将二次根式化成被开方数相同的最简二次根式，进行合并后解应用题．

重难点关键

讲清如何解答应用题既是本节课的重点，又是本节课的难点、关键点．

教学过程

一、复习引入

上节课，我们已经讲了二次根式如何加减的问题，我们把它归为两个步骤：第一步，先将二次根式化成最简二次根式；第二步，再将被开方数相同的二次根式进行合并，下面我们讲三道例题以做巩固．

二、探索新知

例1．如图所示的Rt△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始沿BA边以1厘米/?秒的速度向点A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动．问：几秒后△PBQ的面积为35平方厘米？PQ的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）

C

Q

P

例2．要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到0.1m）？

- - 14 - -

三、巩固练习

教材P19 练习3 四、应用拓展

例3．

若最简根式3a

求a、b的值．（?同类二次根式就是被开

方数相同的最简二次根式）

五、归纳小结

本节课应掌握运用最简二次根式的合并原理解决实际问题．

六、布置作业

1．教材P21习题21．3 7．

21.3 二次根式的加减(3)

第三课时

教学内容

含有二次根式的单项式与单项式相乘、相除；多项式与单项式相乘、相除；多项式与多项式相乘、相除；乘法公式的应用．

教学目标

含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用．

复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算．

重难点关键

重点：二次根式的乘除、乘方等运算规律；

难点关键：由整式运算知识迁移到含二次根式的运算．

教学过程

一、复习引入

学生活动：请同学们完成下列各题:

1．计算

（1）（2x+y）²zx （2）（2x2y+3xy2）÷xy

2．计算

（1）（2x+3y）（2x-3y）（2）（2x+1）2+（2x-1）2

老师点评：这些内容是对八年级上册整式运算的再现．它主要有（1）?单项式³单项式；（2）单项式³多项式；（3）多项式÷单项式；（4）完全平方公式；（5）平方差公式的运用．

二、探索新知

如果把上面的x、y、z改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？?仍成立．

整式运算中的x、y、z是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切，?当然也可以代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式．

例1．计算:

- - 15 - -

（1）

（2）（

例2．计算

（1）

）（

（2）

三、巩固练习

课本P20练习1、2．四、应用拓展

例3．已知x b

a

-

=2-

x a

b

-

，其中a、b是实数，且a+b≠0，

五、归纳小结

本节课应掌握二次根式的乘、除、乘方等运算．

六、布置作业

1．教材P21习题21．3 1、8、9．

二次根式复习课

教学目标

1．使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二次根式的式子；

2．熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算．

教学重点和难点

重点：含二次根式的式子的混合运算．

难点：综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子．

教学过程设计

一、复习

1．请同学回忆二次根式有哪些基本性质？用式子表示出来，并说明各式成立的条件．

指出：二次根式的这些基本性质都是在一定条件下才成立的，主要应用于化简二次根式．

2．二次根式的乘法及除法的法则是什么？用式子表示出来．指出：二次根式的乘、除法则也是在一定条件下成立的．把两个二次根式相除，计算结果要把分母有理化．

3．在二次根式的化简或计算中，还常用到以下两个二次根式的关系式：

- - 16 - -

4．在含有二次根式的式子的化简及求值等问题中，常运用三个可逆的式子：

二、例题

例1 x取什么值时，下列各式在实数范围内有意义：

例3

- - 17 - -

三、课堂练习

1．选择题：

A．a≤2 B．a≥2

C．a≠2 D．a＜2

A．x+2 B．-x-2

C．-x+2 D．x-2

A．2x B．2a

C．-2x D．-2a

2．填空题：

- - 18 - -

4．计算：

四、小结

1．本节课复习的五个基本问题是“二次根式”这一章的主要基础知识，同学们要深刻理解并牢固掌握．2．在一次根式的化简、计算及求值的过程中，应注意利用题中的使二次根式有意义的条件(或题中的隐含条件)，即被开方数为非负数，以确定被开方数中的字母或式子的取值范围．

3．运用二次根式的四个基本性质进行二次根式的运算时，一定要注意论述每一个性质中字母的取值范围的条件．

4．通过例题的讨论，要学会综合、灵活运用二次根式的意义、基本性质和法则以及有关多项式的因式分解，解答有关含二次根式的式子的化简、计算及求值等问题．

五、作业

1．x是什么值时，下列各式在实数范围内有意义？

2．把下列各式化成最简二次根式：

- - 19 - -

第二十二章一元二次方程

单元要点分析

教材内容

1．本单元教学的主要内容．

一元二次方程概念；解一元二次方程的方法；一元二次方程应用题．

2．本单元在教材中的地位与作用．

一元二次方程是在学习《一元一次方程》、《二元一次方程》、分式方程等基础之上学习的，它也是一种数学建模的方法．学好一元二次方程是学好二次函数不可或缺的，是学好高中数学的奠基工程．应该说，一元二次方程是本书的重点内容．教学目标

1．知识与技能

了解一元二次方程及有关概念；掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法；应用熟练掌握以上知识解决问题．

2．过程与方法

（1）通过丰富的实例，让学生合作探讨，老师点评分析，建立数学模型．?根据数学模型恰如其分地给出一元二次方程的概念．

（2）结合八册上整式中的有关概念介绍一元二次方程的派生概念，如二次项等．

（3）通过掌握缺一次项的一元二次方程的解法──直接开方法，?导入用配方法解一元二次方程，又通过大量的练习巩固配方法解一元二次方程．

（4）通过用已学的配方法解ax2+bx+c=0（a≠0）导出解一元二次方程的求根公式，接着讨论求根公式的条件：b2-4ac>0，b2-4ac=0，b2-4ac<0．

（5）通过复习八年级上册《整式》的第5节因式分解进行知识迁移，解决用因式分解法解一元二次方程，并用练习巩固它．

（6）提出问题、分析问题，建立一元二次方程的数学模型，?并用该模型解决实际问题．

3．情感、态度与价值观

经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，使同学们体会到通过一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型；经历用配方法、公式法、分解因式法解一元一次方程的过程，使同学们体会到转化等数学思想；经历设置丰富的问题情景，使学生体会到建立数学模型解决实际问题的过程，从而更好地理解方程的意义和作用，激发学生的学习兴趣．

教学重点

1．一元二次方程及其它有关的概念．

2．用配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程．

3．利用实际问题建立一元二次方程的数学模型，并解决这个问题．

教学难点

1．一元二次方程配方法解题．

- - 20 - -

2．用公式法解一元二次方程时的讨论．

3．建立一元二次方程实际问题的数学模型；方程解与实际问题解的区别．

教学关键

1．分析实际问题如何建立一元二次方程的数学模型．

2．用配方法解一元二次方程的步骤．

3．解一元二次方程公式法的推导．

课时划分

本单元教学时间约需16课时，具体分配如下：

22．1 一元二次方程2课时

22．2 降次──解一元二次方程7课时

22．3 实际问题与一元二次方程4课时

教学活动、习题课、小结3课时

22．1 一元二次方程

第一课时

教学内容

一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有关概念．

教学目标

了解一元二次方程的概念；一般式ax2+bx+c=0（a≠0）及其派生的概念；?应用一元二次方程概念解决一些简单题目．1．通过设置问题，建立数学模型，?模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义．

2．一元二次方程的一般形式及其有关概念．

3．解决一些概念性的题目．

4．态度、情感、价值观

4．通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．

重难点关键

1．?重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题．

2．难点关键：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，?再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．教学过程

一、复习引入

学生活动：列方程．

问题（1）《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，?两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”

大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，?那么门的高和宽各是多少？

如果假设门的高为x?尺，?那么，?这个门的宽为_______?尺，?根据题意，?得________．

整理、化简，得：__________．

- - 21 - -

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