八年级数学上册 期末复习（七）平行线的证明（新版）北师大版

期末复习(七) 平行线的证明

知识结构

?定义与命题?定义与命题定理与证明

判定平行线的证明?

平行线

性质

?内角和定理的证明

三角形内角和?三角形的外角性质

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证明的必要性

本章知识在中考中考查的内容主要包括：平行线的性质、三角形的内角和及外角性质，且这两者常常结合起来

进行考查． 典例精讲

【例1】 (深圳中考改编)下列命题是真命题的有________．(填序号)

①对顶角相等；②两直线平行，内错角相等；③两个锐角对应相等的两个直角三角形全等；④点P(1，2)关于x轴的对称点的坐标是(－1，－2)．

【方法归纳】 判断一个命题的真假，不仅要依靠感性的认识，依靠推理，还要靠对数与数、形与形之间的内在的变化规律进行认真的观察和探索．而说明一个命题是假命题，举出一个反例即可．

【例2】 如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠A＋∠P＝（ ）

A．70° B．80° C．90° D．100°

【思路点拨】 根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠A的度数．根据补角的定义求∠ACB的度数．根据三角形的内角和即可求出∠P的度数．

【例3】 如图所示，已知AB∥CD，EF分别交AB、CD于G、H，GM、HN分别平分∠AGF、∠EHD.试说明GM∥HN.

【思路点拨】 要证明GM∥HN，可证明∠MGF＝∠NHE，而由GM、HN分别为∠AGF、∠EHD的平分线，可知∠MGF11

＝∠AGF，∠NHE＝∠EHD，又由AB∥CD，有∠AGF＝∠EHD，故有∠MGF＝∠NHE，从而结论成立． 22

1

整合集训

一、选择题(每小题3分，共30分)

1．对于句子：①标准差是描述一组数据波动大小的量；②轴对称图形是等腰三角形；③平角都相等；④如果a＝b，那么a＝b；⑤作射线OA.其中是真命题的个数有（ ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

2．(昆明中考)如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠ABC＝70°，BD平分∠ABC，则∠BDC的度数是（ ）

A．85° B．80° C．75° D．70°

3．如图，∠3＝∠4，则下列条件中不能推出AB∥CD的是（ ）

A．∠1＋∠2＝90° B．∠1＝∠2 C．∠1＝∠3且∠2＝∠4 D．BM∥CN

4．(滨州中考)在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5，则∠C等于（ ）

A．45° B．60° C．75° D．90° 5．如图，∠1＝∠2，∠3＝100°，则∠4的度数是（ ）

A．70° B．80° C．100° D．105°

6．如图，点D、B、C在同一条直线上，∠A＝60°，∠C＝50°，∠D＝25°.则∠1＝（ ）

A．60° B．50° C．45° D．25°

7．如图，AB∥EF∥CD，∠ABC＝46°，∠CEF＝154°，则∠BCE等于（ ）

A．23° B．16° C．20° D．26°

8．(莱芜中考)如图所示，将含有30°角的三角板的直角顶点放在相互平行的两条直线的其中一条上，若∠1＝35°，则∠2的度数为（ ）

A．10° B．20° C．25° D．30°

2

9．如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线BE、CD相交于点F，∠ABC＝42°，∠A＝60°，则∠BFC＝（ ）

A．118° B．119° C．120° D．121°

10．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则它的底角的度数是（ ）

A．50° B．65° C．25° D．65°或25° 二、填空题(每小题4分，共20分)

11．命题“直角三角形两个锐角互余”的条件是_______________，结论是____________________． 12．一大门的栏杆如图所示，BA垂直于地面AE于A，CD平行于地面AE，则∠ABC＋∠BCD＝______．

13．(佛山中考)如图是一副三角板叠放的示意图，则∠α＝________.

14．如图所示，AB∥CD，AD与BC交于点E，EF是∠BED的平分线，若∠1＝30°，∠2＝40°，则∠BEF＝________度．

15．(青海中考)如图，直线l1∥l2，且l1、l2被直线l3所截，∠1＝∠2＝35°，∠P＝90°，则∠3＝______度．

三、解答题(共50分)

16．(6分)把下列命题写成“如果……，那么……”的形式，并判断其真假．

(1)等角的补角相等；

(2)不相等的角不是对顶角；

(3)相等的角是内错角．

17．(6分)如图，AC∥BD，AE平分∠BAC交BD于点E，若∠1＝64°，则∠2为多少度？

3

18．(8分)将一个直角三角板和一把直尺如图放置，若∠α＝43°，则∠β是多少度？

19．(8分)求证：两条平行线被第三条直线所截，同位角的平分线互相平行．(写出已知，求证，证明)

20．(10分)如图，将纸片△ABC沿DE折叠，点A落在点A′处，已知∠1＋∠2＝100°，求∠A的度数．

21．(12分)如图，直线a∥b，直线c与a和b相交于D、C，在直线CD上有一点P.

(1)如果点P在C、D之间运动时，问∠1、∠2、∠3之间有怎样的关系？如果点P运动，它们的关系是否发生变化？

(2)如果点P不在C、D之间运动时，∠1、∠2、∠3之间的关系是怎样的？

4

参考答案

【例1】 ①② 【例2】 C

11

【例3】 因为GM、HN分别平分∠AGF、∠EHD(已知)，所以∠MGF＝∠AGF，∠NHE＝∠EHD(角平分线的定义)．又

22因为AB∥CD(已知)，所以∠AGF＝∠EHD(两直线平行，内错角相等)．所以∠MGF＝∠NHE.所以GM∥HN(内错角相等，

两直线平行)． 整合集训

1．B 2.A 3.A 4.C 5.B 6.C 7.C 8.C 9.C 10.D

11.一个三角形是直角三角形 这个三角形的两个锐角互余 12.270° 13.75° 14.35 15.55 16.(1)如果两个角是两个相等的角的补角，那么这两个角相等．是真命题． (2)如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角．是真命题． (3)如果两个角相等，那么这两个角是内错角．是假命题． 17.∵AC∥BD，∴∠ABE＝∠1＝64°.

∴∠BAC＝180°－∠1＝180°－64°＝116°. ∵AE平分∠BAC交BD于点E， 1

∴∠BAE＝∠BAC＝58°.

2

∴∠2＝∠BAE＋∠ABE＝58°＋64°＝122°. 18.∠β＝47°.

19.已知：如图，AB∥CD，PQ分别交直线AB、CD于点E、F，且EG平分∠AEP，HF平分∠CFE.求证：GE∥HF.

证明：∵AB∥CD(已知)，∴∠AEP＝∠CFE(两直线平行，同位角相等)． 11

∵EG平分∠AEP，HF平分∠CFE，∴∠PEG＝∠AEP，∠EFH＝∠CFE.

22

∴∠PEG＝∠EFH.

∴GE∥HF(同位角相等，两直线平行)． 20.∠A＝50°.

21.(1)当点P与点C重合时，∠2＝0°，a∥b，则∠3＝∠1，∠3＝∠1＋∠2；同理，当点P与点D重合时，∠3＝∠1＋∠2；当点P在C、D之间运动时(P点不与C、D重合)，过P点作PE∥a，∵a∥b，∴PE∥b.∴∠APE＝∠1，∠BPE＝∠2.∴∠3＝∠APE＋∠BPE＝∠1＋∠2.∴P点在C、D之间运动时，∠1、∠2、∠3的关系不变化．(2)当点P不在C、D之间运动时，∠3＝∠2－∠1或∠3＝∠1－∠2.

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