《连续体力学》习题及解答4-1

因此

2222222?(2n)??12n12??2n2??3n3?(?1n12??2n2??3n3)?(?2??3)nn?(?3??1)nn?(?1??2)nn222232223122122 (a)

图4-1

(2) x处n方向上剪应力平方为?(2n)。以点x为坐标原点(球心)，取单位球面，采

用球坐标(图4-1)，则n的分量分别为

n1?sin?cos?，n2?sin?sin??? (b)

n3?cos??n方向的球面面元为da?d?d?sin?(0????，0???2?)。于是?(2n)在各个方向上的平均值可表示为

(?(2n))m?1??a?(2n)da?1??2?0d???(2n)sin?d?

0?将式(a)、(b)代入上式，?为单位球面面积，经运算后，可得 12(?n)m?[(?1??2)2?(?2??3)2?(?3??1)2]

15 注意到

I1(T)??1??2??3，I2(T)??1?2??2?3??3?1

则易于证明

(?(2n))m?22[I1(T)?3I2(T)] 15 4-9 设np(n)在方向上n*上取驻值，证明

p(n*)?(n*p(n*))n*并用Cauchy应力T的主应力?i(i?1，2，3)表示np(n)的驻

177

值。又在T的主方向坐标系内，证明下式成立

(?2??)(?3??)??2?n12(?2??1)(?3??1)2(?3??)(?1??)??2?n2(?3??2)(?1??2) 2(?1??)(?2??)??2?n3(?1??3)(?2??3)。 式中?和?分别是一点处n方向的正应力和剪应力 解 (1) 求np(n)的驻值问题是一个条件极值问题，约束条件是nn?1记

?(n)?np(n)??(nn?1)?nTn??(nn?1)

?为Lagrange乘子。求?的极值等价于

??*?n?2Tn?2?n*?o

即n*应满足

Tn*??n*?p(n*) (a)

式(a)表明，由式(a)可求出np(n)np(n)在T的主方向上取驻值，且?即为T的主值。的驻值为

n*p(n*)?n*?T?n*??n*n*?? (b)

上式表明，np(n)的驻值等于T的主应力，因此np(n)有三个驻值，亦即?(n)有三个驻值，分别等T的三个主应力。这反过来又说明了Cauchy应力的主应力是法向应力?(n)?np(n)的驻值。 由式(a)和(b)又可看出

p(n*)??n*?(n*p(n*))n*

(2) 在T的主方向坐标系内，T??i?ijei?ej，于是

p(n)?Tn??iniei?(n)?np(n)记?(n)为?，?(n)为?，则有

2222?2??12n12??2n2??3n3??2?

又22???1n12??2n2??3n3?? (c) ??22再结合n12?n2?n3?1，则可由式(c)解出

178

?2?(???2)(???3)n??0(?1??2)(?1??3)21?2?(???3)(???1)n??0

(?2??3)(?2??1)22?2?(???1)(???2)n??0(?3??1)(?3??2)23证毕。根据以上三式，可在(?，?)平面上作出三个圆，即应力圆。

4-10 设p(n)和p(n')分别是变形体内某点P处n和n'方向的应力矢，证明

p(n)在n'方向的分量等于p(n')在n方向的分量。

解 已知p(n)?Tn，p(n')?Tn'，T为P点处的Cauchy应力张量。于是

p(n)?n'?(Tn)?n'?n'Tnp(n')?n?(Tn')n?nTn'由于T是对称张量，于是有p(n)n'?p(n')?n。证毕。

4-11 设变形体内任一点处的Cauchy应力张量T的分量矩阵为

?1?2x1x2?[T]??2x2?xx223??2x22x1x222x3???22x3?

1x1x2x3??23?2x2x322试求切于圆柱面??x2?x3?4?0且过点P(2，1，3)的截面上的应力矢、T的主

应力和主方向。

解 将x1?2，x2?1，x3?3代入应力分量矩阵，得到P点处的[T]为

?123?? [T]??246????361??在P点，圆柱面的梯度为

grad?P?2x2e2?2x3e3

179

P?2e2?23e3

因此过P点切于圆柱面的截面方向n?截面上的应力矢为

13e2?e3。于是过该点切于圆柱面的 22?p?(n)P???3??123??0??1?23???1????????T??n???246?????2?33? ?2??1???3613????1??3?32???2??? 主应力由解下列特征方程求得

?3?I1?2?I3??I3?0

式中I1?6，I2??40，I3?0，代入上式可解出

?1?10，?2?0，?3??4

分别将主应力?i(i?1，2，3)代入下式

[T]{n(i)}??i{n(i)}

2，3，并与n(i)?n(i)?1联立求解，可分别求出对应于主应力?i的主方向n(i)，i?1，如下

n(1)?n(2)n(3)1701 ?(?2e1?e2)51?(e1?2e2?3e3)14(3e1?6e2?5e3)易证n(1)、n(2)、n(3)相互正交。

4-12 设x点处Cauchy应力张量T?Tk?k，其中T为标量，k为不变的单位矢。如果T是自我平衡的，证明 (1) T独立于xk

(2) x点处n方向的剪应力的平方为

?(2n)?T2(k?n)2[1?(k?n)2]

180

1 (3) (?(2n))max?T2

4 解 (1) T?Tk?k，因为T自我平衡，故有

??T?T,kk?0

即

?T?0，所以T独立于xk。xk?x?k。 ?xk (2) x处n方向的应力矢为

p(n)?T?n?T(n?k)k

于是

p(n)?p(n)?T2(n?k)2p(n)?n?T(n?k)2

所以

?(2n)?p(n)p(n)?(p(n)?n)2?T2(n?k)2?T2(n?k)4 ?T2(n?k)2[1?(n?k)2]令n?k?cos?，则由上面的结果可得 (3) 因为k是固定的单位矢，因此1?(2n)?T2cos2?sin2??T2sin22?

4式中sin22??1，所以

(?(2n))max?12T 4

4-13 如果物体B的体积为v，表面为?v，且处于平衡状态；证明 (1) Cauchy应力张量的平均为

(T)m?1Tdv ?vv可表示为

(T)m?11?(x?b?b?x)dv?(x?p(n)?p(n)?x)da ??v?v2v2v?为质量密度。 式中b为单位质量的体积力， (2) 若在v内b?o，及在?v上p(n)?Tn，T为常数，则(T)m?TI。

181

?T?JF?1T?[X?(JF?1T□)]T?X?(JTTF?1T□)?X?(?□) ?(X??)□?X?[□(?T)]由于物体处于平衡状态，□(?T)???0b0，所以

??VTdV??(X??)□dV??X??0b0dVVV

??X??NdA???0X?b0dV?VV提示，还可如下推导?T?X?(?□)。

?T?I?T?(X?□)?T?X?(?□　) (a)

(3) 已得?T?X?(?□)，则

F?T?FX?(?□)?x?(?□) (b)

于是采用与上面类似的推导过程，可得

?VF?TdV??x??NdA???0x?b0dV

?VV提示，式(b)也可如下导出

T?(F?T)ij?FiL?Lj?xi???XLjL?(xi)(?jL?) ?XL或者

F?T?x?(?□)

4-19 试推导用S??T、?及T三种应力表述的变率型运动方程，设参考和瞬时构形的坐标系重合。

?为名义应力S的物质时间导 解 首先推导三种应力变率之间的关系。记S数。于是由S??F?1可得

????FT??F?T (1) S由上式可解出

?F?1T?SF??S??1T (2) ?又由S?JF?1T，可得

187

??JF?1[T??GT?(divv)T] (3) S由上式可解出

??F??J?1[FS?S?(divv)FS] (4) T?。 此处用到了T?J?1FS及GF?F 再由??SF?1T，可得

??SGT)F?1T?JF?1[T??(S??GT?TGT?(divv)T]F?1T (5) ?由上式可解得

??J?1F[???F?1F????F?TF?1T?(divv)?]FT (6) T 下面讨论一个特殊情况，即现时构形与参考构形重合，于是x?X，字母指标可一律采用小写(或大写)字母，以及J?1，F?F?1?I。或者换一种更一般的说法，设采用流动参考构形，则F及T、S、?都是相对于流动参考构形定义的。讨论瞬时构形与流动参考构形重合的特殊情况，即??t，此时Ft(t)?I，

?(t)?G，S???T。在式(1)到(6)中将F等都改为Ft(t)等，就得到相应的(简Ft化)公式

?(t)???(t)??(t)GT(t)?T?(t)?G(t)T(t)?[divv(t)]T(t) (7) Sttt 下面推导率型运动方程。在t和t?△t时刻，Lagrange型运动方程分别是

DivS(t)??0[f(t)?a(t)]?oDivS(t?△t)??0[f(t?△t)?a(t?△t)]?o

注意，此处的S、f和a都是以X为变量，X是与时间无关的。将以上两式相减，

t?0，将得到 且除以△t，再令△???(f??a?)?o (8) DivS0式(8)是对t时刻的构形建立的，其中已省去了场量S、f、a等的变量(x，t)。这是对于应力S建立的率型运动方程。

将式(1)代入式(8)，将得到对应力?建立的率型运动方程

??a?FT??F?T)??(f?)?o (9) Div(?0式(8)和(9)的分量式分别为

188

??a???(f??i)?0，i?1，S2，3Li,L0i?? (10) ???i)?0，i?1，(?LMFiM??LMvi,M),L??0(fi?a2，3??T?T?T)??F式中用到了(?FLiLMMi??LMFMjGij??LMGijFjM??LMvi,M。

Cauchy应力T的率型运动方程是在t时刻的构形内建立的，实质上它可看成是以t时刻的构形为流动参考构形，并令瞬时构形与流动参考构形重合所得到的结果。为此，在式(8)和(9)中，以t时刻的质量密度?代?0，以Ft(t)代F等，以div代Div，再将式(7)代入式(8)或等价地式(9)，就得到对应力T建立的率型运动方程

??a??GT?(divv)T]??(f?)?o?div[T?? (11) ???(?ij?vj,k?ki?vk,k?ij),j??(fi?ai)?0??上式是数值分析中的重要公式。

式(11)也可值接导出如下，Euler型运动方程为

divT??(f?a)?o

x不变，时间由t变到t?△t，分别建立t和t?△t时刻此处x是独立变量之一。设的运动方程，再令两式相减，得到

div[T(t?△t)?T(t)]??(t?△t)[f(t?△t)?a(t?△t)]??(t)[f(t)?a(t)]?o t?0，得到 以△t遍除上式，并令△dTddiv()?[?(f?a)]?o (a)

dtdtd式中是空间时间导数，它与物质时间导数有如下的关系

dtDd?(?)(?)?(?)?v Dtdt?x于是式(a)可写作

???Tv)?[?(f?a)]????(f?a)v?o (b) div(T?x?x式中

?div(??(f?a)?T??T?v)-v??(divT)v?∶(??v)?[?(f?a)]v

?x?x?x?x?x根据Euler型运动方程，上式右侧一、三项之和为零。而

189

??a?(f?a)??(f?)[?(f?a)]?????a?) ???divv(f?a)??(f??a?)?divv(divT)??(f将以上有关结果代入式(b)，得到

?T??a???(f?)?∶(??v)?divv(divT)?o (c) divT?x可以证明

??T?x∶(??v)?divv(divT)??div[GT?(divv)T] 这可用分量式证明如下

??ij,kvk,j?vk,k?ij,j???ij,kvk,j??ijvk,jk??ijvk,jk?vk,k?ij,j??(?

ijvk,j),k?(vk,k?ij),j上式的直接记法为

??T?x∶(??v)?divv(divT)??div[GT?(divv)T] 于是式(c)最后变为

div[T??GT?(divv)T]??(f??a?)?o 此即式(11)。

式(11)还可如下推导，注意到

divT?(DivT)F?1，F??1??F?1G 则Euler型运动方程可写成

(DivT)F?1??(f?a)?o

对上式求物质时间导数，得到

(DivT?)F?1?(DivT)F?1G???(f?a)??(f??a?)?o 式中

??(f?a)???(divv)(f?a)?divv(divT) 可以证明

(DivT)F?1G??T?x∶(??v) 实际上，(DivT)F?1G的分量表示为

190

(d) ?lj,LXL,kvk,l??lj,kvk,l

其直接表示式为

?T∶(??v) ?x?)F?1?divT?，我们又得到式(c)，于是将以上有关式代入式(d)，并注意到(DivT(DivT)F?1G?从而可得到式(11)。

提示，此处及以下都不考虑应力变率的客观性问题。

4-20 试推导应力率边界条件

解 设以P(N)表示对应于S的应力矢，即有P(N)?STN，N为参考构形内物体边界的单位法线矢，则用S表示的应力边界条件为

??STN?SN PiiLLLiL或者

??STN P(N)?i是沿xi坐标轴方向的给定的应力分量。于是有 式中N不因时间而变，p??N?(???S?F??FG)N?PiLiLLMiMLMjMijL?? (a) ?TTT?N?NS??N(???S?F??F?)?P(N)? 如果要用Cauchy应力T表示应力率型边界条件，情况将稍复杂些。应力矢p(n)?T?n，n为瞬时构形内物体边界的法线矢，它也是随时间而变化的。于是有

??n?Tn?(n)?T? p?导出) 式中(可由式3-6-6及3-7-6以及(da)??(da)?n?dan??(nGn)n?GTn n最后得到

??? (b) ??i???ijnj??ij(nkvk,mnmnj?vk,ink)?p?

191

??n?T[(nGn)n?GTn]?(n)?Tp

将上式写成

?F?1TFT(F?1)?T]?tr(T?D) ?tr[FTT?F?1T没式中FT(F?1T)?不能表示成应变张量的物质时间导数，所以一般地FTT有功共轭的应变。

类似地，可证

?F(F?1)?]?tr(?D) ?tr[TT上式可写成

?F(F?1)?]??tr[FF?1T?F(F?1)?]?tr[T?F(F?1)?F] ?tr[F?1T?)D?tr(T?一般地不能表示成应变张量的物质时间导数，所以一般其中?(F?1)?F?F?1F?F没有与之共轭的应变。 地F?1T 已知，在现时构形内dp(n)?Tnda，两侧乘J，得

?nda Jdp(n)?T?F?1T?T*，则T??F?1TT*FT，于是 记FTTJdp(n)?F?1TT*FTndaJFdp(n)?TFndaT*T

类似地可以导出

Jdp(n)?FT**F?1nda

或者

?F JF?1dp(n)?T**F?1nda，T**?F?1T

?V?VT?，即T?与V同轴，V为左伸长张量。试推导 4-35 设T?F?1T?F?1T?F?RTT?R FTT由此说明上列应力与E(0)?lnU功共轭。

解 已知F?VR，F?1?RTV?1，由此式可得RT?F?1V，R?VF?1T。 于是

207

?F?1T?RTVT?F?1T?RTT?VF?1TFTT?VF?1T?F?1VT?R ?F?1VT?F?F?1T?VF?1T?RTT?R，所以最后得到 又RTT?F?1T?F?1T?F?RTT?R FTT?R，所以题给应力张量与又知T(0)?RTTE(0)?lnU功共轭。

4-36 设应变张量Ef?F(U)，且有

U???iu(i)?u(i)i?13Ef??f(?i)u(i)?u(i)i?13

令T(f)是与Ef功共轭的应力，且记Tij(f)为T(f)相对于Lagrange主轴u(i)上的分量。证明

?(f)具有分量 (1) T?(f)??(L)T(f)??(L)T(f) Tijippjjppi(L)式中?ij是?(L)相对于u(i)的分量。

?f的正分量和剪分量分别为 (2) 如果T(f)与Ef同轴，则T?(f)(对i不求和)正分量：Tii (f)(L)(f)(f)?剪分量：Tij??ij(Tjj?Tii)，i?j，对i，j不求和 解 按题给条件，T(f)的分量式为

T(f)?Tij(f)u(i)?u(j)

对上式求物质导数，得

?(f)?T?(f)u(i)?u(j)?T(f)?(L)u(i)?u(j)?T(f)u(i)?u(j)?(L)TTijijij?(f)u(i)?u(j)??(L)T(f)?T(f)?(L)?Tij?f)u(i)?u(j)?(Tij在上式中，相对于u(i)，有

(L)(f)(?(L)T(f))ij??ipTpj

208

(f)(L)L)(f)?(T(f)?(L))ij??Tip?pj??(jpTpi

于是得到

?(f))?T?(f)??(L)T(f)??(L)T(f) (a) (Tijijippjjppi (2) 如果T(f)与Ef同轴，则有

3T(f)??T(f)iiu(i)?u(i)，(T(f))(f)ij?Tii?ij

i?1代入式(a)，得到

(T?(f))?T?(f)ij??(L)ipT(f)pp?pj??(L)jpT(f)ijpp?pi 所以T?(f)的正分量和剪分量分别为 ?(f) 正分量：Tii(??(L)ii?0)，对i不求和剪分量：?(L)(T(f)(f)j不求和 ijjj?Tii)，i?j，对i，。

4-37 求?R?dv的物质时间导数

解 题给体积分的物质时间导数为

DDt?R?dv????R?tdv???R?vinids ??R[???t?div(?v)]dv ??R[???t?(?vi),i]dv 注意到

D?Dt????t????xv????t??,ivi (?vi),i?vi?,i??vi,i于是式(c)可写成

DDt?R?dv??(???t??vi,i)dv 特别地

① 当??1，由式(c)或(d)得到

209

(a) (b) (c) (d) DDVdv???vi,idv，V??dv

RRDt?Rdt上式表明divv?vi,i是单位体积的体积变率。

② 如果物质不可压缩，则vi,i?0，于是由式(d)可得

DD??dv?dv ??RRDtDt ③ 当???，则??dv?M，物体的总质量；于是质量守恒定律表示为

RDDt?R?dv?0

按式(c)和(d)，上式可分别写成

???R?t?(?vi),i]dv?0

???R(?t??vi,i)dv?0[它们的局部形式分别为

?????(?vi),i?0或?div(?v)?0 (e) ?t?tD?D???vi,i?0或??divv?0 (f) DtDt??0，式(f)简化为以上两式是Euler连续性方程的局部形式。对于等容运动，?divv?0刚体运动总是等容的，而且D?o；于是G??，?ii?vi,i?0，所以

trG?divv?0

4-38 给出速度场

vi?xi，i?1，2，3 (1?t)t?0时，???0，试由连续性方程求密度场?(X，t)。 解 由式(4-1-6)或上题的式(f)，有

???divv?0 (a) ???式中???(X，t)，?

??(X，t)，又 ?t210

divv?vi,i?3 1?t将有关式代入式(a)，得到

d????3dt 1?t由初始条件t?0时，???0，积分上式可得密度场?(X，t)为

?(X，t)??0(1?t)3

4-39 证明Cauchy定律

?ij,j??fi??ai 可改写为

??t(?vi)??fi?(?ij??vivj),j 解 已知

a?vii?v?i??t??vi?xvj j及连续性方程(参见习题4-37，式e)

???t????xvj??vj,j?0 j将上式遍乘vi，得到

v??i?t??,jvjvi??vivj,j?0 将式(c)代入式(a)，再与式(d)相加，即得式(b)。

211

(6)

(a)

(b) (c) (d)

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