函数y=ax与y=1ogax的图像有几个交点

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、

中学数学教学２００６年第５期

函数ｙ一皖ｚ与ｙ一１０９口ｚ的图像有几个交点

安徽省灵壁中学

侯立刚

（邮编：２３４２００）

ｌ

问题反函数的两个函数图像问的关系可知，当“＞１时ｉ函数ｙ一∥与ｙ＝ｌｏ昏ｚ的图像可以有一个交点（相切）．可以有两个交点（相交），如图

（Ｃ）１或４

（Ｄ）２或３

ｙ

（１）当Ｏ＜ｎ＜１时，函数ｙ一Ⅱ。与ｙ＝１０＆卫的图像交点个数可能为（

（Ａ）ｌ或３

（Ｂ）１或２

）

（２）当ｄ＞１时，函数ｙ＝“”与ｙ＝１０９。．ｒ的图像的交点个数不可能为（

（Ａ）３２

（Ｂ）２

ｌ

—，一一

）

（Ｃ）１

一

荔

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店

１泛ｒ

ｌ

（Ｄ）Ｏ

广夕

困惑

对函数’ｙ＝“１，若设它与ｙ一＿Ｔ的切点为（ｚｏ．弘），

由于课本上给出函数ｊ，＝２７与ｙ—ｌｏｇｚｚ的图像

１

及ｙ—ｌｏｇ去Ｔ与ｙ＝（寺）。的图像，如图

产２ｊ

绉

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’一、Ｔ

７

≮么

ｌ＼＼

芦ｏｇｌ

ｘ

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所以－ｒ。一志 ．

而Ｔ。一曲一ｎ』。，所以志一ｎ亡，

结合引理２知，ｎ＞ｌ时，ｊ，＝ｎ。与ｙ＝ｌｏ函Ｔ的图

／夕

容易使人认为“＞ｌ时，函数ｙ一矿与ｙ＝ｌｏ甑ｚ的图像没有交点，ｏ＜“＜ｌ时．函数ｙ一“。与ｙ＝

①当ｎ＞ｅ÷时．交点个数为Ｏ；②“＝ｅ÷时，交点个数为１；

③当１＜“＜ｅ÷时，交点个数为２．

１

Ｉｏｇ∥的图像有且只有一个交点．难道此题答案就无法

选择了？参考答案给出ｎ一素时，ｙ一‘素’。与ｙ

２

ｌｏｇ占ｚ的图像除在直线ｙ—ｚ上有一交点外，还有（÷．

（２）当Ｏ＜ｎ＜１时，易知函数ｙ＝‘口‘与Ｊ＝ｌｏ＆Ｔ的图像必有一交点在直线ｙ＝ｚ上，由引理１可知，若

÷）．（÷，÷）两个交点，哒显得很神秘！这个去是怎

么想到的？除此以外还有其它“的值吗？口＞１时两函数图像的交点情况如何判定？为此给出两个引理．

３

Ｍ（ｚ－，ｙ－）（Ｔ．≠ｙ。）是两个图像的另一交点，则Ｎ（了，．ｚ，）也是两个图像的交点，显然直线ＭＮ与直线ｙ—ｚ。垂直，当ｚ－一ｙＩ时，函数ｙ＝ｎ。与ｙ—ｌｏ甑ｚ的图像只有一个交点即（ｚｏ，ｚｏ），此时函数ｙ＝ａ。与ｙ—ｌｏｇ。．Ｔ的

引理

引理ｌ函数ｙ＝，（ｚ）与它反函数ｙ一广１（ｚ）图

图像只有一个交点即（ｚｏ，ｚ。），此时函数ｙ＝ｎ。与ｙ—ｌｏ甑Ｔ的图像在（ｚ。，ｚ。）处的切线斜率都为一１．

设，（ｚ）＝Ⅱ。，ｇ（ｚ）＝ｌｏｇ。ｚ，有

像的交点或者在直线ｙ＝～上，或者关于直线ｙ＝ｚ成

对出现．（证明略）

引理２

如果函数ｙ＝丁（ｚ）是单调增函数，那么ｙ

＝，（ｚ）与它的反函数ｙ＝厂１（．ｚ）的图像的交点必在

直线ｙ—ｚ上．（证明略）

４

』０勘卜ｎ？一１辛ｐ疟…＿志，

协训＝士．一广０。。：一，‘１““

净“２（÷）‘，（（—｝）≈ｏ ０６５９），于是

①当（三）’≤“＜１时，两图像只有一个交点；②当Ｏ＜ｎ＜（土）‘时，两图像有３个交点．

探求

（１）当口＞１时，由ｙ一Ⅱ。，得ｙ７＝ｎ。ｌｎｎ，当ｚ固定时，“越小，ｊ，＋越小，从而ｙ＝ｎ。的图像可以与直线ｊ，一ｚ相切，并且可以与直线ｙ—ｚ有两个交点．由互为

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２００６年第５期中学数学教学

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２００６年高考点列问题

北京师范大学良乡附属中学

李春雷

（邮编：１０２４８８）

“点列”问题能融函数、解析几何、数列、不等式以及导数等知识于一题，综合性强，表述起来简单易懂．以点列为载体考查数列知识的题目在２００６年的高考题中颇受青睐，共有７个省市１ｌ套文理科试卷均有以点

个点，Ｆ是椭圆的一个焦点，则ｌＰ，ＦＩ＋ＩＰ：Ｆｌ＋…＋

Ｉ：Ｐ，Ｆｌ＝

解

．

左焦点Ｆ（一３，ｏ），左准线方程为ｚ＝一等，离

列为背景的题考查学生的能力．点列问题静以填空或

解答题的形式出现在试卷中，尤以全卷压轴题为多，共

心率为ｅ一÷．设点Ｐ。（”一ｌ，２，…．７）的横坐标为ｚ。，

有７套试卷的最后１题是点列题．点列试题的条件特点

是：点列在给出已或易求出解析式的函数图’像或曲线上；比较复杂的问题设问特点是：先求出或求证递推关

则—毁一詈，即１只Ｆ

岛一【一了Ｊ故Ｉ

Ｐ。Ｆ

ｌ一号（矗＋萼）．．

Ｐ，Ｆ

＋

Ｐ：ＦＩ

十…＋一

系，再求出或求证通项公式，最后是利用前面已懈或证

明的结论解决数列求和、不等式、恒成立等问题，入口容易，层层递进．处理点列问题的通法是：第一步是完

号卜＋ｚｚ＋．一ｈ）＋７ 钾易知ｚ。ｈ＋．．

＋ｚ，＝ｏ，所以ｌ

评注

Ｐ，Ｆ

Ｉ＋ＩＰ。Ｆｌ＋…＋ＩＰ，ＦＩ一３５．

Ｐ。Ｆ

成由点列问题到数列问题的转化；第二步是在数列知

识这个层面解决问题．关于求通项公式不再赘述，在此

本题实质上是在求数列｛ｌ１）的前７项

的和，注意到ｌＰ。Ｆ｜是椭圆的焦半径，再利用椭圆的第二定义，得ｌＲＦ

重点谈点列中的求和与不等式的证明两大问题．

１

点列求和问题

Ｉ＝詈（矗＋警），可以把问题转化求

共有５个省市７套文理科试卷均以点列为背景考

查学生数列求和的能力，其中有３套试卷的压轴题是与点列求和有关的问题．

（１）利用平面解析几何的性质

点列既然是曲线上的点，那么它就具有几何与数列双重特征．充分利用几何性质，往往可以使求和问题迅速获解．

例ｌ

（由川，理第１５题）如图１，

为ｚｌ＋ｚ２＋…＋。’７的和．

（２）利用裂项相消法

为求数列｛“。｝的前”项和ｓ。，可以先求出数列｛ｎ。｝的通项公式，再根据通项‰的特点，将ｎ，（ｉ＝１，２，…，”）转化为数列｛６，Ｊ｝相邻两项之差的形式，即ｎ，一６，二６Ｈ１，则“。一Ⅱｌ＋“２＋…＋＆。一（６ｌ一６２）＋（６２—６３）＋…＋（６。一６㈣）一６。一６＃。．这种求数列前”项和Ｓ。的方法就是裂项相消法．裂项相消法的难点是将“，（ｉ＝１，２，…，”）转化为数列｛６。｝相邻两项之差的形式，即

坦椭圆蠢＋蔫＝１的长轴ＡＢ分粤

８等分，过每个分点作．ｒ轴的垂线

交椭圆的上半部分于Ｐ。，Ｐ：，…，Ｐ７七

图ｌ，

ｎ，＝６ｉ一６ｍ，这需要考生具备敏锐的观察能力．今年高

考有４套试卷都考查了这种方法．

（因为去∈（ｏ，（二）’），当然两者图像有３个交点）

ＩＯ

掣

③当１＜。＜。÷时，有２个交点；④当ｎ＝ｓ÷时有一个交点；⑤当ｎ＞。÷时没有交点．

（由此结论可知，前问题（１）ｊ（２）两题答案都是４）

５

结论

综上所述，函数ｙ＝矿与ｙ—１６甑ｚ（Ⅱ＞ｏ且ｎ≠

１）的图。像交点情况是：

①当Ｏ＜（￡＜（上）ｒ时，有３个交点；．②（二）。≤Ⅱ＜１时，有１个交点；

（收稿日期：２００６一０７—１０），

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函数y=ax与y=1ogax的图像有几个交点

作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：

侯立刚

安徽省灵壁中学,234200

中学数学教学

HIGH SCHOOL MATHEMATICS TEACHING2006(5)

本文链接：/Periodical_zxsxjx200605023.aspx

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