2018年江苏省盐城市、南京市高考数学一模试卷

2018年江苏省盐城市、南京市高考数学一模试卷

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）

1．（5分）已知集合A={x|x（x﹣4）＜0}，B={0，1，5}，则A∩B= ． 2．（5分）设复数z=a+i（a∈R，i为虚数单位），若（1+i）?z为纯虚数，则a的值为 ．

3．（5分）为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间，现从该县小学六年级4000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查，所得数据均在区间[50，100]上，其频率分布直方图如图所示，则估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在[70，80）（单位：分钟）内的学生人数为 ．

4．（5分）执行如图所示的伪代码，若x=0，则输出的y的值为 ．

5．（5分）口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中一次随机摸出2个球，则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为 ．

6．（5分）若抛物线y2=2px的焦点与双曲线的值为 ．

第1页（共24页）

的右焦点重合，则实数p

7．（5分）设函数y=ex范围是 ．

﹣a的值域为A，若A?[0，+∞），则实数a的取值

8．（5分）已知锐角α，β满足（tanα﹣1）（tanβ﹣1）=2，则α+β的值为 ． 9．（5分）若函数y=sinωx在区间[0，2π]上单调递增，则实数ω的取值范围是 ．

10．（5分）设Sn为等差数列{an}的前n项和，若{an}的前2017项中的奇数项和为2018，则S2017的值为 ．

11．（5分）设函数f（x）是偶函数，当x≥0时，f（x）=

若函数y=f（x）﹣m 有四个不同的零点，则实数m的取值范围是 ． 12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若直线y=k（x﹣3x2+（y﹣1）2=1上存在一点Q，满足

=3

）上存在一点P，圆

，

，则实数k的最小值为 ．

13．（5分）如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长均为1，正六边形的顶点称为“晶格点”．若A，B，C，D四点均位于图中的“晶格点”处，且A，B的位置所图所示，则

的最大值为 ．

14．（5分）若不等式ksin2B+sinAsinC＞19sinBsinC对任意△ABC都成立，则实数k的最小值为 ．

二、解答题（共6小题，满分90分）

15．（14分）如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，点M，N分别是AB，A1B1的中点．

（1）求证：BN∥平面A1MC；

（2）若A1M⊥AB1，求证：AB1⊥A1C．

第2页（共24页）

16．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c 已知c=（1）若C=2B，求cosB的值； （2）若

=

，求cos（B

）的值．

．

17．（14分）有一矩形硬纸板材料（厚度忽略不计），一边AB长为6分米，另一边足够长．现从中截取矩形ABCD（如图甲所示），再剪去图中阴影部分，用剩下的部分恰好能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒（如图乙所示，重叠部分忽略不计），其中OEMF是以O为圆心、∠EOF=120°的扇形，且弧BC，AD相切于点M，N．

（1）当BE长为1分米时，求折卷成的包装盒的容积；

（2）当BE的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？

，

分别与边

18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：（a＞b＞0）

的下顶点为B，点M，N是椭圆上异于点B的动点，直线BM，BN分别与x轴交于点P，Q，且点Q是线段OP的中点．当点N运动到点（的坐标为（

）．

）处时，点Q

（1）求椭圆C的标准方程；

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（2）设直线MN交y轴于点D，当点M，N均在y轴右侧，且线BM的方程．

=2时，求直

19．（16分）设数列{an}满足aλ为常数．

=an+1an﹣1+λ（a2﹣a1）2，其中n≥2，且n∈N，

（1）若{an}是等差数列，且公差d≠0，求λ的值；

（2）若a1=1，a2=2，a3=4，且存在r∈[3，7]，使得m?an≥n﹣r对任意的n∈N*都成立，求m的最小值；

（3）若λ≠0，且数列{an}不是常数列，如果存在正整数T，使得an+T=an对任意的n∈N*均成立．求所有满足条件的数列{an}中T的最小值． 20．（16分）设函数f（x）=lnx，g（x）=ax+

（a，b，c∈R）．

（1）当c=0时，若函数f（x）与g（x）的图象在x=1处有相同的切线，求a，b的值；

（2）当b=3﹣a时，若对任意x0∈（1，+∞）和任意a∈（0，3），总存在不相等的正实数x1，x2，使得g（x1）=g（x2）=f（x0），求c的最小值；

（3）当a=1时，设函数y=f（x）与y=g（x）的图象交于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）两点．求证：x1x2﹣x2＜b＜x1x2﹣x1．

[选做题]（在21.22.23.24四小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）[选修4-1：几何证明选讲]图

21．（10分）如图，已知AB为⊙O的直径，直线DE与⊙O相切于点E，AD垂直DE于点D．若DE=4，求切点E到直径AB的距离EF．

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[选修4-2：矩阵与变换] 22．（10分）已知矩阵M=程．

[选修4-4：坐标系与参数方程] 23．在极坐标系中，直线ρcos（θ+

[选修4-5：不等式选讲]

24．已知实数x，y满足x2+3y2=1，求当x+y取最大值时x的值．

25．（10分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是菱形，AC与BD交于点O，OP⊥底面ABCD，点M为PC中点，AC=4，BD=2，OP=4． （1）求直线AP与BM所成角的余弦值；

（2）求平面ABM与平面PAC所成锐二面角的余弦值．

）=1与曲线ρ=r（r＞0）相切，求r的值．

，求圆x2+y2=1在矩阵M的变换下所得的曲线方

26．（10分）已知n∈N*，nf（n）=Cn0Cn1+2Cn1Cn2+…+nCnn﹣1Cnn． （1）求f（1），f（2），f（3）的值；

（2）试猜想f（n）的表达式（用一个组合数表示），并证明你的猜想．

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2018年江苏省盐城市、南京市高考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）

1．（5分）已知集合A={x|x（x﹣4）＜0}，B={0，1，5}，则A∩B= {1} ． 【解答】解：∵集合A={x|x（x﹣4）＜0}={x|0＜x＜4}，B={0，1，5}， ∴A∩B={1}． 故答案为：{1}．

2．（5分）设复数z=a+i（a∈R，i为虚数单位），若（1+i）?z为纯虚数，则a的值为 1 ．

【解答】解：∵z=a+i，

∴（1+i）?z=（1+i）（a+i）=a﹣1+（a+1）i， 又（1+i）?z为为纯虚数， ∴a﹣1=0即a=1． 故答案为：1．

3．（5分）为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间，现从该县小学六年级4000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查，所得数据均在区间[50，100]上，其频率分布直方图如图所示，则估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在[70，80）（单位：分钟）内的学生人数为 1200 ．

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【解答】解：由频率分布直方图得：

该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在[70，80）（单位：分钟）内的频率为：

1﹣（0.005+0.035+0.020+0.010）×10=0.3，

∴估计该县小学六年级4000名学生中每天用于阅读的时间在[70，80）（单位：分钟）内的学生人数为： 4000×0.3=1200． 故答案为：1200．

4．（5分）执行如图所示的伪代码，若x=0，则输出的y的值为 1 ．

【解答】解：根据题意知，执行程序后，输出函数 y=

，

当x=0时，y=e0=1． 故答案为：1．

5．（5分）口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中一次随机摸出2个球，则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为 ．

【解答】解：口袋中有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4，

从袋中一次随机摸出2个球，基本事件总数n=

=6，

摸出的2个球的编号之和大于4包含的基本事件有：

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（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共4个， ∴摸出的2个球的编号之和大于4的概率为p=故答案为：．

6．（5分）若抛物线y2=2px的焦点与双曲线的值为 6 ．

【解答】解：∵双曲线的方程∴a2=4，b2=5，可得c=因此双曲线

=3，

，

的右焦点重合，则实数p．

的右焦点为F（3，0），

∵抛物线y2=2px（p＞0）的焦点与双曲线的右焦点重合， ∴=3，解之得p=6． 故答案为：6．

7．（5分）设函数y=ex范围是 （﹣∞，2] ． 【解答】解：函数y=ex∵ex

=2，

﹣a的值域为A

﹣a的值域为A，若A?[0，+∞），则实数a的取值

∴值域为A=[2﹣a，+∞）． 又∵A?[0，+∞）， ∴2﹣a≥0， 即a≤2．

故答案为：（﹣∞，2]．

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8．（5分）已知锐角α，β满足（tanα﹣1）（tanβ﹣1）=2，则α+β的值为 【解答】解：∵（tanα﹣1）（tanβ﹣1）=2，可得：tanα+tanβ+1=tanαtanβ， ∴tan（α+β）=

═﹣1，

．

∵锐角α，β，可得：α+β∈（0，π）， ∴α+β=

．

．

故答案为：

9．（5分）若函数y=sinωx在区间[0，2π]上单调递增，则实数ω的取值范围是 （0，] ．

【解答】解：由函数y=sinωx，图象过原点，可得ω＞0 在区间[0，2π]上单调递增， ∴即

．

，

故答案为：（0，]

10．（5分）设Sn为等差数列{an}的前n项和，若{an}的前2017项中的奇数项和为2018，则S2017的值为 4034 ．

【解答】解：因为 Sn为等差数列{an}的前n项和，且{an}的前2017项中的奇数项和为2018，

所以S奇=a1+a3+a5+…+a2017=1009×（a1+a2017）×=1009×a1009=2018，得a1009=2． 则 S偶=a2+a4+a6+…+a2016=1008×（a2+a2016）×=1008×a1009=1008×2=2016 则S2017=S奇+S偶=2018+2016=4034． 故答案为：4034．

11．（5分）设函数f（x）是偶函数，当x≥0时，f（x）=

第9页（共24页）

，

若函数y=f（x）﹣m 有四个不同的零点，则实数m的取值范围是 [1，） ． 【解答】解：由0≤x≤3可得f（x）∈[0，]， x＞3时，f（x）∈（0，1）．

画出函数y=f（x）与y=m的图象，如图所示， ∵函数y=f（x）﹣m有四个不同的零点， ∴函数y=f（x）与y=m的图象有4个交点， 由图象可得m的取值范围为[1，）， 故答案为：[1，）．

12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若直线y=k（x﹣3x2+（y﹣1）2=1上存在一点Q，满足

=3

）上存在一点P，圆

．

，则实数k的最小值为 ﹣【解答】解：设P（x1，y1），Q（x2，y2）； 则y1=k（x1﹣3

）①，

+（y2﹣1）2=1②； 由

=3

，得

，

即，

代入②得+=9；

k=0的距离为d≤r；

此方程表示的圆心（0，3）到直线kx﹣y﹣3

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即解得﹣

≤3， ≤k≤0．

．

∴实数k的最小值为﹣故答案为：﹣

．

13．（5分）如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长均为1，正六边形的顶点称为“晶格点”．若A，B，C，D四点均位于图中的“晶格点”处，且A，B的位置所图所示，则

的最大值为 24 ．

【解答】解：建立如图的直角坐标系，则A（，），B（0，0），

，），

那么容易得到C（0，5）时，D的位置可以有三个位置，其中D1（﹣D2（﹣此时

，0），D3（﹣=（﹣，﹣）， 则则

?

=21，

?

=24，

?

=22.5，

，﹣），

，）， =（﹣

，﹣），

=（﹣

，﹣5），

=（﹣

的最大值为24，

故答案为：24．

14．（5分）若不等式ksin2B+sinAsinC＞19sinBsinC对任意△ABC都成立，则实数

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k的最小值为 100 ．

【解答】解：∵ksin2B+sinAsinC＞19sinBsinC，由正弦定理可得：kb2+ac＞19bc， ∴k＞

，

只需k大于右侧表达式的最大值即可，显然c＞b时，表达式才能取得最大值， 又∵c﹣b＜a＜b+c， ∴﹣b﹣c＜﹣a＜b﹣c， ∴

＜19+（

）=20﹣（）2=100﹣（﹣10）2，

当=10时，20﹣（）2取得最大值20×10﹣102=100． ∴k≥100，即实数k的最小值为100． 故答案为：100

二、解答题（共6小题，满分90分）

15．（14分）如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，点M，N分别是AB，A1B1的中点．

（1）求证：BN∥平面A1MC；

（2）若A1M⊥AB1，求证：AB1⊥A1C．

【解答】证明：（1）因为ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以AB∥A1B1，且AB=A1B1， 又点M，N分别是AB、A1B1的中点，所以MB=A1N，且MB∥A1N．

所以四边形A1NBM是平行四边形，从而A1M∥BN． 又BN?平面A1MC，A1M?平面A1MC，所以BN∥平面A1MC；

（2）因为ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥底面ABC，而AA1?侧面ABB1A1， 所以侧面ABB1A1⊥底面ABC．

又CA=CB，且M是AB的中点，所以CM⊥AB．

则由侧面ABB1A1⊥底面ABC，侧面ABB1A1∩底面ABC=AB，

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CM⊥AB，且CM?底面ABC，得CM⊥侧面ABB1A1．

又AB1?侧面ABB1A1，所以AB1⊥CM． 又AB1⊥A1M，A1M、MC平面A1MC，且A1M∩MC=M，

所以AB1⊥平面A1MC． 又A1C?平面A1MC，所以AB⊥A1C．

16．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c 已知c=（1）若C=2B，求cosB的值； （2）若

=

，求cos（B

）的值． c=

，则由正弦定理，得

．

【解答】解：（1）因为sinC=

sinB． …（2分）

sinB，即2sinBcosB=

sinB． …（4分） ． …

又C=2B，所以sin2B=

又B是△ABC的内角，所以sinB＞0，故cosB=（6分） （2）因为

=

，所以cbcosA=bacosC，则由余弦定理，

得b2+c2﹣a2=b2+a2﹣c2，得a=c． …（10分） 从而cosB=

=

，…（12分） =． ﹣sinBsin

=

． …（14

又0＜B＜π，所以sinB=从而cos（B+分）

）=cosBcos

第13页（共24页）

17．（14分）有一矩形硬纸板材料（厚度忽略不计），一边AB长为6分米，另一边足够长．现从中截取矩形ABCD（如图甲所示），再剪去图中阴影部分，用剩下的部分恰好能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒（如图乙所示，重叠部分忽略不计），其中OEMF是以O为圆心、∠EOF=120°的扇形，且弧BC，AD相切于点M，N．

（1）当BE长为1分米时，求折卷成的包装盒的容积；

（2）当BE的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？

，

分别与边

【解答】解：（1）在图甲中，连接MO交EF于点T．设OE=OF=OM=R， 在Rt△OET中，因为∠EOT=∠EOF=60°， 所以OT=，则MT=0M﹣OT=． 从而BE=MT=，即R=2BE=2．

故所得柱体的底面积S=S扇形OEF﹣S△OEF=πR2﹣R2sin120°=又所得柱体的高EG=4， 所以V=S×EG=

﹣4

．

﹣4

立方分米． ﹣

，

答：当BE长为1（分米）时，折卷成的包装盒的容积为（2）设BE=x，则R=2x，所以所得柱体的底面积 S=S扇形OEF﹣S△OEF=πR2﹣R2sin120°=（又所得柱体的高EG=6﹣2x，

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﹣

）x2，

所以V=S×EG=（﹣2

）（﹣x3+3x2），其中0＜x＜3．

令f（x）=﹣x3+3x2，0＜x＜3，

则由f′（x）=﹣3x2+6x=﹣3x（x﹣2）=0， 解得x=2． 列表如下：

x f′（x） f（x） （0，2） + 增 2 0 极大值 （2，3） ﹣ 减 所以当x=2时，f（x）取得最大值．

答：当BE的长为2分米时，折卷成的包装盒的容积最大．

18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：

（a＞b＞0）

的下顶点为B，点M，N是椭圆上异于点B的动点，直线BM，BN分别与x轴交于点P，Q，且点Q是线段OP的中点．当点N运动到点（的坐标为（

）．

）处时，点Q

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设直线MN交y轴于点D，当点M，N均在y轴右侧，且线BM的方程．

=2

时，求直

【解答】解：（1）由N（方程为y=x﹣

，

），点Q的坐标为（），得直线NQ的

第15页（共24页）

令x=0，得点B的坐标为（0，﹣所以椭圆的方程为

+

=1．

）．

将点N的坐标（，）代入，得+

=1，解得a2=4．

所以椭圆C的标准方程为+=1．

．

（2）：设直线BM的斜率为k（k＞0），则直线BM的方程为y=x﹣在y=kx﹣

中，令y=0，得xP=

，

． =2k．

而点Q是线段OP的中点，所以xQ=所以直线BN的斜率kBN=kBQ=

联立

，消去y，得（3+4k2）x2﹣8

kx=0，解得xM=．

用2k代k，得xN=又

=2

，

．

所以xN=2（xM﹣xN），得2xM=3xN， 故2×=

=3×

，又k＞0，解得k=x﹣

．

所以直线BM的方程为y=

19．（16分）设数列{an}满足aλ为常数．

=an+1an﹣1+λ（a2﹣a1）2，其中n≥2，且n∈N，

（1）若{an}是等差数列，且公差d≠0，求λ的值；

（2）若a1=1，a2=2，a3=4，且存在r∈[3，7]，使得m?an≥n﹣r对任意的n∈N*都成立，求m的最小值；

第16页（共24页）

（3）若λ≠0，且数列{an}不是常数列，如果存在正整数T，使得an+T=an对任意的n∈N*均成立．求所有满足条件的数列{an}中T的最小值． 【解答】解：（1）由题意，可得a

=（an+d）（an﹣d）+λd2，

化简得（λ﹣1）d2=0，又d≠0，所以λ=1． （2）将a1=1，a2=2，a3=4，代入条件， 可得4=1×4+λ，解得λ=0， 所以a

=an+1an﹣1，所以数列{an}是首项为1，公比q=2的等比数列，

﹣

所以an=2n1． 欲存在r∈[3，7]，

使得m?2n﹣1≥n﹣r，即r≥n﹣m?2n﹣1对任意n∈N*都成立， 则7≥n﹣m?2n﹣1，所以m≥令bn=

，则bn+1﹣bn=

﹣

对任意n∈N*都成立．

=

，

所以当n＞8时，bn+1＜bn；当n=8时，b9=b8；当n＜8时，bn+1＞bn． 所以bn的最大值为b9=b8=

，所以m的最小值为

；

（3）因为数列{an}不是常数列，所以T≥2， ①若T=2，则an+2=an恒成立，从而a3=a1，a4=a2， 所以

，

所以λ（a2﹣a1）2=0，又λ≠0，所以a2=a1，可得{an}是常数列，矛盾． 所以T=2不合题意．

②若T=3，取an=

由a22=a1a3+λ（a2﹣a1）2，得λ=7． 则条件式变为an2=an+1an﹣1+7．

（*），满足an+3=an恒成立．

由22=1×（﹣3）+7，知a3k﹣12=a3k﹣2a3k+λ（a2﹣a1）2； 由（﹣3）2=2×1+7，知a3k2=a3k﹣1a3k+1+λ（a2﹣a1）2； 由12=2×（﹣3）+7，知a3k+12=a3ka3k+2+λ（a2﹣a1）2；

第17页（共24页）

所以，数列（*）适合题意． 所以T的最小值为3．

20．（16分）设函数f（x）=lnx，g（x）=ax+

（a，b，c∈R）．

（1）当c=0时，若函数f（x）与g（x）的图象在x=1处有相同的切线，求a，b的值；

（2）当b=3﹣a时，若对任意x0∈（1，+∞）和任意a∈（0，3），总存在不相等的正实数x1，x2，使得g（x1）=g（x2）=f（x0），求c的最小值；

（3）当a=1时，设函数y=f（x）与y=g（x）的图象交于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）两点．求证：x1x2﹣x2＜b＜x1x2﹣x1．

【解答】解：（1）由f（x）=lnx，得f（1）=0，又f′（x）=，所以f′（1）=1， 当c=0时，g（x）=ax+，所以g′（x）=a﹣所以g′（1）=a﹣b，

因为函数f（x）与g（x）的图象在x=1处有相同的切线， 所以

解得a=，b=﹣；

（2）当x0＞1时，则f（x0）＞0，又b=3﹣a，设t=f（x0）， 则题意可转化为方程ax+

﹣c=t（t＞0）在（0，+∞）上有相异两实根x1，x2．

，即

，

，

即关于x的方程ax2﹣（c+t）x+（3﹣a）=0（t＞0） 在（0，+∞）上有相异两实根x1，x2．

所以，得，

所以c＞2﹣t对t∈（0，+∞），a∈（0，3）恒成立．

≥2?

=3（当且仅当a=时取等号），

因为0＜a＜3，所以2

第18页（共24页）

又﹣t＜0，所以2故c的最小值为3．

﹣t的取值范围是（﹣∞，3），所以c≥3．

（3）当a=1时，因为函数f（x）与g（x）的图象交于A，B两点，

所以

，两式相减，得b=x1x2（1﹣

），

要证明x1x2﹣x2＜b＜x1x2﹣x1， 即证x1x2﹣x2＜x1x2（1﹣

）＜x1x2﹣x1，

即证＜＜，

即证1﹣＜ln＜﹣1

令=t，则t＞1，此时即证1﹣＜lnt＜t﹣1．

=

＞0，

令φ（t）=lnt+﹣1，所以φ′（t）=﹣所以当t＞1时，函数φ（t）单调递增．

又φ（1）=0，所以φ（t）=lnt+﹣1＞0，即1﹣＜lnt成立； 再令m（t）=lnt﹣t+1，所以m′（t）=﹣1=所以当t＞1时，函数m（t）单调递减，

又m（1）=0，所以m（t）=lnt﹣t+1＜0，即lnt＜t﹣1也成立． 综上所述，实数x1，x2满足x1x2﹣x2＜b＜x1x2﹣x1．

[选做题]（在21.22.23.24四小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）[选修4-1：几何证明选讲]图

21．（10分）如图，已知AB为⊙O的直径，直线DE与⊙O相切于点E，AD垂直DE于点D．若DE=4，求切点E到直径AB的距离EF．

＜0，

第19页（共24页）

【解答】解：如图，连接AE，OE，

因为直线DE与⊙O相切于点E，所以DE⊥OE，

又因为AD⊥DE于D，所以AD∥OE，所以∠DAE=∠OEA，① 在⊙O中，OE=OA，所以∠OEA=∠OAE，②…（5分） 由①②得∠DAE=∠OAE，即∠DAE=∠FAE， 又∠ADE=∠AFE，AE=AE，

所以△ADE≌△AFE，所以DE=FE， 又DE=4，所以FE=4，

即E到直径AB的距离为4．…（10分）

[选修4-2：矩阵与变换] 22．（10分）已知矩阵M=程．

【解答】解：设P（x0，y0）是圆x2+y2=1上任意一点， 则

=1，

，求圆x2+y2=1在矩阵M的变换下所得的曲线方

设点P（x0，y0）在矩阵M对应的变换下所得的点为Q（x，y）， 则

=

，

即，解得，…（5分）

第20页（共24页）

代入=1，得=1，

=1．…（10分）

∴圆x2+y2=1在矩阵M的变换下所得的曲线方程为

[选修4-4：坐标系与参数方程] 23．在极坐标系中，直线ρcos（θ+【解答】解：直线ρcos（θ+

）=1与曲线ρ=r（r＞0）相切，求r的值．

，

）=1，转化为：

曲线ρ=r（r＞0）转化为：x2+y2=r2， 由于直线和圆相切， 则：圆心到直线的距离d=所以r=1．

[选修4-5：不等式选讲]

24．已知实数x，y满足x2+3y2=1，求当x+y取最大值时x的值． 【解答】解：由柯西不等式，得[x2+（

2

．

）2][12+（）2]≥（x?1+

）

，

≥（x+y）2．

，所以﹣

，…（5分）

即

而x2+3y2=1，所以（x+y）2

由，得，所以当且仅当x=，y=

时，（x+y）max=．

所以当x+y取最大值时x值为

．…（10分）

25．（10分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是菱形，AC与BD交于点O，OP⊥底面ABCD，点M为PC中点，AC=4，BD=2，OP=4． （1）求直线AP与BM所成角的余弦值；

（2）求平面ABM与平面PAC所成锐二面角的余弦值．

第21页（共24页）

【解答】解：（1）因为ABCD是菱形，所以AC⊥BD．又OP⊥底面ABCD， 以O为原点，直线OA，OB，OP分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系．

则A（2，0，0），B（0，1，0），P（0，0，4），C（﹣2，0，0），M（﹣1，0，2）． =（﹣2，0，4），cos＜

，

＞=

=（01，﹣1，2），

=

=

． ．…（5分）

故直线AP与BM所成角的余弦值为（2）

=（﹣2，1，0），

=（﹣1，﹣1，2）．

设平面ABM的一个法向量为=（x，y，z）， 则

，令x=2，得=（2，4，3）．

=（0，1，0）， =

=

．

．…（10分）

又平面PAC的一个法向量为∴cos＜

＞=

故平面ABM与平面PAC所成锐二面角的余弦值为

第22页（共24页）

26．（10分）已知n∈N*，nf（n）=Cn0Cn1+2Cn1Cn2+…+nCnn﹣1Cnn． （1）求f（1），f（2），f（3）的值；

（2）试猜想f（n）的表达式（用一个组合数表示），并证明你的猜想． 【解答】解：（1）由条件，nf（n）=C在①中令n=1，得f（1）=1．

在①中令n=2，得2f（2）=6，得f（2）=3． 在①中令n=3，得3f（3）=30，故f（3）=10． （2）猜想f（n）=

．

=

?

+2

?

+…+n

?

成立．

C

C

C

①，

要证猜想成立，只要证等式n由（1+x）n=

+

x+

x2+…+

xn①，

+2

x+3

+x2+nx+

xn﹣1②， x2+…+

xn ）?

两边同时对x求导数，可得n（1+x）n﹣1=

把等式①和②相乘，可得n（1+x）2n﹣1=（（

+2

x+3

x2+n

xn1 ） ③．

﹣

等式左边?=

?++2?2?

xn的系数为++3

?3?

+…+n+…+n

?

n?n

，等式右边

xn的系数为

=CC

CC

C

C

C．

，

根据等式③恒成立，可得n

=C

第23页（共24页）

故f（n）=

成立．

第24页（共24页）

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