学案导学备课精选2015年高中数学2.1.1合情推理与演绎推理同步练

第2章 推理与证明 §2.1 合情推理与演绎推理

2．1.1 合情推理

课时目标 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理.2.了解合情推理在数学发现中的作用．

1．归纳推理

(1)定义：从__________中推演出__________的结论，这样的推理称为归纳推理． (2)思维过程

→ →

2．类比推理 (1)定义

根据两个(或两类)对象之间在某些方面的________或________，推演出它们在其他方面也__________或________，像这样的推理通常称为类比推理，简称类比法．

(2)思维过程

观察、比较―→联想、类推―→猜测新的结论

3．合情推理的含义

合情推理是根据已有的事实和正确的结论，___________________________________等推测出某些结果的推理过程．

____________和____________是数学活动中常用的合情推理．

一、填空题

1．数列2,5,11,20，x,47，?中的x的值为________．

2．如图由火柴杆拼成的一列图形中，第n个图形由n个正方形组成：

通过观察可以发现：第4个图形中，火柴杆有______根；第n个图形中，火柴杆有________根．

2

3．已知a1＝1，an＋1>an，且(an＋1－an)－2(an＋1＋an)＋1＝0，通过计算a2，a3的值，猜想an＝________.

4．在等差数列{an}中，若a10＝0，证明等式a1＋a2＋?＋an＝a1＋a2＋?＋a19－n (n<19，*

n∈N)成立，并类比上述性质相应的在等比数列{bn}中，若b9＝1，则有等式________________________________________成立．

23

测出的合理结论是____________________．

6．观察下列等式：

1＝1,1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝1＋2＋3,1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)，?，由此推测第n个等式为______________________________________．

1

5．当a，b，c∈(0，＋∞)时，由

a＋b≥ab，

a＋b＋c3

≥abc，运用归纳推理，可猜

1n1n2n7．设n≥2，n∈N，(2x＋)－(3x＋)＝a0＋a1x＋a2x＋?＋anx，将|ak|(0≤k≤n)的

231111

最小值记为Tn，则T2＝0，T3＝3－3，T4＝0，T5＝5－5，?，Tn，?，其中Tn＝______________.

2323

8．对于平面几何中的命题：“夹在两条平行线之间的平行线段相等”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：“_______________________________________________”；

这个类比命题的真假性是__________． 二、解答题

9．平面内有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点，若f(n)表示这n个圆把平面分割的区域数，试求f(n)．

10.观察①tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°＝1.②tan 5°tan 10°＋

tan 10°tan 75°＋tan 75°tan 5°＝1.由以上两式成立得到一个由特殊到一般的推广，此推广是什么？并证明你的推广．

能力提升

11．观察下列等式：

2

①cos 2α＝2cosα－1；

42

②cos 4α＝8cosα－8cosα＋1；

642

③cos 6α＝32cosα－48cosα＋18cosα－1；

8642

④cos 8α＝128cosα－256cosα＋160cosα－32cosα＋1；

108642

⑤cos 10α＝mcosα－1 280cosα＋1 120cosα＋ncosα＋pcosα－1. 可以推测，m－n＋p＝________.

12．设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，若用f(n)表示这n条直线交点的个数．

(1)求f(4)；

(2)当n>4时，用n表示出f(n)．

2

1．归纳推理的一般步骤

(1)通过观察个别事物发现某些相同的性质．

(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题． 2．类比推理的一般步骤

(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；

(2)用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的结论． 3．合情推理获得的结论未必可靠，但能帮助我们猜测，发现结论．

答 案

知识梳理

1．(1)个别事实 一般性 (2)实验、观察 概括、推广 猜测一般性结论 2．(1)相似 相同 相似 相同

3．实验和实践的结果以及个人的经验和直觉 归纳推理 类比推理 作业设计 1．32

解析 ∵5－2＝3,11－5＝6,20－11＝9， ∴x－20＝12，∴x＝32. 2．13 3n＋1

2

3．n

解析 计算得a2＝4，a3＝9.

2

∴猜想an＝n.

*

4．b1b2?bn＝b1b2?b17－n (n<17，n∈N) 解析 在等差数列{an}中，由a10＝0，

得a1＋a19＝a2＋a18＝?＝an＋a20－n＝an＋1＋a19－n＝2a10＝0， ∴a1＋a2＋?＋an＋?＋a19＝0，

即a1＋a2＋?＋an＝－a19－a18－?－an＋1， 又∵a1＝－a19，a2＝－a18，?，a19－n＝－an＋1， ∴a1＋a2＋?＋an＝－a19－a18－?－an＋1 ＝a1＋a2＋?＋a19－n.

若a9＝0，同理可得a1＋a2＋?＋an＝a1＋a2＋?＋a17－n. 相应地，类比此性质在等比数列{bn}中，

*

可得b1b2?bn＝b1b2?b17－n (n<17，n∈N)． 5.

a1＋a2＋?＋ann≥a1a2?an (ai>0，i＝1,2，?n)

na1＋a2＋?＋ann≥a1a2?an (ai>0，i＝1,2，?n)是基本不等式的一般形式，这

n里等号当且仅当a1＝a2＝?＝an时成立．结论的猜测没有定式，但合理的猜测是有目标的．

2222n－12

6．1－2＋3－4＋?＋(－1)·n

n－1

＝(－1)(1＋2＋3＋?＋n)

解析

3

0 (n为偶数)??

7.?11

n－n (n为奇数)??23

解析 观察Tn表达式的特点可以看出T2＝0，T4＝0，??，∴当n为偶数时，Tn＝0；

111111

又∵T3＝3－3，T5＝5－5，??，∴当n为奇数时，Tn＝n－n. 232323

8．夹在两个平行平面间的平行线段相等 真命题

9．解 ∵f(n)表示n个圆把平面分割成的区域数，如果再有一个圆和这n个圆相交，则增加2n个交点，这些交点将增加的这个圆分成2n段弧，且每一段弧又将原来的平面区域一分为二，因此，增加一个圆后，平面分成的区域数增加2n个，

即f(n＋1)＝f(n)＋2n，亦即f(n＋1)－f(n)＝2n， 又f(1)＝2，由递推公式得 f(2)－f(1)＝2×1， f(3)－f(2)＝2×2， f(4)－f(3)＝2×3， ??，

f(n)－f(n－1)＝2(n－1)． 将以上n－1个等式累加得

f(n)＝2＋2[1＋2＋3＋?＋(n－1)]＝n2－n＋2.

10．解 观察到：10°＋20°＋60°＝90°，5°＋75°＋10°＝90°.猜想此推广为

ππ

α＋β＋γ＝且α，β，γ都不为kπ＋ (k∈Z)，则tan αtan β＋tan βtan γ＋

22

tan γtan α＝1.

证明：①γ＝0时，等式显然成立．

π

②当γ≠0时，由α＋β＋γ＝，

2

π

得α＋β＝－γ，

2

1

所以tan(α＋β)＝. tan γ

tan α＋tan β

又因为tan(α＋β)＝，

1－tan αtan β

所以tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan α·tan β)

1＝(1－tan α·tan β)， tan γ

所以tan αtan β＋tan βtan γ＋tan γtan α ＝tan αtan β＋tan γ(tan α＋tan β)

1

＝tan αtan β＋tan γ·(1－tan αtan β)＝1.

tanγ

综上所述，等式成立． 11．962

解析 观察得：式子中所有项的系数和为1， ∴m－1 280＋1 120＋n＋p－1＝1，

9

∴m＋n＋p＝162，又p＝10×5＝50，m＝2＝512， ∴n＝－400，∴m－n＋p＝962. 12．解 (1)

如图所示，可得f(4)＝5.

(2)∵f(3)＝2；f(4)＝5＝f(3)＋3； f(5)＝9＝f(4)＋4；

4

f(6)＝14＝f(5)＋5；

??

∴每增加一条直线，交点增加的个数等于原来直线的条数． ∴f(n)＝f(n－1)＋n－1，

累加得f(n)＝f(3)＋3＋4＋5＋?＋(n－1)

1

＝2＋3＋4＋5＋?＋(n－1)＝(n＋1)(n－2)．

2

5

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