中国人民大学出版社(第四版)高等数学一第10章课后习题详解

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第10章课后习题详解

曲线积分与曲面积分

例题分析

★★1. 计算ds y x L ?+)(，其中L 为连接)0,0(O ，)0,1(A ，)1,0(B 的闭折线。 知识点：第一类曲线积分.

思路: L 由三段直线段组成，故要分段积分. 解： 如图L OA =AB +BO +

则=+?ds y x L )(?+OA (?+AB

?+BO ds y x ))( 10,0:≤≤=x y OA ，dx dx y ds ='+=2)(1， 2

121)0()(10210==+=+∴??x dx x ds y x OA 10,1:≤≤-=x x y AB ，dx dx y ds 2)(12='+=，

2221)(1

010==?=+∴??x dx ds y x AB 注：利用被积函数定义在AB 上，故总有1),(=+=y x y x f

10,0:≤≤=y x BO ，dy dy x ds ='+=2)(1

2

121)0()(10210==+=+∴??y dy y ds y x BO 212

1221)(+=++=+?ds y x L . 注：1)??+=+BA AB ds y x ds y x )()(，??+=+OB BO ds y x ds y x )()(

对弧长的曲线积分是没有方向性的，积分限均应从小到大.

2)对AB 段的积分可化为对x 的定积分，也可化为对y 的定积分，但OA 段，OB 段则只能化为对x （或对y ）的定积分.

★★2.计算?L yds ，其中L 为圆周4)2(2

22a a y x =-+.

知识点：第一类曲线积分.

思路: L 为圆周用极坐标表示较简单.

2

解：L 的极坐标方程：πθθ≤≤=0,sin a r

θ

θθθθad d a a d r r ds =+='+=2222)cos ()sin ()( θ

θ2sin sin a r y == ∴220202222

12212sin 2sin a a d a ad a yds L ππθθθθππ=??==?=???. ★3. 计算曲线积分?Γ++ds z y x 2221，其中Γ为曲线t t t e z t e y t e x ===,sin ,cos , 应于t 从0到2的一段弧.

知识点：第一类曲线积分.

思路: Γ空间曲线，用空间间曲线第一类曲线积分公式. 解：dt e dt e t e t e dt z y x ds t t t t 3 )sin ()cos ()()()(222222=+'+'='+'+'=

∴ 原式= dt e dt e e t t t -??=+?2

02022t 2331e 1 )1(2

323220---=-=e e t . ★★★1. 计算曲线积分?Γ++ds xz z x 22，其中Γ为球面2222R z y x =++与平面

0=++z y x 的交线。

知识点：第一类曲线积分.

思路: Γ的参数方程不易求出，不好用空间间曲线第一类曲线积分公式，但Γ满足22

22R xz z x =++，故总有2

2

22R xz z x =++.

解：???=++=++Γ 0:2222z y x R

z y x 即 ?????=++=++Γ 0

2:2

22z y x R xz z x

原式= 22 2R 22

22R R ds R ds R ππ=?==??ΓΓ 注：1)利用被积函数xz z x z y x f ++=22),,(定义在Γ上，故总有22

22R xz z x =++，

3

是常用的一种简化运算的方法.

2) Γ为平面0=++z y x 上的一个圆，圆心)0,0,0(，半径为R . 课后习题全解

习题10-1

★1. 设在y x 0面内有一分布着质量的曲线弧L ，在点),(y x 处它的线密度为),(y x μ，用对弧长的曲线积分分别表达：

1) 该曲线弧对x 轴、y 轴的转动惯量x I 和y I ；

2) 该曲线弧的质心坐标x 和

y . 知识点：第一类曲线积分的概念及物理意义.

思路: xOy 面内的一段曲线L ，其线密度为),(y x μ，则

1)线段L 的质量为：

?L ds y x ),(μ 2)线段L 关于x 轴和

y 轴的静力矩为：??==L L y x ds y x x M ds y x y M ),(,),(μμ 3)线段L 对x 轴和y 轴的转动惯量：?=L x ds y x y I ),(2μ，?=L y ds y x x I ),(2μ 解：由第一类曲线积分的概念及物理意义得

(1) ?=L x ds y x y I ),(2μ, ?=L

y ds y x x I ),(2μ (2) ????====L

L x L L

y

ds y x ds y x y M M y ds y x ds y x x M M x ),(),(,),(),(μμμμ ★2. 计算?+L ds y x 22，其中)2(0 sin ,cos :π≤≤==t x a y t a x L 。 解：法一：adt dt t a t a dt y x ds =+-='+'=2222)cos ()sin ()()( 原式= ?=?+π

π20

2222)sin ()cos ( a adt t a t a 法二：原式=

π222a ds a ds a L L ==??.(利用性质2) ★3. 计算?+L

ds y x )(，其中L 为连接)0,1(，)1,0(两点的直线。 解：直线方程为：

10,1≤≤-=x x y dx dx y ds 2)(12='+=

4

原式=

?=?10221 dx ★★4．计算?+L ds y x )(3/43/4，其中L 为内摆线)0( 3/23/23/2>=+a a y x 的弧。 解：摆线的参数方程为：π20,sin ,cos 33≤≤==t t a y t a x

dt

t t a dt t t a t t a dt y x ds cos sin 3 )sin cos 3()cos sin 3()()(222222=+-='+'= 原式

?+=π20443/4cos sin 3)sin (cos dt t t a t t a 3

/72062063/7205205

3/720

443/44]sin 6

161[12]cos sin sin cos [12cos sin 3)sin (cos 4a t t os c a tdt t tdt t a

tdt t a t t a =+-=+=+=???πππ

ππ

★★5. 计算曲线积分?Γ++ds z y x )(222，

其中Γ为螺旋线kt z t a y t a x ===,sin ,cos 上相应于t 从0到π

2的一段弧。 解：dt z y x ds 222)()()('+'+'=

dt k a dt k t a t a 22222 )cos ()sin (+=++-= 原式 ?++=++=πππ20222222222)43(3

2))(( k a k a dt k a kt a ★★6. 计算曲线积分?Γzyds x 2，其中Γ为折线ABCD ,这里A ,B ,C ,D 依次为点)0,0,0(，

)2,0,0(，)2,0,1(，)2,3,1(. 解：如图， 原式= ?++CD BC AB zyds x 2

AB ：)20(,0,0≤≤===t t z y x 00 2=?=∴??AB

AB ds zyds x BC ：)10(2,0,≤≤===t z y t x ，00 2=?=∴??BC

BC ds zyds x CD ：)30(2,,1≤≤===t z t y x ，dt dt z y x ds ='+'+'=222)()()( 921 302302==??=∴??t tdt zyds x CD

∴原式= 9900=++.

5

★★7. 计算?L

xds ，其中L 为对数螺线0)( >=k ae r k ?在圆a r =的内部。 解：依题意： a ae k ≤? 得0≤? ??????d k ae d ake ae d r r ds k k k 222221)()()(+=+='+= ∴??-∞

+?=021cos ????d k ae ae xds k k L ?∞

-+=0222 cos 1???d e k a k 2224112k k ka ++=.

★★★8. 计算曲线积分?Γ+ds z y 222，其中Γ为球面2222a z y x =++与平面y x =的交线。

解： ???==++Γ :2222y x a z y x 即 ?

??==+Γ 2:2

22y x a z y 法一： Γ的参数方程为：)20(sin ,cos 2,cos 2π≤≤===t t a z t a

y t a

x

∴adt dt z y x ds ='+'+'=222)()()(

原式=

?=??ππ2022 2 a dt a a 法二： 原式= 22 2 2a a a ds a ds a ππ=?==??ΓΓ

★9. .求半径为a 、中心角为?2的均匀圆弧（线密度)1=ρ的质心. 解：取扇形的角平分线为x 轴，顶点为原点建立平面直角坐标系，则

圆弧的方程为：)(sin ,cos ?θ?θθ≤≤-==a y a x

θθθad d t a t a d y x ds =+-='+'=2222)cos ()sin ()()( 由图形的对称性和1=ρ知0=y ，而

??θ?θθ???

???sin sin 2 cos 21

2a a ad a a a xds M M x L

y

==?===--??

故质心在（0,sin ??a ）.

★10. 求螺旋线)20( ,sin ,cos π≤≤===t kt z t a y t a x ，对z 轴的转动惯量，设曲线的密度为常数μ.

6

解： dt k t a t a dt z y x ds 222222)cos ()sin ()()()(++-='+'+'=

dt k a 22 +=

2

2220

22222 2 )(k a a dt k a a ds y x I z +=+=+=∴??πμμμπ

Γ

.

★11. 设螺旋形弹簧一圈的方程为

kt z t a y t a x ===,sin ,cos ，其中π

20≤≤t ，它的线密度

222),,(z y x z y x ++=ρ. 求：

(1) 螺旋形弹簧关于z 轴的转动惯量z I ; (2) 螺旋形弹簧的重心.

解: dt k t a t a dt z y x ds 222222)cos ()sin ()()()(++-='+'+'=

dt k a 22 +=

(1)??++=+=π

ρ20

222222Γ

2

2

)()(dt k a t k a a ds y x I z

)382()3( 22222220

322

222

πππ

k a k a a t k t a k a a ++=++=.

(2)==?Γ

ρds y x M

),( ?++π20

22222)(dt k a t k a

)38

2()3( 2222220

32

222πππ

k a k a t k t a k a ++=+

+= 螺旋形弹簧关于

xOy zOx yOz ,,平面的静力矩分别为：

?=Γ

ρds y x x M x ),(?++?=π

20

22222)(cos dt k a t k a t a

2

2220

20

22220

2202222220

22220

2224)]cos cos (20[]

sin 2sin )(0[]

cos )(cos [k a k a tdt t

t k k a a tdt t k t t k a k a a tdt t k a tdt a k a a +=-++=-+++=+++=????ππ

ππ

ππ

π

同法得：?=Γ

ρds y x y M y

),(?++?=π

20

22222)(sin dt k a t k a t a

2

22220

20

2222220

2202222220

22220

2224)]

sin sin (24[]

cos 2cos )(0[]

sin )(sin [k a k a tdt t t k k k a a tdt t k t t k a k a a tdt t k a tdt a k a a +-=-+-+=-+-+=+++=????πππ

ππ

ππ

π

7

?=Γ

),(ds y x z M z ρ?++=π

20

22222)(dt k a t k a kt

)2(2)42( 22222220

4

2

22

22πππ

k a k a k t k t a k a k ++=++=. 2

22

2

436πk a ak M M x x +==∴,

==M M y y

2

22

2

436ππk a ak +-

=

=M M z z 2

2222243)2(3πππk a k a k ++. 提高题

★★★1. 计算

ds e

L

y x ?+2

2，其中L 为正向圆周222 a y x =+，直线x y =及x 轴在第一项限内所围

成的扇形的整个边界.

解：x y =与2

22 a y x =+在第一象限的交点为)2

2,22(a a . 如图：321L L L L

++=

;0,0:1a x y L ≤≤= dx dx y ds ='+=2)(1 20,:2a x x y L ≤

≤=;

dx dx y ds 2)(12='+=

a x a x a y L ≤≤-=2

,

:223; dx x

a a dx y ds 2

2

2)(1-=

'+=.

则 原式???+++++=

32

222

212

2L y x L y x L y x ds e

ds e

ds e

dx x

a a

e dx e

dx e a

a a a

x

a x

2

22

2

20

2-?

++=???

a a a

a

x

a x a

x

arc ae e

e

2

2

20

sin

++=

.2)4

2()42(

)1(2-+=-+-=a e ae e a a a π

ππ

★★★★2. 计算?Γ

zds ，其中Γ为圆柱面4

)2(22

2a y a x =+-与锥面2

2 y x z

+=的交线.

8

解：??

???+==

+- 4)2(:22222y x a z a y a x Γ，参数方程为22 cos sin cos cos :2ππΓ

≤≤-??

?

??===t t

a z t t a y t

a x

dt t a dt z y x ds 2222sin 1+='+'+'=

?

?

?

??+=+?=+?=+?=∴-20

22

20

22

20

22

22

2

Γ

sin sin 12sin 1cos 2sin 1cos 2sin 1cos π

ππ

π

πt

d t a

dt t t a

dt

t t a

dt t a t a a zds

?+=1

2212 sin du u a t u

又?

??

?+++-=+-+=+=1

2

10

21

2

210

2

1

21112111du u

du u du u

u u

u du u I

2

)

21ln(2)

21ln(2)1ln(211221

2

1

2

++=

++=+++=++=?I u u du u

I

故

?

Γ

zds 22

)]21ln(2[2

)

21ln(22a a ++=++?=.(此题请核查)

§10.2 第二类曲线积分

内容概要

9

例题分析

★★1. 计算?-++L dy y x dx y x )()(2222，其中L 是)1,1()2,0()1,1(),0,0(-C B A O 为顶点的正

方形的正向边界.

知识点：第一类曲面积分.

思路: 如图L 由四段直线段组成，故要分段积分. 解： 如图L OA =AB +CO BC ++

则?-++L dy y x dx y x )()(2222

?+=OA (?+AB ??-+++BC CO

dy y x dx y x )()()2222 x x x y x x OA (,10 ,,:≤≤?

??== 变化从0到)1 322)()(2102222==-++∴??dx x dy y x dx y x OA x x x y x x AB (,10 ,

2,:≤≤???+-== 变化从1到)0

314)2(312)2(2)}1]()2([])2({[)()(0132012222012222-=-?-=-=---+-+=-++∴???x dx x dx x x x x dy y x dx y x AB

(, 01,2:x x x y BC ≤≤-+= 变化从0到)1-

323122}1])2([])2({[)()(1

032102222102222-=?==?+-+++=-++∴---???x dx x dx x x x x dy y x dx y x BC

x x x y CO (, 01,:≤≤--= 变化从1-到)0

10

323122])([)()(0

13

20122012222=?==-+=-++∴---???x dx x dx x x dy y x dx y x CO

4323231432)()(2222-=+--=-++∴?L dy y x dx y x . ★2．计算曲线积分?++++-Γ222z y x dz xdy ydx ，其中Γ为曲线t t t e z t e y t e x ===,sin ,cos 上对应 于t 从0到2的一段弧.

知识点：第一类曲面积分.

思路: Γ空间曲线，用空间间曲线第一类曲线积分公式. 解：原式?

+++++--=2022222sin cos )cos sin (cos )sin cos (sin t t t t t t t t t t e t e t e dt e dt t e t e t e dt t e t e t e )3(21)(21)1(212220202

022----=-=+=+=

??e e t dt e dt e e e t t t t t . 课后习题全解

习题10-2

★1.计算?+L xdy ydx sin ，其中L 为0( sin =x y 线，依顺时针方向.

解：如图21L L L +=

其中x x y L , sin :1

=变化从0到π， x y L , 0:2=变化从π

到0, ?+=1sin 1L xdy ydx I

?+-=?+=π

π00

2)sin 21cos (cos sin sin x x xdx x xdx 2= ??=+=+=0200sin 0 sin 2π

xd dx xdy ydx I L 原式2sin 2121=+=+=?+I I xdy ydx L L

11

★2.计算?+L xdy ydx ，其中L 为圆周t R y t R x sin ,cos ==上对应于t 从0

到2

π的一段弧. 解： 原式??=?+-?=2022

2cos cos cos )sin (sin π

πtddt R tdt R t R dt t R t R 02sin 220

2==πt R ★★3.计算曲线积分?-+L x x dy ye xdx 22，其中L 为从)0,0(O 经22x x y -=到点

)1,1(B 的那一段.

解：x x x y L , 2:2-=

变化从0到1 原式??-+=---+=--102221

02)1(2222222dx x e xdx dx x x x e x x xdx x x x x e e x x x 21)2121(10

222=+=-. ★★4.计算曲线积分?+--+L y

x dy y x dx y x 22)()(，其中L 为圆周 222a y x =+（按逆 时针方向绕行）.

解：圆的极坐标方程为： sin ,cos θθa y a x ==，θ从0变到π2 原式=??---?+π

θθθθθθθθ202

cos )sin (cos )sin ()sin (cos a d a a d a a πθπ

2120-=?-=?d .

★★★5.计算?Γ-+-dz x yzdy dx z y 2222)(，设1)t (0 ,,32≤≤===t z t y t x ，式中Γ

方向依参数增加的方向. 解：原式??-=?-??+-=1046102

23264)23(322)(dt t t dt t t tdt t t dt t t 3515273)5273(1

057=-=-=t t . ★★★6.计算?Γ-+ydz zdy dx x 2，其中Γ为θθθsin z ,cos ,a a y k x ===上对应

于θ从0到π的一段弧.

解：原式??--?+?=πθθθθθθθθ022 cos cos )sin (sin d a a d a a kd k

12

ππθθθθπ

π

233023302233)31()( a k a k d a k -=-=-=?. ★★★7.计算?Γ-+ydz x dy zy dx x 2233，其中Γ是从点)1,2,3(A 到点)0,0,0(B 的直线AB .

解：Γ直线的方向向量s 为{}1,2,3---，

故其参数方程为： , z ,2,3t t t y t x

-=-=-=从1-变到0 原式?--?-?---?--+-?-=01

223)1()2()3()2()2)((3)3()3(dt t t dt t t dt t 4

8748787 014

301-

===--?t dt t . ★★★8.计算dz y x dy x z dx z y )()()(-+-+-?Γ，其中Γ为圆柱面 222a y x =+与

0)h 0,( 1>>=+a h

z a x 的交线l ，从x 轴正向看Γ为逆时针方向. 解：Γ的参数方程为：)cos 1(z ,sin ,cos θθθ-===h a y a x ,θ从0变到π2 原式[]?---=π

θθθθ20)sin ()cos 1(sin d a h a []θθθθθθθθd h a a d a a h sin )sin cos ()cos (cos )cos 1(-+--+

()()ππθθθθθθθ202202)cos (sin )cos (sin - -+--=++-=?ah ah a d ah ah a )(22ah a +-=π

★★★9.在过点)0,0(O 和)0,(πA 的曲线族)0(sin >=ααx y 中，求一条曲线L ，该

曲线从O 到A 的积分?+++L

dy y x dx y )2()1(3的值最小。 解：L ：x x y )0(sin >=αα从0变到π, ??+++=+++=παααα0333)cos )(sin 2()sin 1()2()1()(dx x x x dx x dy y x dx y I L

?++++=π

π

αααα033022s i n )s i n 22s i n 2(x d x x o s x c x x x

33

44ααπ+-= 244)(αα+-='I

令0)(='αI 得1±=α（负号舍去）

13

+∞=+-=+∞-==+∞→)3

44(lim )(,322)1(,)0(3ααπππαI I I 3

22)1(min -=∴πI x y sin =为所求曲线。

★★★10.计算?-+L

dy x y xydx )(，其中L 分别为路线： (1) 直线AB ; (2)抛物线ACB : 1)1(2 2+-=x y ; (3)三角形ADB ? 解：（1）直线AB 方程：21 131121

≤≤--=--x y x , 即x x y

12 -=从1变到2, 原式dx x x dx x x 2)12()12( 21?--+-=?

dx x x )22( 221-+=?625)22132(21

23=-+=x x x (2) 抛物线

ACB : x x y 1)1(2 2+-=从1变到2 原式()()dx x x x dx x x )1(4)1)1(21)1(2 2221-?-+-++-=?

()2

123423

2

121)1(32)1(410))1(2)1(10 x x x dx x x x +---=+---=?310= (3) DB AD ADB += , x y AD 1:=从1变到2

y x DB 2:=从1变到3

原式=dy y xdx dy x y xydx dy x y xydx DB AD )2( )()(3

121-+=-++-+????

23)221(2131

2212=-+=y y x ★★★11.设Γ为曲线 ,,32t z t y t x ===上相应于t 从0变到1的一段曲线弧,把对坐标的曲线积分?Γ

++Rdz Qdy Pdx 化为对弧长的曲线积分。 解：dt y x dt t t dt z y x ds t t t 2242222941941++=++=++=

3,2,2dt t dz tdt dy dt dx ===

14

2

29411cos y x ds dx ++==

∴α,

ds y

x dx 2

2

9411++=

2

22294129412cos y x x y x t ds dy ++=++==

β,

ds y

x x dy 2

2

9412++=

2

222294139413cos y x y

y x t ds dz ++=

++==γ,

ds y

x y dz 2

2

9413++=

?

?

++++=++∴

Γ2

2Γ

94132ds y

x yR xQ P Rdz Qdy Pdx

★★★12.计算沿空间曲线对坐标的曲线积分

?Γ

xyzdz ，其中Γ是 1 222

=++z y x

与z y =相交的

圆，其方向沿曲线依次经过1，2，7，8挂限。

解：Γ的参数方程：θθθθ,sin 2

1,sin 2

1,cos =

=

=z y x 从0变到π

2,

θ

θθθθθθπ

π

d d xyzdz )sin (sin 4221

cos 21sin cos 212042220

??

?-?=?=Γ

πππ16

2

)22143221(

2=-=

注：利用2

,1,1cos sin 01220

n 20

n

π

θθθθπ

π

==-=

==-??I I I n n d d I n n

★13.设

z 轴与重力的方向一致，求质量为m 的质点从位置),,(111z y x 沿直线移到),,(222z y x 时重力所

作的功。

解： F={0,0,mg},g 为重力加速度;记dr=),,(},,,{111z y x A dz dy dx , ),,(222z y x B ,

则功

??-==?=AB

z z z z mg mgdz dr F W )(122

1

★★★14.质点

p 沿以AB 为直径的半圆周，从点)2,1(A 运动至点)4,3(B 的过程中，受到变力F 的作用，

F 的大小等于点P 与原点O 之间的距离，其方向垂直于线段OP ，且与y 轴正向的夹角小于

2

π

，求

变力F 对质点所作的功。

解：依题意j x i y F +-=，},{dy dx dr =

从A 点到B 点半圆周的方程：

θ

θθ,sin 23,cos 22+=+=y x 从π

4

3

-变到4

π

15

则功 ??+-=?=AB AB

xdy ydx dr F W ?

-?++-?+-=ππθθθθθθ4143 cos 2)cos 22()sin 2()sin 23(d d

ππππθθθθθθ41434143sin 22cos 232 )cos 22sin 232(--+-=++=?d

12-=π

提高题

★★★1.计算?+L dy xy x )2(2

，其中L 为上半椭圆周)0(1 22

22≥=+y b y a x （按逆 时针方向）.

解：L 的参数方程为： θθsin ,cos b y a x ==,θ从0变到π 原式[]??+=πθθθθθ0

22)cos ()sin cos 2cos d b b a a

()202022022022323

4312cos cos 2sin cos 2sin cos 2cos ab s co ab d ab d ab d ab b a =?-=-==+=???π

ππ

πθθθθθθθθθθ 注：此题可用直角坐标系求解，较用参数方程繁.

§10.3 格林公式及其应用

内容概要

16

例题分析 1. 计算

★★★1) ?-+-ABOA x x dy y e dx y y e )1cos ()sin (;

★★★★2)

?-+-AB x x dy y e dx y y e )1cos ()sin (. 其中),0(a A , )0,(a B ,)0,0(O , ABOA 是折线，AB 是由A 到B 的直线段，如图.

知识点：格林公式.

思路: 1)1cos Q y -siny -==y e e P x x 1 =??-??∴y

P x Q ，应用格林公式方便. 2) 这题并非闭路，不能直接用格林公式，为此增加辅助曲线构成可应用格林公式的闭曲线，随后再减去补上的这些曲线段上的线积分. （如图）. 解：1)?-+-ABOA x x dy y e dx y y e )1cos ()sin (

???-??--??-=-+--=D x x AOBA x x dxdy y y e y

y e x dy y e dx y y e )]sin ()1cos ([)1cos ()sin ( 22

11a d x d y D ??-=?-= 2) 如图 ???????-=+=ABOA OA

BO BOA BOA AB AB - - 其中 22

1)1cos ()sin (a dy y e dx y y e ABOA x x -=-+-?（见本题1） ,0,0:

==dy y BO 0)1cos ()sin (=-+-∴?Bo x x dy y e dx y y e y dx x OA ,0,0:== 由0变到a ，

17

a

a

y

y

dy

y

dy

y

e

dx

y

y

e a

a

OA

x

x-

=

-

=

-

=

-

+

-

∴?

?sin

)

(sin

)1

(cos

)1

cos

(

)

sin

(

a

a

a

a

a

a

ABOA OA

BO

AB

sin

2

)

(sin

2

-

2

2

-

-

=

-

-

-

=

-

=

∴??

?

?.

注：应用格林公式?

??+

=

??

?

?

?

?

?

?

-

?

?

L

D

Qdy

Pdx

dxdy

y

P

x

Q

时，除

x

Q

y

P

y

x

y

x

P

?

?

?

?

,

),

,

Q(

),

,

(连续

条件外，还要求：

1) D和L是正向关系，本题1)的方向是反向的，故先改成正向，随后再用格林公式.

2) 注意公式中)

,

Q(y

x前是"

"+号，如本题改写成?-

-

-

ABOA

x

x dy

y

e

dx

y

y

e)

cos

1(

)

sin

(，此时不能误认为y

e x cos

1

Q-

=，而应是1

cos

Q-

=y

e x.

★★★★2. 计算?+

-

L y

x

xdy

ydx

)

(22

2

，其中L为圆周2

)1

(2

2=

+

-y

x的逆时针方向.

知识点：格林公式.

思路:0=

?

?

-

?

?

y

P

x

Q

，应用格林公式方便,.但因L围的区域内含被积函数不连续的点)0,0(，故要把不连续的点)0,0(挖掉.

解：在L包围的区域内作顺时针方向的小圆周

θ

θ

ε

θ

ε,

sin

,

cos

:

1

=

=y

x

L变化从π2到0

在L与1L包围的区域D上，

[]x

Q

y

x

x

xy

y

y

P

?

?

=

+

-

-

=

?

?

4

8

4

2

2

2

2

2

及格林公式，有

)

(

4

)

(

)

4

(

1

2

2

=

?

?

-

?

?

=

+

-

+

+

??

?+dxdy

y

P

x

Q

y

x

dx

y

x

dy

y

x

D

L

L

?

?

+

-

+

+

-

=

+

-

+

+

=

∴

1

2

2

2

24

)

(

)

4

(

4

)

(

)

4

(

L

L y

x

dx

y

x

dy

y

x

y

x

dx

y

x

dy

y

x

I

π

θ

θ

θ

ε

θ

θ

ε

θ

ε

θ

ε

θ

ε

θ

ε

π

π

π

=

=

=

-

?

-

+

?

?

+

=

?

?

2

2

2

02

2

1

2

1

)

sin

(

)

sin

2

(

cos

(

cos

2

)

sin

2

4

cos

(

d

d

18

注：因L 围的区域内含被积函数不连续的点)0,0(，故此题不能直接用格林公式。

课后习题全解

习题10-3

★★1. 利用格林公式计算积分?-+++L y y dy y xe xy dx e yx )2()(33

其中L 为正向圆周曲线 222a y x

=+. 解：y xe xy e yx P y y 2Q 33-+=+=

2 ,2 3333--=??-??-+=??+=??∴x y y

P x Q e y x Q e x y P y y 原式=????--=--≤+πθθθ203333033)2cos sin ()2(222d r r rdr dxdy x y a a

y x 20

2)4( a rdr a ππ-=-=? ★★2. 利用格林公式计算积分?-+-L dy xy y dx xy x )2()(232，其中L 顶点为)

2,2(),0,2(),0,0(和)2,0(的正方形区域的正向边界。

解：设L 围的区域为D: 20,20 ≤≤≤≤y x

xy y xy x P 2Q 232-=-=

y x Q xy y P 2 32-=??-=??∴, 232 xy y y

P x Q +-=??-?? 原式=

????+-=+-202202)32()32(dy xy y dx dxdy xy y D 8)44()84()( 202202

02032=+-=+-=+-=??x x dx x dx xy y .

★★3. 计算

?+L y xdy dx e 2，其中L 是沿逆时真方向的椭圆 84 22x y x =+。 解：设L 围的区域为D

x e P y ==Q 2

1 2 2=??=??∴x Q ye y P y ， y P x Q ??-??

19

原式=π2)21(2==-????D D y dxdy dxdy ye

注：利用二重积分的被积函数的奇偶性及积分区域的对称性有

022=??D y dxdy ye . ★★4. 利用曲线积分，求星形线t a y t a x 33sin ,cos ==所围成图形的面积。 解：由公式?-=

L ydx xdy 21A []

d t t t a t a t t a t a ?--?=π

202323)sin cos 3(sin cos sin 3cos ??=?=ππ2022202222sin 8

3sin cos 23tdt a dt t t a ππ202202)4sin 41(16324cos 183t t a dt t a -=-=?

22 8

32163a a ππ=?= ★★5. 求双纽线 )-() (222222y x a y x =+所围区域的面积。

解：双纽线的极坐标方程为：θ2cos 22a r =

21 )sin cos (sin )cos sin (cos 21 21sin )(,cos )( 2???=-'-+'=-=∴==L

L

L

d r d r r r d r r r ydx xdy A r y r x θθθθθθθθθθ

θθθ 由图形的对称性知：24424422sin 212cos 212a a d a A =?=?=--?ππ

ππθθθ

★★6. 计算 ?+-L y x ydx x dy xy 2

222，其中L 为圆周 222a y x =+的顺时针方向。 解：L 参数方程为：t t a y t a x ,sin ,cos ==变化从π2到0 原式?-??-??=022

2222)sin (sin cos cos sin cos πa dt t a t a t a tdt a t a t a 22022202

22 212sin 21sin cos 2a tdt a dt t t a πππ

-=-=?-=?? 注：因L 围的区域内含被积函数不连续的点)0,0(，故此题不能用格林公式。

20

★★7. 计算?+--L dy y x dx y x )sin ()(22，其中L 是在圆周22 x x y -=上由

)0,0(到)1,1(的一段弧。

解：设)0,0(O ,)1,1(A ,)0,1(B 连接BO AB ,则BO AB L ,,围区域D y x y x P 22sin Q - --==

0 ,1 1 =??-??-=??-=??∴y P x Q x Q y P 00)sin ()(22=-=+--???++D BO AB L dxdy dy y x dx y x

???---++--=+--∴OB BA L

dy y x dx y x dy y x dx y x dy y x dx y x )sin ()()sin ()()sin ()(222222

10,0,1:≤≤==y dx x BA , ?+--∴BA

dy y x dx y x )sin ()(222sin 4123)2sin 4123()22cos 11()sin 1(1

010102+-=--=-+-=+-=??y y dy y dy y 10,0,0:≤≤==x dy y OB ， ?---∴OB dy y x dx y x )sin ()(223

131)0(103102==-=?x dx x 原式2sin 4

167312sin 4123+-=++-= ★★8. 计算?--+L y dx y dy e x )2

1()(sin ，其中L 是位于第一象限中的直线 1 =+y x 与位于第二象限中的圆弧 1 22=+y x 构成的曲线，方向是由)0,1(A 到)1,0(B 再到)0,1(-C .

解：连接CA 则CA L ,围区域D , y e x y P sin Q 2

1- +=+= 2 ,1 1 =??-??=??-=??∴y P x Q x Q y P

21

2

1)214(22)21()(sin ππ+=+==--+???+D

CA L y

dxdy dx y dy e x

2

21212121)21()(21)21()(1

11

1s i n s i n π

ππ

π=

-+=-+=--+-+=--+--???x dx dx y dy e x dx y dy e x CA y

L

y

★★9.计算

?

+L

x x ydx e ydy e sin cos ，其中L 从)0,0(O 沿摆线)

cos 1(),sin ( t a y t t a x -=-=到

)2,(a a A π.

解：设)0,(a B π连接BO AB ,则BO AB L ,,围区域D

y e y e P x x sin Q cos ==

0 ,sin sin =??-??=??=??∴

y

P x Q y e x Q y e y P x x

00s i n c o s =-=+???++D

BO

AB L x x dxdy ydy e ydx e

a

e y

e y d y e y d x

e y d y e y d x e y d y e y d x e y d y e a

a a

a

a OB

x x BA

x x L

x x 2sin sin 0cos sin cos sin cos sin cos 20

20

πππ==+=+++=+????

★★★10. 计算

[]ds y n y x n x L

),cos(),cos(?+，其中L 为包围有界闭区域D 得简单曲线，D 的面积

为S ，n 为L 的外法线方向.

解：设L 沿逆时针方向的任意点的单位切向量j i t βαcos cos +=

(βα,分别是与x 轴、

y 轴正向夹角).

则

),c o s (c o s ),,cos(cos x n ds

dy

y n ds dx ==-==βα []S ydx xdy ds y n y x n x L

L

2 ),cos(),cos(=-=+??.

★★★11.计算?

+-++=L y

x dx y x dy y x I

224)()4(，其中L 为单位圆周1 2

2=+y x 的正向. 解：在L 包围的区域内作顺时针方向的小椭圆周

θθε

θε,sin 2

,cos :1=

=y x L 变化从π2到 0

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