概率习题

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第一章 随机事件与概率

习题1.1 P9

2. 在抛三枚硬币的试验中写出下列事件的集合表示:

A=”至少出现一个正面”; B=”最多出现一个正面”; C=”恰好出现一个正面”; D=”出现三面相同”.

5. 设X为随机变量,其样本空间为

??{0?X?2},记事件A?{0.5?X?1}, B?{0.25?X?1.5},写出下列各事件：

（1）AB，（2）A?B，（3）AB，（4）A?B.

6. 对飞机进行两次射击,每次射一弹,设A={恰有一弹击中飞机},B={至少有一弹击中飞机},C={两面三刀弹都击中飞机},D={两面三刀弹都没击中飞机}.又设随机变量X为击中飞机的次数,试用X表示事件A,B,C,D中哪些是互不相容的事件?哪些是对立的事件?

9. 请叙述下列事件的对立事件: (1) A=”掷两枚硬币,皆为正面”; (2) B=”射击三次,皆命中目标”;

(3) C=”加工四个零件,至少有一个合格品”.

1

习题1.2 P28

3. 任取两个正整数,求它们的和为偶数的概率.

11. 口袋中有10个球,分别标有号码1至10,现从中不返回地任取3个,记下取出球的号码,试求: (1) 最小号码为5的概率; (2) 最大号码为5的概率.

12. 掷三颗骰子，求以下事件的概率： (1)所得的最大点数小于等于5; (2)所得的最大点数等于5.

15. 5个人在第一层进入十一层楼的电梯,假如每个人以相同的概率走出任一层(从第二层开始),求此5个人在不同楼层走出的概率.

20. 将3个球随机地放入4个杯子中去,求杯子中球的最大个数分别为1,2,3的概率各为多少?

22. 将n个完全相同的球(这时也称球是不可辨的)随机地放入N个盒子中,试求:

(1) 某个指定的盒子中恰好有k个球的概率; (2) 恰好有m个空盒的概率;

(3) 某指定的m个盒子中恰好有j个球的概率.

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23. 在区间(0,1)中随机地取两个数,求事件”两数之和小于6/5”的概率.

24. 甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头,它们在一昼夜内到达的时间是等可能的. 如果甲船的停泊时间是一小时,乙船的停泊时间是两小时,求它们中任何一艘都不需要等候码头空出的概率是多少?

27. 设一个质点落在xoy平面上由x轴y轴及直线x+y=1所围成的三角形内,而落在这三角形内各点处的可能性相等,即落在这三角形内任何区域上的概率与这区域的面积成正比,试求此质点落在直线x=1/3的左边的概率是多少?

习题1.3 P36

4. 从0,1,2,…,9等十个数字中任意选出三个不同的数字,试求下列事件的概率: (1)A1?{三个数字中不含0和5}; (2)A2?{三个数字中不含0或5}; (3)A3?{三个数字中含0但不含5}.

2

8. 从数字1,2,…,9中可重复地任取n次, 求n次所取数字的乘积能被10整除的概率.

10. 甲掷硬币n+1次, 乙掷n次. 求甲掷出的正面数比乙掷出的正面数多的概率.

14. 某班n个战士各有1支归个人保管使用的枪, 这些枪的外形完全一样, 在一次夜间紧急集合中, 每人随机地取了1支枪, 求至少有1人拿到自己的枪的概率. 18.

设

P(A)?P(B)?1/2, 试证

,P(AB)?P(A?B)

19. 对任意的事件A, B, C, 证明: (1)P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(A); (2)

P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(A)?P(B)?P(C)?1

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22. 证明:

(1)P(AB)?P(A)?P(B)?1; (2)

求P(B|A?B)

13. 甲口袋有a个黑球,b个白球, 乙口袋有n个黑球,m个白球.

(1) 从甲口袋任取1个球放入乙口袋, 然后再从乙

口袋任取1个球,试求最后从乙口袋取出的是黑球的概率.

(2) 从甲口袋任取2个球放入乙口袋, 然后再从乙

口袋任取1个球, 试求最后从乙口袋取出的是黑球的概率.

16. 钥匙掉了, 掉在宿舍里,掉在教室里,掉在路上的概率分别是40%,35%和25%,而掉在上述三处地方被找到的概率分别是0.8,0.3和0.1, 试求找到钥匙的概率.

18. 有两箱零件, 第一箱装50件, 其中10件是一等品; 第二箱装30件, 其中18件是一等品, 现从两箱中随意挑出一箱,然而从该箱中先后任取两个零件, 试求:

3

P(A1A2?An)?P(A1)?P(A2)???P(An)?(n?1)

习题1.4 P48

4. 设某种动物由出生活到10岁的概率为0.8, 而活到15岁的概率为0.4. 问现年为10岁的这种动物能活到15岁的概率是多少?

6. 设n件产品中有m件不合格品, 从中任取两件, 已知两件中有一件是不合格品, 求另一件也是不合格品的概率 .

9. 已知P(A)?0.3,P(B)?0.4,P(AB)?0.5,

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(1) 第一次取出的零件是一等品的概率;

(2) 在第一次取出的是一等品的条件下,第二次取

出的零件仍然是一等品的概率.

19. 学生在做一道有4个选项的单项选择题时,如果他不知道总是的正确答案时,就作随机猜测. 现从卷面上看题是答对了, 试在以下情况下求学生确实知道正确答案的概率.

(1) 学生知道正确答案和胡乱猜测的概率是1/2. (2) 学生知道正确答案的概率是0.2.

27. 设P(A)>0, 试证P(B|A)?1?

28. 若事件A与B互不相容, 且P(B)?0, 证明:

31. 设P(A)?p,P(B)?1??, 证明:

p??p ?P(A|B)?1??1??

习题1.5 P55

3. 甲乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.7,现已知目标被击中,求它是甲射中的概率.

5. 在一小时内甲,乙,丙三台机床需维修的概率分别是0.9,0.8和0.85,求一小时内

(1) 没有一台机床需要维修的概率; (2) 至少有一台机床不需要维修的概率; (3) 至多只有一台机床需要维修的概率.

4

P(B) P(A)P(A|B)?

P(A)

1?P(B)概率论与数理统计 班级________________ 学号____________________ 姓名_____________

6. 设A1,A2,A3相互独立,且P(Ai)?1/3,I=1,2,3. 试求A1,A2,A3中 (1) 至少出现一个的概率; (2) 恰好出现一个的概率; (3) 最多出现一个的概率.

8. 假设P(A)?0.4,P(A?B)?0.7, 在以下情况下求P(B): (1) A, B不相容; (2) A, B独立;

(3) A?B.

14. 每次射击命中率为0.2, 试求:射击多少次才能使至少击中一次的概率不小于0.9?

5

22. 设A,B,C三事件相互独立, 试证A-B与C独立.

23. 设0

第二章 随机变量及其分布

习题2.1 P73

2. 一颗骰子抛两次,以X表示两次中所得的最小点数.

(1) 试求X的分布列;

(2) 写出X的分布函数, 并作图.

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4. 有3个盒子,第一个盒子装有1个白球,4个黑球; 第二个盒子装有2个白球,3个黑球; 第三个盒子装有3个白球,2个黑球. 现任取一个盒子,从中任取3个球. 以X表示所取到的白球数. (1) 试求X的概率分布列;

(2) 取到的白球数不少于2个的概率是多少?

6. 设随机变量X的分布函数为

13. 设连续随机变量X的分布函数为

?0,x?0;?F(x)??Ax2,0?x?1;

?1,x?1.?试求

(1) 系数A;

(2) X落在区间(0.3,0.7)内的概率; (3) X的密度函数.

15. 设随机变量X和Y同分布,X的密度函数为

?0,x?0;?1/4,0?x?1;??F(x)??1/3,1?x?3;

?1/2,3?x?6;???1,x?6.试求X的概率分布列及P(X<3),P(X≤3),P(X>1),P(X

≥1).

11. 如果X的密度函数为

?x,0?x?1?p(x)??2?x,1?x?2

?0,其他?试求P(X≤1.5).

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?32?x,0?x?2; p(x)??8??0,其他.已知事件A={X>a}和B={Y>a独立, 且P(A∪

B)=3/4,求常数a.

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16. 设连续随机变量X的密度函数p(x)是一个偶函数,F(x)为X的分布函数, 求证对任意实数a>0, 有 (1)F(?a)?1?F(a)?0.5?(2)P(|X|?a)?2F(a)?1; (3)P(|X|?a)?2[1?F(a)].

习题2.2 P81

1. 设离散型随机变量X的分布列为 X -2 0 2 0.4 0.3 0.3 P 试求E(X)和E(3X+5).

5. 用天平称某种物品的质量(砝码仅允许放在一个

?a0p(x)dx;

盘中), 现有三组砝码(甲)1,2,2.5,10(g); (乙)1,2,3,4,10(g); (丙)1,1,2,5,10(g), 称重时只能使用一组砝码. 问:当物品的质量为1g, 2g, …, 10g的概率是相同的, 用哪一组砝码称重所用的平均砝码数最少?

7. 对一批产品进行检查, 如查到第a件全为合格品, 就认为这批产品合格;若在前a件中发现不合格品即停止检查,且认为这批产品不合格. 设产品的数量很大, 可认为每次查到不合格品的概率都是p, 问每批产品平均要查多少件?

11. 设随机变量X的分布函数如下, 试求E(X).

?ex?,x?0;?2?1F(x)??,0?x?1;

2??1?1(x?1)21?e,x?1.??2

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12. 某工程队完成某项工程的时间X(单位:月)是一个随机变量,它的分布列为 X 10 11 12 13 0.4 0.3 0.2 0.1 P (1) 试求该工程队完成此项工程的平均月数;

(2) 设该工程队所获利润为Y=50(13-X),单位为万

元. 试求工程队的平均利润;

(3) 若该工程队高速安排,完成该项工程的时间

对X独立重复观察4次,Y表示观察值大于π/3的次数,求Y2的数学期望.

习题2.3 P88

4. 设随机变量X的分布函数为

X1(单位:月)的分布为

X1 10 11 12 0.5 0.4 0.1 P 则其平均利润可增加多少?

13. 设随机变量X的概率密度函数为

?ex?,x?0;?2?1F(x)??,0?x?1;

?2?1?1(x?1)2,x?1,?1?e2?试求Var(X).

5. 设随机变量X的密度函数为

?1?x,?1?x?0;?p(x)??1?x,0?x?1;

?0,其他,?试求Var(3X+2).

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x?1cos,0?x??;? p(x)??22??0,其他.

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7. 设随机变量X仅在区间[a,b]上取值,试证

a?E(X)?b,Var(X)?(b?a2). 2

9. 设g(x)为随机变量X取值的集合上的非负不减函数,且E(g(X))存在,证明:对任意的ε>0,有

P(X??)?E(g(X)).

g(?)

11. 已知正常成人男性每升血液中的白细胞数平均是7.3×109,标准差是0.7×109. 试利用切比雪夫不等式估计每升血液中的白细胞数在5.2×109至9.4×109之间的概率的下界.

9

习题2.4 P101

3. 某优秀射手命中10环的概率为0.7, 命中9环的概率为0.3. 试求该射手三次射击所是的环数不少于29环的概率.

5. 设随机变量X~b(n,p),已知E(X)=2.4, Var(X)=1.44, 求两个参数n与p各为多少?

7. 一批产品的不合格品率为0.02, 现从中任取40件进行检查,若发现两件或两件以上不合格品就拒收这批产品. 分别用以下方法求拒收的概率:(1)用二项分布作精确计算;(2)用泊松分布作近似计算.

9. 已知某商场一天来的顾客数X服从参数为λ的泊松分布,而每个来到商场的顾客购物的概率为p,证明:此商场一天内购物的顾客数服从参数为λp的泊松分布.

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12. 设随机变量X的密度函数为

?2x,0?x?1; p(x)??0,其他.?以Y表示对X的三次独立重复观察中事件{X≤1/2}

出现的次数,试求P(Y=2).

13. 某产品的不合格品率为0.1,每次随机抽取10件进行检验,若发现其中不合格品数多于1, 就去调整设备.若检验员每天检验4次,试问每天平均要高速几次设备.

习题2.5 P115

3. 设K服从(1,6)上的均匀分布,求方程

10. 某种设备的使用寿命X(以年讲)服从指数分布,其平均寿命为4年.制造此种设备的厂家规定,若设备在使用一年之内损坏,则可以予以调换.如果设备制造厂每售出一台设备可赢利100元,而调换一台设备制造厂需花费300元.试求每台设备的平均利润.

11. 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X(以min计)服从指数分布,其密度函数为

x?1?5?e,x?0; p(x)??5?0,其他.?x2?Kx?1?0有实根的概率.

6. 设某种商品每周的需求量X服从区间(10,30)上均匀分布,而商店进货数为区间(10,30)中的某一整数,商店每销售1单位商品可获利500元;若供大于求则削价处理,每处理1单位商品亏损100元;若供不应求,则可从外部调剂供应,此时每1单位商品仅获利300元.为使商店所获利润期望值不少于9280元,试确定最少进货量.

10

某顾客在窗口等待服务,若超过10min,他就离开,他一个月要到银行5次,以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数,试求P(Y≥1).

13. 设随机变量X的密度函数为

??e??x,x?0;p(x)??(λ>0)

?0,x?0.试求k,使得P(X>k)=0.5.

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