2016年高考理数热点题型和提分秘籍 专题20 平面向量的概念及其线

【高频考点解读】 1.了解向量的实际背景；

2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义； 3.理解向量的几何表示；

4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；

5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义； 6.了解向量线性运算的性质及其几何意义． 【热点题型】

题型一 平面向量的有关概念 【例1】 给出下列命题： ①若|a|＝|b|，则a＝b；

→→

②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB＝DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；

③若a＝b，b＝c，则a＝c； ④若a∥b，b∥c，则a∥c. 其中正确命题的序号是( )

A．②③ B．②④ C．③④ D．②③④ 【答案】 A 【解析】

1

【提分秘籍】

(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要aa

把它与函数图象的移动混为一谈．(4)非零向量a与的关系：是与a同方向的单位向量．

|a||a|

【举一反三】 给出下列命题：

①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量； ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小； ③若λa＝0 (λ为实数)，则λ必为零；

④已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线． 其中错误命题的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】 C 【解析】

题型二 平面向量的线性运算

→→

【例2】 (1)在△ABC中，AB边的高为CD，若CB＝a，CA＝b，a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，→

则AD＝( )

1122A.a－b B.a－b 33333344C.a－b D.a－b 5555

→→→

(2)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AB＋AD＝λAO，则λ＝________．

【答案】 (1)D (2)2

2

25

【解析】 (1)∵a·b＝0，∴∠ACB＝90°，∴AB＝5，CD＝，

5∴BD＝

545，AD＝，∴AD∶BD＝4∶1. 55

→4→4→→44

∴AD＝AB＝(CB－CA)＝a－b.

5555(2)因为ABCD为平行四边形， →→→→

所以AB＋AD＝AC＝2AO， →→→

已知AB＋AD＝λAO，故λ＝2. 【提分秘籍】

(1)解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化．(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果．

【举一反三】

→→

(1)如图所示，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，AB＝a，AC→

＝b，则AD＝( )

11

A．a－b B.a－b

2211

C．a＋b D.a＋b

22

(2)如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则( )

→→→

A.AD＋BE＋CF＝0 →→→B.BD－CF＋DF＝0 →→→C.AD＋CE－CF＝0

3

→→→D.BD－BE－FC＝0 【答案】 (1)D (2)A

→1→1

【解析】 (1)连接CD，由点C，D是半圆弧的三等分点，得CD∥AB且CD＝AB＝a，

22→→→1

所以AD＝AC＋CD＝b＋a.

2

→→→→→→→→→→→→

(2)由题意知：AD＝FE，BE＝DF，CF＝ED，而FE＋ED＋DF＝0，∴AD＋BE＋CF＝0.

题型三 共线向量定理的应用

【例3】 设两个非零向量a与b不共线．

→→→

(1)若AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)．求证：A，B，D三点共线； (2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．

【提分秘籍】

(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)向量a，b共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立；若λ1a＋λ2b＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a，b不共线．

4

【举一反三】

→→

(1)已知向量i与j不共线，且AB＝i＋mj，AD＝ni＋j.若A，B，D三点共线，则实数m，n应该满足的条件是( )

A．m＋n＝1 B．m＋n＝－1 C．mn＝1 D．mn＝－1

→→→

(2)如图，经过△OAB的重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设OP＝mOA，OQ→11

＝nOB，m，n∈R，则＋的值为________．

nm

【答案】 (1)C (2)3 【解析】

【高考风向标】

???????? 【2015高考新课标1，理7】设D为?ABC所在平面内一点BC?3CD，则（ ）

?????4????????1????4????1???（A）AD??AB?AC (B)AD?AB?AC

3333??????????????????4????1????4????1（C）AD?AB?AC (D)AD?AB?AC

3333【答案】A 【

解

析

】

由

题

知

5

????????????????1????????1?????????4????1???AD?AC?CD?AC?BC?AC?(AC?AB)?=?AB?AC，故选A.

33331．（2014·辽宁卷）设a，b，c是非零向量，已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0，命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c，则下列命题中真命题是( )

A．p∨q B．p∧q

C．(綈p)∧(綈q) D．p∨(綈q) 【答案】A

【解析】由向量数量积的几何意义可知，命题p为假命题；命题q中，当b≠0时，a，c一定共线，故命题q是真命题．故p∨q为真命题．

→1→→→

2．（2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知A，B，C为圆O上的三点，若AO＝(AB＋AC)，则AB

2→

与AC的夹角为________．

【答案】90°

【解析】由题易知点O为BC的中点，即BC为圆O的直径，故在△ABC中，BC对应的角A为直角，即AC与AB的夹角为90°.

3．（2014·四川卷）平面向量a＝(1，2)，b＝(4，2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝( )

A．－2 B．－1 C．1 D．2 【答案】2 【解析】

12→4．（2013·江苏卷）设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若DE

23→→

＝λ1AB＋λ2AC(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．

6

1

【答案】

2

12?→21→→→→2→1→2→→

【解析】如图所示，DE＝BE－BD＝BC－BA＝ (AC－AB)＋AB＝??2－3?AB＋33232→AC，

→→→→→

又DE＝λ1AB＋λ2AC，且AB与AC不共线， 122

所以λ1＝－，λ2＝，

2331

即λ1＋λ2＝. 2

5．（2013·陕西卷）设a，b为向量，则“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件 【答案】C

【解析】由已知中|a·b|＝|a|·|b|可得，a与b同向或反向，所以a∥b.又因为由a∥b，可得|cos〈a，b〉|＝1，故|a·b|＝|a|·|b||cos〈a，b〉|＝|a|·|b|，故|a·b|＝|a|·|b|是a∥b的充分必要条件．

6．（2013·四川卷） 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2 3B－sin (A－B)sin B＋cos(A＋C)＝－. 5

(1)求cos A的值；

→→

(2)若a＝4 2，b＝5，求向量BA在BC方向上的投影． 【解析】

A－B

cos 2

7

2→→→

故向量BA在BC方向上的投影为|BA|cosB＝. 2

→→→

7．（2013·四川卷）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AB＋AD＝λAO，则λ＝________．

【答案】2

→→→→

【解析】根据向量运算法则，AB＋AD＝AC＝2AO，故λ＝2.

→→→→→→→1

8．（2013·重庆卷）在平面上，AB1⊥AB2，|OB1|＝|OB2|＝1，AP＝AB1＋AB2.若|OP|＜，

2→

则|OA|的取值范围是( )

A.?0，

?

5?57 B.?，? 2?2??2

C.?

5??7，2? ，2 D.?2??2?

【答案】D

8

【解析】

【高考押题】

1．把平面上所有的单位向量平移到相同的起点上，那么它们的终点所构成的图形是 ( )

A．一条线段

B．一段圆弧 D．一个圆

C．两个孤立点 【答案】 D

【解析】 由单位向量的定义可知，如果把平面上所有的单位向量平移到相同的起点上，则所有的终点到这个起点的距离都等于1，所有的终点构成的图形是一个圆．

2．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是 A．a与λa的方向相反 C．|－λa|≥|a| 【答案】 B 【解析】

( )

B．a与λ2a的方向相同 D．|－λa|≥|λ|·a

ab

3．设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是( )

|a||b|

9

A．a＝－b C．a＝2b 【答案】 C 【解析】

B．a∥b

D．a∥b且|a|＝|b|

ab

表示与a同向的单位向量，表示与b同向的单位向量，只要a与b同向，|a||b|

ab

就有＝，观察选项易知C满足题意．

|a||b|

→→→→→

4．在△ABC中，AD＝2DC，BA＝a，BD＝b，BC＝c，则下列等式成立的是 ( ) A．c＝2b－a 3ab

C．c＝－

22【答案】 D

→→→→→3→1→31

【解析】 依题意得BD－BA＝2(BC－BD)，BC＝BD－BA＝b－a，故选D.

2222→→→

5．在△ABC中，M为边BC上任意一点， N为AM的中点，AN＝λAB＋μAC，则λ＋μ的值为

1A. 2

【答案】 A 【解析】

( )

B．c＝2a－b 3ba

D．c＝－

22

1B. 31

C. 4

D．1

→→→

6．向量e1，e2不共线，AB＝3(e1＋e2)，CB＝e2－e1，CD＝2e1＋e2，给出下列结论：①A，B，C共线；②A，B，D共线；③B，C，D共线；④A，C，D共线，其中所有正确结论的序号为________．

【答案】 ④

→→→→→→

【解析】 由AC＝AB－CB＝4e1＋2e2＝2CD，且AB与CB不共线，可得A，C，D共线，且B不在此直线上．

10

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