大学数学（一）教案14-09-28修订版

北京八维研修学院

初高中部分

2014年9月28日修订

1 / 77《大学数学》教案

【课程】大学数学（基础部分） 【模块】一、数与式 【单元】D1数与式

【教学目标】

1. 通过与温度计的类比认识数轴,会用数轴上的点表示有理数；

2. 借助数轴掌握相反数，绝对值的概念,知道互为相反数的一对数在数轴上的位置关系；． 3. 掌握倒数的概念及实数的加减乘除、乘方混合运算及其运算律． 4. 掌握二进制与十进制的转化。 【教学重点】

数轴的认识及实数的加减乘除、乘方混合运算． 【教学难点】

绝对值的概念及运算． 【教学方法】

这节课主要采用讲练结合和小组合作的教学方法．

本节课由生活中的真实例子导入新课，引入数轴的概念．充分利用数轴讲解其它相关概念。 【教学过程】 环节 导 入 温度计 教学内容 师生互动 温度计是我们日常生活中用来测量温度的重要工具，你会读温度计吗？请你尝试读出温度计所表示的温度？ 设计意图 创设问题情境,激发学生学习热情,发现生活中的数学.通过问题，学生感受到点与数之间的关系,从而由点表示数的感性认识上升到理性认识. 新 课

一、1、由上述两问题得到什么启发？你能用一条直线上的点表示有理数吗? 归纳：先画一条水平直线，在水平直线上取一点表示0（叫做原点），选取某一长度作为单位长度，规定向右的方向为正方向，这就是数轴 2. 正数、负数在数轴的什么位置？判断它们的大小？ 利用结论练习：比较下列每组数的大小，并说明理由. 教师板书课题． 在讨论的基础上动手操作，在操作的基础上归纳出：可以表示有理数的直线必须满足什么条件？ 学生在开放的环境下,大胆的发表自己的见解.有的学生提出用射线上的点表示有理数,但有人反驳,射线是向一方延伸,而有理数是无限的,应该采用直线.同时学生还探索出,为了区分正有理数和负有理数,必须在直线上先确定零 2 / 77

新 课 2与?2，5 与-2 322与?，5 与-5呢？ 333. 2与-2有什么相同点与不相同点？ 它们在数轴上的位置有什么关系？ 归纳：只有符号不同的两个数互为相反数 4. 绝对值的定义：为了便于研究这个性质，我们规定：在数轴上，表示有理数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值记作：a（几何定义）． 例1.（1）设点,即原点.同时还需要正方向以及像温度计刻度一样的单位长度. 使学生通过观察特例，总结出相反数的概念，以及互为相反数的两数在数轴上的位置关系，从数和形两个侧面理解相反数。 锻炼学生的口头表达能力以及文字语言与数学语言的转化能力． x?3与y?2互为相反数，求x?y?3。 （2）如果2?b与a?b?4互为相反数，求ab?2007。 二、5. 实数的加法规则： 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； 异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 实数加法交换律：a?b?b?a 实数加法结合律：(a?b)?c?a?(b?c) 例2.计算 1、+3+8 2、-5+（-8） 3、-4+2 4、-5+6 6. 实数的减法规则 减去一个数等于加上这个数的相反数 例2.计算 1、-1-6 2、7-17 7. 实数的乘法规则 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 实数乘法交换律：ab?ba 实数乘法结合律：(ab)c?a(bc) 实数乘法分配率：(a?b)c?ac?bc 3 / 77

例3.计算 1、（-2）3（-1） 42、（-1）3（-2）3（-3） 3、（-8.1）×0×｜-19.6│ 8. 实数的除法规则 除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数。 例4.计算 1、11÷ 241） 653、-2.5÷ 82、3÷（?三、9. 乘方 正数的任何次幂都是正数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数. 例5.计算 1、6-（-12）÷｜-（-3）｜ 2、3×（-4）+（-28）÷7 3、（-3）÷（?23）； 410. 二进制与十进制的转化 基本做法是，把二进制数首先写成加权系数展开式，然后按十进制加法规则求和。这种做法称为\按权相加\法。 整数采用\除2取余，逆序排列\法 课堂练习： 1. 将十进制数89转换成二进制 2. 将十进制73转换成二进制 3. 将二进制110000转换成十进制 4. 将二进制1010101转换成十进制 4 / 77

1. +3，-4，1，-1.5，0分别在数轴的什么位置? 4学生回答问题，动手训练 练 习 2. 写出三对非零的相反数，在数轴上将它们表示出来，并比较其中三个负数的大小。 3. 1. 认识数轴,会用数轴上的点表示有理数； 2.掌握相反数，绝对值的概念,知道互为相反数小 结 的一对数在数轴上的位置关系；． 3.倒数的概念及实数的加减乘除、乘方混合运算及其运算律． 4.二进制与十进制的转化。 1. 计算（-48）÷8-（- 2. 计算 423（- 作 业 3.计算（-2）+7-（-1） 4.将十进制数79转换成二进制 5.将二进制数101001转换成十进制

3共同回顾本节主简洁明了概要内容，加深理解． 括本节课的重要知识． 2）36 3标记作业． 23）+（?）÷0.25 34针对学生实际，对课后书面作业实施分层设置，安排基本练习题。 【课程】大学数学（基础部分） 【模块】一、数与式

【单元】D2平方根与多项式

【教学目标】

1. 掌握平方根与算术平方根，单项式与多项式的定义及运算． 2. 培养学生逆向思考问题的能力． 3. 培养学生勤奋、严格的学习习惯．

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【教学重点】

平方根与算术平方根，单项式与多项式的运算． 【教学难点】

分母有理化． 【教学方法】

这节课主要采用教师带动小组思考、总结的教学方法．

本节课由编程导入新课，通过求平方的逆向思维引出平方根与算术平方根定义，通过商场购物实例引出单项式与多项式的定义。然后在理解定义的基础上做运算，小组合作探讨区别与联系，体现教师引导，学生小组合作思考的教学方法． 【教学过程】 环节 导 入 教学内容 案例1.某同学编程后，写出一个关于实数运算的程序，若输入某一个数值后，则屏幕输出的结果为该数的平方． 问 （1）某同学输入了数字3后，那么他的输出结果是多少呢？ （2）如果他的输出结果为36，那么他输入的这个数值是多少呢？ 新 课

2（1）3?9 师生互动 教师分析解题的过程，得到 设计意图 以前我们学过求一个数的平方，现在我们逆向思维来学习哪个数的平方是a,引出平方根的概念． 2（2）6?36 探究1 根据老师的引导和举例总结平方根的定义 一、 平方根 如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。0的平方根只有一个是0。负数没有平方根。一个正数有两个平方根，并且这两个平方根互为相反数 ． 正 （算数平方根） 正数 负 平方根 0 0 负数 无 练习1 求下列各数的平方根 教师板书课题． 由实例的引入，进而归纳出平方根的定义． 认识问题的一般规律：由特殊到一般，学生很容易接受． 9（3）0.25 16 25（4）0.04 （5）121 （6） 36（1）100 （2）二、算术平方根 正数a的正的平方根叫做算数平方根我们用a表示，0的算术平方根是0。 练习2 求下列各数的算术平方根 锻炼学生的口头表达能力以及文字语言与数学语言的转化能力． 通过探究问题，教 师强调平方根有两个， 它们互为相反数．算术 平方根只有一个，是正 的． 6 / 77

新 课 新

9 100491（4）2（5）1.44 （6） 814 （1）25 （2）0.64 （3） 练习3 计算 ?3? （2） ?7? ?2.8?32??（3） （4） 22（1）22（5） ?????2 （6）(?9)2 探究2 给出下列各式，观察计算结果能得出什么结论？ 4?9= 4?9= 学生分组合作探（1）（2）究教师提出的问题．教16?25= 16?25= 师在学生分组探究的（3）（4）过程中要注意巡视指25?36= 25?36= 导． （5）（6）教师引导学生一起三、二次根式的乘法 把二次根式的乘、除法a?b=ab公式总结出来。 学生体会数与字探究3 给出下列各式，观察计算结果能得出什么结论？ 母转化思想． 师：我们怎么用字 母来表示我们分析出4÷9= 来的结论呢？ （1） 3625 ÷= （2）方法：1.先给出一组能（3）（4）（5） 设置本练习其目的为了进一步强化学生对二次根式运算的掌握． 增加本例为学生顺利解答课后相关练习及习题做基础． 16÷25 = 100÷16= 直接开方（目的：引入课堂回顾上部分知识） 2.再给出一组不能直接开方的（目的：与?比较，引出问题） “套装等价连体衣” 9÷16= 四、二次根式的除法 aa?b b练习4 （1）（3） 练习5 化简 3÷5 （2）（4）8÷6 3÷12 aa bb2÷6 请同学分组完成练习4，教师巡查指导． 学生完成题目后， 7 / 77

课 新 课 31（1） 9 （2） 3 11?（3）5 （4）8 案例1一种笔记本单价为a元，钢笔为b元，小红买这种笔记本3本，钢笔2枝，问小红共花费多少元？ 五、单项式 由数与字母的乘积组成的代数式称为单项式(单个字母或者数字也是单项式)。 六、单项式系数 单项式中的数字因数 探究4 回顾因数 如：1×2=2式子中1；2都是这式子的因数 那同理：3×a=3a式子中3；a也都是这式子的因数 那么3a它是一个单项式（单项式的系数是数字因数）它的系数是3 七、单项式次数 单项式中所有字母的指数和 指数： a 指数 练习6判断下列各代数式是否是单项式。如果是，请指出它的系数和次数。 ①x?1； ②n老师针对共性问题再讲解． 师：让学生思考练习5的分母根号怎样去掉． 教师引导学生做一个题，然后让学生举一反三． 学生分组，采用小组合作形式完成． 全体学生一起回答． 对比单项式与多项式（对比法） 先判定每个单项式的次数。比较大小， 8 / 77

1； x2③?r； ④?32ab。 2八、多项式 几个单项式的和 九、多项式的项 在多项式中，每个单项式叫做多项式的项。一个多项式含有几项，就叫几项式。（单独的数字是常数项）

十、多项式次数 多项式里，次数最高项的次数，就是这个多项式的次数。 练习7指出下列多项式的项与次数： 232（1）3x－1＋3x （2）4x＋2x－2y （3）x－x＋1 （4）10x4+5-3x2 （5）-9x2-31x+7 32（6）-5 +6x-2.5x 练习8 多项式 三次项 项的系数 多项式一 多项式二 多项式三 系数 2 0 2 次数最高的为多项式的次数。 老师找反应慢的学生回答． 学生练习并解答． 二次项系数 -5 3 0 一次项系数 0 1 3 常数项 7 -8 7 (1)分别写出上面三个多项式； (2)写出多项式一的项与次数； (3)写出多项式二的最高次项的系数。 小 结 1. 平方根与算术平方根的定义及运算． 2. 单项式与多项式的定义及运算． 3. 简单的分母有理化师生共同回顾本节主要内容，加深理解． 简洁明了概括本节课的重要知识，学生易于理解记忆． 针对学生实际，对课后书面作业实施必做、选做设置 ，让学生根据自身情况适当选择． 1. 若2m?4与3m?1是同一个数的平方根，则求m的值。 标记作业． 作 业 2. 计算64的平方根和算术平方根。 3. 计算169的算术平方根。 4. 计算256的算术平方根。

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【课程】大学数学（基础部分） 【模块】一、数与式 【第3单元】D3整式的运算

【教学目标】

1.经历探索同底数幂乘、除法、幂的乘方与积的乘方运算性质的过程，进一步体会幂的意义，发展推理能力和

有条理的表达能力。

2、 了解同底数幂乘、除法、幂的乘方与积的乘方的运算性质，并能解决一些实际问题。。 【教学重点】

1、 理解同底数幂乘、除法法则、幂的乘方与积的乘方运算性质及其推理过程、会用其进行计算。 【教学难点】

同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方的综合运算。 【教学方法】

这节课主要采用讲练结合和小组合作的教学方法．

教学过程中，要让学生体会代数运算性质的发现与运用大多都是先特殊到一般，

再从一般到特殊的 。教师要鼓励学生自己发现积的乘方和幂的乘方的运算性质，并要求他们会用自己的语言进行描述，如：积的乘方等于每一个因数乘方的积。培养学生的语言转换能力。

【教学过程】 环节 教学内容 细胞分裂图： 时间（秒） 导 入 0 1 2 3 n a×a×a×a×a..... =an（幂的定义） 师生互动 个数 1=20 2=21 4=22 8=23 设计意图 由细胞分裂引出幂的定义 2n n个 幂的定义：N个相同因数a的乘积叫做乘方， 10 / 77

乘方的结果 案例导入：中国空军的新歼十战斗机近日试飞 成功，它每秒可以飞行103米，假如它飞行了 106秒，问：它飞行了多少米？ 让学生演算详细的 计算过程，并引导 新 1033106 学生说出每一步骤的计算依据。 课 =（10310310）3（10310310310310310）引导学生归纳规 （乘方意义） 律：底数不变，指 =10310310310310 310310 3103数相加。 10 （乘法结合律） =109 知识1：同底数幂的乘法： aman?am?n 课堂练习： 推导：aman 1.38×39 ?a?a??????a?a?a??????a 2.45×47 ?a?a??????a?a?a??????a ?am?n（m,n为正整数） 同底数幂的乘法：底数不变，指数相加。 课堂练习： 1. 计算311×39 新 2. 计算45×48 这是和数学有密切 课 3. 计算(?2)2?(?2)4 联系的现实世界中 的一个问题，下面 4. 计算32?3?2请同学们根据幂的 意义和除法的意 义，得出这个问题 案例导入 的结果． 一种液体每升含有1012个有害细菌，为了试验 某种杀菌剂的效果，科学家们进行了实验，发老师提问， 现1滴杀菌剂可以杀死109个此种细菌．要将

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1升液体中的有害细菌全部杀死，需要这种杀这是什么样的运算 菌剂多少滴？你是怎样计算的？ 呢？ （通过上面的问 题，我们会发现同 底数幂的除法运算 和现实世界有密切 的联系，因此我们 有必要了解同底数 幂除法的运算性 知识2：同底数幂的除法：(乘法的逆运算） 质．） am?an?am?n 推导：am?an 新 ?am课堂练习： an a?a??????a2.38÷39 课 ?3.47÷45 a?a??????a a?a??????a?a?a??????a ? a?a??????a ?a?a??????a ?am?n（m,n为正整数m>n） 同底数幂的除法：底数不变，指数相减。 课堂练习： 1.计算32÷39 2.计算47÷43 3.计算5?3?5?6 师生共同完成

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4.计算??5?2???5??4 案例导入： 1、一个正方体的棱长是10cm，则它的体积是 多少？ 2、一个正方体的棱长是102cm，则它的体积是这就是说，幂 的乘方，底数不变， 多少？ 指数相乘。 注意： 思考：100个104（1）不要把幂的乘 相乘怎么表示？又该怎么计方性质与同底数幂 算呢？ 的乘法性质混淆， 幂的乘方运算，是 转化为指数的乘法 师生共同总结规律，引出幂的乘方的定义 运算（底数不变）； 知识3：幂的乘方： 同底数幂的乘法， ?am?n?amn是转化为指数的加 法运算（底数不 推导：?am?n变）。 ?am?am??????am ?am+m+...+m ?amn 幂的乘方：底数不变，指数相乘。 师生总结： 课堂练习： 1.计算(23)6这就是说，积 的乘方，等于把积 的每一个因式分别 乘方，再把所得的 2.计算(3?3)4 幂相乘。 3. 计算(55)7 4.计算(63)3 探究： 引导学生用自己的 下列运算过程中用到了哪些运算律？运算结果语言叙述所发现的 有什么规律？ 规律，允许学生之 间互相补充，教师 不急于概括 1、（ab）2=（ab）（ab）=(a2a)(b2b)= a2b2

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师生总结 两数和乘两数差， 等于两数平方差； 积化和，差变两项， 完全平方不是它。 知识4：积的乘方： ?ab?n?anbn 推导：?ab?n ?(a?a???a)?(b?b???b) ?anbn 课堂练习： 1.(2x)3? 2.(3a)2? 3.(ab)2? 4.(2a)4? 案例导入： 已知一个长方形的长为（a+b),宽为（a-b);这个长方形的面积？ 问： 回顾：多项式的乘法法则（第一个多项式的每 一项与第二个多项式的每一项相乘） 探究：计算下列多项式的积，你能发现它们的 运算形式与结果有什么规律吗? 练习 知识点5：平方差公式： (a?b)(a?b)?a2?b2 推导： (a?b)(a?b)?a2?ab?ab?b2?a2?b2 思考：学校有一块边长为14m的正方形场地， 准备在四个角落各建一个边长为2m的正方形 喷水池，问：建完喷水池后场地剩余的面积？

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知识点6：完全平方公式： (a?b)2?a2?2ab?b2 推导：(a?b)2 ?(a?b)(a?b) ?a2?ab?ab?b2 ?a2?2ab?b2 知识点7：分母有理化 （将分母化成有理数） 整数 有理数 分数 课堂练习：对下列算式进行分母有理化 41.计算2?3 32.计算3?1 43.计算2?6 a?b4.计算a?b

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课后练习： 一、计算（幂的混合运算） 1.33?36 2. 56?54 3.7?2?75 4.(?2)2?(?2)4 5.(32)3?34 6.44?43 7.5?3?56 8.(63)3?6?4 二、计算（平方差与完全平方） 1.(3a?2b)?(3a?2b) 2.(5?3)?(5?3) 3.(?4?2)?(2?4) 4.(?7?3)?(7?3) 5.(3a?2b)2 6.4?2?8??4 7.2?2?22??1 1．幂的定义； 小 2．掌握同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘 方的运算法则； 结 1.计算(?2)2?(?2)4 ． 2.计算32?3?2 作 3.计算32÷39 业 4.计算47÷43 5. 计算(34)3?34 6. 计算(63)3?6?4

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7. 计算12?3? 8. 计算33?12? 9. 计算3?5?

【课程】大学数学（基础部分） 【模块】二、方程与等式

【单元】D4一元一次方程及二元一次方程组

【教学目标】

1. 掌握一元一次方程的定义、一般形式、判定及其运算步骤． 2.掌握二元一次方程组的概念、解法与运算步骤。 3. 培养学生灵活运用公式的能力．

4. 培养学生勇于发现问题、勇于探索解决问题的方法、培养归纳总结的能力. 【教学重点】

一元一次方程及二元一次方程组的概念与解法。 【教学难点】

一元一次方程、二元一次方程组的判定及其运算步骤 【教学方法】

这节课主要采用讲练结合和小组pk的教学方法．

本节课综合一些实际问题讨论：如何根据实际问题列一元一次方程？如何解一元一次方程。 【教学过程】 环节 导 入 教学内容 某校三年共购买计算机140台，去年购买数量是前年的2倍，今年购买数量又是去年的2倍，前年这个学校购买了多少台计算机？ 师生互动 教师分析解题的过程，得到关于X的一元一次方程． 设计意图 通过实例引入，让学生得到一元一次方程，从而有了列方程的思路，进而思考如何解一元一次方程？ 17 / 77

新 课 新 课 一.一元一次方程的定义 只含有一个未知数，未知数的指数是1，这样的方程叫做一元一次方程。 二. 一元一次方程的一般形式： 通过导入实例,师生互动 ax?b?0(a?0) 观察方程 的特点,在三. 一元一次方程的判定 由教师强 1）只含有一个未知数 调一元一 2）未知数的最高次数为1 次方程的 3）整式方程 含义及特类型一 征. 例1.x?y?0是一元一次方程吗？ 解： 第一步：一元一次方程应含一个未知数，未知数的最高次数为1； 第二步：此方程未知数有两个，所以不是一元一次方程。 课堂检测 2 1、x?2?0是一元一次方程吗？ 2、x?2y?0是一元一次方程吗？ 2 3、x+y?2?0是一元一次方程吗？ 四. 解一元一次方程的步骤: ①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1. 例2. 解方程3x?6 解 师生互动3x6第一步：等式两边同时除以3，得，?； 判断一元33一次方程,第二步：解得x?2。 同时讲解解一元一 次方程的课堂检测 谐音记忆法:去去银1、解方程2x?14 河系. 2、解方程4x?13 由实例的引入，让学生记住一元一次方程的形式, 对于a≠0这一点，学生容易忽略，通过讨论研究，可以加深学生的印象，从而把新旧知识衔接得更好．同时又可以 强化学生对一元一次方程的理解． 谐音记忆法让学生更容易记住解一元一次方程的步骤.从而加深学生对解一元一次方程的步骤. 18 / 77

新 课 3、解方程?3x?27 例3. 解方程3x?2?8 解 第一步：把等号左侧常数2移项，得3x?8?2； 第二步：合并同类项，得3x?6； 第三步：等式两边同除以3，得第四步：解得x?2。 课堂检测 1、解方程2x?6?4 2、解方程5x?3?12 例4. 解方程3(x?3)?12 解 第一步：去括号，得3x?9?12； 第二步：移项，得3x?12?9； 第三步：合并同类项，3x?21； 3x6?； 33 3x21第四步：等式两边同除以3，得?； 33第五步：解得x?7。 课堂检测: 1、解方程2(2?x)?14 2、解方程?2(x?2)?18 例5. 解方程解： 第一步：去分母，等号两边同时乘以2， 3x1?x?122 19 / 77

新 课 2?3x?1??2??x?1? 2?2?第二步：去括号，得3x?x+2； 第三步：移项得，3x?x?2； 第三步：合并同类项得，2x?2； 第四步：等式两两侧同时除以2，得第五步：解得x?1。 课堂检测: 解方程1、 2、2x2? 222x1?x?1 332x1?x?2 55 五．知识1：二元一次方程及方程组的概念 含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。 把两个含有相同未知数的一次方程联合在一起，那么这两个方程就组成了一个二元一次方程组。 知识2：列二元一次方程组 1、甲、乙两数之和是42，甲数的3倍是乙数的4倍，求甲、乙两数。 2、某年级有学生200人，其中男生比女生多50人，求男女生各有多少人？ 知识3：代入法解二元一次方程组 例1. 解二元一次方程组 ?3x?y?7...(1)??y?x?5...(2) 解： 第一步：将方程（2）带入方程（1），得 3x?(x?5)?7； 第二步：去括号，得3x?x?5?7； 第三步：移项，3x?x?7+5； 第四步：合并同类项，4x?12；‘ 第五步：等式两侧同时除以4，第六步：x?3。 第七步：将x?3带入（2），得y?3?5； 第八步：解得y??2， 20 / 77

4x12?； 44

第九步：此方程组的解为?课堂练习 ?x?3。 y??2??x?y?15解方程组? y?x?1?2、解方程组 ?12x?7y?35??y??x 知识4：加减消元法解二元一次方程组 解二元一次方程组 ?x?y?7...(1)??x?2y?16...(2) 解： 第一步：将（2）—（1），得 x?2y?(x?y)?16?7； 第二步：去括号，x?2y?x?y?16?7； 第三步：移项，合并同类项，?3y?9 第四步：等式两边同除?3，第五步：解得y??3； 第六步：将y??3带入（1），得x?3?7； 第七步：解得x?10； 第八步：方程组的解为?课堂练习 ?3y9； ??3?3?x?10。 y??3??x?y?71、解方程组? y?x?5??4x?y?52、解方程组? x?y?10? 小 结 1．一元一次方程的定义； 2．一元一次方程的判定； 3解一元一次方程的步骤： 4.解二元一次方程组 师生共同回顾本节主要内容，加深理解一简洁明了概括本节课的重要知识，学生易于理解记忆． 21 / 77

元一次方程的概念、判断及解一元一次方程的步骤． 1. x??4解方程2 标记作业． 针对学生实际，对课后书面作业实施分层设置． ?3x?1?232. 解方程 ?2(x?1)?243. 解方程 作 业 42x?x?594. 解方程 9 ?x?2y?35. 用代入法解题解方程组? ?x?y?5 6. 用加减消元法解题?

?2x?y?9 x?y?3?

【课程】大学数学（基础部分） 【模块】二、方程与不等式

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【单元】D5 一元一次不等式

【教学目标】 1. 掌握不等式性质

2. 掌握一元一次不等式及其解法 【教学难点】

解一元一次不等式

环节 导 入 新 课 新 教学内容 师生互动 设计意图 水果店的小王从水果批发市场购进100kg梨和84kg苹果，你能用“>”教师引或“<”号连接梨和苹果的进货量吗？ 导学生 通过例题的解决，检测学生的预习情况. 知识1：不等式：用不等式连接的式子（不等号：“>”“<”“≥” “≤” “≠”） 使学生掌课堂练习： 握不等式已知a

课

得出结论。 ?3??12?6（移项） ?3??12?6（移项） ?3??18（合并同类项） ?3??18（合并同类项） ???6（系数化为一） ???6（系数化为一） 总结：相同点：我们发现解上述一元一次方程与解一元一次不等式我 们同样是用到口诀“去去银河系”。 去括号 不同点： 去分母 移项 解一元一次不等式 合并同类项 化正数不变号 系数化为一 化负数变号 课堂练习： 解不等式5x?15 解不等式4x?16 解不等式?4x?12 1 解不等式?x?2解不等式7?3x?13 解不等式5x?2?3x?7 学生做2 题 解不等式7x?10?5x 解不等式4(2x?1)?5(x?2) 解不等式3(2x?2)?2(x?1) ?3??6?12（去分母） ?3??6?12（去分母） 培养学生解决问题能力 【课程】大学数学（基础部分） 【模块】二、方程与不等式 【单元】D6 一元二次方程

【教学目标】

1. 掌握一元二次方程的定义和一般形式． 2. 掌握一元二次方程的判定方法

3．掌握一元二次方程根的判别式与根的情况的关系并学会公式法解一元二次方程 3. 培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神；培养独立思考等良好的个性品质． 【教学重点】

一元二次方程根的判别式与根的情况的关系并学会公式法解一元二次方程． 【教学难点】

公式法解一元二次方程． 【教学方法】

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这节课主要采用讲练结合和小组合作的教学方法．

本节课由一元一次方程导入新课，引一元二次方程的概念，并引出一元二次方程的判定方法和一般形式．然后在教师的启发下，引出一元二次方程根的判别式与根的情况的关系并学会公式法解一元二次方程，同时增加几道相关的练习，体现练为主线，讲练结合的教学方法．

【教学过程】 环节 导 入 新 课 新 教学内容 回忆一元一次方程的定义和判断方法，并写几个一元二次方程， 师生互动 学生总结一元一次方程的概念和判定方法，并总结所写方程与一元一次方程的相同点和不同点。 教师板书课题． 通过一元一次方程的回忆，学生总结一元二次方程的定义和判定 学生分组合作探究教师提出的问题．教师在学生分组探究的过程中要注意巡视指导． 师：由练习1让学生总结一元二次方程的一般形式 学生上黑板解决例题 学生总结做题时应注意的问题 设计意图 通过以前所学内容导入，回忆旧知识，让学生产生学习的兴趣。调动学生的积极性。 设计本环节是为了培养学生解决问题和总结的能力。 设计本练习是为 25 / 77

一．一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程。 二.一元二次方程的判定： 1是整式方程 2只含有一个未知数 3未知数的最高次数是二 4二次项系数不为0 类型一：一元二次方程的判定 例1：判断方程x2+y-4=0是不是一元二次方程？ 解：第一步：一元二次方程满足四个条件：是整式方程，只含有一个未知数，未知数的最高次数是二，二次项系数不为0 第二步：此方程有两个未知数 第三步：所以不是一元二次方程 练习1：判断方程是不是一元二次方程 x3+x-4=0 x2-4 x2=0 x2+6x-1=4 1/x2=0 x2 -4=0 三．一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0) 类型二：化为二元一次方程的一般形式 例2：把一元二次方程3x2=5x-1转化为一般形式 解：3x2-5x+1=0 （注：一定是按x的降幂排列） 练习2：把方程转化为一元二次方程的一般形式 -x2=5x-1 -x2+1=2x -3x2=2x -5x2+3=2x x2+2x =3 x2+1=2x -7

课 新 课 四：一元二次方程根的判别式：△=b2-4ac 五：一元二次方程根的情况与判别式的关系： △〉0 方程有两个不等实根 △=0 方程有两个相等实根 △〈0 方程无实根 类型三：用根的判别式确定根的情况 例3 ：判断方程x2+2x+1=0的根的情况 解：第一步：a=1,b=2,c=1 第二步：△=b2-4ac=22-43131=0 第三步：因为△=0，所以此方程有两个相等实根。 练习3：判断方程的根的情况 x2+3x-101=0 x2+2x-3=0 x2+2x+8=0 x2-2x+1=0 x2-3x+4=0 x2-x-1=0 六：一元二次方程的求根公式： 类型四：用公式法求解一元二次方程 例4：用公式法求解方程 2x2+5x-3=0 解：第一步：a=2,b=5,c=-3 第二步：△=b2-4ac=52-4323（-3）=49 第三步：x= 第四步：x1= x2= 练习4：用公式法解方程 x2+x-6=0 x2+ x-12=0 3x2-5x-3=0 1.一元二次方程的定义和一般形式． 2.一元二次方程的判定方法 3．一元二次方程根的判别式与根的情况的关系并学会公式法解一元二次方程 师：直接讲解根的情况与判别式的关系 师：学生小组PK 师：学生小组PK 了巩固学生对新知识的掌握。 小 结 师生共同回顾本简洁明了概节主要内容，加深理解括本节课的重要角的概念与相关计算． 知识，学生易于理解记忆． 作 业

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【课程】大学数学（基础部分） 【模块】方程与不等式 【单元】D7算法

【教学目标】

1. 掌握算法，程序框图的定义及其绘制。

2. 培养学生用程序框图解决问题的能力．

3.培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神；培养独立思考等良好的个性品质．

【教学重点】

程序框图的绘制

【教学难点】

程序框图的识别及其绘制．

【教学方法】

这节课主要采用讲练结合和小组合作的教学方法．

本节课由生活中的真实例子导入新课，引入算法，程序框图的定义，并通过一组练习深化算法的定义．在教师的启发下，充分利用程序框图来解决实际问题．为了加强学生对程序框图的应用，进行已知算法求来绘制程序框图的练习。体现讲练结合的教学方法．

【教学过程】

环节 导 入 教学内容 有一人带着一只部分驯化的狼(强调部分驯化是说明，人在场的情况下狼不会吃羊，不然要被指出逻辑漏洞了)、一只山羊和一些草来到河的左岸，欲乘一只很小的船过到河的右岸，每次人只能带其中一个过河，当有人在时，狼、羊、草都不会有事;当无人在时，就不允许狼羊在一起，也不允许羊和草在一起，问应如何过河? 一、算法的定义 为解决一个问题而采取的方法和步骤，就称为算法 二 、程序框图的定义 通常用图形和符号来表示一张图形的算法，这种图称为程序框图 三、程序框图 1．起止框： ,表示算法的 起始和结束 2．输入、输出框: 输入 和输出的信息 表示算法的师生互动 教师分析解题的过程，得到算法的定义 设计意图 通过实例引入，让学生得到算法的定义，从而有了感性认识，对理解和掌握程序框图的绘制起到很好的帮助作用． 由实例的引入，进而归纳出算法的定义. 27 / 77

新 课 教师板书课题． 通过探究问题，教师强调算法及其程序框图的定义 学生分组合作探究教师提出的问题．教师在学生分组探究的过程中要注意巡视指导． 新 课

3．处理框: 4．判断框: ,表示赋值、计算 ,判断某一条件是否成立， 成立在出口处标明“是”或“Y” 不成立标明“否”或“N” 5．流程线: 行顺序 请同学分组完成 练习1，教师巡查指导． 6．连接点 学生完成题目后， 连接另一页或另一部分的框图 利用实物投影将学生 的解答投影到屏幕． 7．注释框 帮助理解框图 学生分组，采用小 组合作形式完成． 类型题一：写出算法步骤 例1、 写出算法步骤：已知圆的半径,求圆的面积。 解： 第一步：输入圆的半径 第二步：利用公式“圆的面积=圆周率3（半径的 平方）”计算圆的面积； 第三步：输出圆的面积。 练习题： 1、 一个笼子里装有鸡和兔共m只，且鸡和兔共n 只脚，设计一个计算鸡和兔各有多少只的算 法. 解： 算法分析： 第一步，输入 ?x?y?m第二步，列出方程组?，解得;鸡的只 ． 2x?4y?n? 数 x= 第三步，计算兔的只数y= 设置本练习 第四步，输出 其目的为了进一 步强化学生对程 类型题二：基本程序框图绘制 序框图绘制的掌 28 / 77

,连接程序框，表示算法步骤的执 让学生完成程序框图的识别及其绘制. ． 新 课 新

例2、画出：已知圆的半径,求圆的面积的流程图。 流程图 学生体会绘制程序框图的方法． 例3.判断“以任意给定的3个正实数为三条边边长的三角形是否存在”的算法步骤如何设计？画出程序框图。 解： 第一步，输入三个正实数a，b，c. 第二步，判断a+b>c，b+c>a，c+a>b是否同时成立. 若是，则存在这样的三角形；否则，不存在这样的三角形. 程序框图： 握． 增加本例为学生顺利解答课后相关练习及习题做基础． 加深训练． 练习题 2. 写出下列算法的功能。 29 / 77

课 d 上图算法的功能是求 ； 3.一个笼子里装有鸡和兔共m只，且鸡和兔共n只脚，设计一个计算鸡和兔各有多少只的算法的程序框图。 补充下列程序框图 30 / 77

输入 X= Y= 输出

小 结 1．算法的定义； 2．程序框图的定义； 3．程序框图及其绘制； 师生共同回顾本节主要内容，加深理解算法，程序框图的概念及其绘制． 标记作业． 作 业 1.day 7的作业 简洁明了概括本节课的重要知识，学生易于理解记忆． 针对学生实际，对课后书面作业实施分层设置，安排基本练习题和计算机上的练习两层． 结束

【课程】大学数学（基础部分） 【模块】三、集合 【单元】D8 集合

【教学目标】

（1）使学生初步理解集合的概念，知道常用数集的概念及其记法 （2）使学生初步了解“属于”关系的意义

（3）使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义 （4）解集合之间的包含、相等关系的含义； （5）理解子集、真子集的概念；

（6）理解两个集合的并集与交集的的含义，会求两个简单集合的并集与交集； （7）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集； 【教学重点】

集合的基本概念及表示方法，以及集合的运算 【教学难点】

集合的描述法．集合的运算 【教学方法】

这节课主要采用讲练结合和小组合作的教学方法．

1．引入

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（1）章头导言

（2）集合论与集合论的创始者-----康托尔（有关介绍可引用附录中的内容） 2．讲授新课

阅读教材，并思考下列问题：

（1）有那些概念？ （2）有那些符号？

（3）集合中元素的特性是什么？ （4）如何给集合分类?

（5）如何表示集合？ 【教学过程】 环节 导 入 教学内容 思考1、新生入学，学校通知全体高一新生在体育馆举行开学典礼，思考通知的对象是什么？是全体高一新生还是个别的学生呢？ 思考2、在这个教师里面有老师和学生，思考这里面的对象是什么？ 思考3、你的家庭里的成员，这里面的对象是什么？ 在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（例如：例1中是高一而不是高二）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合，即是一些研究对象的总体。 探究1：什么是集合 1、集合的概念 （1）集合：我们把某些指定的对象聚集在一起就形成一个集合 通过探究问题教师引导学生什么是集素. 合？ 集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、学生分组合作探教C、??元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、究教师提出的问题．师在学生分组探究的c、?? 过程中要注意巡视指导． 2、元素与集合的关系 （1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属 于A，记作a∈A （2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说教师强调元素与集合间的关系只能是属于a不属于A，记作a?A 和不属于，并且开口方要注意“∈”的方向，不能把a∈A颠倒过来向不能颠倒。 （2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元师生互动 教师分析引出什么是集合？ 设计意图 通过实例引入，让学生得到集合的一些特征，从而有了感性认识，对理解和掌握什么是集合会起到很好的帮助作用． 新

教师板书课题． 由实例的引入，进而归纳出什么叫集合。 32 / 77

课 新 课 写. 3、集合分类 根据集合所含元素个数不同，可把集合分为让学生完成并总结集合中元如下几类： 素的特征。 （1）把不含任何元素的集合叫做空集Ф （2）含有有限个元素的集合叫做有限集 （3）含有无穷个元素的集合叫做无限集 4、常用数集及其表示方法 （1）非负整数集（自然数集）：全体非负整教师引导学生怎么样把集合分类，可以按照 数的集合.记作N 元素的个数不同分类。 （2）正整数集：非负整数集内排除0的集. *记作N或N+ （3）整数集：全体整数的集合.记作Z （4）有理数集：全体有理数的集合.记作Q 注：应区分?，{?}， （5）实数集：全体实数的集合.记作R {0}，0等符号的含义 加强学生对常用注：（1）自然数集包括数0. 集合的记忆 （2）非负整数集内排除0的集.记作N*或N+，Q、 Z、R等其它数集内排除0的集，也这样表示，例 如，整数集内排除0的集，表示成Z* 练习1： 1．下列各组对象能确定一个集合吗？ （1）所有很大的实数 （2）好心的人 （3）中国的著名科学家． 设置本练习其目（4）1，2，3，4，5，6 的为了进一学生2、用‘?’和‘?’填空 对集合概念的掌 握并检验． （1）0N；（2）2Q；（3）-1.5R 3．下列结论不正确的是( ) A.O∈NB.2?Q C.O?Q D.-1∈Z 探究2 同学们知道了什么是集合，那么我们怎么样把 集合表示出来呢？ 教师强调：什么时集合常用的表示方法 候用列举法，什么时候集合的表示方法 用描述法，主要看有没 ①列举法——把集合的元素一一列举出来写在大有公共属性。 简述用列举括号内的方法，例如方程(x?1)(x?1)?0的解集 法和描述法的好 33 / 77

新 课 可以表示为??1,1?。 比如：?与???不同，?∈??? 集合中的元素具有无序性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序。 2、描述法--用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法。 格式：{x∈A| P（x）} 含义：在集合A中满足条件P（x）的x的集合。 例:不等式x?1??2的解集可以表示为：{x?R|x?1??2}或{x|x??3,x?R} 3.文氏图：用一条封闭曲线的内部表示集合的一种方法 :练习2： 1. 用列举法表示下列给定的集合： ⑴大于1且小于6的整数 ⑵A=x(x?1)(x?2)?0 ⑶B=x?Z?3?2x?1?3 28．用描述法表示下列集合： ⑴．不等式3x?4?2x的解集 ⑵．绝对值不大于3的整数的集合 ⑶．所有偶数的集合 （1）集合中的概念 （2）集合中的符号 （3）集合中元素的特性 （4）集合的分类 （5）集合的表示方法 1. 集合元素的三个性质：＿＿_______、＿＿_______、＿＿______. 2. 用符号“?”或“?”填空 ?3＿N；?＿Q；14＿Q；＿Z；? 强调用描述法学生最爱遗漏的地方 处（让学生自己总结，锻炼学生的表达能力） ???? 小 结 师生共同回顾本节主要内容，加深理解集合的概念以及表示方法 简洁明了概括本节课的重要知识，学生易于理解记忆． 标记作业． 针对学生实际，对课后书面作业实施分层设置，安排基本练习题和较难练习题 131＿R；0＿N；32作 业 ＿Q；?＿R. 3. 下列条件中能构成集合的是. A. 世界著名的数学家; B. 在数轴上与原点非常近的点; C. 所有的等腰三角形; D. 全年级成绩优异的同学; E．2009年全国经济百强县; 4. 给出下列关系： 34 / 77

①1?R；②2?2?Q；③?3?N；④?3?N. 其中正确的个数为 ( ). A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 下列正确的是 ( ) A. 0?N? B. ??R C. 1?Q D. 0?Z 6. 集合A只含有元素a, 则下列格式正确的是 ( ) A. 0?A B. a?A C. a?A D. a=A 7. 下列集合中，不同于另外三个集合的是 ( ) 2 A. {x?x=1} B. {x?x=1} C. {1} D. {x? 2(x?1)=0} 8．用合适的方法表示下列集合： (1) A=?x,y?x?y?6,x?N*,y?N*,用列举法表示. (2) m?合为. 9.集合?x?Zy???ab?(ab?0)，则由数m组成的集ab???6,y?Z?中的元素有. x?1?210．求数集{1，x，x}中的元素x应满足的条件 11.已知集合M={0, 2, 4}, 定义集合P={x?x=ab,a?M,b?M}, 求集合P. 环节 导 入 教学内容 一、引入课题 1、 复习元素与集合的关系——属于与不属于的关系，填以下空白： （1）0 N；（2）2 Q；（3）-1.5 R 2、 类比实数的大小关系，如5<7，2≤2，试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？（宣布课题） 师生互动 师生互动引出集合间的关系 设计意图 通过实例引入，让学生知道集合间的基本关系，这样对学生来说起到很好的帮助作用． 35 / 77

新 课 新 课

二、新课教学 （一） 集合与集合之间的“包含”关系； A={1，2，3}，B={1，2，3，4} 探究1：集合A与集合B的关系？ 集合A是集合B的部分元素构成的集合，我们说集合B包含集合A； 如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集（subset）。 通过探究问题，教 师强调什么叫子集，并由实例的引入，强调什么是包含于什进而归纳出什么么是包含，符号的开口叫子集 方向可以颠倒，而元素 记作：A?B(或B?A) 与集合间的关系属于 读作：A包含于（is contained in）B，或B符合开口方向不可颠 包含（contains）A ? 倒 当集合A不包含于集合B时，记作A B A?B(或B?A) （二） 集合与集合之间的 “相等”关系； A?B且B?A，则A?B中的元素是 一样的，因此A?B 学生分组合作探?A?B即 A?B?? 究教师提出的问题．教 ?B?A 师在学生分组探究的 结论： 过程中要注意巡视指 任何一个集合是它本身的子集 导． 探究2:如果集合A是集合B的子集了，可是集合B 中还有元素在集合A 中没有，这样我们称它们是 什么呢？ （三） 真子集的概念 让学生完成若集合A?B，存在元素x?B且x?A， 真子集概念的书则称集合A是集合B的真子集（proper subset）。 写 记作：A B（或B A） 读作：A真包含于B（或B真包含A） 举例（由学生举例，共同辨析） （四） 空集的概念 （实例引入空集概念） 不含有任何元素的集合称为空集（empty set），记作：? 规定： 针对探究2教师引 空集是任何集合的子集，是任何非空集导学生什么是真子集。 合的真子集。 （五） 结论： 1A?A ○2A?B，且B?C，○ 则A?C 强调空集的概念 注：如果A和B中集合的元素相同我们称这以及性质 里两个集合相等，即A=B 36 / 77

教师板书课题． 新 课 练习： 1.写出集合{a，b}的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集。 2.化简集合A={x|x-3>2},B={x|x?5}，并表示A、B的关系； 3．集合A＝{x|0≤x<3且x∈Z}的真子集的个数是( ) A．5 B．6 设置本练习其目的为了进一步强化学生对集合间基本关系的掌握． 强调： 两个集合之间的基本C．7 D．8 关系只有“包含”与“相等”两种，可类比两个4．在下列各式中错误的个数是( ) 同①1∈{0,1,2}；②{1}∈{0,1,2}；③{0,1,2}?{0,1,2}；实数间的大小关系，时还要注意区别“属④{0,1,2}＝{2,0,1} 于”与“包含”两种关A．1 B．2 系及其表示方法； C．3 D．4 5．已知集合A＝{x|－1B B．A

④{0,1,2}＝{2,0,1} A．1 B．2C．3 D．4 6．下列说法： ①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若?A，则A≠?. 其中正确的有( ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 环节 导 入 教学内容 考察下列各个集合,你能说出集合C与集合A,B之间的关系吗? (1) A={1,3,5}, B={2,4,6} ,C={1,2,3,4,5,6} (2) A={x|x是有理数}, B={x|x是无理数}, C={x|x是实数} 探究：实数有加减法，哪么集合有没有这样的运算关系呢/ 1. 并集 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集（Union） 记作：A∪B 读作：“A并B” 即： A∪B={x|x∈A，或x∈B} 说明：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合（重复元素只看成一个元素）。 2. 交集 考察下列各个集合,你能说出集合A,B与集合C之间的关系吗? （1）A={2,4,6,8,10}, B={3,5,8,12} ,C={8}; (2) A={x|x是我校在校的女同学}, B={x|x是我校的高一级同学}, C={x|x是我校的高一级女同学}. 一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集（intersection）。 记作：A∩B 读作：“A交B” 即： A∩B={x|∈A，且x∈B} 3. 补集 全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个师生互动 通过实例让学生自己发现集合间的运算关系 设计意图 通过实例引入，让学生得到集合间的运算关系、这样会起到很好的帮助作用． 新 课 教师板书课题． 通过探究问题，教师总结第一个运算关系并集，可理解为加法。 学生分组合作探究教师提出的问题．教师在学生分组探究的过程中要注意巡视指 可以先让学生从语文的角度理解交集中的交字代表什么 强调交集只是取到两个集合的公共部分 由实例的引入，进而归纳出并集的概念 让学生自己总结什么是交集 38 / 77

新 课 小 结 集合为全集（Universe），通常记作U。 补集：对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集（complementary set）,简称为集合A的补集， 记作：CUA 即：CUA={x|x∈U且x∈A} 练习： 1、设A={x|x是等腰三角形},B={x|x是直角三角形}， 求A∩B. 2、设A={x|x>-2},B={x|x<0},求A∩B 3、已知集合A={4，5，6，8},B={3，5，7，8}，求 A∪B. 4、已知A={x|-1＜x＜2}, B= {x|1＜x＜3}求A∪B. 5、已知U={x|x是小于9的正整数}, A={1，2，3} ，B= {3，4，5，6}，求CUA，CUB 6设全集U??x|1?x?10,且x?N?,集合 A??3,5,6,8?,B??4,5,7,8?, 求A?B,A?B,CU(A?B). 7.设全集U??x|?2?x?5?,集合A??x|?1?x?2?,B??x|1?x?3?,求A?B,A?B,CU(A?B). 8.设全集U??x|?2?x?6且x?Z?,A??x|x2?4x?5?0?,B??x|x2?1?,求A?B,A?B,CU(A?B) （1）掌握两个集合的并集与交集的的含义，会求两个简单集合的并集与交集； （2）掌握在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集； 师生共同回顾本简洁明了概节主要内容，加深理解 括本节课的重要集合间运算关系的概知识，学生易于念与性质． 理解记忆． 标记作业． 针对学生实际，对课后书面作业实施分层设置，安排基本练习题和较难题 1.满足?1,3??A??1,3,5?的所有集合Ａ的个数 作 业 ( ) Ａ ３ Ｂ ４ Ｃ ５ Ｄ ６ 2已知集合 A??x|?2?x?3?,B??x|x??1或x?4?,则 39 / 77

A?B? ( ) A ?x|x?3或x?4? B x|-1

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