CH1(6)无穷小与无穷大及其比较

§1-6 无穷小与无穷大及其比较

A级同步训练题：

一、客观题：

1、若x是无穷小，下面说法错误的是（ ）。

（A） x2是无穷小（B）2x是无穷小 （C）x－0.0001是无穷小 （D）－x是无穷小 2、下面命题中正确的是（ ）。

（A）无穷大是一个非常大的数 （B）有限个无穷大的和仍为无穷大 （C）无界变量必为无穷大 （D）无穷大必是无界变量 3、x→0时，1—cos2x是x2的 （ ）。

(A)高阶无穷小 (B)同阶无穷小，但不等价 (C)等价无穷小 (D)低阶无穷小 4、下列极限中，值为1的是 。

(A) limx???sinx2x (B) limx?0?sinx2x (C) limx??sinx2x? (D) limx???sinx2x

2二、计算下列极限：

1?cos2x(x?1)2?(x?1)31、lim 2、lim

x?0x?0xtanxx3、limln(1?2x)tanx?sinx 4、lim

x?0x?0arcsin3xsin4x三、设当x?0，?(x)?31?3x3?31?3x3~Axk，试确定A及k． 四、设?(x)?sinax，?(x)?e?e2cosx ，且当x?0时?(x)~?(x)，试求a值。五、当x?0?，讨论?(x)?(1?2x)32?1和?(x)?1?cosx是否满足?(x)~?(x)．

六、当x?x0时，设?1＝o(?)，?1?o(?)且limx?x0???1? ?A，求证：lim?A．x?x????10Ｂ级同步训练题：

一、客观题：

1、在x→0时，下面说法中错误的是 （ ）。

1111（A）xsinx是无穷小（B）xsin是无穷小 (C)sin是无穷大 (D)是无穷大。

xxxx 2、当x→0时，（1—cosx）2是sin2x的 （ ）。

(A)高阶无穷小 (B)同阶无穷小，但不等价 (C)等价无穷小 (D)低阶无穷小

113、如果x??时,2是比高阶的无穷小,则a,b,c应满足 （ ） 。

x?1ax?bx?c(A)a?0,b?1,c?1 (B) a?0,b?1,c为任意常数 (C) a?0,b,c为任意常数 (D) a,b,c都可以是任意常数 4、x?1时，与无穷小1?x等价的是( )。

25

(A)

1111?x3 (B) 1?x (C) 1?x2 (D) 1?x

222??????5、当x?0时，在下列无穷小中与x等价的是()(A)1?cos2x　　(B)ln1?x二、计算下列极限：

2(C)1?x?1?x22　(D)e?ex?x?2

ln(1?3x?2)(1?4x)4?(1?2x)2．1、lim 2、lim ．223x?2x?0(2x?1)?1arcsin(3x?4x?4)(esinx?1)4?1?tanx2ex?excosx3、lim 4、lim 2x?0x?0x?arctanx2(1?cosx)ln(1?x)(3?2x)?x?1n?1n． 6、计算极限limn(arctan?arctan) x?2n??nn?1x?2A三、设??x?2?2x?1?x，??k，确定k及A，使当x???时，?~?．xlim5、

四、设f(x)?sinx?2sin2x?sin3x，g(x)?axn，求a,n，使x?0时，f(x)~g(x)

13limu(x)??，limu(x)v(x)?A?0,问limv(x)?？为什么？ 五、已知：x?x0x?x0x?x0六、若limxnyn?0，且xn?0，yn?0，则能否得出＂limxn?0及limyn?0至少有一n??n??n?? 式成立＂的结 论七、f(x)?xsinx，问当x???时，f(x)是不是无穷大量．

八、设当x?x0，?(x)，?1(x)，?(x)，?1(x)均为无穷小，且?(x)~?1(x)；?(x)~?1(x)，如limx?x0?(x)?A,存在。 ?(x)1试证明：lim?1??(x)?x?x01?(x)?lim?1??1(x)?x?x0?1(x)．

辅导与参考答案： A级同步训练题：

一、客观题：

1、（C） 2、(D) 3、（B） 4、（C） 二、计算下列极限

2x221、原式?lim2?2（利用等价无穷小关系：1?cos2x~x，tanx~x）

x?0x(x?1)2?1(?x?1)3?1?lim?2?(?3)?5。 2、原式?limx?0x?0xx 26

2x1?。1?2x)~2x，sin4x~4x） （利用等价无穷小关系：ln(x?04x21x?x2tanx(1?cosx)124、原式=lim。 ?lim?33x?0x?02xx3、原式=lim（利用等价无穷小关系 arcsinx~x）

11??333333(1?3x)?1(1?3x)?1??(x)1?3x?1?3x三、解：lim3?lim ?lim??33??3333x?0xx?0x3x?0??xx???1?(?1)?2，故?(x)~2x3,即A?2，k?3为所求。

四、解：当x?0，sinax2~ax2,ecosx?e1?cosx?1?~e(1?cosx)~e2x2 原式?limax22aex?0e??1，故a?。

22xe2五、解：当x?0?，?(x)?1?cosx~12x； ?(x)?(1?2x)32?1~3x，

lim?(x)3?(x)?limxx?01?6，所以不等价。 x?0?2x1??1六、证：lim???1x?x0????lim??1x?x0??， 由已知lim?11??1x?x?0，lim?１?0， 0?x?x0??1??故lim?＋?11??x?x0?＋??lim?lim?A?1?A。 1x?x0?x?x01??1?Ｂ级同步训练题：

一、客观题：

1、（C） 2、(A) 3、(C) 4、(C) 5、(A)

二、计算下列极限

1、当x?0时，（1??x)n?1~n?x，lim(1??x)n?1x?0x?n?。 27

(1?4x)4?1(1?2x)2?1?4?4?2?2xx原式?lim???3； 2x?0?2?2(1?2x)?1x2、因为u?0时，ln(1?u)~u，arcsinu~u

3所以，原式?limx?2x?23(x?2)(3x?2)　?lim3x?213x?2?1。 2xxcosxx?excosx?ex(1?cosx)?1， 3、因为当x?0，e?1~x，而e?e??当x?0，ex?excosx~excosx?x(1?cosx)，arctanx2~x2

所以原式?limex?0xcosx?x(1?cosx)1?。 22x?x12x，ln(1?x2)~x2 24、因为当x?0时，esinx-1~sinx ，1?cosx~

(sinx)4(1?tanx2)原式?lim?2 2x?0x?x22

m5、因为u?0时，(1?u)~mu，所以原式?lim??1?2(2?x)???1?(x?2)?x?21312x?2

31?2(2?x)?11?(x?2)?1 ?lim?limx?2x?2x?2x?2

11?2(2?x)(x?2)12132???? ?lim?limx?2x?2236x?2x?2n?1n?n?1nnn?1?2n?1 6、解：则arctan?arctan~n?1n2n(n?1)nn?11??nn?1

故原式?limn(2n?1)?1。

n??2n(n?1)三、解：??(2?x?x)?2x?1?　　?2x?2x?(x?1)2?2x?2x2?2x?4(x?1)2?x?x?2x?1

?2?2?x?x?2x?1 28

??2(2?x?x?2x?1)(x2?2x?x?1)

由?2x32

xlim????3?x?xlim???2(2?x?x?2x?1)(x2?2x?x?1)

??14，所以取A??14，k?32。

四、解：sinx?sin3x?2sin2x?2sin2xcosx?2sin2x??2sin2x(1?cosx)

而limf(x)?2sin2x?(1?cosx)?2x?x2x?0x3?limx?0x3?limx?0x3?2，

所以取a??2，n?3.

五、解：limv(x)?0，因为：limv(v(x)u(x)x?x?xx)?lim0x0x?xu(x)?lim1?x?v(x)u(x)，0x0u(x)

?lim1x?xu(x)?limx?xv(x)u(x)?0?A?0。

00六、答：不一定，

?k，当n?2k?1；

例：x??1n???1?4k2，当n?2k．，y?2，当n?2k?1；n??4k ?　　?k，当n?2k．

显然xn?0，yn?0，且limn??xnyn?0，但limn??xn?0，limn??yn?0。

七、答：当x???，f(x)不是无穷大量， ?X?0，?n?X?,取x1?n??X

则f(x1)?n?sinn??0?M，故当x???时，f(x)不是无穷大。左式?lim11?(x)八、证：?(x)?(x)??(x)x?x?1??(x)??limx?x?1??(x)??eA，

0011? 右式?lim?1??1(x)?(x)?(x1(x)??)???(x)??(x)?)x?x1(x?limx?x?1??1(x)?1(x)?1(x)

00

?e1?A?1?eA?左式。

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