2022年郑州大学联合培养单位新乡学院915高等代数考研题库

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2017年郑州大学联合培养单位新乡学院915高等代数考研题库（一） (2)

2017年郑州大学联合培养单位新乡学院915高等代数考研题库（二） (10)

2017年郑州大学联合培养单位新乡学院915高等代数考研题库（三） (18)

2017年郑州大学联合培养单位新乡学院915高等代数考研题库（四） (24)

2017年郑州大学联合培养单位新乡学院915高等代数考研题库（五） (30)

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2017年郑州大学联合培养单位新乡学院915高等代数考研题库（一）

说明：①本资料为VIP 包过学员内部使用资料。涵盖了历年考研常考题型和重点题型。

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一、分析计算题

1． 计算n 阶行列式

【答案】

2． 设

为两个不全为零的多项式，n 为正整数.证明：

【答案】①若则显然 _ 反之，

设

下

证若不然，则必有不可约多项

式

从而

这与

矛盾.

②证法I 设且令

则

于是由①知

从而由（2）得

因此

证法II 设f , g 的次数都大于零，且

其中为首系数是1的不可约多项式，与为非负整数.于是得

令则于是由（3），（4）得且

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3． 设变换：定义为

（1）证明：是线性变换. （2）求出在下述基下的矩阵：

（3）求出在下述基下的矩阵：

（4）写出

到

的过渡矩阵.

【答案】（1）由已知，得

因为

所以是线性变换.（2）由

故在基下的矩阵是A.

（3）令

则

故在基

的矩阵为

（4）由

故由

到

的过渡矩阵是

证明一个线性变换是可逆的，常用的方法有两种：一是用映射的方法证明可逆，如果线性空间是有限维

的，则只要证是单射或满射；二是用矩阵的方法，证明线性变换的矩阵可逆.

4． 设K 是一个数域，x 是一个不定元，给定正整数n ，令

关于多项式加法和K 中数的乘法组成K 上的一个线性空间，在此线性空间中定义变换

这里

为多项式

的微商

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（1）证明：D 是一个线性变换； （2）令E 为的恒等变换，求E+D 的全部特征值；

（3）在内找一组基，使D 在此组基下矩阵成为Jordan 标准形

【答案】 （1）

有

∴是到

的一个线性变换. （2）在

中取一组基为

可得

其中又因为恒等变换E 在这组基下矩阵为n+1阶单位阵

设

在这组基下矩阵为B ,则

此即为

的全部特征值.

（3）由②式知A 是若当块，故D 在基

下的矩阵成为Jordan 标准形.

5． 检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：

（1）次数等于的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法；

（2）设A 是一个n ×n 实矩阵，A 的实系数多项式f （A ）的全体，对于矩阵的加法和数量乘

法；

（3）全体n 级实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法； （4）平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法； （5）全体实数的二元数列，对于下面定义的运算：

（6）平面上全体向量，对于通常的加法和如下定义的数量乘法：

（7）集合与加法同（6），数量乘法定义为：

（8）全体正实数

加法与数量乘法定义为：

【答案】（1）否.该集合中没有零多项式，即没有零元素，故不能构成线性空间. （2）是.令

给定

及k 是实数，这时f （x ）

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