圆与方程基础练习题

直线与圆的方程练习题

1．圆的方程是(x －1)(x+2)+(y －2)(y+4)=0，则圆心的坐标是( )

A 、(1,－1)

B 、(21,－1)

C 、(－1,2)

D 、(－2

1,－1) 2．过点A(1,－1)与B(－1，1)且圆心在直线x+y －2=0上的圆的方程为（ ）

A ．(x －3)2+(y+1)2=4

B ．(x －1)2+(y －1)2=4

C ．(x+3)2+(y －1)2=4

D ．(x+1)2+(y+1)2=4

3．方程()22()0x a y b +++=表示的图形是（ ）

A 、以(a,b)为圆心的圆

B 、点(a,b)

C 、(－a,－b)为圆心的圆

D 、点(－a,－b)

4．两圆x2+y2－4x+6y=0和x2+y2－6x=0的连心线方程为（ ）

A ．x+y+3=0

B ．2x －y －5=0

C ．3x －y －9=0

D ．4x －3y+7=0

5．方程

052422=+-++m y mx y x 表示圆的充要条件是（ ） A ．141<<m B ．141><m m 或 C ．4

1<m D ．1>m 6．圆x 2＋y 2＋x －y －32

＝0的半径是( )A ．1 B ． 2 C ．2 D ．2 2 7．圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0与圆O 2：x 2＋y 2

－4y ＝0的位置关系是( )A ．外离 B ．相交C ．外切 D ．内切

8．圆x 2＋2x ＋y 2＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点共有( )A ．4 B ．3 C ．2 D ．1

9．设直线过点(a,0)，其斜率为－1，且与圆x 2＋y 2＝2相切，则a 的值为( )A ．± 2 B ．±2C．±2 2 D ．±4

10．当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，5为半径的圆的方程为( )

A ．x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0

B ．x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0

C ．x 2＋y 2＋2x －4y ＝0

D ．x 2＋y 2－2x －4y ＝0

11．设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线x ＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为( )

A ．6

B ．4

C ．3

D ．2

12．已知三点A(1,0)，B(0，3)，C(2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( )A ．53 B ．213C ．253 D ．43

13.过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( )

A ．2x ＋y －3＝0

B ．2x －y －3＝0

C ．4x －y －3＝0

D ．4x ＋y －3＝0

14．圆22220x y x y +-+=的周长是（ ）A ． B ．2π C D ．4π 15．若直线ax+by+c=0在第一、二、四象限，则有（ ）

A 、ac>0,bc>0

B 、ac>0,bc<0

C 、ac<0,bc>0

D 、ac<0,bc<0 16．点(1,2-a a )在圆x 2+y 2－2y －4=0的内部，则a 的取值范围是（ ）

A ．－1<a <1

B ． 0<a <1

C ．–1<a <51

D ．－5

1<a <1 17．点P （5a+1，12a ）在圆（x －1）2+y2=1的内部，则a 的取值范围是（ ）

A.｜a ｜＜1

B.a ｜a ｜a

18．求经过点A（－1，4）、B（3，2）且圆心在y轴上的圆的方程

19．已知一圆经过点A（2，－3）和B（－2，－5），且圆心C在直线l：

230

x y

--=上，求此圆的标准方程．

20．已知圆C:()()25

2

12

2=

-

+

-y

x及直线()()4

7

1

1

2

:+

=

+

+

+m

y

m

x

m

l.()R

m∈（1）证明:不论m取什么实数,

直线l与圆C恒相交；（2）求直线l与圆C所截得的弦长的最短长度及此时直线l的方程．21．如果实数x、y满足x2+y2-4x+1=0

22．?ABC的三个顶点分别为A(－1,5)，(－2,－2),(5,5),求其外接圆方程

答案第1页，总6页 参考答案

1．D

【解析】方程(1)(2)(2)(4)0x x y y -++-+=化为222100x x y y +++-=；则圆的标准方程是221

45()(1).24x y +++=所以圆心坐标为1(,1).2

--故选D 2．B

【解析】

试题分析：设圆的标准方程为（x-a ）2+（y-b ）2=r 2，根据已知条件可得

（1-a ）2+（－1－b ）2=r 2，①

（－1－a ）2+（1－b ）2=r 2，②

a+b-2=0，③

联立①，②，③，解得a=1，b=1，r=2．

所以所求圆的标准方程为（x －1）2+（y －1）2=4．故选B 。

另外，数形结合，圆心在线段AB 的中垂线上，且圆心在直线x+y －2=0上，所以圆心是两线的交点，在第一象限，故选B 。

考点：本题主要考查圆的标准方程．

点评：待定系数法求圆的标准方程是常用方法。事实上，利用数形结合法，结合选项解答更简洁。

3．D

【解析】由()2

2()0x a y b +++=知00,.x a y b x a y b +=+=∴=-=-且且故选D

4．C

【解析】

试题分析：两圆x 2+y 2－4x+6y=0和x 2+y 2－6x=0的圆心分别为（2，－3）,(3,0),所以连心线

方程为3x －y －9=0,选C.

考点：本题主要考查圆与圆的位置关系、圆的性质。

点评：数形结合，由圆心坐标确定连心线方程。

5．B

【解析】

答案第2页，总6页 试题分析：圆的一般方程要求220x y Dx Ey F ++++=中2240D E F +->。 即22(4)(2)450m m +--?>，解得141><

m m 或，故选B 。 考点：本题主要考查圆的一般方程。

点评：圆的一般方程要求220x y Dx Ey F ++++=中2240D E F +->。

6．A

【解析】考查直线斜率和倾斜角的关系。

7．A

【解析】

试题分析：22220x y x y +-+=

，所以周长为，故选A 。

考点：本题主要考查圆的一般方程与标准方程的转化。

点评：简单题，明确半径，计算周长。

8．D

【解析】直线斜率为负数，纵截距为正数，选D

9．D

【解析】

试题分析：因为点(1,2-a a )在圆x 2+y 2－2y －4=0的内部，所以将点(1,2-a a )的坐标代入圆的方程左边应小于0，即22(2)(1)2(1)0a a a +--?-<，解得－

5

1<a <1，故选D 。 考点：本题主要考查点与圆的位置关系。

点评：点在圆的内部、外部，最终转化成解不等式问题。

10．D

【解析】点P 在圆（x －1）2+y 2=1内部 ?（5a +1－1）2+（12a ）2＜1? ｜a

11．4 【解析】方程x 2+y 2

+Dx+Ey+F=0配方得22224()().224D E D E F x y +-+++=根据条件得：22242,4,4;224

D E D E F +--=-=-=解得 4.F = 12．3140x y +-=，2100x y +-=，4y = 【解析】∵线段AB 的中点为(15)-，，线段BC 的中点为(34)，，线段AC 的中点为(43)，， ∴三角形各边上中线所在的直线方程分别是，4y =， 即3140x y +-=，2100x y +-=，4y =．

答案第3页，总6页 13．见解析

【解析】

试题分析：证明一：由A ，B

即：02=+-y x ①

把C （5，7）代入方程①的左边：左边==+-=0275右边

∴C 点坐标满足方程①∴C 在直线AB 上∴A ，B ，C 三点共线

A ，

B ，

C 三点共线.

考点：本题主要考查直线方程、斜率公式、两点间距离公式的应用。 点评：多种方法证明三点共线，一题多解的典型例题。

14．(1)2x+3y-1=0 (2)2x-y+5=0

(3)4x+y-6=0或3x+2y-7=0（4）03=+y x 或04=+-y x .

【解析】略

15．

圆的方程为x2＋y2－8x ＋8y ＋12＝0

【解析】

解：由题意可设圆的方程为x2＋y2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0 （D2＋E2－4F ＞0） ∵圆过点A （2，0）、B （6，0）、C （0，－2）

∴?????==-=??????=+-=++=++812

80240636024F E D F E F D F D

∴圆的方程为x2＋y2－8x ＋8y ＋12＝0

16．所求圆的方程为x 2+(y －1)2=10

【解析】设圆的方程为x 2+(y －b)2=r 2

∵圆经过A 、B 两点，

∴ 222

222(1)(4)3(2)b r b r ?-+-=?+-=?

解得2110

b r =??=? 所以所求圆的方程为x 2+(y －1)2=10 17．22(1)(2)10x y +++=

【解析】

试题分析：解：

答案第4页，总6页

因为A （2，－3），B （－2，－5），所以线段AB 的中点D 的坐标为（0，－4），

又 5(3)1222

AB k ---==--，所以线段AB 的垂直

平分线的方程是24y x =--．

联立方程组23024x y y x --=??=--?，解得12

x y =-??=-?． 所以，圆心坐标为C

（－1，－2），半径|

|r CA === 所以，此圆的标准方程是22(1)(2)10x y +++=． 考点：本题主要考查圆的方程求法。

点评：求圆的方程，常用待定系数法，根据条件设出标准方程或一般方程。有时利用几何特征，解答更为简便。

18．（1）见解析；（2）().052,321=---=-y x x y 即

【解析】

试题分析：(1)直线方程()()47112:+=+++m y m x m l ,可以改写为()0472=-++-+y x y x m ,所以直线必经过直线04072=-+=-+y x y x 和的交点.由方程组???=-+=-+04,072y x y x 解得???==1,3y x 即两直线的交点为A )1,3( 又因为点()1,3A 与圆心()2,1C 的距离所以该点在C 内

,故不论m 取什么实数,直线l 与圆C 恒相交.

(2)连接AC ,过A 作AC 的垂线

,此时的直线与圆C 相交于B 、D .BD

为直线被圆所截得的最短弦长.此时

又直线AC

的斜率

,所以直线BD

的斜率为 2.此时直线方

程为:().052,321=---=-y x x y 即

考点：本题主要考查直线与圆的位置关系、直线方程。

19【解析】，得y=kx ，所以k 为过原点的直线的斜率。又x 2+y 2-4x+1=0表示以(2,0)y=kx 与已知圆相切且切点在第一象限时，k

答案第5页，总6页 最大。此时，

|OC|=2，Rt △POC 中，60O POC ∠=，

20．22(1)(3)25x y -++=

【解析】

试题分析：解法一：设所求圆的方程是222

()()x a y b r -+-=． ①

因为A （4，1），B （6，－3），C （－3，0）都在圆上，

所以它们的坐标都满足方程①，于是 222222222(4)(1),(6)(3),(3)(0).a b r a b r a b r ?-+-=?-+--=??--+-=?

可解得21,3,25.a b r =??=-??=? 所以△ABC 的外接圆的方程是22

(1)(3)25x y -++=．

解法二：因为△ABC 外接圆的圆心既在AB 的垂直平分线上，也在BC 的垂直平分线上，所以先求AB 、BC 的垂直平分线方程，求得的交点坐标就是圆心坐标．

∵31264AB k --==--，0(3)1363

BC k --==---， 线段AB 的中点为（5，－1），线段BC 的中点为33(,)22

-， ∴AB 的垂直平分线方程为11(5)2

y x +=

-， ① BC 的垂直平分线方程333()22y x +=-． ② 解由①②联立的方程组可得1,3.

x y =?

?=-?∴△ABC 外接圆的圆心为Ｅ（1，－3），

半径||5r AE ===．

故△ABC 外接圆的方程是22(1)(3)25x y -++=．

考点：本题主要考查圆的方程求法。

点评：求圆的方程，常用待定系数法，根据条件设出标准方程或一般方程。有时利用几何特

征，解答更为简便。

21．外接圆方程为x2+y2－4x－20=0

【解析】解：设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0

由题设得方程组

5260 2280 55500

D E F

D E F

D E F

-+++=?

?

--++=?

?+++=?

解得

4

2

20 D

E

F

=-?

?

=-?

?=-?

的外接圆方程为x2+y2－4x－20=0

答案第6页，总6页

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