电力生产问题的数学模型

电力生产问题的数学模型

摘 要

电力生产问题模型是基于对现有发电产能与每日用电需求的分析，通过制定合理的生产计划，来探讨如何有效降低生产成本。由于电力生产问题中涉及发电机可用数量、输出功率、生产成本与电能安全余量等因素，本文利用数学知识联系电力生产实际问题建立了模型，充分考虑当日与次日24小时生产的连续性，从循环生产的角度出发，寻求最优电力生产计划。

对于问题一，本文通过建立数学成本控制模型，列出了生产总成本构成要素：发电机启动成本、固定成本与边际成本，确定了每日总成本最小的目标函数。出于实际长远生产考虑，给定了系列约束条件：在保证每日电力输出充分满足需求下，我们将正在工作的发电机实际使用数量限制为整数且不大于可用数量，实际输出功率介于该发电机最大最小输出功率之间，并加入了当日日末时段与次日日初时段电力生产内部关联等约束条件。在建立了线性规划方程组基础上，使用LINGO软件计算出系列参数值与目标函数值，进而得到成本最小的最优生产方案，模型求解得到的总成本最小值为：1448700元。

对于问题二，鉴于市场实际每日用电需求的变化，应充分考虑到需要随时备足电能安全余量以应对用电量可能出现突然上升的情况，将正在工作的发电机组必须留出20%的发电能力这一情况纳入考虑。在问题一模型基础上微调约束条件3：发电机实际使用数量Xij?0时，对应时段和对应型号的发电机输出功率要满足不大于对应的最大输出功率的80%，从而建立了含安全余量因素的成本优化模型，得到了新的最优生产方案。同样地运用LINGO软件求解，经过穷举算得出考虑安全余量后新生产计划下总成本最小值为：1529920元。

关键词：线性规划 电力生产 输出功率 最小总成本

1. 问题重述

如何应对每日电力需求，在充分考虑各个约束条件的情况下，做好每日各时段发电机开工的具体计划，控制生产成本是企业不得不思考的问题。在充分了解实际问题的经济背景、掌握准确数据、确定影响因素及目标的前提下，将这些实际生产问题转化为数学模型，通过科学的数学方法找到满意的答案，制定出成本最小的生产方案。当然如何将实际生产问题转化为数学模型，并不断改进模型进一步完善，这是我们需要深入思考的问题。

在本文中，我们考虑如何将经济问题转化为数学模型并用LINGO软件解决成本最低问题，制定最优电力生产方案。 1.1电力供需概况与成本说明

该问题中每日电力需求（单位为兆瓦（MW）），如表1给出了每日7个时间段用电需求情况：

表1每日用电需求

时段编号 时段（0时-24时） 时长(h) 需求（MW） 1 0-6 6 12000 2 6-9 3 32000 3 9-12 3 25000 4 12-14 2 36000 5 14-18 4 25000 6 18-22 4 30000 7 22-24 2 18000

在供电能力方面，每种发电机都有一个最大发电能力，当接入电网时，其输出功率不应低于某一最小输出功率且不能高于最大输出功率。另外发电机工作会产生三类成本：所有发电机都存在一个启动成本，以及工作于最小功率状态时的固定的每小时成本，并且如果功率高于最小功率，则超出部分的功率每兆瓦每小时还存在一个边际成本。需要注意的是：只有在每个时段开始时才允许启动或关闭发电机。与启动发电机不同，关闭发电机不需要付出任何代价。如表2给出了发电机的数量、产能及三类成本的相关信息。

表2 发电机情况 指标 可用数量 最小输出最大输出固定成本每兆瓦边际成启动成本型号 （台） 率（MW） 率（MW） （元/小时） 本（元/小时） （元/次） 型号1 型号2 型号3 型号4 1.2本文需解决的问题

问题一：能否通过线性规划模型的建立求解，在保证每日各时段用电需求、发电机

1

10 4 8 3 750 1000 1200 1800 1750 1500 2000 3500 2250 1800 3750 4800 2.7 2.2 1.8 3.8 5000 1600 2400 1200

的功率、数量约束，总成本最低情况下，求出在每个时段应分别使用哪些发电机才能使每天的总成本最小，从而制定出一个总成本最低的生产方案。

问题二：以防用电量突然上升，我们需使工作中的发电机组在任何时刻留出20%的发电能力余量。因而在考虑了电能的安全余量条件下，通过模型求解得出在每个时段应分别使用哪些发电机才能使每天的总成本最小，从而制定出一个新的总成本最低的生产方案。

2.1模型假设

2. 模型的假设与符号说明

通过对题目的分析，为了使问题得到简化，我们做出了以下合理假设：

假设1：只有在每个时段开始时才启动、关闭发电机，或者调整发动机功率； 假设2：忽略发电机启动的时间；

假设3：发动机不工作时不发生任何成本； 假设4：调整发电机功率没有成本；

假设5：发电机生产的电量在传输过程中没有损耗；

假设6：发电机的功率在时段初调整好后在那个时段内保持不变； 假设7：发电机都能正常工作；

假设8：每天都以最优的电力配置（型号、时间段、数量、功率）运行；

假设9：后一天的第一个时间段是紧接前一天的最后一个时间段进行循环生产； 假设10：在某个时间段某种型号发电机各台实际输出功率相等。 2.2符号说明

表3 符号说明 符号 i 符号说明 时段编号(i?1,2...7) 型号(j?1,2...4) 在第i个时间段型号j发电机实际使用数量 在第i个时间段型号j发电机实际输出功率 第i个时间段对应时长 第i个时间段电力总需求 型号j发电机的单位启动成本 型号j发电机的单位固定成本 型号j发电机的每兆瓦边际成本 型号j发电机的可用数量 型号j发电机的最小输出功率 型号j发电机的最大输出功率 j Xij Pij Ti Qi Sj Ej Fj Nj Aj Bj Kij

；Xij?X(i?1)j时，K=0 0-1变量，Xij?X(i?1)j时，K=12

3. 问题分析

此问题研究的是如何根据发电机的产能合理安排生产作业计划，在保证市场需求得到满足前提下达到总成本最小的数学建模问题。

针对问题一：已知条件主要提供了每日各时段市场用电需求、发电机产能、发电机工作产生的成本三方面信息。为满足每日7个时间段对应的电力总功率需求，提供了4种不同型号的发电机，其可用数量，最大最小输出功率各不相同，发电机工作产生的单位启动成本、固定成本与边际成本构成单位生产总成本。

本题目标在于寻求生产成本最优下的生产方案，因此目标函数为：生产总成本最小，即要求上述三类成本总和最小。

对于每日总启动成本：由于发动机连续几个时段工作时只产生一次启动成本，关闭不发生成本，故我们设立0-1变量，若当前时段同型号发电机使用数量小于上一时段使用数量时，此时仅需关闭几台发电机，启动成本已计入上一时段中，当前时段不产生新的启动成本；若当前时段同型号发电机使用数量大于上一时段使用数量时，此时需增开几台发电机即可，当前时段只需计入新增开同一型号发电机启动成本。故该时间段该型号发电机工作产生的总启动成本为同种发电机增开台数与单位启动成本之积。则每日总启动成本即为7个时段4个发电机组启动成本累和。

对于每日总固定成本：在某个时间段某种型号发电机工作产生的总固定成本等于该时段该种发电机实际使用数量乘以发电机在该时段的工作时长，再乘以对应单位固定成本。则每日总固定成本即为7个时段4个发电机组固定成本累和。

对于每日总边际成本：在某个时间段某种型号发电机工作产生的总边际成本等于该时段该种电机超出的功率、实际使用数量与该发电机在该时段的工作时长的三者之积再乘以对应单位边际成本。则每日总边际成本即为7个时段4个发电机组边际成本累和。

由于各时间段的用电需求不同，各时段对应发电机型号、使用数量与输出功率也会随之变化，因此必须考虑各时段电力需求、发电机功率与使用数量限制以及各要素内部关联等约束条件。通过建立约束条件的线性规划方程组与成本控制模型，使用LINGO软件求出成本最小，进而得到最优的电力生产方案。

针对问题二：在问题一基础上充分考虑到应备足安全余量来应对突发状况这一新情况，提出正在工作的发电机组必须随时留出20%的发电能力这一条件。因而在问题二中，目标函数不变，对约束条件进行微调：发电机组在每日第i时间段所能发出的最大总功率的80%要大于等于当日第i时段的用电需求，进一步优化建立了含安全余量因素的成本最小化模型，同问题一可以类似的采用线性规划方法和LINGO软件进行求解。

4. 问题一的解答

4.1模型建立

目标函数：

MinC???[(Xij?X(i?1)j)SjKij?XijTiEj?XijTiFj(Pij?Aj)]i?1j?174约束条件说明：

1在每个时间段每种型号的发电机实际使用数量为整数，由此得到约束条件1： ○

Xij?Z3

2出于循环生产考虑，后一天的第一个时间段是在前一天的最后一个时间段进行○

电力配置，由此得到约束条件2：

X0j?X7j

3每个时间段每种型号发电机实际使用数量X○

ij?0时，对应时段和对应型号的发

电机输出功率为零；反之Xij?0时，对应时段和对应型号的发电机输出功率介于相应型号发电机的最大最小输出功率之间，由此得到约束条件3：

?ij?Bj?当Xij?0时，Aj?P ??ij?0?当Xij?0时，P4在每个时间段每种型号的发电机实际使用数量大于等于0，小于等于相应型号发○

电机的可用数量，由此得到约束条件4：

0?Xij?Nj

5在每个时间段每种型号的发电机实际使用数量与实际输出功率乘积之和，即该○

4时段实际生产电力总量大于等于电力需求总量，由此得到约束条件5：

?PXijj?1ij?Qi

6Kij为0-1变量，Xij?X(i?1)j时，K=1 ；Xij?X(i?1)j时，K=0。由此得到约束条件6：○

??1,Xij?X(i?1)jKij????0,Xij?X(i?1)j

综合上面分析得到的目标函数和约束条件，我们得到问题一的数学模型为：

目标函数：

MinC???[(Xij?X(i?1)j)SjKij?XijTiEj?XijTiFj(Pij?Aj)]i?1j?174

约束条件：

?Xij?Z(i?1,2,,7;j?1,2,,4)??X0j?X7j(j?1,2,,4)?A?P?BorP?0(i?1,2,,7;j?1,2,jijjij???0?Xij?Nj(i?1,2,,7;j?1,2,,4)?4?PX?Q(i?1,2,,7;j?1,2,,4)ijiji??j?1???Kij?0or1(i?1,2,,7;j?1,2,,4)

,4)

4.2模型求解

将建立的目标函数与约束条件编写成LIDGO程序语句进行求解，经过穷举最终得到每日电力生产计划1如表4所示：

4

表4每日电力生产计划1

单位：台、兆瓦 指标 时段编号 1 2 3 4 5 6 7 型号1发电机 使用 数量 2 2 2 2 2 2 2 型号2发电机 使用 数量 4 4 4 4 4 4 4 型号3发电机 使用 数量 3 8 8 8 8 8 3 型号4发电机 使用 数量 0 3 1 3 1 3 2 单位输出功率 750 1750 750 1750 750 1300 1200 单位输出功率 1125 1500 1425 1500 1425 1500 1500 单位输出功率 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 单位输出功率 0 2166.67 1800 3500 1800 1800 1800 通过表4可以看出在成本最优的生产方案下，型号1发电机与型号2发电机每日使用数量是固定不变的，分别是2台与4台，且连续工作24小时，但7各时段中发电机输出功率处于波动变化中；而型号3发电机与型号4发电机各时段使用数量是不断变化的，但型号3发电机各时段输出功率持续处于最大输出功率水平，型号4发动机输出功率则波动较大。

在上述最优化的生产方案下，模型求解得到的总成本最小值为：1448700元。

5. 问题二的解答

5.1模型建立

模型与问题二基本一致，加入了安全余量约束，即要求工作中发电机组在每日第i时间段所能发出的最大总功率的80%要大于等于当日第i时段的用电需求。

因而仅需改变约束条件3为：每个时间段每种型号发电机实际使用数量Xij?0时，对应时段和对应型号的发电机输出功率为零；反之当Xij?0时，对应时段和对应型号的发电机输出功率应满足：不小于相应型号发电机的最小输出功率，不大于对应的最大输出功率的80%。由此得到约束条件：

?ij?0.8*Bj?当Xij?0时，Aj?P ??ij?0?当Xij?0时，P5.2模型求解

在问题一的模型上，加入产能安全余量因素后改变约束条件3，我们对模型进行求

解。通过LINGO软件计算，经过穷举我们得到最优结果，转化为如表5每日电力生产计划2，即得到每日各时段发电机使用型号、数量与输出功率的具体生产安排。

5

表5每日电力生产计划2

单位：台、兆瓦 指标 时段编号 1 2 3 4 5 6 7 发电机型号1 数量 9 9 9 9 9 9 9 发电机型号2 数量 4 4 4 4 4 4 4 发电机型号3 数量 0 6 6 8 5 5 0 发电机型号4 数量 0 3 2 3 3 3 3 单位输出功率 800 1355.56 777.78 1400 755.56 1311.11 866.67 单位输出功率 1200 1200 1200 1200 1200 1200 1200 单位输出功率 0 1600 1600 1600 1600 1600 0 单位输出功率 0 1800 1800 1933.33 1800 1800 1800 通过表4与表5对比，发现在每日电力生产计划2中发电机的使用数量整体大幅增加，输出功率整体下降。电力生产计划2中，9台型号1发电机与4台型号2发电机每日使连续工作24小时；而型号3发电机与型号4发电机各时段使用数量是不断变化的。型号2与型号3发电机发动机各时段输出功率恒定，而型号1与型号4发动机输出功率则波动较大。

根据上面给出的成本最小目标函数，将相关参数值代入求解，我们得到上表中的计算得出考虑安全余量后每日电力生产计划中的总成本最小值为：1529920元。

6. 模型的评价、改进与推广

6.1模型的评价

本模型的优点：

第一，本模型是基于线性规划电力生产计划成本数学模型，考虑了影响电能供给和成本构成的各个因素，提高了生产计划编制的科学性和数据的准确性，较好地实现了企业生产成本最小化的实际问题。

第二，本文模型充分考虑当日与次日24小时生产的连续性，从循环生产的角度出发，寻求最优电力生产方案；而不是简单独立地考虑每日生产计划。

第三，本模型提出了一系列合理假设，固定了关闭启动发电机和调整功率的时间，并假定在某个时间段内某种型号发电机各台实际输出功率是不变的等，使问题得到简化。

本模型的缺点：

第一，从长远循环生产进行分析，没有考虑初始生产状态；

第二，实际生产过程中发电机不工作也会存在一定的成本，并且发电机工作中出现故障的带来维修费、正常生产损耗等费用均没有纳入总成本构成因素中；

第三，实际生产过程中发电机输出功率是变化并非恒定的，本模型仅考虑了不同

6

时段同一发电机输出功率的不同，而没有充分考虑到各时段内功率的波动。 6.2模型的改进

第一，应分别建立初始生产状态和循环生产后稳定状态下的模型，继续完善模型。 第二，增加实际生产活动中的总成本构成要素，进一步优化模型。在本模型的固定费用中加入发电机不工作时日平均固定费用；同时应考虑每日工作设备的出现故障概率下的维修费；此外发电机在电能传输过程中的相应损耗率下带来的新损失应纳入考虑。 6.3模型的推广

我们建的模型不仅适用于电力生产安排，也适用于解决基于成本优化的生产计划问题，还可用于诸如像产销平衡模型的其它类型的问题。

7. 参考文献

[1]度巍,曾飞.基于LINGO的优化问题动态规划法求解[J].电脑知识与技术.2014(04) [2]宋来忠,王志明.数学建模与实验[M].北京：科学出版社,2005

[3]尹绍群.基于线性规划的企业成本控制研究[J].现代经济信息.2010(03)

[4]金晶晶.数学建模竞赛中LINGO软件的应用[J].十堰职业技术学院学报.2010(4)

7

附 录

1）问题一的求解

1将模型编写的LINGO程序语句 ○

sets:

time/1..7/:Q,T;

mode/1..4/:S,E,F,N,A,B; link(time,mode):P,X,K,c,d; endsets data:

Q=12000,32000,25000,36000,25000,30000,18000; T=6,3,3,2,4,4,2;

S=5000,1600,2400,1200; E=2250,1800,3750,4800; F=2.7,2.2,1.8,3.8; N=10,4,8,3;

A=750,1000,1200,1800; B=1750,1500,2000,3500; enddata

min=@sum(link(i,j):(X(i,j)-c(i,j))*S(j)*K(i,j)+X(i,j)*T(i)*(E(j)+(P(i,j)-A(j))*F(j)));

@for(link(i,j):c=@if(i#GE#2,X(i-1,j),X(7,j))); @for(link(i,j):P(i,j)=@if(X(i,j)#GT#0,d(i,j),0)); @for(time(i):@for(mode(j):@bnd(A(j),d(i,j),B(j)))); @for(time(i):(@sum(mode(j):P(i,j)*X(i,j)))>=Q(i)); @for(link(i,j):K(i,j)=@if(X(i,j)#GE#c(i,j),1,0)); @for(link(i,j):@gin(X(i,j)));

@for(time(i):@for(mode(j):@bnd(0,X(i,j),N(j)))); END

2LINGO对上述模型的程序运行结果 ○

Local optimal solution found.

Objective value: 1448980. Objective bound: 1389245. Infeasibilities: 0.000000 Extended solver steps: 109 Total solver iterations: 21396572

Variable Value Q( 1) 12000.00

1

Q( 2) 32000.00 Q( 3) 25000.00 Q( 4) 36000.00 Q( 5) 25000.00 Q( 6) 30000.00 Q( 7) 18000.00 T( 1) 6.000000 T( 2) 3.000000 T( 3) 3.000000 T( 4) 2.000000 T( 5) 4.000000 T( 6) 4.000000 T( 7) 2.000000 S( 1) 5000.000 S( 2) 1600.000 S( 3) 2400.000 S( 4) 1200.000 E( 1) 2250.000 E( 2) 1800.000 E( 3) 3750.000 E( 4) 4800.000 F( 1) 2.700000 F( 2) 2.200000 F( 3) 1.800000 F( 4) 3.800000 N( 1) 10.00000 N( 2) 4.000000 N( 3) 8.000000 N( 4) 3.000000 A( 1) 750.0000 A( 2) 1000.000 A( 3) 1200.000 A( 4) 1800.000 B( 1) 1750.000 B( 2) 1500.000 B( 3) 2000.000 B( 4) 3500.000 P( 1, 1) 750.0000 P( 1, 2) 1250.000 P( 1, 3) 2000.000 P( 1, 4) 0.000000 P( 2, 1) 1600.000

2

74 0.000000 75 0.000000 76 0.000000 77 0.000000 78 0.000000 79 0.000000 80 0.000000 81 0.000000 82 0.000000 83 0.000000 84 0.000000 85 0.000000 86 0.000000 87 0.000000 88 0.000000 89 0.000000 90 0.000000 91 0.000000 92 0.000000 2）问题二的求解

1将模型编写的LINGO程序语句 ○

sets:

time/1..7/:Q,T;

mode/1..4/:S,E,F,N,A,B; link(time,mode):P,X,K,c,d; endsets data:

Q=12000,32000,25000,36000,25000,30000,18000; T=6,3,3,2,4,4,2;

S=5000,1600,2400,1200; E=2250,1800,3750,4800; F=2.7,2.2,1.8,3.8; N=10,4,8,3;

A=750,1000,1200,1800; B=1750,1500,2000,3500; enddata

min=@sum(link(i,j):(X(i,j)-c(i,j))*S(j)*K(i,j)+X(i,j)*T(i)*(E(j)+(P(i,j)-A(j))*F(j)));

@for(link(i,j):c=@if(i#GE#2,X(i-1,j),X(7,j))); @for(link(i,j):P(i,j)=@if(X(i,j)#GT#0,d(i,j),0));

@for(time(i):@for(mode(j):@bnd(A(j),d(i,j),B(j)*0.8)));

8

@for(time(i):(@sum(mode(j):P(i,j)*X(i,j)))>=Q(i)); @for(link(i,j):K(i,j)=@if(X(i,j)#GE#c(i,j),1,0)); @for(link(i,j):@gin(X(i,j)));

@for(time(i):@for(mode(j):@bnd(0,X(i,j),N(j)))); END

○

2LINGO对上述模型的程序运行结果 Local optimal solution found.

Objective value: 1448700. Objective bound: 1410307. Infeasibilities: 0.000000 Extended solver steps: 69 Total solver iterations: 54752211

Variable Value Q( 1) 12000.00 Q( 2) 32000.00 Q( 3) 25000.00 Q( 4) 36000.00 Q( 5) 25000.00 Q( 6) 30000.00 Q( 7) 18000.00 T( 1) 6.000000 T( 2) 3.000000 T( 3) 3.000000 T( 4) 2.000000 T( 5) 4.000000 T( 6) 4.000000 T( 7) 2.000000 S( 1) 5000.000 S( 2) 1600.000 S( 3) 2400.000 S( 4) 1200.000 E( 1) 2250.000 E( 2) 1800.000 E( 3) 3750.000 E( 4) 4800.000 F( 1) 2.700000 F( 2) 2.200000 F( 3) 1.800000

9

F( 4) 3.800000 N( 1) 10.00000 N( 2) 4.000000 N( 3) 8.000000 N( 4) 3.000000 A( 1) 750.0000 A( 2) 1000.000 A( 3) 1200.000 A( 4) 1800.000 B( 1) 1750.000 B( 2) 1500.000 B( 3) 2000.000 B( 4) 3500.000 P( 1, 1) 750.0000 P( 1, 2) 1125.000 P( 1, 3) 2000.000 P( 1, 4) 0.000000 P( 2, 1) 1750.000 P( 2, 2) 1500.000 P( 2, 3) 2000.000 P( 2, 4) 2166.667 P( 3, 1) 750.0000 P( 3, 2) 1425.000 P( 3, 3) 2000.000 P( 3, 4) 1800.000 P( 4, 1) 1750.000 P( 4, 2) 1500.000 P( 4, 3) 2000.000 P( 4, 4) 3500.000 P( 5, 1) 750.0000 P( 5, 2) 1425.000 P( 5, 3) 2000.000 P( 5, 4) 1800.000 P( 6, 1) 1300.000 P( 6, 2) 1500.000 P( 6, 3) 2000.000 P( 6, 4) 1800.000 P( 7, 1) 1200.000 P( 7, 2) 1500.000 P( 7, 3) 2000.000 P( 7, 4) 1800.000 X( 1, 1) 2.000000

10

X( 1, 2) 4.000000 X( 1, 3) 3.000000 X( 1, 4) 0.000000 X( 2, 1) 2.000000 X( 2, 2) 4.000000 X( 2, 3) 8.000000 X( 2, 4) 3.000000 X( 3, 1) 2.000000 X( 3, 2) 4.000000 X( 3, 3) 8.000000 X( 3, 4) 1.000000 X( 4, 1) 2.000000 X( 4, 2) 4.000000 X( 4, 3) 8.000000 X( 4, 4) 3.000000 X( 5, 1) 2.000000 X( 5, 2) 4.000000 X( 5, 3) 8.000000 X( 5, 4) 1.000000 X( 6, 1) 2.000000 X( 6, 2) 4.000000 X( 6, 3) 8.000000 X( 6, 4) 3.000000 X( 7, 1) 2.000000 X( 7, 2) 4.000000 X( 7, 3) 3.000000 X( 7, 4) 2.000000 K( 1, 1) 1.000000 K( 1, 2) 1.000000 K( 1, 3) 1.000000 K( 1, 4) 0.000000 K( 2, 1) 1.000000 K( 2, 2) 1.000000 K( 2, 3) 1.000000 K( 2, 4) 1.000000 K( 3, 1) 1.000000 K( 3, 2) 1.000000 K( 3, 3) 1.000000 K( 3, 4) 0.000000 K( 4, 1) 1.000000 K( 4, 2) 1.000000 K( 4, 3) 1.000000

11

K( 4, 4) 1.000000 K( 5, 1) 1.000000 K( 5, 2) 1.000000 K( 5, 3) 1.000000 K( 5, 4) 0.000000 K( 6, 1) 1.000000 K( 6, 2) 1.000000 K( 6, 3) 1.000000 K( 6, 4) 1.000000 K( 7, 1) 1.000000 K( 7, 2) 1.000000 K( 7, 3) 0.000000 K( 7, 4) 0.000000 C( 1, 1) 2.000000 C( 1, 2) 4.000000 C( 1, 3) 3.000000 C( 1, 4) 2.000000 C( 2, 1) 2.000000 C( 2, 2) 4.000000 C( 2, 3) 3.000000 C( 2, 4) 0.000000 C( 3, 1) 2.000000 C( 3, 2) 4.000000 C( 3, 3) 8.000000 C( 3, 4) 3.000000 C( 4, 1) 2.000000 C( 4, 2) 4.000000 C( 4, 3) 8.000000 C( 4, 4) 1.000000 C( 5, 1) 2.000000 C( 5, 2) 4.000000 C( 5, 3) 8.000000 C( 5, 4) 3.000000 C( 6, 1) 2.000000 C( 6, 2) 4.000000 C( 6, 3) 8.000000 C( 6, 4) 1.000000 C( 7, 1) 2.000000 C( 7, 2) 4.000000 C( 7, 3) 8.000000 C( 7, 4) 3.000000 D( 1, 1) 750.0000

12

D( 1, 2) 1125.000 D( 1, 3) 2000.000 D( 1, 4) 1800.000 D( 2, 1) 1750.000 D( 2, 2) 1500.000 D( 2, 3) 2000.000 D( 2, 4) 2166.667 D( 3, 1) 750.0000 D( 3, 2) 1425.000 D( 3, 3) 2000.000 D( 3, 4) 1800.000 D( 4, 1) 1750.000 D( 4, 2) 1500.000 D( 4, 3) 2000.000 D( 4, 4) 3500.000 D( 5, 1) 750.0000 D( 5, 2) 1425.000 D( 5, 3) 2000.000 D( 5, 4) 1800.000 D( 6, 1) 1300.000 D( 6, 2) 1500.000 D( 6, 3) 2000.000 D( 6, 4) 1800.000 D( 7, 1) 1200.000 D( 7, 2) 1500.000 D( 7, 3) 2000.000 D( 7, 4) 1800.000

Row Slack or Surplus 1 1448700. 2 0.000000 3 0.000000 4 0.000000 5 0.000000 6 0.000000 7 0.000000 8 0.000000 9 0.000000 10 0.000000 11 0.000000 12 0.000000 13 0.000000

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14

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