工程数学 - 概率统计习题全解 - 同济大学 - 高等教育出版社

习题一解答

1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件A：

(1) 抛一枚硬币两次，观察出现的面，事件A?{两次出现的面相同}；

(2) 记录某电话总机一分钟内接到的呼叫次数，事件A?{一分钟内呼叫次数不超过3次}； (3) 从一批灯泡中随机抽取一只，测试其寿命，事件A?{寿命在2000到2500小时之间}。 解 (1) ??{(?,?),(?,?),(?,?),(?,?)}， A?{(?,?),(?,?)}. (2) 记X为一分钟内接到的呼叫次数，则

??{X?k|k?0,1,2,??}， A?{X?k|k?0,1,2,3}.

(3) 记X为抽到的灯泡的寿命（单位：小时），则

??{X?(0,??)}， A?{X?(2000,2500)}.

2. 袋中有10个球，分别编有号码1至10，从中任取1球，设A?{取得球的号码是偶数}，B?{取得球的号码是奇数}，C?{取得球的号码小于5}，问下列运算表示什么事件：

(1)A?B；(2)AB；(3)AC；(4)AC；(5)AC；(6)B?C；(7)A?C. 解 (1) A?B??是必然事件； (2) AB??是不可能事件；

(3) AC?{取得球的号码是2，4}；

(4) AC?{取得球的号码是1，3，5，6，7，8，9，10}；

(5) AC?{取得球的号码为奇数，且不小于5}?{取得球的号码为5，7，9}；

(6) B?C?B?C?{取得球的号码是不小于5的偶数}?{取得球的号码为6，8，10}； (7) A?C?AC?{取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6，8，10}

?1??13?3. 在区间[0,2]上任取一数，记A??x?x?1?，B??x?x??，求下列事件的表达式：

2??2??4(1)A?B；(2)AB；(3)AB；(4)A?B.

?13?解 (1) A?B??x?x??;

2??4???11 (2) AB??x0?x?或1?x?2??B??x?x?2???4 (3) 因为A?B，所以AB??；

1?????x1?x?2??3??; 2?????13113(4)A?B?A??x0?x?或?x?2???x0?x?或?x?1或?x?2? 4. 用事件A,B,C42422????的运算关系式表示下列事件：

(1) A出现，B,C都不出现（记为E1）； (2) A,B都出现，C不出现（记为E2）； (3) 所有三个事件都出现（记为E3）； (4) 三个事件中至少有一个出现（记为E4）； (5) 三个事件都不出现（记为E5）； (6) 不多于一个事件出现（记为E6）； (7) 不多于两个事件出现（记为E7）； (8) 三个事件中至少有两个出现（记为E8）。 解 (1)E1?ABC； (2)E2?ABC； (3)E3?ABC； (4)E4?A?B?C；

(5)E5?ABC； (6)E6?ABC?ABC?ABC?ABC；

(7)E7?ABC?A?B?C；(8)E8?AB?AC?BC.

5. 一批产品中有合格品和废品，从中有放回地抽取三次，每次取一件，设Ai表示事件“第i次

抽到废品”，i?1,2,3，试用Ai表示下列事件：

(1) 第一次、第二次中至少有一次抽到废品；

(2) 只有第一次抽到废品； (3) 三次都抽到废品；

(4) 至少有一次抽到合格品； (2) 只有两次抽到废品。

解 (1)A1?A2； (2)A1A2A3； (3)A1A2A3；

(4)A1?A2?A3； (5)A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3.

6. 接连进行三次射击，设Ai={第i次射击命中}，i?1,2,3，B?{三次射击恰好命中二次}，

C?{三次射击至少命中二次}；试用Ai表示B和C。

解 B?A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3 C?A1A2?A1A3?A2A3

习题二解答

1．从一批由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件产品，求其中恰有1件次品的概率。

?50?解 这是不放回抽取，样本点总数n???3??，记求概率的事件为A，则有利于A的样本点数

???45??5?k???2????1??. 于是

?????45??5????????k?2??1???45?44?5?3!?99 P(A)??n50?49?48?2!392?50????3???2．一口袋中有5个红球及2个白球，从这袋中任取一球，看过它的颜色后放回袋中，然后，再从这袋中任取一球，设每次取球时袋中各个球被取到的可能性相同。求

(1) 第一次、第二次都取到红球的概率；

(2) 第一次取到红球，第二次取到白球的概率； (3) 二次取得的球为红、白各一的概率； (4) 第二次取到红球的概率。

解 本题是有放回抽取模式，样本点总数n?72. 记(1)(2)(3)(4)题求概率的事件分别为A,B,C,D.

25?5?(ⅰ)有利于A的样本点数kA?5，故 P(A)????

749??5?210(ⅱ) 有利于B的样本点数kB?5?2，故 P(B)?2?

49720(ⅲ) 有利于C的样本点数kC?2?5?2，故 P(C)?

497?5355?. (ⅳ) 有利于D的样本点数kD?7?5，故 P(D)?2?49773．一个口袋中装有6只球，分别编上号码1至6，随机地从这个口袋中取2只球，试求：(1) 最小号码是3的概率；(2) 最大号码是3的概率。

解 本题是无放回模式，样本点总数n?6?5.

(ⅰ) 最小号码为3，只能从编号为3，4，5，6这四个球中取2只，且有一次抽到3，因而有利

2?31?. 样本点数为2?3，所求概率为

6?55(ⅱ) 最大号码为3，只能从1，2，3号球中取，且有一次取到3，于是有利样本点数为2?2，

222?22?. 6?5154．一个盒子中装有6只晶体管，其中有2只是不合格品，现在作不放回抽样，接连取2次，每次取1只，试求下列事件的概率：

(1) 2只都合格；

(2) 1只合格，1只不合格； (3) 至少有1只合格。

解 分别记题(1)、(2)、(3)涉及的事件为A,B,C，则

?4???2??4?3?22?P(A)???? 6??6?5?25??2????所求概率为

?4??2???1????1??4?2?28?????P(B)?? 66?515?????2???注意到C?A?B，且A与B互斥，因而由概率的可加性知

2814P(C)?P(A)?P(B)???

515155．掷两颗骰子，求下列事件的概率：

(1) 点数之和为7；(2) 点数之和不超过5；(3) 点数之和为偶数。 解 分别记题(1)、(2)、(3)的事件为A,B,C,样本点总数n?62 (ⅰ)A含样本点(2,5),(5,2),(1,6),(6,1),(3,4),(4,3)

61?P(A)?2?

66(ⅱ)B含样本点(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(1,4),(4,1),(2,2),(2,3),(3,2)

105 ?P(B)?2?

186(ⅲ)C含样本点(1,1),(1,3),(3,1),(1,5),(5,1);(2,2),(2,4),(4,2),(2,6),(6,2),(3,3), (3,5),(5,3);(4,4),(4,6),(6,4);(5,5);(6,6), 一共18个样本点。

181 ?P(C)??

3626．把甲、乙、丙三名学生随机地分配到5间空置的宿舍中去，假设每间宿舍最多可住8人，试求这三名学生住不同宿舍的概率。

解 记求概率的事件为A，样本点总数为53，而有利A的样本点数为5?4?3，所以 5?4?312P(A)??. 32557．总经理的五位秘书中有两位精通英语，今偶遇其中的三位，求下列事件的概率： (1) 事件A：“其中恰有一位精通英语”； (2) 事件B：“其中恰有二位精通英语”； (3) 事件C：“其中有人精通英语”。

?5?解 样本点总数为??3??

???2??3???1????2??2?3?3!63???????； (1) P(A)?5?4?3105?5????3????2??3???2????1???????3?3!?3； (2) P(B)?5?4?310?5????3???(3) 因C?A?B，且A与B互斥，因而

339 P(C)?P(A)?P(B)???.

510108．设一质点一定落在xOy平面内由x轴、y轴及直线?y?1所围成的三角形内，而落在这三SxA 1 x?1/3的左边的概率。 角形内各点处的可能性相等，计算这质点落在直线y 解 记求概率的事件为A，则SA

为图中阴影部分，而|?|?1/2，

11?2?155? |SA|???????

22?3?2918h 最后由几何概型的概率计算公式可得

|S|5/1851/3 1 O P(A)?A??. x |?|1/29图2.3 9．（见前面问答题2. 3）

10．已知A?B，P(A)?0.4，P(B)?0.6，求

(1)P(A),P(B)；(2)P(A?B)；(3)P(AB)；(4)P(BA),P(AB)；(5)P(AB). 解 (1)P(A)?1?P(A)?1?0.4?0.6，P(B)?1?P(B)?1?0.6?0.4； (2)P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?P(A)?P(B)?P(A)?P(B)?0.6； (3)P(AB)?P(A)?0.4；

(4)P(BA)?P(A?B)?P(?)?0, P(AB)?P(A?B)?1?P(A?B)?1?0.6?0.4; (5)P(AB)?P(B?A)?0.6?0.4?0.2.

11．设A,B是两个事件，已知P(A)?0.5，P(B)?0.7，P(A?B)?0.8，试求P(A?B)及P(B?A). 解 注意到 P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)，因而P(AB)?P(A)?P(B) ?P(A?B)?0.5?0.7?0.8?0.4. 于是，P(A?B)?P(A?AB)?P(A)?P(AB) ?0.5?0.4?0.1；P(B?A)?P(B?AB)?P(B)?P(AB)?0.7?0.4?0.3.

2习题三解答

1．已知随机事件A的概率P(A)?0.5，随机事件B的概率P(B)?0.6，条件概率P(B|A)?0.8，试求P(AB)及P(AB).

解 P(AB)?P(A)P(B|A)?0.5?0.8?0.4

P(AB)?P(A?B)?1?P(A?B)?1?P(A)?P(B)?P(AB)

?1?0.5?0.6?0.4?0.3

2．一批零件共100个，次品率为10%，从中不放回取三次（每次取一个），求第三次才取得正品的概率。

10?9?90819??解 p?.

100?99?9899?9810783．某人有一笔资金，他投入基金的概率为0.58，购买股票的概率为0.28，两项投资都做的概率为0.19

(1) 已知他已投入基金，再购买股票的概率是多少？ (2) 已知他已购买股票，再投入基金的概率是多少？

解 记A?{基金}，B?{股票}，则P(A)?0.58,P(B)?0.28,P(AB)?0.19

P(AB)0.19??0.327. P(A)0.58P(AB)0.19??0.678. (2) P(A|B)?P(B)0.284．给定P(A)?0.5，P(B)?0.3，P(AB)?0.15，验证下面四个等式：

(1) P(B|A)?P(A|B)?P(A),P(A|B)?P(A), P(B|A)?P(B)，P(B|A)?P(B). P(AB)0.151???P(A) 解 P(A|B)?P(B)0.32P(AB)P(A)?P(AB)0.5?0.150.35????0.5?P(A) P(A|B)?P(B)1?P(B)0.70.7P(AB)0.15??0.3?P(B) P(B|A)?P(A)0.5P(AB)P(B)?P(AB)0.3?0.150.15????P(B) P(A)1?P(A)0.50.55．有朋自远方来，他坐火车、船、汽车和飞机的概率分别为0.3，0.2，0.1，0.4，若坐火车，迟到的概率是0.25，若坐船，迟到的概率是0.3，若坐汽车，迟到的概率是0.1，若坐飞机则不会迟到。求他最后可能迟到的概率。

P(B|A)?解 B?{迟到}，A1?{坐火车}，A2?{坐船}，A3?{坐汽车}，A4?{乘飞机}，则 B??BAi，

i?14且按题意

P(B|A1)?0.25，P(B|A2)?0.3，P(B|A3)?0.1，P(B|A4)?0.

由全概率公式有：

P(B)??P(Ai)P(B|Ai)?0.3?0.25?0.2?0.3?0.1?0.1?0.145

i?14 6．已知甲袋中有6只红球，4只白球；乙袋中有8只红球，6只白球。求下列事件的概率： (1) 随机取一只袋，再从该袋中随机取一球，该球是红球； (2) 合并两只袋，从中随机取一球，该球是红球。

解 (1) 记B?{该球是红球}，A1?{取自甲袋}，A2?{取自乙袋}，已知P(B|A1)?6/10，P(B|A2)?8/14，所以

161841 P(B)?P(A1)P(B|A1)?P(A2)P(B|A2)?????21021470147(2) P(B)??

24127．某工厂有甲、乙、丙三个车间，生产同一产品，每个车间的产量分别占全厂的25%，35%，40%，各车间产品的次品率分别为5%，4%，2%，求该厂产品的次品率。

解 0.25?0.05??0.35?0.04?0.4?0.02

?0.0125?0.0140?0.008?0.0345?3.45%

8．发报台分别以概率0.6，0.4发出\?\和\?\，由于通信受到干扰，当发出\?\时，分别以概率0.8和0.2收到\?\和\?\，同样，当发出信号\?\时，分别以0.9和0.1的概率收到\?\和\?\。求(1) 收到信号\?\的概率；(2) 当收到\?\时，发出\?\的概率。

解 记 B?{收到信号\?\}，A?{发出信号\?\} (1) P(B)?P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)

?0.6?0.8?0.4?0.1?0.48?0.04?0.52

P(A)P(B|A)0.6?0.812??(2) P(A|B)?.

P(B)0.52139．设某工厂有A,B,C三个车间，生产同一螺钉，各个车间的产量分别占总产量的25%，35%，40%，各个车间成品中次品的百分比分别为5%，4%，2%，如从该厂产品中抽取一件，得到的是次

品，求它依次是车间A,B,C生产的概率。

解 为方便计，记事件A,B,C为A,B,C车间生产的产品，事件D?{次品}，因此 P(D)?P(A)P(D|A)?P(B)P(D|B)?P(C)P(D|C) ?0.25?0.05?0.35?0.04?0.4?0.02 ?0.0125?0.014?0.008?0.0345

P(A)P(D|A)0.25?0.05P(A|D)???0.362

P(D)0.0345P(B)P(D|B)0.35?0.04P(B|D)???0.406

P(D)0.0345P(C)P(D|C)0.4?0.02P(C|D)???0.232

P(D)0.034510．设A与B独立，且P(A)?p,P(B)?q，求下列事件的概率：P(A?B)，P(A?B)，P(A?B). 解 P(A?B)?P(A)?P(B)?P(A)P(B)?p?q?pq

P(A?B)?P(A)?P(B)?P(A)P(B)?p?1?q?p(1?q)?1?q?pq P(A?B)?P(AB)?1?P(A)P(B)?1?pq

11．已知A,B独立，且P(AB)?1/9,P(AB)?P(AB)，求P(A),P(B). 解 因P(AB)?P(AB)，由独立性有

P(A)P(B)?P(A)P(B)

从而 P(A)?P(A)P(B)?P(B)?P(A)P(B) 导致 P(A)?P(B)

再由 P(AB)?1/9，有 1/9?P(A)P(B)?(1?P(A))(1?P(B))?(1?P(A))2 所以 1?P(A)?1/3。最后得到 P(B)?P(A)?2/3.

12．甲、乙、丙三人同时独立地向同一目标各射击一次，命中率分别为1/3，1/2，2/3，求目标被命中的概率。

解 记 B?{命中目标}，A1?{甲命中}，A2?{乙命中}，A3?{丙命中}，则 B??Ai，因

i?13而

?3?21118?P(B)?1?P?A?1?P(A)P(A)P(A)?1????1?? 123??i?32399.?i?1?13．设六个相同的元件，如下图所示那样安置在线路中，设每个元件不通达的概率为p，求这个装置通达的概率。假定各个元件通达与否是相互独立的。 1 2 解 记 A?{通达}，

Ai?{元件i通达}，i?1,2,3,4,5,6

3 4 则 A?A1A2?A3A4?A5A6， 所以

5 6 P(A)?P(A1A2)?P(A3A4)?P(A5A6)

图3.1 ?P(A1A2A3A4)?P(A3A4A5A6)?P(A1A2A5A6)?P(A1A2A3A4A5A6) ?3(1?p)2?3(1?p)4?(1?p)6

14．假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作，若一周五个工作日里每天是否发生故障相互独立，试求一周五个工作日里发生3次故障的概率。

?5?32解 p??2?3??(0.2)(0.8)?0.051.

??15．灯泡耐用时间在1000小时以上的概率为0.2，求三个灯泡在使用1000小时以后最多只有一个坏了的概率。

?3??3?32???解 p??. (0.2)??0.8?(0.2)?0.008?0.096?0.104?3??2?????16．设在三次独立试验中，事件A出现的概率相等，若已知A至少出现一次的概率等于19/27，求事件A在每次试验中出现的概率P(A).

解 记Ai?{A在第i次试验中出现}，i?1,2,3. p?P(A)

?3?193依假设 ??P?A?1?P(AAA)?1?(1?p)?i123??27?i?1?8所以， (1?p)3?， 此即 p?1/3.

2717．加工一零件共需经过3道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为2%、3%、5%. 假设各道工序是互不影响的，求加工出来的零件的次品率。

解 注意到，加工零件为次品，当且仅当1-3道工序中至少有一道出现次品。记 Ai?{第i道工序为次品}，i?1,2,3. 则次品率

?3?p?P???Ai???1?P(A1)P(A2)P(A3)?1?0.98?0.97?0.95?1?0.90307?0.097

?i?1?18．三个人独立破译一密码，他们能独立译出的概率分别为0.25，0.35，0.4. 求此密码被译出的概率。

解 记 A?{译出密码}， Ai?{第i人译出}，i?1,2,3. 则 ?3?P(A)?P???Ai???1?P(A1)P(A2)P(A3) ?i?1??1?0.75?0.65?0.6?1?0.2925?0.707519．将一枚均匀硬币连续独立抛掷10次，恰有5次出现正面的概率是多少？有4次至6次出现正面的概率是多少？

10?10??1?63?解 (1) ? ； ????5?2256????10?10??1?(2) ???k???2?.

k?4????20．某宾馆大楼有4部电梯，通过调查，知道在某时刻T，各电梯正在运行的概率均为0.75，求：

(1) 在此时刻至少有1台电梯在运行的概率； (2) 在此时刻恰好有一半电梯在运行的概率； (3) 在此时刻所有电梯都在运行的概率。

255解 (1) 1?(1?0.75)4?1?(0.25)4?

25622?4?3127????22?(2) ? (0.75)(0.25)?6????????2?44128??????681?3?(3) (0.75)????

256?4?44

习题四解答

1. 下列给出的数列，哪些是随机变量的分布律，并说明理由。

i（1）pi?,i?0,1,2,3,4,5；

15?5?i2?,i?0,1,2,3； （2）pi?61（3）pi?,i?2,3,4,5；

4i?1,i?1,2,3,4,5。 （4）pi?25解 要说明题中给出的数列，是否是随机变量的分布律，只要验证pi是否满足下列二个条件：其一条件为pi?0,i?1,2,?，其二条件为?pi?1。

i依据上面的说明可得（1）中的数列为随机变量的分布律；（2）中的数列不是随机变量的分布律，

5?94因为p3?（3）中的数列为随机变量的分布律；（4）中的数列不是随机变量的分布律，???0；

66520?1。 这是因为?pi?25i?1c2. 试确定常数c，使P?X?i??i,?i?0,1,2,3,4?成为某个随机变量X的分布律，并求：P?X?2?；

25??1P??X??。

2??24cc16解 要使i成为某个随机变量的分布律，必须有?i?1，由此解得c?；

312i?02（2） P?X?2??P?X?0??P?X?1??P?X?2?

16?11?28 ??1????

31?24?315?16?11?12?1（3）P??X???P?X?1??P?X?2??????。

2?31?24?31?23. 一口袋中有6个球，在这6个球上分别标有-3，-3，1，1，1，2这样的数字。从这袋中任取一球，设各个球被取到的可能性相同，求取得的球上标明的数字X的分布律与分布函数。

111解 X可能取的值为-3，1，2，且P?X??3??,P?X?1??,P?X?2??，即X的分布律为

326X -3 1 2 111 概率 326X的分布函数

0 x??3

1F?x??P?X?x?= ?3?x?1

35 1?x?2

6 1 x?2

4. 一袋中有5个乒乓球，编号分别为1，2，3，4，5，从中随机地取3个，以X表示取出的3个球中最大号码，写出X的分布律和分布函数。

解 依题意X可能取到的值为3，4，5，事件?X?3?表示随机取出的3个球的最大号码为3，则另两个球的只能为1号，2号，即P?X?3??11?；事件?X?4?表示随机取出的3个球的最大510????3?????3?1???2?????3；同理可得号码为4，因此另外2个球可在1、2、3号球中任选，此时P?X?4??10?5????3????4?1???2?????6。 P?X?5??10?5????3???X的分布律为

X 概率 3 1 104 3 105 6 10X的分布函数为

0 x?3

1 3?x?4 104 4?x?5

10 1 x?5

F?x??

5. 在相同条件下独立地进行5次射击，每次射击时击中目标的概率为0.6，求击中目标的次数X的分布律。

解 依题意X服从参数n?5,p?0.6的二项分布，因此，其分布律

?5?k5?kP?X?k????k??0.60.4,k?0,1,?,5，

??具体计算后可得 X 概率 0 32 31251 48 6252 144 6253 216 6254 162 6255 243 31256. 从一批含有10件正品及3件次品的产品中一件一件的抽取。设每次抽取时，各件产品被抽到的可能性相等。在下列三种情形下，分别求出直到取得正品为止所需次数X的分布律。

（1） 每次取出的产品立即放回这批产品中再取下一件产品； （2） 每次取出的产品都不放回这批产品中； （3） 每次取出一件产品后总是放回一件正品。

解 （1）设事件Ai,i?1,2,?表示第i次抽到的产品为正品，依题意，A1,?,An,?相互独立，且

P?Ai??10,i?1,2,?而 13P?X?k??PA1?Ak?1Ak?PA1?PAk?1???????3?P?Ak?????13?k?110,k?1,2,? 13即X服从参数p?P?X?1??10的几何分布。 13（2）由于每次取出的产品不再放回，因此，X可能取到的值为1，2，3，4，

103?105,P?X?2???,1313?1226

3?2?1053?2?1?101P?X?3???,P?X?4???.13?12?1114313?12?11?10286X的分布律为

X 概率 P?X?1??1 10 132 5 263 5 1434 1 286（3）X可能取到的值为1，2，3，4， 103?1133,P?X?2???,1313?13169

3?2?12723?2?16P?X?3???,P?X?4???.13?13?13219713?13?132197所求X的分布律为

X 概率 1 10 132 33 1693 72 21974 6 2197由于三种抽样方式不同，导致X的分布律也不一样，请仔细体会它们的不同处。 7. 设随机变量X~B?6,p?，已知P?X?1??P?X?5?，求p与P?X?2?的值。

k6?k解 由于X~B?6,p?，因此P?X?6??????p?1?p?,k?0,1,?,6。

?6??k?由此可算得 P?X?1??6p?1?p?5,P?X?5??6p5?1?p?, 即 6p?1?p?5?6p5?1?p?, 解得p?；

?6??1??1?此时，P?X?2????2???2??2???????26?212

6?5?1?15?????。 2!?2?646 8. 掷一枚均匀的硬币4次，设随机变量X表示出现国徽的次数，求X的分布函数。

解 一枚均匀硬币在每次抛掷中出现国徽的概率为，因此X服从n?4,p?的二项分布，即

?4??1??1?P?X?k????k?????????2??2?k4?k1212,k?0,1,2,3,4

由此可得X的分布函数

0， x?0

1， 0?x?1 165 F?x?? ， 1?x?2

1611 ， 2?x?3

1615 ， 3?x?4

16 1， x?4

9. 某商店出售某种物品，根据以往的经验，每月销售量X服从参数??4的泊松分布，问在月初进货时，要进多少才能以99%的概率充分满足顾客的需要？

解 设至少要进n件物品，由题意n应满足 P?X?n?1??0.99,P?X?n??0.99, 即 P?X?n?1???nn?14kk?0k!e?4?0.99

4k?4P?X?n???e?0.99

k?0k!查泊松分布表可求得 n?9。

10. 有一汽车站有大量汽车通过，每辆汽车在一天某段时间出事故的概率为0.0001，在某天该段时间内有1000辆汽车通过，求事故次数不少于2的概率。

解 设X为1000辆汽车中出事故的次数，依题意，X服从n?1000,p?0.0001的二项分布，即X~B?1000,0.0001?，由于n较大，p较小，因此也可以近似地认为X服从??np?1000?0.0001?0.1的泊松分布，即X~P?0.1?，所求概率为

P?X?2??1?P?X?0??P?X?1?0.10?0.10.11?0.1 ?1?e?e0!1!?1?0.904837?0.090484?0.004679.11. 某试验的成功概率为0.75，失败概率为0.25，若以X表示试验者获得首次成功所进行的试验次数，写出X的分布律。

解 设事件Ai表示第i次试验成功，则P?Ai??0.75，且A1,?,An,?相互独立。随机变量X取k意味着前k?1次试验未成功，但第k次试验成功，因此有

P?X?k??P?A1?Ak?1Ak??P?A1??P?Ak?1?P?Ak??0.25k?10.75

所求的分布律为 X 1 2 k … … 0.75 0.25?0.75 概率 … … 0.25k?1?0.75

12. 设随机变量X的密度函数为 f?x?? 2x， 0?x?A 0， 其他， 试求：（1）常数A；（2）X的分布函数。

解 （1）f?x?成为某个随机变量的密度函数必须满足二个条件，其一为f?x??0；其二为

?????f?x?dx?1，因此有?02xdx?1，解得A??1，其中A??1舍去，即取A?1。

A（2）分布函数

F?x??P?X?x?????f?x?dx

x???0dx = ???0dx??02xdx00xxx?0 0?x?1

x???0dx??02xdx??10dx011x?1x?0 = x2 0?x?1

x?113. 设随机变量X的密度函数为f?x??Ae?x,???x???，求：（1）系数A；（2）P?0?X?1?；（3）

X的分布函数。

??解 （1）系数A必须满足???Ae?xdx?1，由于e?x为偶函数，所以

???????x?x?x???Aedx?2?0Aedx?2?0Aedx?1

解得A?；

（2）P?0?X?1???0e?xdx??0e?xdx?（3）F?x?????x111112

2f?x?dx

1211?e?1； 2?? =

x?x???2edxx?01?xx1?x???2edx??02edx0x

x?0

1xx?0???2edx =

01x1x?xx?0edx?e???2?02dx1xx?0e = 2

11?1?e?xx?0221xx?0e = 2

1?x1?ex?02??14. 证明：函数

xf?x?? ce0?x22cx?0

x?0 （c为正的常数）

为某个随机变量X的密度函数。 证 由于f?x??0，且???f?x?dx????e????x?cx22cdx???0e???x2?2cd????x????e2c??2?x22c???1，

0因此f?x?满足密度函数的二个条件，由此可得f?x?为某个随机变量的密度函数。 15. 求出与密度函数

0.5exx?0f?x?? 0.25 0?x?2

0x?2对应的分布函数F?x?的表达式。

解 当x?0时，F?x?????f?x?dx????0.5exdx?0.5ex

xx当0?x?2时，F?x?????f?x?dx????0.5exdx??00.25dx?0.5?0.25x

x0x当x?2时，F?x?????0.5exdx??00.25dx??20dx?0.5?0.5?1

02x综合有

x?0;0.5ex,F?x?? 0.5?0.25x, 0?x?2;

x?2.1,16. 设随机变量X在?1,6?上服从均匀分布，求方程t2?Xt?1?0有实根的概率。

解 X的密度函数为

1, 1?x?6； 5 0, 其他.

f?x??

方程t2?Xt?1?0有实根的充分必要条件为X2?4?0，即X2?4，因此所求得概率为

461PX2?4?P?X??2或X?2??P?X??2??P?X?2??0??2dx?。

55?? 17. 设某药品的有效期X以天计，其概率密度为

f?x??

20000?x?100?3, x?0;

0， 其他.

求：(1) X的分布函数；(2) 至少有200天有效期的概率。

x?0;0,解 (1) F?x?????f?x?dx= x 20000

dx,?0?x?100x?0.?3x?0;0, = 10000

1?,x?0.?x?100?2x(2)P?X?200??1?P?X?200??1?F?200??1???1???10000?200?100?2?1?? 。 ?9? 18. 设随机变量X的分布函数为

x?0

1??1?x?e?x,x?0求X的密度函数，并计算P?X?1?和P?X?2?。

F?x?? 0,

解 由分布函数F?x?与密度函数f?x?的关系，可得在f?x?的一切连续点处有f?x??F??x?，因此

x?0xe?x, f?x?? 其他0,所求概率P?X?1??F?1??1??1?1?e?1?1?2e?1；

19. 设随机变量X的分布函数为F?x??A?Barctanx,???x???，求(1) 常数A,B；(2)P?X?1?；(3) 随机变量X的密度函数。

P?X?2??1?P?X?2??1?F?2??1?1??1?2?e?2?3e?2。

??解：(1)要使F?x?成为随机变量X的分布函数，必须满足limF?x??0,limF?x??1，即

x???x???lim?A?Barctanx??0lim?A?Barctax?n?1x???x???

B?0A??2计算后得

A?B?121A?2 解得

1B??

?1111时，F?x???arctanx也满足分布函数其余的几条性质。

2?2?（2） P?X?1??P??1?X?1??F?1??F??1?

另外，可验证当A?,B??11?11??arctan1???arctan??1?? 2??2??1?1???????????? ?4??4?21,???x???。 2?1?x（3）X的密度函数

f?x??F??x???? 20. 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间（单位：min）服从??的指数分布，其密度函数

xx?01?5为f?x?? 5e, ，某顾客在窗口等待服务，若超过10min，他就离开。

其他015（1）设某顾客某天去银行，求他未等到服务就离开的概率；

（2）设某顾客一个月要去银行五次，求他五次中至多有一次未等到服务的概率。

解 （1）设随机变量X表示某顾客在银行的窗口等待服务的时间，依题意X服从??的指数分布，且顾客等待时间超过10min就离开，因此，顾客未等到服务就离开的概率为

P?X?10???10??151?5edx?e?2； 5x（2）设Y表示某顾客五次去银行未等到服务的次数，则Y服从n?5,p?e?2的二项分布，所求概率为

P?Y?1??P?Y?0??P?Y?1??5??2???0??e?????1?e?0?25?5??2?2???1??e1?e????4

?1?4e?21?e?2????421. 设X服从??0,1?，借助于标准正态分布的分布函数表计算：（1）P?X?2.2?；（2）

P?X?176?；（3）P?X??0.78?；（4）P?X?1.55?；（5）P?X?2.5?。

解 查正态分布表可得

（1）P?X?2.2????2.2??0.9861；

（2）P?X?1.76??1?P?X?1.76??1???1.76??1?0.9608?0.0392； （3）P?X??0.78?????0.78??1???0.78??1?0.7823?0.2177； （4）P?X?1.55??P??1.55?X?1.55????1.55?????1.55?

???1.55???1???1.55???2??1.55??1?2?0.9394?1?0.8788 （5）

P?X?2.5??1?P?X?2.5??1??2??2.5??1?

?2?2??2.5??2?1?0.9938??0.0124。

22. 设X服从???1,16?，借助于标准正态分布的分布函数表计算：（1）（2）P?X?2.44?；P?X??1.5?；（3）P?X??2.8?；（4）P?X?4?；（5）P??5?X?2?；（6）P?X?1?1?。

解 当X~???,?2?时，P?a?X?b????数表可求得

?2.44?1?????0.86??0.8051；

?4???1.5?1?（2）P?X??1.5??1?????1????0.125?

4???1??1???0.125?????0.125??0.5498；

?b????a????????，借助于该性质，再查标准正态分布函??????（1）P?X?2.44??????2.8?1??????0.45??1???0.45??1?0.6736?0.3264； 4???4?1???4?1?（4）P?X?4????????????1.25?????0.75?

44???????1.25??1???0.75??0.8944?1?0.7734?0.6678；

（3）P?X??2.8????（5）P??5?X?2???????0.75????1??1?0.7734?0.8413?1?0.9321；

?2?1???5?1?????????0.75?????1? 44????（6）P?X?1?1??1?P?X?1?1??1?P?0?X?2??1??????2?1??0?1???????? 44???????1???0.75????0.25??1?0.7724?0.5987?0.8253。

23. 某厂生产的滚珠直径服从正态分布??2.05,0.01?，合格品的规格规定为2?0.2，求该厂滚珠的合格率。

解 所求得概率为

?2.2?2.05??1.8?2.05?P?2?0.2?X?2?0.2?????????0.10.1???????1.5?????2.5????1.5??1???2.5? ?0.9332?1?0.9938?0.92724. 某人上班所需的时间X~??30,100?（单位：min）已知上班时间为8：30，他每天7：50出

门，求：（1）某天迟到的概率；（2）一周（以5天计）最多迟到一次的概率。

解 （1）由题意知某人路上所花时间超过40分钟，他就迟到了，因此所求概率为

?40?30?P?X?40??1?????1???1??1?0.8413?0.1587；

?10?（2）记Y为5天中某人迟到的次数，则Y服从n?5,p?0.1587的二项分布，5天中最多迟到一

次的概率为

?5??5?054?????????P?Y?1???0.1587?0.8413?0.1587?0.8413?0.8192。 ?1??1?????

习题五解答

1. 二维随机变量?X,Y?只能取下列数组中的值：?0,0?,??1,1?,??1,?,?2,0?，且取这些组值的概率依次为,,1115,，求这二维随机变量的分布律。

631212解 由题意可得?X,Y?的联合分布律为

??1?3?X\\Y -1 0 0 0 1 31 121 1 31 0 0 65 2 0 0 122. 一口袋中有四个球，它们依次标有数字1,2,2,3。从这袋中任取一球后，不放回袋中，再从袋中任取一球。设每次取球时，袋中每个球被取到的可能性相同。以X、Y分别记第一、二次取到的球上标有的数字，求?X,Y?的分布律及P?X?Y?。

解 X可能的取值为1,2,3，Y可能的取值为1,2,3，相应的，其概率为

1?211?11?,P?X?1,Y?3???,4?364?3122?112?112?11P?X?2,Y?1???,P?X?2,Y?2???,P?X?2,Y?3???,

4?364?364?3611?21P?X?3,Y?1??,P?X?3,Y?2???,P?X?3,Y?3??0.124?36P?X?1,Y?1??0,P?X?1,Y?2??或写成

X\\Y 1 1 0 2 3 11 612111 2 66611 3 0 6121P?X?Y??P?X?1,Y?1??P?X?2,Y?2??P?X?3,Y?3??。

63. 箱子中装有10件产品，其中2件为次品，每次从箱子中任取一件产品，共取2次，定义随机变量X、Y如下：

X= 0， 若第一次取出正品； Y= 0， 若第二次取出正品； 1， 若第一次取出次品； 1， 若第二次取出次品。 分别就下面两种情况求出二维随机变量?X,Y?的联合分布律：（1）放回抽样；（2）不放回抽样。

解 （1）在放回抽样时，X可能取的值为0,1，Y可能取的值也为0,1，且

8?8168?24?,P?X?0,Y?1???,10?102510?1025 2?842?21P?X?1,Y?0???,P?X?1,Y?1???,10?102510?1025P?X?0,Y?0??或写成

X\\Y 0 1 0 16 254 251 4 251 25（2）在无放回情形下，X、Y可能取的值也为0或1，但取相应值的概率与有放回情形下不一样，具体为

8?7288?28?,P?X?0,Y?1???,10?94510?945

2?882?11P?X?1,Y?0???,P?X?1,Y?1???,10?94510?945P?X?0,Y?0??或写成

即Y的分布律为

Y 概率

3. 设X的密度函数为f?x??

0?x?1;2x, 求以下随机变量的密度函数：（1）2X；（2）?X?1；0,其他,0 2e?1 1 1?2e?1 （3）X2。

解 求连续型随机变量的函数的密度函数可通过先求其分布函数，然后再求密度函数。如果y?g?x?为单调可导函数，则也可利用性质求得。

（1）解法一：设Y?2X，则Y的分布函数

y??FY?y??P?Y?y??P?2X?y??P?X??

2??0y?02yy2= ?02xdx 0??1 =

2y?1122xdx?00y?0y2 0?y?2 41y?2y0?y?2 fY?y??FY??y?? 2

其他0y1解法二：y?2x，x??h?y?，而h??y??，则

22fY?y??fX?h?y??h??y?

y1y?,0??1 = 22 20,其他y0?y?2, = 2

其他0（2）设Y??X?1，则x?1?y?h?y?,h??y???1，Y的密度函数

2?fY?y??fX?h?y??h??y??

2?1?y?????102?y?1?

0?1?y?1 = 0

其他0?1?y?1

其他

（3）设Y?X2，由于X只取?0,1?中的值，所以y?x2也为单调函数，其反函数

h?y??y,h??y??11，因此Y的密度函数为 2yfY?y??fX?h?y??h??y??

2y?0,11,0?y?12y

其他1,0?y?1 0,其他4. 对圆片直径进行测量，测量值X服从?5,6?上的均匀分布，求圆面积Y的概率密度。

1解 圆面积Y??X2，由于X均匀取?5,6?中的值，所以X的密度函数

4 =

fX?x??

1,0,

5?x?6;其他.

且y??x2为单调增加函数?x??5,6??，其反函数

h?y??4y14??2y?,h??y??2111， ?2?y?y?Y的密度函数为

?6; ?y ?0,其他,125,??y?9?; = ?y 4

其他.0,fY?y??fX?h?y??h??y?? 1,5?2y 5. 设随机变量X服从正态分布??0,1?，试求随机变量的函数Y?X2的密度函数fY?y?。 1?x22e,???x???， 解 X~??0,1?，所以fX?x??此时y?x2不为单调函数不能直接利用性2?质求出fY?y?。须先求Y的分布函数FY?y?。

0y?0;2FY?y??P?Y?y??P?X?y??

y?0,P?y?X?y??P?y?X??y???y?yfX?x?dx??y12??yey?x22dx.

1fY?y??FY??y??

2?0,e?2y12y?2y?12?e?212y

,y?0;其他,

1 =

2?ye,

y?0;其他.

0,6. 设随机变量X服从参数为1的指数分布，求随机变量的函数Y?eX的密度函数fY?y?。

x?0;e?x,解 fX?x??

其他.0,1y?ex的反函数h?y??lny,h??y??，因此所求的Y的密度函数为

y1e?lny,lny?0;?y fY?y??fX?h?y??h?y??

其他,0,1,y?1;2 = y

其他.0,7. 设X服从??0,1?，证明?X?a服从??a,?2?,其中a,?为两个常数且??0。

1?x22e,???x???，记Y??X?a，则当??0时，证明 由于X~??0,1?,所以fX?x??2?y?a1,h??y??,因此Y的密度函数为y??x?a为单增函数，其反函数h?y????fY?y??fX?h?y??h??y??12?即证明了?X?a~??a,?2?。

e1?y?a????2???2?1??12??e??y?a?22?2,???y???，

1,若X?；08. 设随机变量X在区间??1,2?上服从均匀分布，随机变量Y? 0,若X?；0 ?1,若X?0.试求随机变量函数Y的分布律。

1?1?x?2;,解 X~R??1,2?，则f?x?? 3

其他.0,011而 P?Y??1??P?X?0???dx?；

?133P?Y?0??P?X?0??0；

212P?Y?1??P?X?0???dx?。

033因此所求分布律为

Y -1 0 1 12 0 概率 339. 设二维随机变量?X,Y?的分布律 X\\Y １ ２ ３ 111 １ 4481 ０ ０ ２ 811 ０ ３ 88求以下随机变量的分布律：（１）X?Y；（２）X?Y；（３）2X；（４）XY。

解 111111 概率 ０ ０ ０ 448888?X,Y? ?1,1? ?1,2? ?1,3? ?2,1? ?2,2? ?2,3? ?3,1? ?3,2? ?3,3? ３ ４ ３ ４ ５ ４ ５ ６ X?Y ２ -2 1 0 -1 2 1 0 -１ X?Y ０ 1 2 3 2 4 6 3 6 9 XY 从而得到 （1）

X?Y ２ ３ ４ ５ 1311 概率 4848（２）

1 0 2 X?Y -２ -1 11111 概率 84448

（３）从联合分布律可求得Ｘ的边缘分布律为 Ｘ １ ２ ３ 511 概率 884由此得2X的分布律为

Ｘ ２ ４ ６

概率

（４）

5 81 81 41 2 3 6 1311 概率 4848?1??1?１０. 设随机变量Ｘ、Ｙ相互独立，X~B?1,?,Y~B?1,?,

?4??4?（１）记随机变量Z?X?Y，求Z的分布律； （２）记随机变量U?2X，求U的分布律。

从而证实：即使Ｘ、Ｙ服从同样的分布，X?Y与2X的分布并不一定相同，直观地解释这一结论。

?1??1??1?解（１）由于X~B?1,?,Y~B?1,?，且Ｘ与Ｙ独立，由分布可加性知X?Y~B?2,?，即

?4??4??4?k2?k?2??1??3?P?Z?k??P?X?Y?k????k???4??4?,k?0,1,2,经计算有

??????０ １ ２ Z 619 概率 161616（２）由于

０ １ X 31 概率 44因此

U?2X ０ ２ 31 概率 44

易见X?Y与2X的分布并不相同。直观的解释是的X?Y与2X的取值并不相同，这是因为X与Y并不一定同时取同一值，因而导致它们的分布也不同。 １１. 设二维随机变量?X,Y?的联合分布律为

X\\Y １ ２ ３ 1 ０ ０ １ 921 ０ ２ 99221 ３ 999（１）求U?max?X,Y?的分布律； （２）求V?min?X,Y?的分布律。

解 （１）随机变量U可能取到的值为１，２，３中的一个，且

XY 1P?U?1??P?max?X,Y??1??P?X?1,Y?1??;9P?U?2??P?max?X,Y??2??P?X?1,Y?2??P?X?2,Y?1??P?X?2,Y?2?211??;993P?U?3??P?max?X,Y??3??0??P?X?1,Y?3??P?X?2,Y?3??P?X?3,Y?1??P?X?3,Y?2??P?X?3,Y?3??0?0?2215???;9999综合有

１ ２ ３ 115 概率 939（２）随机变量V可能取到的值为１，２，３中的一个，且

P?V?1??P?min?X,Y??1???P?X?1,Y?1??P?X?1,Y?2??P?X?1,Y?3??P?X?2,Y?1??P?X?3,Y?1?同理可求得1225?0?0???;9999U 11P?V?2??,P?V?3??,综合有

39１ ２ ３ 511 概率 939 １２. 设二维随机变量?X,Y?服从在Ｄ上的均匀分布，其中Ｄ为直线x?0,y?0，x?2,y?2所围成的区域，求X?Y的分布函数及密度函数。

解 ?X,Y?的联合密度函数为

V y Dz 2 -2 0 2 x 图6.2 ?1?,f(x,y)??4??0?x?2,0?y?2;0,其他. 设Z?X?Y，则Z的分布函数

FZ?z??P?Z?z??P?X?Y?z? ???f?x,y?dxdyDzz其中区域Dz???x,y?:x?y?z?，

当z??2时，积分区域见图6.2，此时

FZ?z????0dxdy?0

Dz当?2?z?0时，积分区域见Dz图

y 2 Dz 6.3，此时

F?z????f?x,y?dxdy?1ZD??zDz?4dxdy?14?区域Dz?的面积 ?14?12?2?z?2?128?2?z?-2 0 图2 6.3 x 其中Dz?是区域Dz限在0?x?2,0?y?2 y 当0?z?2时，积分区域Dz见图6.4，此时

2 F?z????f?x,y?dxdy???1Zdxdy DzDz?4 Dz ?14?区域Dz?的面积 1

??1?24???4?2??2?z???-2 0 2 x ?1?1图6.4 8?2?z?2其中Dz?是区域Dz限在0?x?2,0?y?2中 当z?2时，积分区域Dz见图6.5，此时

y F Z?z????f?x,y?dxdy?1。

2 Dz综合有

0,Dz 18?2?z?2,FZ?z??

-2 0 2 x 1?18?2?z?2,图6.5 1,Z的密度函数

14?2?z?,?2?z?0;f??z?? 1Z?z??FZ4?2?z?, 0?z?2;

0,其他.13. 设?X,Y?的密度函数为f?x,y?，用函数f表达随机变量X?Y的密度函数。解 设Z?X?Y,则Z的分布函数

z??2;?2?z?0;

0?z?2;z?2,中的那部分。

的那部分。 FZ?z??P?Z?z??P?X?Y?z??x?y?z??f?x,y?dxdy??????dx?z?x??f?x,y?dxdy。

对积分变量y作变换u?x?y，得到

?z?x??f?x,y?dy??????z于是 FZ?z???FZ?z???z??????z???????f?x,u?x?dx?du

??????f?x,u?x?du

f?x,u?x?dudx，交换积分变量x,u的次序得

从而，Z的密度函数为fZ?z???

f?x,z?x?dx，

????把X与Y的地位对换，同样可得到Z的密度函数的另一种形式fZ?z???f?z?y,y?dy。

习题七解答

1. 设X的分布律为，

X 概率 -1 0 1 21 2 11 124 求（1）EX，（2）E(?X?1)，（3）E(X2)，（4）DX。 解 由随机变量X的分布律，得 1 X -1 0 1 2 21 -X+1 2 1 0 -1 21 X2 1 0 1 4 411111 P 366124所以

1111111 E?X??(?1?)??0????1??2?

362612431111112?????0??(?1)? E??X?1??2??13626124311111135???4? E?X2??1??0????1

364612424351972)?(E(X2)?)?2(?) D(X)?E(X24372

另外，也可根据数学期望的性质可得：

12E??X?1???E?X??1???1?

332.设随机变量X服从参数为????0?的泊松分布，且已知E??X?2??X?3???2，求?的值。 解

1 31 61 6?D?X???E?X????5E?X??6?22E??X?2??X?3???EX2?5X?6?EX2?5E?X??6?22????

????5??4?0??2

3. 设X表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次命中目标的概率为0.4，试求X2的数学期望E?X2?。

解 X~B?10,0.4?

所以 E?X??10?0.4?4,D?X??10?0.4?0.6?2.4

故 E?X2??D?X???E?X???2.4?42?18.4

4. 国际市场每年对我国某种出口商品的需求量X是一个随机变量，它在[2000，4000]（单位：吨）上服从均匀分布。若每售出一吨，可得外汇3万美元，若销售不出而积压，则每吨需保养费1万美元。问应组织多少货源，才能使平均收益最大？

解 设随机变量Y表示平均收益（单位：万元），进货量为a吨

2Y=

则

3X??a?X?3aa

x?a x?a400011E?Y????4x?a?dx??3adx2000a20002000

1??2a2?14000a?80000002000要使得平均收益E?Y?最大，所以

??2a2?14000a?8000000?0

得 a?3500（吨）

5. 一台设备由三大部件构成，在设备运转过程中各部件需要调整的概率相应为0.1，0.2，0.3，假设各部件的状态相互独立，以X表示同时需要调整的部件数，试求X的数学期望E?X?和方差D?X?。

解 X的可能取值为0，1，2，3，有 P?X?0??0.9?0.8?0.7?0.504????P?X?1??0.1?0.8?0.7?0.9?0.2?0.7?0.9?0.8?0.3?0.398

P?X?2??0.1?0.2?0.7?0.9?0.2?0.3?0.1?0.8?0.3?0.092P?X?3??0.1?0.2?0.3?0.006所以X的分布律为

X 0 1 2 3 Pr 0.504 0.398 0.092 0.006 E?X??0?0.504?1?0.398?2?0.092?3?0.006?0.6EX2?02?0.504?12?0.398?22?0.092?32?0.006?0.82 D?X??0.82??0.6??0.462??6. 设X的密度函数为f?x??1?x（2）E?X2?。 e，求（1）E?X?；

2??1?x解 （1）E?X???x?edx?0

??2????1221?x （2）EX??x?edx?2?x2e?xdx?2

??022??注：求解（1）时利用被积函数是奇函数的性质，求解（2）时化简为?x2e?xdx可以看成为是

0??服从参数为1的指数分布随机变量的二阶原点矩。

?2(1?x),0?x?1 7. 某商店经销商品的利润率X的密度函数为f(x)??，求EX,DX。

其他?011解 （1）E?X???x?2(1?x)dx?

03112 （2）E?X???x2?2(1?x)dx?

06111故D(X)?E(X2)?(E(X))2??()2?

63188. 设随机变量X的密度函数为

f?x?? e?x x?0

0 x?0

求E?X?、E?2X?、E?X?e?2X?、D?X?。

解

E?X?????0xe?xdx?1E?2X??2E?X??2

?2X??E?X?eE?X2?2X??E?X??E?e??1??x2e?xdx?22014eedx?1??e?3xdx?1??033?2x?x???????0

D?X??E?X2???E?X???19. 设随机变量?X,Y?的联合分布律为

X\\Y 0 1 0 0.3 0.2 1 0.4 0.1 求E?X?、E?Y?、E?X?2Y?、E?3XY?、D?X?、D?Y?、cov?X,Y?、?X,Y。 解 关于X与Y的边缘分布律分别为： X 0 1 Pr 0.5 0.5 E?X??0?0.5?1?0.5?0.5 Y Pr 0 0.7 1 0.3 E?X2??02?0.5?12?0.5?0.5D?X??0.5??0.5??0.25E?Y??0?0.7?1?0.3?0.322E?Y2??02?0.7?12?0.3?0.3D?Y??0.3??0.3??0.21E?X?2Y??E?X??2E?Y??0.5?2?0.3??0.1E?3XY??3E?XY??3?0?0?0.3?0?1?0.2?1?0?0.4?1?1?0.1??3?0.1?0.3cov?X,Y??E?XY??E?X??E?Y??0.1?0.5?0.3??0.05

?X,Y?cov?X,Y?D?X?D?Y???0.050.250.21??212110. 设随机变量X,Y相互独立，它们的密度函数分别为

y?0x?02e?2x4e?4yfX?x?? fY?y??

y?0x?000求D?X?Y?。

解 X~E?2?，所以D?X??11?， 224Y~E?4?，所以D?Y??11， ?2164X,Y相互独立，所以

5。 1611. 设?X,Y?服从在A上的均匀分布，其中A为x轴、y轴及直线x?y?1?0所围成的区域，求（1）E?X?；（2）E??3X?2Y?；（3）E?XY?的值。

解 先画出A区域的图 y

-1 x 0 x

A f?x,y?? 2

D?X?Y??D?X??D?Y?? -1-y y

-1 0 其他 f0Y?y???????f?x,y?dx? ??12?ydx?2?1?y? ?1?y?0 0 其他E?X???0?1x?2?1?x?dx??13E?Y???01?1y?2?1?y?dy??3E??3X?2Y???3E?X??2E?Y???3???1??1?1

??3???2????3???3E?XY???0?1?0?1?xxy2dydx??0?1?x?1?x?2dx?1?1212. 设随机变量X,Y?的联合密度函数为 f?x,y?? 12y2 0?y?x?1

0 其他 求E?X?,E?Y?,E?XY?,E?X2?Y2?,D?X?,D?Y?。

解 先画出区域0?y?x?1的图

y 1

G 0 1 x

0?y?1

?x,y??A 0 其他

fX?x???????f?x,y?dy? ?0?x?12dy?2?1?x? ?1?x?0

fX?x???????f?x,y?dy?

?x2012ydy?4x3 0?x?1

其他

fY?y???????f?x,y?dx?

?112y2dy?12y2y?1?y?0

0 其他

14E?X???x?4x3dx?0513 E?Y???y?12y2?1?y?dy?

051X1E?XY????xy?12y2dydx?002E?X2?Y2??E?X2??E?Y2???x2?4x3dx??y2?12y2?1?y?dy?00111615

D?X??E?X2???E?X??224?4?2?????6?5?75226?3?1D?Y??E?Y2???E?Y???????15?5?7513. 设随机变量X,Y相互独立，且E?X??E?Y??1,D?X??2,D?Y??3，求D?XY?。 解

2D?XY??E?X2Y2???E?XY???EX2EY2??E?X??E?Y???D?X???E?X??D?Y???E?Y????E?X???E?Y????2?1??3?1??1?1?1114. 设D?X??25,D?Y??36,?X,Y?0.4，求（1）D?X?Y?；（2）D?X?Y?。

2222?????2???

解：（1）D?X?Y??D?X??D?Y??2?X,YD?X?D?Y?

?25?36?2?0.4?25?36?85

（2）D?X?Y??D?X??D?Y??2?X,YD?X?D?Y?

?25?36?2?0.4?25?36?37

15. 设随机变量X,Y相互独立，X~N(1,1)，Y~N(?2,1)，求E(2X?Y),D(2X?Y)。 解 E(X)?1,D(X?)1; (EY(??)D2,Y?E(2X?Y)?2E(X?)E(Y?)?2?1?(2?)0 2D(2X?Y)?2D(X?)D(Y?)?4?1?15 16. 验证：当(X,Y)为二维连续型随机变量时，按公式EX?????????????????????????????xf(x,y)dydx及按公式

EX??xf(x)dx算得的EX值相等。这里，f(x,y)、f(x)依次表示(X,Y),X的分布密度。

证明 EX?????x(f,x)yd?y?dx???x(,f)x?y?dyd(xxfx)dx

?? 17. 设X的方差为2.5，利用契比晓夫不等式估计P{X?EX?7.5}的值。

D(X)2.51?? 解 P{X?EX?7.5}? 227.57.522.518. 设随机变量X和Y的数学期望分别为-2和2，方差分别为1和4，而相关系数为-0.5，根据切比雪夫不等式估计P?X?Y?6?的值。

解 E?X?Y??E?X??E?Y???2?2?0

D?X?Y??D?X??D?Y??2?X,YD?X?D?Y??1?4?2???0.5?1?4?3

所以

P?X?Y?6??P?X?Y?0?6?

?P?X?Y?E?X?Y??6? ?D?X?Y?1?126221. 在人寿保险公司里有3000个同龄的人参加人寿保险。在1年内每人的死亡率为0.1%，参加保险的人在1年的第一天交付保险费10元，死亡时家属可以从保险公司领取2000元。试用中心极限定理求保险公司亏本的概率。

解 设死亡人数为X,X~B?3000,0.001?，保险公司亏本当且仅当2000X?10?3000，即X?15。于是，由棣莫弗—拉普拉斯定理，公司亏本的概率为

?X?np15?np???P?X?15??P??np?1?p?np?1?p????15?3??x?3?p?? ?3?0.9991.73???1???6.93??0

习题九解答

1. 设X1,X2,?,X6是来自服从参数为?的泊松分布P???的样本，试写出样本的联合分布律。 解 f?x1,x2,?,x6??e???x1x1!n?e???x2x2!???e???x6x6!

?e?6??6?xii?1?x!ii?1 x1,x2,?,x6?0,1,2,?

2. 设X1,X2,?,X6是来自?0,??上的均匀分布的样本，??0未知 （1）写出样本的联合密度函数；

（2）指出下列样本函数中哪些是统计量，哪些不是？为什么？

T1?X1?X2???X6,T2?X6??,T3?X6?E?X1?,T4?max?X1,X2,?,X6?

6（3）设样本的一组观察是：0.5,1,0.7,0.6,1,1,写出样本均值、样本方差和标准差。 解

（1）f?x1,x2,?,x6?? ??6 0?x1,x2,?,x6?? 0 其他

（2）T1和T4是，T2和T3不是。因为T1和T4中不含总体中的唯一未知参数?，而T2和T3中含有未知参数?。

（3）样本均值X??Xi??Xi?21nni?121n样本方差S???Xi?X?ni?11222222???0.3???0.2????0.1????0.2???0.2???0.2??0.0433 6161?0.5?1?0.7?0.6?1?1??0.8

6i?16216???Xi?X? 6i?1??样本标准差S?S2?0.0433?0.2082。

22 3. 查表求?0.99(12)，?0.01(12)，t0.99(12)，t0.01(12)。

22(12)?26.217，?0.01(12)?3.571，t0.99(12)?2.6810，t0.01(12)??2.6810。 解 ?0.99 4. 设T~t?10?，求常数c，使P?T?c??0.95。

解 由t分布关于纵轴对称，所以P?T?c??0.95即为P?T??c??0.05。 由附表5.6可查得?c?1.81，所以c??1.81。

5. 设X1,X2,?,Xn是来自正态总体??0,?2?的样本，试证： （1）

1?22?n?； X~??i2i?12n1?n?（2）2??Xi?~?2?1?。

n??i?1?证明：

1n2?Xi?2（1）独立同分布于??0,1?，由?分布的定义，???~??n?，即2?Xi~?2?n?。

??i?1i?1???Xi2n2（2）易见，?Xi~??0,n?2?ni?12?n???Xi??Xi?~?2?1?，即~??0,1?，由?2分布的定义，?i?1，即i?1?n?2?n?2????n21?n?X~?2?1?。 2??i?n??i?1? 6. 设X1,X2,?,X5是独立且服从相同分布的随机变量，且每一个Xi?i?1,2,?,5?都服从??0,1?。

2?服从?2分布，并指出它的自由度； （1）试给出常数c，使得c?X12?X2（2）试给出常数d，使得dX1?X22X3?2X4?2X5服从t分布，并指出它的自由度。

解

2（1）易见，X12?X2即为二个独立的服从??0,1?的随机变量平方和，服从?2?2?分布，即c?1；自由度为2。

（2）由于X1?X2~??0,2?，则

22?X5~?2?3?，又X32?X4X1?X22~??0,1?。

X1?X222X422?X5与X32?X4相互独立，则

?即 即d?62?X1?X2???X1?X22X322X52X3?3~t?3?

?2X4?2X5~t?3?

6，自由度为3。 2 7. 设?X1,X2,?,Xn?是取自总体X的一个样本，在下列三种情况下，分别求E?X?,D?X?,ES2：（1）

??X~B?1,p?；（2）X~E???；（3）X~R?0,2??，其中??0。

解

（1）X~B?1,p?

E?X??p,E?X2??p,D?X??p?1?p? ?1n?1nE?X??E??Xi???E?Xi??p?ni?1?ni?1p?1?p??1n?1n D?X??D??Xi??2?D?Xi??

n?ni?1?ni?1

2?1?n21?n?1n?2?E?S??E???Xi?X?n??E??Xi?nX????E?Xi2??nE?X2???ni?1?n?i?1?n?i?1?2?21?n???D?Xi???E?Xi???nD?X??E?X??n?i?1?2????????p?1?p?1?2???np?n??p??n?n??????1???1??p?1?p??n?（2）X~E???

E?X??E?X??1

?1,D?X??1?2,?1D?X??2n?1?n222ES???D?Xi???E?Xi???nD?X???E?X??n?i?1（3）X~R?0,2??，其中??0

E?X???

?1????????1?1?n???????2D?X???23E?X???D?X??ES

?2??23n1?n22???D?Xi???E?Xi???nD?X???E?X??n?i?1????2??1?????1-n?3??? 8. 某市有100000个年满18岁的居民，他们中10%年收入超过1万，20%受过高等教育。今从

中抽取1600人的随机样本，求：

（1）样本中不少于11%的人年收入超过1万的概率； （2）样本中19%和21%之间的人受过高等教育的概率。 解

（1）引入新变量：

Xi? 1，第i个样本居民年收入超过1万 0，第i个样本居民年收入没超过1万

其中i?1,2,?,n,n?1600

易见：p?P?Xi?1??0.1

又因n?1600??N?100000，故可以近似看成有放回抽样，X1,X2?,Xn相互独立。

??E?Xi??0.1,??D?Xi??0.1?0.9?0.3

??2??样本中年收入超过1万的比例即为X，由于n?1600较大，可以使用渐近分布求解，即X~????,n?，??所求概率即为

?n?X???40?0.11?0.1???P?X?11%??1?P?X?0.11??1?P?????0.3??

?4??1?????1?0.9082?0.0918?3?（2）同（1）解法

引入新变量：

Xi? 1，第i个样本居民受过高等教育

0，第i个样本居民未受过高等教育

其中i?1,2,?,n,n?1600

p?P?Xi?1??0.2??0.2,??0.2?0.8?0.4

?40?0.19?0.2?n?X???40?0.21?0.2???P?19%?X?21%??P????? 0.4?0.4?????1?????1??2??1??1?2?0.8413?1?0.6826答：（1）样本中不少于11%的人年收入超过1万的概率为0.0918； （2）样本中19%和21%之间的人受过高等教育的概率为0.6826。

习题十解答

1. 设X1,X2,?,Xn是取自总体X的一个样本，在下列情形下，试求总体参数的矩估计与最大似然估计：

（1）X~B?n,p?，其中p未知，0?p?1； （2）X~E???，其中?未知，??0。

??X。 解 （1）E?X??p，故p的矩估计量有p另，X的分布律为P?X?x??px?1?p?1?x,x?0,1，

故似然函数为

L?p??pi?1?Xin?1?p?n??Xii?1n

对数似然函数为：

n?n???lnL?p????Xi?lnp??n??Xi?ln?1?p?

i?1?i?1???令

dlnL?p??dp?Xii?1nn??Xi?i?1np1?p?0

1n???Xi?X。 解得p的最大似然估计量pni?1可以看出p的矩估计量与最大似然估计量是相同的。

11??1。 （2）E?X??，令?X，故?的矩估计量???X另，X的密度函数为

x?0?e??xf?x??

X0x?0故似然函数为

L???? ?ne0???Xii?1n

Xi?0,i?1,2,?,n其他

对数似然函数为

lnL????nln????XidlnL???n???Xi?0d??i?1??n?1。 解得?的最大似然估计量?nX?Xini?1n

i?1

的百分数的95%的置信区间。

解 x???故SE4981000543??54.3?45.7?49.8， ?100?54.3(%),?1000??u?1.575,u1???SE0.975?1.575?3.087，

2所以总体中拥有私人汽车的人的百分数的95%的置信区间观测值为?51.213,57.387?。

习题十二解答

1. 在一个假设检验问题中，当检验最终结果是接受

时，可能犯什么错误？

在一个假设检验问题中，当检验最终结果是拒绝时，可能犯什么错误？

解 (1) 犯拒真的错误，即第一类错误；(2) 犯采伪的错误，或者说第二类错误。 2. 某厂生产的化纤纤度服从正态分布试用值法检验总体均值是否为1.40.

解 原假设

，所以

，统计量 值为

，测得25根纤维的纤度，其样本均值，

，观察值

因此不能拒绝，即可以认为

3. 某印刷厂旧机器每周开工成本服从正态分布

周开工成本的样本平均元，假定标准差不变，试用假设。

解 故拒绝

4. 设试给出显著水平

， 统计量

是高度显著，即

是取自的检验的拒绝域

.

， 观察值

，现安装一台新机器，观测到九周的值法检验周开工平均成本是否为100的

，故

值为：

的一个样本观察值，要检验假设：

解

5. 某纤维的强力服从正态分布，原设计的平均强力为6g，现改进工艺后，某天测得100个强力数据，其样本平均为6.35g，总体标准差假定不变，试问改进工艺后，强力是否有显著提高（）？

解 设原假设， 拒绝域为

今计算值为

， 备选假设

， 统计量 ，临界值

因而拒绝，即认为改进工艺后强力有显著提高。

6. 监测站对某条河流的溶解氧(DO)浓度（单位：mg/l）记录了30个数据，并由此算得

，已知这条河流每日的DO浓度服从

，

解 统计量 今

.

， 拒绝域为

，

，试在显著水平下，检验假设

. 计算值为：

因而不能拒绝.

，

7. 从某厂生产的电子元件中随机地抽取了25个作寿命测试，得数据（单位：h）：并由此算得，

h以上，试在显著水平

，

解 首先

所以修正样本标准差的观察值

，统计量的观察值为

，已知这种电子元件的使用寿命服从，且出厂标准为下，检验该厂生产的电子元件是否符合出厂标准，即检验假设

.

临界值 并由此算得

(1) (2)

解 (1) 拒绝域

，

，其中

因

，在显著水平

；. .

，不落入拒绝域，不能拒绝

下分别检验：

8. 随机地从一批外径为1cm的钢珠中抽取10只，测试其屈服强度(单位:kg)，得数据，

. 的观察值为

所以拒绝.

，

，

(2) 拒绝域 其中 今

的观察值为

，因而不能拒绝.

9. 一卷烟厂向化验室送去两种烟草，化验尼古丁的含量是否相同，从中各随机抽取质量相同的五例进行化验，测得尼古丁的含量为：

：24，27，26，21，24

：27，28，23，31，26

假设尼古丁含量服从正态分布，且种的方差为5，种的方差为8，取显著水平，问两种烟草的尼古丁含量是否有差异？

解 设的含量为，的含量为，且，，检验假设，

. 拒绝域为：

其中今计算

， ，

，故

.

因而不能拒绝，即认为两种烟草的尼古丁含量没有差异。

10. 某厂铸造车间为提高缸体的耐磨性而试制了一种镍合金铸件以取代一种铜合金铸件，现从两种铸件中各抽一个样本进行硬度测试，其结果如下：

镍合金铸件（）：72.0，69.5，74.0，70.5，71.8

铜合金铸件（）：69.8，70.0，72.0，68.5，73.0，70.0 根据以往经验知硬度

比较镍合金铸件硬度有无显著提高。

解 假设

，

，

，检验统计量

，且

，试在

水平上

拒绝域为

今，，，

因此不能拒绝，即不能认为镍合金铸件的硬度有提高。

11. 用两种不同方法冶炼的某种金属材料，分别取样测定某种杂质的含量，所得数据如下（单位为万分率）：

原方法（）：26.9，25.7，22.3，26.8，27.2，24.5，22.8，23.0，24.2，26.4，30.5，29.5，25.1 新方法（）：22.6，22.5，20.6，23.5，24.3，21.9，20.6，23.2，23.4

假设这两种方法冶炼时杂质含量均服从正态分布，且方差相同，问这两种方法冶炼时杂质的平均含量有无显著差异？取显著水平为0.05.

解 设

，

，检验假设为

，

，检验统计量为

拒绝域为 今 所以

，其中

，

，

，

，

，，

因此拒绝，即认为二种方法有显著差异。

12. 随机地挑选20位失眠者分别服用甲、乙二种安眠药，记录他们的睡眠延长时间（单位：h），算得 ，，，，问：能否认为甲药的疗效显著地高于乙药？假定甲、乙二种安眠药的延长睡眠时间均服从正态分布，且方差相等，取显著水平

解 设

，

，检验假设

，，拒绝域为

其中 今计算

，

，故

因此应拒绝，即认为甲药的疗效显著高于乙药。

13 灰色的兔与棕色的兔交配能产生灰色、黑色、肉桂色和棕色等四种颜色的后代，其数量比例由遗传学理论是9:3:3:1，为了验证这个理论，作了一些观测，得到如下数据： 实 测 数 理 论 数 149 灰色 144（） 54 黑色 48（） 42 肉桂色 48（） 11 棕色 16（） 总计 问：关于兔子的遗传理论是否可信（解 检验假设 统计量的值为：

256 ）. ，

，

.

256 ，

临界值

， 因此不能拒绝

，即遗传学理论是可信的。

14 某电话交换台在一小时（60min）内每分钟接到电话用户的呼唤次数有如下记录：

0 1 2 3 4 5 6 7 呼唤次数 8 16 17 10 6 2 1 0 实际频数 问：统计资料可否说明：每分钟电话呼唤次数服从泊松分布解 检验假设

期望数

， ， ， ，

再计算

值：

？

，先求

，未知，其极大似然估计为

临界值

1 设总体于给定数据

2 设

，因此不能拒绝，即认为每分钟呼唤次数服从泊松分布。

课外练习

，

已知，对于检验

下不能拒绝

，，问在水平

和

，写出拒绝域下能否拒绝

均未知，记表示）。

，从6台，求

时的第；对？

，

，若在水平为来自总体，试写出对于假设

的样本，

的检验统计量（用

3 设有6台计算机，为受到病毒侵袭的台数，是未知参数。为检验假设中随机选取2台作检查，为2台中有病毒的台数，如检验的拒绝域为一类错误概率以及时的第二类错误概率。

4 设样本

（容量为1）来自具概率密度

的总体，今有关于总体的假设：

检验的拒绝域为 ，试求该检验的两类错误概率及.

5 设某次考试考生的成绩服从分布，从中随机抽取36位考生的成绩，算出

（分），（分），问在显著水平下可否认为考生的平均成绩？

6 某化工厂为了提高化工产品的得率，提出甲乙两种方案，为比较它们的好坏，分别用两种方案各进行了10次试验，得到如下数据： 甲方案得率(%) 68.1 62.4 64.3 64.7 68.4 66.0 65.5 66.7 67.3 66.2 乙方案得率(%) 69.1 71.0 69.1 70.0 69.1 69.1 67.3 70.2 72.1 67.3 假设得率服从正态分布，问：方案乙是否比甲有显著提高（显著水平

）？

答案和提示

12.1 (1)

(2) 不能拒绝 12.2 12.3 12.4

， ，

（提示：；

）. 12.5 可以认为平均成绩为70分。

12.6 可以认为乙方案比甲方案提高得率。

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