广东省三校2010届高三上学期期末联考

广东省三校2010届高三上学期期末联考 数学试题（理科）

三校：深圳市高级中学、潮州金山中学、肇庆中学

本试卷分选择题和非选择题两部分，共6页，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将考试科目、试卷类型填涂在答题卡相应位置上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域相应位置上，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。 4．考试结束后，监考人员将本试卷和答题卡一并收回。 参考公式：

如果事件、互斥，那么． 如果事件、相互独立，那么． 第一部分 选择题（共40分）

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．若集合，，则集合不可能是（ ） A． B． C． D． 2．若，其中是虚数单位，则（ ）

A． B． 1 C．2 D．3

3．从5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、外语竞赛，其中A不参加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案种数为（ ）

A．24 B．48 C．72 D．120

4．下列四个正方体图形中，为正方体的两个顶点，分别为其所在棱的中点，能得出 平面的图形的序号是（ ）

A. ①、③ B. ①、④ C. ②、③ D. ②、④ 5．等差数列的前项和为，若成等比数列，则的值为（ ） A．1或２ B． C．或2 D．２ 6．已知函数的值域是，则它的定义域可以是（ ） A． B． C． D．

7.下列四种说法中,错误的个数是（ ） ①．命题\的否定是\；

②．\命题为真\是\命题为真\的必要不充分条件； ③．\若\的逆命题为真；

④．若实数,则满足:的概率为；

A． B． C． D． 8、定义在上的函数满足：，且时递增，，，则的值是 （ ）

A．恒为正数 B．恒为负数 C．等于0 D．正、负都有可能 第二部分 非选择题（共110分） 二、填空题：（本大题共6小题，其中9～13题是必做题, 14～15题是选做题. 考生只能从中选做一题；二题全做，计算前一题得分．每小题5分，共30分。）

9．为了了解某市今年准备报考体育专业的学生的 体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率 分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前 个小组的频率之比为，第小组的频 数为，则抽取的学生人数是 ．

10．如果执行右边的程序框图，那么输出的= ． 11．设，则二项式的

展开式的常数项是 ． 12．已知直线的方向向量是，且在 轴的截距为，与圆

相交于、两点，若弦AB的长为， 则 .

13.已知函数的定义域为，部分对应值如下表，为的导函数，函数的图象如下图所示：若两正数、满足，

则的取值范围是

0411 14.（极坐标与参数方程选做题）已知是曲线的焦点，点，则的值是 ． 15．（几何证明选讲选做题）如图，PA切于 点A，割线PBC经过圆心O，OB=PB=1，OA

绕点O逆时针旋转60°到OD，则PD的长为 ．

三、解答题：(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程．)

16. （本题满分12分）已知函数

（1）将写成的形式，并求其图象对称中心的横坐标； （2）如果△ABC的三边、、满足，且边所对的角为，试求角的范围及此时函数的值域.

17.（本题满分12分）已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球． （1）求取出的4个球均为黑球的概率；

（2）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；

（3）设为取出的4个球中红球的个数，求数学期望．

18. （本题满分1４分）已知斜三棱柱，，，在底面上的射影恰为的中点， （1）求证：平面；

（2）求斜三棱柱的体积V； （3）求二面角的余弦值． 19．（本题满分1４分）椭圆的两个焦点为、，Ｍ是椭圆上一点，且满足 （1）求离心率的取值范围；

（2）当离心率取得最小值时，椭圆G经过点．设斜率为的直线l与此时的椭圆G相交于不同的两点A、B，Q为AB的中点，问：A、B两点能否关于过点、Q的直线对称？若能，求出k的取值范围；若不能，请说明理由． 20.（本题满分1４分）已知函数

(1)求使方程存在实数解时的取值范围； (2)设，函数．若对任意，

总存在，使，求实数的取值范围．

21.（本题满分1４分）设数列的前n项和为，数列满足: ,且数列的前n项和为. （1）求证：数列是等比数列； （2）若点的坐标为（1，）（，函数在 （）处的切线始终与平行（O 为原点）． 求证：当 时，不等式对任意都成立．

数学试题（理科）参考答案及评分标准 一、选择题

1、C 依题有 C中，故不合 2、D 由已知可得

3、C A参加时有种，A不参加时有种，共72种 4、B 结合图形可得 5、C 设公差为，由 得 或化简可得结论

6、A 由函数的值域为可得：，，或，即或．

7、C ③与④错 ③中时不成立 ④的概率应为1- 8、B 由，不妨设，则，又 ，

另解：由知关于点（2，0）中心对称，又时 递增，则在R上单调递增，由得 ，故 由已知得

二、填空题：

9、48 由图可知前组的频率为，所以第组的频率为，学生人数为． 10、2500 由框图得 11、

常数项为

12、 由已知得方程为，的圆心（1，2）到的距离由 代入可解得 13、（0，4）由图象知在递增，结合表及可得，画出表示的区域，表示点与点（-1，0）连线的斜率，

可得结论。

14、 由参数方程可得抛物线标准方程，其焦点为 可求 15、 由条件可知，得 由余弦定理可得 三、解答题： 16、解：（1） --2分

-------3分 若为其图象对称中心的横坐标，即 --------4分 所以 解得：

即对称中心的横坐标为。 ----6分 （2） -------8分

即，而，所以。 ---------10分

所以函数的值域为。 ----------12分 17解：（1）设\从甲盒内取出的2个球均为黑球\为事件A，\从乙盒内取出的2个球均为黑球\为事件B.由于事件A、B相互独立，

且 , . -------- 3分（只对一个得1分） 所以取出的4个球均为黑球的概率为

. --------4分

（2）设\从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球\为事件C，\从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球\为事件D.由于事件C、D互斥， 且, . --------- 7分

所以取出的4个球中恰有1个红球的概率为 . ------------8分

（3）设可能的取值为0,1,2,3. -----------------9分 由（1）、（2）得, ,.

所以. --------------- 11分

∴ 的数学期望为 . -------------- 12分

18解法一（1）证明： 连接A1D，则A1D平面ABC ----------1分 平面A1ACC1平面ABC，交线AC 由BCAC 得BC平面A1ACC1

AC1平面A1ACC1 AC1BC --------------3分 又AC1A1B A1BBC=B 从而平面 ---------------4分 （2）设AC1交A1C于O，由（1）有AOA1C 且O为A1C中点，A1A=A1C

同理A1A=AC=2 A1AC为正三角形 -----------6分 斜三棱柱的体积V==-8分

（3）过O作OPA1B于P，连AP 则可得APA1B 为二面角的平面角 -----10分 由△A1PO∽△A1CB 得 即 得 ------12分 又

即二面角的余弦值为-14分 解法二：（1）如图，取的中点，则，因为， 所以，又平面， 以为轴建立空间坐标系， 则，，， ，，----2分 ，，

，由，知， 又，，从而平面； -----4分 （2）同解法一

（3）解：设平面的法向量为，，， 所以，设，则， ------11分

故，根据法向量的方向， -------13分

可知二面角的余弦值为为。 --------14分 19.解：（1）设点M的坐标为，则， 由得，即 ①

又由点M在椭圆上，得，代入①

得，即 ----------3分

，∴

，即，解得 ---------5分

又，∴ ． -------------6分 （2）当离心率取最小值时，椭圆G方程可表示为 因为点在椭圆G上， 得

∴椭圆G的方程为 ---------8分 设直线l的方程为， 代入中，得

由直线l与椭圆G相交于不同的两点知 ∴ ② ---10分

要使A、B两点关于过点P、Q的直线对称，必须 设、，则，

，∴，∴③ ---12分 由②、③得，∴， 又，∴或

故当时，A、B两点关于过点P、Q的直线对称 ---14分 20.解：（1）法一：

时 -------------------1分 时，，且

当且仅当时上式取等号 即 -----------4分 综上，的值域为，的取值范围是 --------5分 法二：，令，得或． --------2分 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减， 而，

当时，的值域是，的取值范围是 -------5分 (2)设函数在上的值域是A，若对任意． 总存在,使，-------6分 由 得

①当时， 函数在上单调递减。 ，所以当时，不满足 --9分 ②当时，，

令，得或(舍去) （i）时，的变化如下表：

2 + ． ，解得． ------------11分 (ii)当时， 函数在上单调递减． ，当时，不满足---13分

综上可知，实数的取值范围是． ------------14分 21. 解：(1)依题意，由 ① 得: ②

② - ①得: ,

即: 即:; ---2分

,由 ------4分

知数列是以4为首项,2为公比的等比数列.--5分 （2）由(1)知: ,即 ----6分 当n≥2时,

又满足上式，所以 (n ---8分 由，得： -----9分 当 时，

所以 即 -----11分

（说明：此处证明也可以利用的单调性得出）

所以当 时，不等式对任意都成立. ---------------14分 ?? ?? ?? ??

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