2012年全国各地中考数学解析汇编 第二十一章 勾股定理（按章节考点整理）

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第二十一章 勾股定理

21.1 勾股定理

（2012广州市，7， 3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是（ ） A.

A3336129 B. C. D. 44525D

【解析】首先根据勾股定理求出直角三角形的斜边，利用直角三角形面积的两种求法，求出点C到AB的距离。

【答案】由勾股定理得AB=

CBa2?b2?92?122=15,根据面积有等积式

3611AC?BC=AB?CD，于是有CD=。

522【点评】本题用了考查常用的勾股定理，直角三角形根据面积得到的一个等积式，列方程求

线段CD的长。

（2012安徽，10，4分）在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别为2、4、3，则原直角三角形纸片的斜边长是（ ）

A.10 B.45 C. 10或45 D.10或217

解析：考虑两种情况．要分清从斜边中点向哪个边沿着垂线段过去裁剪的.

2222解答：解：如下图，(2?2)?(4?4)?45，(2?3)?(4?4)45?10

用心 爱心 专心 1

故选C．

点评：在几何题没有给出图形时，有的同学会忽略掉其中一种情况，错选A或B；故解决本题最好先画出图形，运用数形结合和分类讨论的数学思想进行解答，避免出现漏解．

(2012四川省南充市，14，4分) 如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，若四

2

边形ABCD的面积是24cm，则AC长是_____________cm.

【解析】过点A作AE⊥BC于点E，AF⊥CD交CD的延长线于点F.则⊿ABE≌⊿ADF，得AE=AF，进一步证明四边形AECF是正方形，且正方形AECF与四边形ABCD的面积相等.则

AE?24=26，所以AC?2AE?2?26?43.

【答案】43cm. 【点评】本题考查了三角形的全等变换、正方形的性质以及勾股定理.解题的关键是正确的做出旋转的全等变换，将四边形的问题转化成正方形的问题来解决.

（2012山东省荷泽市，16(2),6）(2)如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=10,OC=8，在OC边上取一点D,将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，求D、E两点的坐标.

用心 爱心 专心 2

【解析】根据折叠问题及矩形的性质，可以利用勾股定理求出线段的长来确定点的坐标. 【答案】（1）依题意可知，折痕AD是四边形OAED的对称轴，

?在Rt?ABE中，AE?AO?10,AB?8,BE??CE?4,?E(4,8).

在Rt?DCE中，DC2?CE2?DE2， 又DE?OD,?(8?OD)2?42?OD2,

AE2?AB2?102?82?6,

?OD?5,?D(0,5).

【点评】在平面直角坐标系中，求点的坐标实质就是求这个点到两轴的距离，也就是求线段的长，求线段的就是利用勾股定理、三角函数或相似三角形的对应边成比例.

（2012贵州贵阳，8，3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1,则EF的长（ ）

A.3 B.2 C.3 D.1

解析：由已知得，BF=2BD=AB，所以FC=AD,不难得到Rt△FEC≌Rt△AED,故得EC=ED=1,结合∠F=30°，∠FCE=90°，可得EF=2EC=2.

解答：选B． 点评：本题主要考查 “直角三角形中30°度角所对的直角边等于斜边的一半”的知识，也涉及到全等三角形的判定与性质，相对综合.

（2012浙江省嘉兴市，6，4分）如图,A、B两点在河的两岸,要测量这两点之间的距离,测量者在与A同侧的河岸边选定一点C,测出AC=a米,∠A=90° , ∠C=40° ,则AB等于( )米 A. asin4o° B. acos40° C.atan4o° D.

a ?tan40

【解析】如图,在Rt△ABC中，∵∠A=90° , ∠C=40° , AC=a米,∴tan40°＝＝atan4o°, 故选C. 【答案】C.

【点评】本题要求适当选用三角函数关系,解直角三角形.

用心 爱心 专心

3

AB,∴ABAC

22.2 勾股定理的逆定理

22.3 直角三角形的性质

0

（2012浙江省湖州市，5，3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90，AB=10，CD是AB边上的中线，则CD的长是（ ） A.20 B.10 C.5 D.

5 2

11AB=×10=5. 22【解析】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，故CD=【答案】选：C．

【点评】此题考查的是直角三角形的性质，属于基础题。

222 ( 2012年四川省巴中市,15,3)已知a、b、c是△ABC的三边长,且满足关系c-a-b +|a-b|=0,则△ABC的形状为______

222222222

【解析】由关系c-a-b +|a-b|=0，得c-a-b=0,即a+b= c，且a-b=0即a=b,∴△ABCJ

是等腰直角三角形. 应填等腰直角三角形.

【答案】等腰直角三角形

【点评】本题考查非负数的一个性质: “两个非负数之和为零时,这两个非负数同时为零.”

及勾股定理逆定理的应用.

（2012山东省青岛市，14，3）如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 cm.

22【解析】将圆柱展开，AB=(18?2)?(12?4?4)?15．

【答案】15

【点评】本题考查圆柱的侧面展开为矩形，关键是在矩形上找出A和B两点的位置，据“两点之间线段最短”得出结果．“化曲面为平面”，利用勾股定理解决．要注意展开后有一直角边长是9cm而不是18 cm.

（2012，黔东南州，6）如图1，矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M的坐标为（ ）

用心 爱心 专心

4

0,1A、（2，0） B、（5?00,1?） C、（10,） D、（5）

解析：在Rt?ABC中，AB?3，BC?1，所以AC?AB2?BC2?32?1?10，

0）所以AM?AC?10，故M(10?1，.

答案：C.

点评：本题考查矩形、勾股定理、圆弧及数轴知识，是一道综合性的题目，比较简单，难度

较小.

2?发出的一束光，经x轴反射，过点B?4，3?，则（2012陕西 16，3分）如图，从点A?0，这束光从点A到点B所经过路径的长为．

【解析】设这一束光与x轴交与点C，作点B关于x轴的对称点B'，过B'作BD'?y轴 于点D．由反射的性质，知A，C，B'这三点在同一条直线上．再由轴对称的性质知

BC'=BC．则AC+CB=AC?CB'?AB'．

由题意得AD=5，BD'=4，由勾股定理，得AB'=41．所以AC?CB=41．

【答案】41 【点评】本题从物理学角度综合考查了平面直角坐标系中点的坐标应用、 轴对称性质以及勾股定理等.难度中等

C D

B'

(2012贵州黔西南州，18，3分)如图6，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC=2，CE=4，则四边形ACEB的周长为______________．

用心 爱心 专心

5

【解析】由于∠ACB=90°，DE⊥BC，所以AC∥DE．又CE∥AD，所以四边形ACED是平行四边形，所以DE=AC=2．

22

在Rt△CDE中，由勾股定理CD=CD―DE=23．又因为D是BC的中点，所以 BC=2CD=43．

22

在Rt△ABC中，由勾股定理AB=AC+BC=213． 因为D是BC的中点，DE⊥BC，所以EB=EC=4，所以四边形ACEB的周长=AC+CE+BE+BA=10+213． 【答案】10＋213．

【点评】本题是一个几何的综合计算题，尽管难度不大，但综合考查了平行四边形、垂直平分线的性质和判定，理清思路，找准图形中的相等线段，并不难解决．

(2012贵州六盘水，23，12分)如图12，小丽想知道自家门前小河的宽度，于是她按以下办法测出了如下数据：小丽在河岸边选取点A，在点A的对岸选取一个参照点C,测得∠

CAD=30°；小丽沿河岸向前走30m选取点B，并测得∠CBD=60°.请根据以上数据，用你所学的数学知识，帮小丽计算小河的宽度.

分析：先根据题意画出示意图，过点C作CE⊥AD于点E，设BE=x，则在RT△ACE中，可得出CE，利用等腰三角形的性质可得出BC，继而在RT△BCE中利用勾股定理可求出x的值，也可得出CE的长度．

解答：解：过点C作CE⊥AD于点E，

由题意得，AB=30m，∠CAD=30°，∠CBD=60°， 故可得∠ACB=∠CAB=30°， 即可得AB=BC=30m，

设BE=x，在Rt△BCE中，可得CE= 3x， 又∵BC=BE+CE，即900=x+3x， 解得：x=15，即可得CE= 153m． 答：小丽自家门前的小河的宽度为153m．

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用心 爱心 专心 6

点评：此题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是画出示意图，将实际问题转化为解直角三角形的问题，注意直角三角形的构造，难度一般．

用心 爱心 专心 7

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