偏微分方程课程研究型教学的一个实例剖析

第23卷第1期 数 学 教 育 学 报

Vol.23, No.1

偏微分方程课程研究型教学的一个实例剖析

朱长江

（华中师范大学 数学与统计学学院，湖北 武汉 430079）

摘要：教育部倡导研究型教学已近十年，全国各高等院校都选择了若干课程开展研究型教学，取得了良好的教学效果．作者在讲授《偏微分方程》课程时，对如何开展研究型教学进行了尝试，并就《偏微分方程》课程教学中的一个实例，谈点关于研究型教学的认识，供广大研究者参考．

关键词：研究型教学；偏微分方程；实例剖析

中图分类号：G420 文献标识码：A 文章编号：1004–9894（2014）01–0063–03

2

anπ

t l

为了进一步加强素质教育，2005年教育部发文《关于进一步加强高等学校本科教学工作的若干意见》倡导在本科“积极推动研教学课堂实施研究型教学．文中明确提出：

究性教学，提高大学生的创新能力．”所谓研究型教学，就是指在教学活动中，以学生为中心，真正把学生主体能动性的发挥放在教学活动的首位，使学生学会模拟科学研究的方法和过程，发现问题、分析问题并解决问题．在课堂教学方面，要从传统的以教师为中心的知识传授型向知识传授与探索相结合转变，多采用开放式、研讨式、探究式和自学辅导式等方法，师生互动，以调动学生自主学习的积极性，激发学生的求知欲和创造性．为了落实教高【2005】1号文件精神，全国各高等院校都选择了若干课程开展研究型教学，取得了良好的教学效果，在培养创新型高素质人才方面发挥了重要作用．作者所讲授的《偏微分方程》课程作为国家级、省级和校级精品课程，被选为研究型教学示范课程．下面介绍在《偏微分方程》课堂开展研究型教学的一个教学实例，谈点关于研究型教学的认识，和大家交流．

[1]

u(x,t)=

∑∫

n=1

∞

nπ21

(ξ)sinξdξe l0l

sin

nπ

x (2) l

2 问题提出

大家知道，半直线上热传导方程的初边值问题可像利用波的反射原理求解半直线上的波动方程一样，通过热的反射原理来求解．那么一个自然的问题就是：有限区间上热传导方程的初边值问题(1)能否也能像利用波的反射原理来求解波动方程的初边值问题一样，通过热的反射原理来求解？ 2.1 分组讨论

将全班学生分成4个小组，每组民主推荐一名组长，由组长负责组织讨论．教师在各小组之间巡视，必要时进行指导，注意老师的指导不能代替学生的独立研究和讨论． 2.2 小组总结

经过小组讨论后，由小组组长写出讨论结论．结果3个小组得到了非常完整正确的解答，只有一个小组解答不够完整．其中一组学生讨论答案简介如下：

利用热的反射原理，可以得到问题(1)的解的表达式 如下：

1 实 例

在《偏微分方程》的教学中，有一节是讲授如何求解一维热传导方程的初边值问题

u(x,t)= (y)k(x,y,t)dy (3)

0∫

1

ut auxx=0,

2

u(x,0)= (x), u(0,t)=u(l,t)=0,

0<x<l,t>00≤x≤l t≥0

(1)

(1)

1

其中

k(x,y,t)=

(x y 2nl)2 (x+y 2nl)2

expexp 22

atat442atn= ∞

(4)

其中 ∈C[0,l]， (0)= (l)=0．

首先，按照传统教材的讲法，采用“分离变量法”来求解问题(1)．其解可由如下Fourier级数表示：

∑

+∞

证明：先将函数 (x)奇延拓到[ l,l]上，然后以2l为周期延拓到整个实轴上，设延拓后的函数为Φ(x)，即

收稿日期：2013–10–26

基金项目：教育部财政部2010年度国家级精品课程“偏微分方程”建设项目（教高函【2010】14号）；教育部财政部2010年度国家级教学团队“数学与应用数学专业主干课程”建设项目（教高函【2010】12号）；2012年湖北省本科高校“专业综合改革试点”项目：数学与应用数学专业综合改革试点；国家自然科学基金重点项目——流体力学方程的数学理论（11331005）；教育部“创新团队发展计划”项目——非线性偏微分方程及相关问题的研究（IRT13066）

作者简介：朱长江（1961—），男，湖北监利人，教授，博士，主要从事非线性偏微分方程的研究．

64 数 学 教 育 学 报 第23卷

Φ(x)= (x),

0≤x≤l Φ(x)= ( x),-l≤x≤0 (5)

Φ(x+2l)=φ(x),-∞≤x≤∞

考虑如下辅助Cauchy问题

ut a2uxx=0, ∞<x<+∞ u(x,0)=Φ(x),

,t>0

∞<x<+∞ (6) 由于 (x)在[0,l]上连续，因此φ(x)在R1上连续，由Cauchy问题的Poisson公式知，Cauchy (6)的解为

u(x,t)=

∫

+∞

∞

G(x y,t)Φ(y)dy， (7)

x2

其中 G(x,t)= 1

2ae4at,t>0 (8)

0,tt<0

由于Φ(x)是奇函数，G(x,t)关于x是偶函数，故有 u(o,t)=

∫

+∞

(y)dy=

∫

+∞

∞

G( y,t)Φ ∞

G(y,t)Φ(y)dy=0．

同时，由于Φ(l x)是关于点l的奇函数，即

Φ(l x)= Φ(l+x)，

故有

u(l,t)=

∫

+∞

∞

G(l y,t)Φ(y)dy=

∫

+∞

∞

G(y,t)Φ(l y)dy=0．

由此可见由(7)—(8)所确定的函数u(x,t)当0≤x≤l，t≥0时就是问题(1)的解，它可以写为

+∞

u(x,t)=

n+1)l

n∑= ∞∫

(2(2n 1)lG(x y,t)Φ(y)dy

∑+∞

=

1

0G(x y 2nl,t) G(x+y 2nl,t)}Φ(y)dy

n= ∞

∫{=∫

1

(y)k(x,y,t)dy， (9)

其中k(x,y,t)由(4)表示．

3 问题延伸

经过学生的讨论总结后，教师又提出了两个问题： 问题一：由利用“热的反射原理”获得的解(3)—(4)和用“分离变量法”获得的解(2)在形式上不尽相同，它们是同一个解吗？如果是，如何证明？

问题二：用“分离变量法”和“热的反射原理”给出了初边值问题(1)的求解公式，能否用相同的方法求解如下Neumann初边值问题

ut a2uxx=0,

0<x<l, t>0

u(x,0)= (x),

0≤x≤l (10)

ux

(0,t)=ux(l,t)=0,

t≥0

其中 ∈C[0,l]， x(0)= x(l)=0？

以上两个问题作为课外讨论题，同学们通过4天（离下一次偏微分方程课的时间）的讨论与研究，也得到了正确的答案．学生讨论答案简介如下． 3.1 问题一答案

初边值问题(1)由分离变量法求出的解(2)与由热的反射

原理求出的解(3)—(4)是相同的，是Poisson公式的两种不同

表现形式．

证明如下：

首先，由数学分析知识易证如下等式成立

2

∫

+∞

x2

e

cosrxdx= r4

2

e (11)

再由(5)知Φ(x)有如下形式的Fourier级数：

+∞

Φ(x)=

∑2l

(ξ)sinnπξdξsinnπx， n 1l

∫

0ll所以

∫

+∞

∞

Φ(y)G(x y,t)dy

=∫+∞ ∞∑+∞

21l0 (x)sinnπnπn 1

∫

lxdxsinl

yG(x y,t)dy ∑+∞

=2

1

nπ

π

l∫0

(x)sin

n 1l

xdx∫

+∞

∞sin

nl

yG(x y,t)dy ∑+∞

=21

nπ+∞

nπ

n 1l∫

(x)sinlxdx

∫

∞

sin

l

(x y)G(y,t)dy =

∑+∞

2

1+∞

π

l∫0

(x)sin

nπn 1

lxdxsinnπl

x∫

∞

cos

nl

yG(y,t)dy+∞

21 (x)sinnπxdxsinnπy2

=2

∑x

+∞

cosnπ1

n 1

l∫

ll∫

ly

2at

e4atdy． (12)

由(11)知

∞

y2

∫

+cosnπy1t

e

4at0l2ady

=1∫

+∞0

cos2anπ

2ltye ydy

1 anπ

2=l

t2

e

． (13)

将(13)代人(12)得

∫

+∞

∞

Φ(y)G(x y,t)dy

2=

∑+∞

2

l

anπ l

tl∫ (ξ)sin

nπ

sin

nπ

n 1

l

ξdξel

x (14) 由(9)可知，上式右边的项可写成

∑+∞

2l (ξ)sinnπ

ξdξe anπ

2

l

tnπ

n 1

l∫

lsin

l

x=∫

10 (y)k(x,y,t)dy，

其中k(x,y,t)由(4)表示．

3.2 问题二答案

结论一：利用热的反射原理给出问题(10)的解为

u(x,t)=∫

1

0 (y)k1(x,y,t)dy (15)

其中

k1(x,y,t)

=1

(x y 2nl)2 (x+y 2nl)2

2at∑

+∞

exp 4a2t +exp

4a2 ． n= ∞ t

(16)

第1期 朱长江：偏微分方程课程研究型教学的一个实例剖析 65

结论二：利用分离变量法（见文献[3]—[8]）给出问题(10)的解为 u(x,t)=

这次研究型教学实例表明：一方面，学生学习的积极性和主动性得到了很大的提高，激发了他们迫切的学习愿望、强烈的学习动机和高昂的学习热情．学生普遍认为，这次课堂的研究型学习，始终是从重点和难点问题出发，经过学生分组研讨，得出结论，最后到解决问题终结，这种让学生在教学环节中体验科学研究的全过程的全新教学方式，使学生自身的分析问题能力、综合归纳能力、科学创新能力和团队协作能力得到了锻炼和发展．既理解和掌握了所学新知识，又对前面已学习的关于“波的反射原理”有了更深刻的理解，是快乐学习的一个最佳尝试．

1

(x)dx+l0

∫

1

∑l∫ (ξ)cos

n 1

+∞

2

l

nπ

ξdξel

2 anπ t

l

cos

nπ

x l

(17)

结论三：初边值问题(10)由(15)—(16)给出的解与由(17)给出的解是相同的，它们是Poisson公式的两种不同表现 形式．

4 教学效果

［参 考 文 献］

[1] 中华人们共和国教育部．关于进一步加强高等学校本科教学工作的若干意见[Z]．教高〔2005〕1号． [2] Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations [Z]. Providence, RI: American Mathematical Society, 1998. [3] Walter A. Strauss, Partial Differential Equations-An Introduction [M]. New York: John Wiley & Sons, Inc, 1992. [4] 陈恕行，秦铁虎．数学物理方程——方法导引[M]．上海：复旦大学出版社，1991． [5] 陈祖墀．偏微分方程[M]．合肥：中国科学技术大学出版社，2002． [6] 朱长江，邓引斌．偏微分方程教程[M]．北京：科学出版社，2005．

[7] 姜礼尚，陈亚浙，刘西垣，等．数学物理方程讲义（第二版）[M]．北京：高等教育出版社，1996． [8] 谷超豪，李大潜，陈恕行，等．数学物理方程（第二版）[M]．北京：高等教育出版社，2002． [9] 朱长江，蒋咪娜，阮立志．“偏微分方程”研究型教学的理论与实践[J]．数学教育学报，2012，21（2）：53-55．

An Illustrative Example of the Research-Based Teaching in Partial Differential Equations Course

ZHU Chang-jiang

(School of Mathematics and Statistics, Central China Normal University, Hubei Wuhan 430079, China)

Abstract: The Ministry of Education of China initiated the research-based teaching for almost 10 years. Several courses were attempted to teach by applying the research-based teaching model in a large number universities and colleges. It turned out that this teaching model is very popular. I also made a little attempt on how to carry out research-based teaching when I taught course of partial differential equations. In this paper, I will demonstrate the research-based teaching method by a concrete example in partial differential equations teaching. In addition, my some opinions on research-based teaching model are also presented as a reference.

Key words: research-based teaching; partial differential equations; example analysis

郑隆炘教授的新著《数学方法论与数学文化专题探析》一书，2013年11月已由华中科技大学出版社出

版，著名数学家齐民友教授为此书作序．此书的许多内容是作者多年来的研究成果，也有一部分内容是汲取了近年来诸多学者的研究精华，并进行了深度加工与重新表述，内容包括：数学方法论的分支归属；从数学学科的发展看数学研究对象的历史演变；数学思想方法专题探析；数学美的实质、基本内容，以及在学习与创造中的作用；数学家的创新精神与思想方法研究（柯瓦列夫斯卡娅，勒贝格，4位中国数学大师）；数学与音乐、美术、中国古典诗词关系的探索等．此书可作为大中学数学教师与数学教育类研究生进修提高、开展科研的参考书，也可作为大学生与部分有兴趣的高中生提高科学素养的读物，还可为高师院校和中学开设选修或校本课程提供参考资料．

此书每册39元，购买者可与华中科技大学出版社406室周芬娜联系（邮编430074，电话027-87558230），价格从优．

偏微分方程课程研究型教学的一个实例剖析

作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：

朱长江， ZHU Chang-jiang

华中师范大学 数学与统计学学院,湖北 武汉,430079数学教育学报

Journal of Mathematics Education2014(1)

参考文献(9条)

1.中华人们共和国教育部 关于进一步加强高等学校本科教学工作的若干意见.教高(2005)1号wrence C. Evans Partial Differential Equations 1998

3.Walter A. Strauss Partial Differential Equations-An Introduction 19924.陈恕行;秦铁虎 数学物理方程--方法导引 19915.陈祖墀 偏微分方程 2002

6.朱长江;邓引斌 偏微分方程教程 2005

7.姜礼尚;陈亚浙;刘西垣 数学物理方程讲义 19968.谷超豪;李大潜;陈恕行 数学物理方程 2002

9.朱长江;蒋咪娜;阮立志 " 偏微分方程” 研究型教学的理论与实践 2012(02)

本文链接：/Periodical_sxjyxb201401013.aspx

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/mt9m.html