概率论第一章习题解答

1. 写出下列随机试验的样本空间：

1) 记录一个小班一次数学考试的平均分数（以百分制记分）；

2) 一个口袋中有5个外形相同的球，编号分别为1、2、3、4、5，从中同时

取出3个球；

3) 某人射击一个目标，若击中目标，射击就停止，记录射击的次数；

4) 在单位圆内任意取一点，记录它的坐标.

解：1）设小班共有n个学生，每个学生的成绩为0到100的整数，分别记为x1,x２， xn，则全班平均分为x xi 1ni

n，于是样本空间为

12100niS {0,,, ,}={|i 0,1,2,3, 100n} nnnn

32）所有的组合数共有C5 10种，

S {123,124,125,134,135,145,234,235,245,345}

3）至少射击一次，S {1,2,3, }

4）单位圆中的坐标(x,y)满足x2 y2 1，S {(x,y)|x2 y2 1}

2. 已知A B，P(A) 0.3，P(B) 0.5，求P(A)，P(AB)，P(AB)和P(AB). 解 P(A) 1 P(A) 1 0.3 0.7 P(AB) P(A) 0.3（因为A B）

P(AB) P(B A) P(B) P(A) 0.2

P(AB) P(B) 0.5（因为A B，则B A）

3. 设有10件产品，其中6件正品，4件次品，从中任取3件，求下列事件的概率：

1） 只有一件次品；

2） 最多1件次品；

3） 至少1件次品.

12C4C解 1）设A表示只有一件次品，P(A) 36. C10

2)设B为最多1件次品，则表示所取到的产品中或者没有次品，或者只有一件次312C6C4C品，P(B) 3 36. C10C10

3）设C表示至少1件次品，它的对立事件为没有一件次品，

3C6P(C) 1 P(C) 1 3 C10

4. 盒子里有10个球，分别标有从1到10的标号，任选3球，记录其号码. （1）求最小号码为5的概率. （2）求最大号码为5的概率.

解1）若最小号码为5，则其余的2个球必从6，7，8，9，10号这5个球中取得。

C521则它的概率为3 . C1012

2)若最大号码为5，则其余的2个球必从1，2，3，4号这4个球中取得。 2C41则它的概率为3 . C1020

5. 有a个白球，b个黑球，从中一个一个不返回地摸球，直至留在口袋中的球都是同一种颜色为止. 求最后是白球留在口袋中概率.

解 设最后留在口袋中的全是白球这一事件为A，另设想把球继续依次取完，设

a取到最后的一个球是白球这一事件为B，可以验证A=B， 显然P(B) . a b

6. 一间学生寝室中住有6位同学，求下列事件的概率：

1）6个人中至少有1人生日在10月份；

2）6个人中有4人的生日在10月份；

3）6个人中有4人的生日在同一月份.

（假定每个人生日在同各个月份的可能性相同）

解 1）设6个人中至少有1人生日在10月份这一事件为A；它的逆事件为没

11有一个人生日在10月份，生日不在10月份的概率为，则12

11P(A) 1 P(A) 1 ()6 12

1112）设6个人中有4人的生日在10月份这一事件为B，则P(B) C64()4()2. 1212

3) 设6个人中有4人的生日在同一月份这一事件为C. 则

111P(C) 12P(B) 12C64()4()2 1212

7. 甲乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被击中，问由甲射中的概率为多少？

解 设A和B分别表示甲和乙射中。C表示目标被射中，则

P(C) P(A B) P(A) P(B) P(AB) 0.6 0.5 0.3 0.8.

P(AC)0.6P(A|C) 0.75 PC)0.8

8. 某商店出售的电灯泡由甲、乙两厂生产，其中甲厂的产品占60%，乙厂的产品占40%. 已知甲厂产品的次品率为4%，乙厂产品的次品率5%. 一位顾客随机地取出一个电灯泡，求它是合格品的概率.

解 设A和B分别表示电灯泡由甲厂和乙厂生产，C表示产品为合格。 则P(C) P(A)P(C|A) P(B)P(C|B) 0.6 0.96 0.4 0.95 0.956

9. 已知男子有5%是色盲患者，女子有0.25%是色盲患者. 今从男女为数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率多少？ 解 设挑选到的人为男性和女性分别为A和B。另设某人是色盲患者为C。由已

1，P(C|A) 0.05；P(C|B) 0.0025. 2

P(A)P(C|A)0.5 0.05则P(A|C) 0.952 P(A)P(C|A) P(B)P(C|B)0.5 0.05 0.5 0.0025

10. 甲、乙、丙三人独立地向一敌机射击，设甲、乙、丙命中率分别为0.4，0.5，

0.7，又设敌机被击中1次，2次，3次而坠毁的概率分别为0.2，0.6，1. 现三人向敌机各射击一次，求敌机坠毁的概率.

解 设敌机被击中1次，2次，3次的事件分别为A，B，C. 敌机坠毁的事件为Ｄ。

则P(D|A) 0.2;P(D|B) 0.6;P(D|C) 1

P(A) 0.4 (1 0.5)(1 0.7) (1 0.4) 0.5 (1 0.7) (1 0.4) (1 0.5) 0.7 0.36P(B) 0.4 0.5 (1 0.7) 0.4 (1 0.5) 0.7 (1 0.4) 0.5 0.7 0.51

P(C) 0.4 0.5 0.7 0.14

P(D) P(A)P(D|A) P(B)P(D|B) P(C)P(D|C) 0.36 0.2 0.41 0.6 0.14 1知条件，P(A) P(B) 0.458

11. 三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1/5，1/3，1/4. 问

三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少？

解 三人译出密码分别记为A，B，C。则A B C即为所求事件（三人中至少

有一人能将此密码译出）。它的对立事件为ABC。又因为各人译出密码是相互独立的，则P(A B C) 1 P(ABC) 1 (1 1/5)(1 1/3)(1 1/4) 0.6

12. 甲袋中装有n只白球、m只红球；乙袋中装有N只白球、M只红球. 今从甲

袋中任意取一只球放入乙袋中，再从乙袋中任意取一只球，问取到白球的概率是多少？

解 设从甲袋中取出白球记为A， 从乙取出白球记为B。

nN 1mNn(N 1) mNP(B) P(A)PB|A) P(A)P(B|A) m nN M 1m nM N 1(m n)(M N 1)

13. 做一系列独立的试验，每次成功的概率为p，求在成功n次之前已经失败了

m次的概率.

解 根据题意，试验在第n+m次是成功的（记为A），前n+m-1次中有m次是失

败的（记为B）。而前n+m-1次中有m次失败是一个二项分布B（n+m-1,1-p）, 所求概率为

mmn 1mmnP(AB) P(A)P(B) pCn Cn m 1(1 p)p m 1(1 p)p

14. 甲给乙打电话，但忘记了电话号码的最后1位数字，因而对最后1位数字就

随机地拨号，若拨完整个电话号码算完成1次拨号，并假设乙的电话不占线.

（1）求到第k次才拨通乙的电话的概率；（2）求不超过k次而拨通乙的电话的概率. （设k 10）

解 1）该问题相当于在0~9这十个数字中不放回抽样，第k次正好抽到所需的数

字这一个问题。根据抽签与次序无关的结果，第k次抽到的概率为1/10。

2）第二个问题相当于一次性地抓了k个数字，所需数字正好在所抓的数字中

这样一个问题。由于每个数字都是等可能被抽到，所需数字落在所抓数字中的概率与所抓的数目k成正比。设Ak表示所需数字在所抓的k个数字中，P(Ak) kC，其中C为常数。P(A1) 1/10

（或P(A10) 1）可得出C=1/10。所以P(Ak) k/10

15. 将3个小球随机地放入4个盒子中，求盒子中球的最多个数分别为1, 2, 3的

概率.

解 3个球随机放入4个盒子共有43种放法。盒子中最多个数为1，相当于4个盒

1子中分别有1，1，1，0个球，这种情形的放法共有C43!种（选一个空盒有4

1C43!3种选法，剩下的每盒有一个球相当于全排列）。故P(A1) 3 48

盒子中最多个数为3，相当于4个盒子中有一个盒子中有3个球，其它3个盒子

1C411没有球。它的放法共有C4种（选一个盒子，放入3个球）。故P(A2) 3 416

盒子中求的最多个数为2相当于排除以上2种情况而剩下来的情形。 P(A2) 1 P(A1) P(A3) 1 3/8 1/16 9/16

16. 设有一传输信道，若将三字母A, B, C分别输入信道, 输出为原字母的概率为

, 输出为其它字母的概率为(1 )/2, 现将3个字母串AAAA, BBBB, CCCC分别输入信道,输入的分别为p1, p2, p3, 且p1+p2+p3=1,已知输出字母串为ABCA, 问输入为AAAA的概率是多少?

(1 )(1 ) 2(1 )2

解 P(ABCA|AAAA) 224

(1 )(1 )(1 ) (1 )3

P(ABCA|BBBB) 2228

(1 )(1 )(1 ) (1 )3

P(ABCA|CCCC) 2228

P(AAAA)P(ABCA|AAAA)P(AAAA|ABCA) P(AAAA)P(ABCA|AAAA) P(BBBB)P(ABCA|BBBB) P(CCCC)P(ABCA|CCCC

2 p1 2(1 )2 (1 )3 (1 )3(3 1)p1 (1 )p1 p2 p3488p1 2(1 )2

17. 证明: 若P(A|B) P(A|B), 则事件A与B相互独立. P(AB)P(AB)，P(A|B) ，所以P(AB)P(B) P(B)P(AB) P(B)P()

即P(AB)[1 P(B)] P(B)[P(A) P(AB)]

即P(AB) P(A)P(B)

18. 某地区约有5%的人体内携带有乙肝病毒, 求该地区某校一个班的50名学生证明：P(A|B)

中至少有一人体内携带有乙肝病毒的概率.

解 设A为学生携带有乙肝病毒，P(A) 0.05. 不携带有乙肝病毒为，

P(A) 0.95，50名学生中至少有一人体内携带有乙肝病毒的对立事件是50名学生都不携带有乙肝病毒，P（50名学生都不携带有乙肝病毒）=0.9550。所以P（50名学生中至少有一人体内携带有乙肝病毒）=1-0.9550

19. 两人相约于7点到8点之间在某地见面，求一人要等另一人半小时以上的概

率.

解 设X和Y分别为两人的到达时刻。显然，0 X 60;0 Y 60。

30 30P(|X Y| 30) 0.25 60 60

20. 从区间（0，1）内任取两个数，求这两数的和小于1.2概率.

解 设X和Y分别为两个所取的数。显然，0 X 1;0 Y 1。

1 1 0.8 0.8/2P{X Y 1.2} 0.68 1 1

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