线性代数模拟题(开卷)

《线性代数》模拟题（补）

一．单项选择题

1．设A为n阶矩阵，且A 2，则2A （ C ）。 A．2 2．n维向量组

n

B．2

n 1

C．2

n 1

D．4

。 1， 2， ， s（3 s n）线性无关的充要条件是（ C ）

A． 1， 2， ， s中任意两个向量都线性无关

B． 1， 2， ， s中存在一个向量不能用其余向量线性表示 C． 1， 2， ， s中任一个向量都不能用其余向量线性表示 D． 1， 2， ， s中不含零向量 3．下列命题中正确的是（ D ）。

A．任意n个n 1维向量线性相关 B．任意n个n 1维向量线性无关 C．n 1个n维向量线性无关 D．任意n 1个n维向量线性相关任意 4．n元非齐次线性方程组AX=B有唯一解的充要条件是（ B ）。

A．r(A)=n B．r(A)=r(A,B)=n C．r(A)=r(A,B)<n D．r(A)=r(A,B) 5．矩阵A的特征值为1,2,3，则其行列式|A|为（ A ）。

A．6 B．18 C．36 D．72 6．方阵A与B相似，则下列说法错误的是（ A ）

A．方阵A与B有相同的特征向量 B．方阵A与B有相同的特征值 C．方阵A与B有相同的行列式 D．方阵A与B有相同的迹 7．三元非齐次线性方程组AX=B的解向量 1, 2, 3满足

1 2 (1,0,1)T, 2 3 (2,4, 2)T，则其导出组AX=0的一个解为（ C ）

A．(1,0,1) B．(1,2, 1) C．( 1, 4,3) D．(3,4, 1)

二．填空题

T

T

T

T

101．

132312002100

18。 03

x1 x2 x3 0

1。 2．若齐次线性方程组 x1 x2 x3 0只有零解，则 应满足λ 2且且

x x x 0

23 1

3．当k=k=4 1 (1,2,1), 2 (2,k,2)线性相关。

1 1

A

0 1 1 -1 4．A 02 ，则A

1

2 1

2

5．矩阵A的特征值分别为1, -1, 2, 则|A2+2I 24

222

6．写出二次型f(x1,x2,x3) x1 4x2 2x3 5x1x2 4x1x3 6x2x3对应的对称矩阵

2 1 5

4 3 。 2 32

三．计算题

1 1 2 a 2

11

1．问a取何值时，下列向量组线性无关？ 1 , 2 a , 3 。

2 2

1 1 a 2

2

解：

a a a

a

(a 1)a

1 (a 1)0a 0

1

(a 1)(a )2 0

2

1

即a 1或a 时向量组线性无关.

2

0

a 200

2．求A 030 的全部特征值和特征向量。

023

解：

2

I A

00

0 ( 2)( 3)2 0 3

3

2

特征值 1 2 3, 3 2。

100 100 0 特征向量为k 0 ,k 0；

对于 1 2 3, 1I A 000 010，

0 20 000 1 0 00 000 1 对于 3 2, 3I A 0 10 010,特征向量为k0,k 0。 0 2 1 001 0

a 1

3．求行列式

01

解：

00

a01 1a

的值。

a 11a 1

a 1001

a01

0 1a1

00 1a 1

a 1 a0a

1

1

0 10 1 ( 1)5a 1a 1

a

00 1

=a2

a 1 10

a 1

1a 1a 1

=a4 a3 a2 a 1

21 2 100

4．已知矩阵A 1 12 ,B 020 ，求(AB) 1。

31 003 3

解：

因为(AB) 1 B 1A 1，B 1

10

1 0 2

00 0 0 , 3 2

010

100 001

1 2 2

AI 1 12

313

1 12

12 0

0 29

100

01 2 001

1

95 25

100 1 12

010 21 2

001 13 3

00 1205001001

010 1

120 0

031 0

110 1

1 20 0

0

555 1 10

120 2 11 110

555 555 1 9 10 3 5

1 65 310

0 1 5 3 10

1

5 15

A 1

0 1 B 1A 15 ，所以 (AB)

1 5

5．求向量组 1 (1,2,1,2), 2 (1,7, 1,6), 3 (1, 1,2,0), 4 (4,2,5,6)的极大无关组，

并用极大无关组表示其余向量。 解：

1 2A

1 2 1 0

0 0 4 1

7 12 0

125 0

606 0

114 1

1 1 4 0

0 1 7 0

000 0

1115 2400100100

4 1114

3 6 01 1 4

11 0 211

2 2 0000

，

6 3 7 0

1

因此，极大无关组为 1, 2, 3 且 4 6 1 3 2 7 3。

211

1

6．已知矩阵A 121 ，求正交矩阵T使得TAT为对角矩阵。

112

解：

2

1) 首先求其特征值：| I A|

1 1

1 ( 4)( 1)2 0，

2

1 1

2

1

其特征根为： 1 2 1, 3 4.

2) 求各特征值的特征向量，当 1 2 1时求得特征向量为( 1,1,0)T,( 1,0,1)T，将其正交化得( 1,1,0),(

T

11T

, ,1)， 再将其单位化得 22

(

11112T

,,0)T,( , ,) 22662

T

当 3 4时特征向量为(1,1,1)，将其单位化得(

111T

,,). 333

1

2 1

3）所得正交矩阵T

2 0

161 26

1 3 1 ， 3 1 3

1 1

TAT 1 为对角矩阵.

4

四．证明题

1．设n阶方阵A满足A A 2I 0，求证A和(A-I)都可逆并求其逆。

证明：因为A A 2I 0，所以有

A2 A 2I A(A I) 2I 0，

2

2

1

A(A I) I，由定义可知A和(A-I)都可逆，且 2

(A I)A 1

,(A I) 1 . A

22

即

2．设n阶方阵A满足A A 3I 0，求证A-2I和A+I都可逆。

证明：因为A A 3I 0，故A A 3I A A 2I I，即 (A 2I)(A I) A2 A 2I I，由定义可知A-2I和A+I都可逆。

2

2

2

2

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