南通市启东市2018年中考数学一模试卷一

2018年江苏省南通市启东市中考数学一模试卷

一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．4的倒数是（ ） A．4

B．﹣4 C．

D．﹣

2．下列运算正确的是（ ） A．（a﹣3）=a﹣9 3．式子

2

2

B．a?a=a C．

248

=±3 D． =﹣2

在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）

A．x≥1 B．x≤1 C．x＞0 D．x＞1

4．如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：

平均数（cm） 方差 甲 185 3.6 乙 180 3.6 丙 185 7.4 丁 180 8.1 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

5．如图，已知圆锥侧面展开图的扇形面积为65πcm，扇形的弧长为10πcm，则圆锥母线长是（ ）

2

A．5cm B．10cm C．12cm D．13cm 6．下列语句正确的是（ ） A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．矩形的对角线相等

C．有两边及一角对应相等的两个三角形全等 D．平行四边形是轴对称图形

7．下列说法中，你认为正确的是（ ） A．四边形具有稳定性

B．等边三角形是中心对称图形 C．等腰梯形的对角线一定互相垂直 D．任意多边形的外角和是360°

8．有9名同学参加歌咏比赛，他们的预赛成绩各不相同，现取其中前4名参加决赛，小红同学在知道自己成绩的情况下，要判断自己能否进入决赛，还需要知道这9名同学成绩的（ ）

A．众数 B．中位数 C．平均数 D．极差

9．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以点A、D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD的余弦值是（ ）

A． B． C． D．

10．如图，A、B、C是反比例函数y=（x＜0）图象上三点，作直线l，使A、B、C到直线l的距离之比为3：1：1，则满足条件的直线l共有（ ）

A．4条 B．3条 C．2条 D．1条

二、填空题：（本大题共8小题，每小题2分，共16分．不需写出解答过程．） 11．方程

=1的根是x= ．

12．已知圆锥的底面半径是2，母线长是4，则圆锥的侧面积是 ．

13．如图，△ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，AD：AB=1：3，则△ADE与△ABC的面积之比为 ．

14．一元二次方程x+x﹣2=0的两根之积是 ．

15．如图，点O是⊙O的圆心，点A、B、C在⊙O上，AO∥BC，∠AOB=38°，则∠OAC的度数是 度．

2

16．如图，在一次数学课外实践活动中，小聪在距离旗杆10m的A处测得旗杆顶端B的仰角为60°，测角仪高AD为1m，则旗杆高BC为 m（结果保留根号）．

17．如图，在平面直角坐标系中，点A（a，b）为第一象限内一点，且a＜b．连结OA，并以点A为旋转中心把OA逆时针转90°后得线段BA．若点A、B恰好都在同一反比例函数的图象上，则的值等于 ．

18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是 ．

三、解答题：（本大题共8小题，共84分．） 19．计算： （1）|﹣2|﹣（1+（2）（a﹣）÷20．（1）解方程：（2）解不等式组：

+）0+

； ．

=4． ．

21．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD，相交于点O，EF过点O且与AB、CD分别相交于点E、F，求证：AE=CF．

22．某学校为了解八年级学生的体能状况，从八年级学生中随机抽取部分学生进行八百米跑体能测试，测试结果分为A、B、C、D四个等级，请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：

（1）求本次测试共调查了多少名学生？

（2）求本次测试结果为B等级的学生数，并补全条形统计图；

（3）若该中学八年级共有900名学生，请你估计八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有多少人？

23．小宇想测量位于池塘两端的A、B两点的距离．他沿着与直线AB平行的道路EF行走，当行走到点C处，测得∠ACF=45°，再向前行走100米到点D处，测得∠BDF=60°．若直线AB与EF之间的距离为60米，求A、B两点的距离．

24．随着柴静纪录片《穹顶之下》的播出，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也大增，商社电器从厂家购进了A，B两种型号的空气净化器，已知一台A型空气净化器的进价比一台B型空气净化器的进价多300元，用7500元购进A型空气净化器和用6000元购进B型空气净化器的台数相同．

（1）求一台A型空气净化器和一台B型空气净化器的进价各为多少元？

（2）在销售过程中，A型空气净化器因为净化能力强，噪音小而更受消费者的欢迎．为了增大B型空气净化器的销量，商社电器决定对B型空气净化器进行降价销售，经市场调查，当B型空气净化器的售价为1800元时，每天可卖出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，如果每天商社电器销售B型空气净化器的利润为3200元，请问商社电器应将B型空气净化器的售价定为多少元？

25．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A，C分别在y轴，x轴上，∠ACB=90°，OA=

，抛物线y=ax﹣ax﹣a经过点B（2，

2

），与y轴交于点D．

（1）求抛物线的表达式；

（2）点B关于直线AC的对称点是否在抛物线上？请说明理由； （3）延长BA交抛物线于点E，连接ED，试说明ED∥AC的理由．

26．在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”，如图为点P，Q的“相关矩形”示意图．

（1）已知点A的坐标为（1，0），

①若点B的坐标为（3，1），求点A，B的“相关矩形”的面积；

②点C在直线x=3上，若点A，C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的表达式； （2）⊙O的半径为

，点M的坐标为（m，3），若在⊙O上存在一点N，使得点M，N的“相

关矩形”为正方形，求m的取值范围．

2018年江苏省南通市启东市中考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．4的倒数是（ ） A．4

B．﹣4 C．

D．﹣

【考点】倒数．

【分析】乘积是1的两数互为倒数，据此进行计算即可． 【解答】解：由题可得，4的倒数是． 故选：C．

2．下列运算正确的是（ ） A．（a﹣3）=a﹣9

2

2

B．a?a=a C．

248

=±3 D． =﹣2

【考点】同底数幂的乘法；算术平方根；立方根；完全平方公式．

【分析】利用同底数幂的乘法、算术平方根的求法、立方根的求法及完全平方公式分别计算后即可确定正确的选项．

【解答】解：A、（a﹣3）=a﹣6a+9，故错误； B、a2?a4=a6，故错误； C、D、

=3，故错误； =﹣2，故正确，

2

2

故选D． 3．式子

在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）

A．x≥1 B．x≤1 C．x＞0 D．x＞1 【考点】二次根式有意义的条件．

【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，解不等式即可．

【解答】解：根据题意得：x﹣1≥0，即x≥1时，二次根式有意义． 故选：A．

4．如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：

平均数（cm） 方差 甲 185 3.6 乙 180 3.6 丙 185 7.4 丁 180 8.1 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【考点】方差；算术平均数．

【分析】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加． 【解答】解：∵

=

＞

=

，

∴从甲和丙中选择一人参加比赛， ∵

=

＜

＜

，

∴选择甲参赛， 故选：A．

5．如图，已知圆锥侧面展开图的扇形面积为65πcm，扇形的弧长为10πcm，则圆锥母线长是（ ）

2

A．5cm B．10cm C．12cm D．13cm 【考点】圆锥的计算． 【分析】圆锥的侧面积=

，把相应数值代入即可求解．

，解得R=13cm．

【解答】解：设母线长为R，由题意得：65π=故选D．

6．下列语句正确的是（ ） A．对角线互相垂直的四边形是菱形 B．矩形的对角线相等

C．有两边及一角对应相等的两个三角形全等 D．平行四边形是轴对称图形

【考点】菱形的判定；全等三角形的判定；轴对称图形．

【分析】由菱形的判定、矩形的性质、全等三角形的判定、平行四边形的性质分别进行判断，即可得出结论．

【解答】解：A、对角线互相垂直的四边形是菱形，不正确； B、矩形的对角线相等，正确；

C、有两边及一角对应相等的两个三角形全等，不正确； D、平行四边形是轴对称图形，不正确； 故选：B．

7．下列说法中，你认为正确的是（ ） A．四边形具有稳定性 B．等边三角形是中心对称图形 C．等腰梯形的对角线一定互相垂直 D．任意多边形的外角和是360°

【考点】多边形内角与外角；等边三角形的性质；多边形；等腰梯形的性质． 【分析】根据四边形、等边三角形，等腰梯形的性质，结合各选项进行判断即可． 【解答】解：A、四边形不具有稳定性，原说法错误，故本选项错误； B、等边三角形不是中心对称图形，说法错误，故本选项错误； C、等腰梯形的对角线不一定互相垂直，说法错误，故本选项错误； D、任意多边形的外角和是360°，说法正确，故本选项正确； 故选D．

8．有9名同学参加歌咏比赛，他们的预赛成绩各不相同，现取其中前4名参加决赛，小红同学在知道自己成绩的情况下，要判断自己能否进入决赛，还需要知道这9名同学成绩的（ ）

A．众数 B．中位数 C．平均数 D．极差 【考点】统计量的选择．

【分析】9人成绩的中位数是第5名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前4名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．

【解答】解：由于总共有9个人，且他们的分数互不相同，第5的成绩是中位数，要判断是否进入前5名，故应知道中位数的多少． 故选B．

9．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以点A、D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD的余弦值是（ ）

A． B． C． D．

【考点】解直角三角形．

【分析】设BC=x，由含30°角的直角三角形的性质得出AC=2BC=2x，求出AB=根据题意得出AD=BC=x，AE=DE=AB=

BC=

x，

x，作EM⊥AD于M，由等腰三角形的性质得出AM=AD=

x，在Rt△AEM中，由三角函数的定义即可得出结果． 【解答】解：如图所示：设BC=x， ∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°， ∴AC=2BC=2x，AB=

BC=

x，

x，

根据题意得：AD=BC=x，AE=DE=AB=作EM⊥AD于M，则AM=AD=x，

在Rt△AEM中，cos∠EAD=故选：B．

==；

10．如图，A、B、C是反比例函数y=（x＜0）图象上三点，作直线l，使A、B、C到直线l的距离之比为3：1：1，则满足条件的直线l共有（ ）

A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 【考点】反比例函数的性质．

【分析】如解答图所示，满足条件的直线有两种可能：一种是与直线BC平行，符合条件的有两条，如图中的直线a、b；还有一种是过线段BC的中点，符合条件的有两条，如图中的直线c、d．

【解答】解：如解答图所示，满足条件的直线有4条， 故选A．

二、填空题：（本大题共8小题，每小题2分，共16分．不需写出解答过程．） 11．方程

=1的根是x= ﹣2 ．

【考点】分式方程的解．

【分析】把分式方程转化成整式方程，求出整式方程的解，再代入x﹣3进行检验即可． 【解答】解：两边都乘以x﹣3，得：2x﹣1=x﹣3， 解得：x=﹣2，

检验：当x=﹣2时，x﹣3=﹣5≠0， 故方程的解为x=﹣2， 故答案为：﹣2．

12．已知圆锥的底面半径是2，母线长是4，则圆锥的侧面积是 8π ． 【考点】圆锥的计算．

【分析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．

【解答】解：底面半径是2，则底面周长=4π，圆锥的侧面积=×4π×4=8π．

13．如图，△ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，AD：AB=1：3，则△ADE与△ABC的面积之比为 1：9 ．

【考点】相似三角形的判定与性质．

【分析】由DE与BC平行，得到两对同位角相等，利用两对角相等的三角形相似得到三角形ADE与三角形ABC相似，利用相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得到结果． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C， ∴△ADE∽△ABC，

∴S△ADE：S△ABC=（AD：AB）2=1：9， 故答案为：1：9．

14．一元二次方程x2+x﹣2=0的两根之积是 ﹣2 ． 【考点】根与系数的关系．

【分析】根据根与系数的关系，即可求得答案．

【解答】解：设一元二次方程x+x﹣2=0的两根分别为α，β， ∴αβ=﹣2．

∴一元二次方程x2+x﹣2=0的两根之积是﹣2． 故答案为：﹣2．

15．如图，点O是⊙O的圆心，点A、B、C在⊙O上，AO∥BC，∠AOB=38°，则∠OAC的度数是 19 度．

2

【考点】圆周角定理．

【分析】先根据圆周角定理，求出∠C的度数，再根据两条直线平行，内错角相等，得∠OAC=∠C．

【解答】解：∵∠AOB=38° ∴∠C=38°÷2=19° ∵AO∥BC

∴∠OAC=∠C=19°．

16．如图，在一次数学课外实践活动中，小聪在距离旗杆10m的A处测得旗杆顶端B的仰角为60°，测角仪高AD为1m，则旗杆高BC为 10

+1 m（结果保留根号）．

【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．

【分析】首先过点A作AE∥DC，交BC于点E，则AE=CD=10m，CE=AD=1m，然后在Rt△BAE中，∠BAE=60°，然后由三角形函数的知识求得BE的长，继而求得答案． 【解答】解：如图，过点A作AE∥DC，交BC于点E，则AE=CD=10m，CE=AD=1m， ∵在Rt△BAE中，∠BAE=60°， ∴BE=AE?tan60°=10∴BC=CE+BE=10∴旗杆高BC为10故答案为：10

（m），

+1（m）． +1m．

+1．

17．如图，在平面直角坐标系中，点A（a，b）为第一象限内一点，且a＜b．连结OA，并以点A为旋转中心把OA逆时针转90°后得线段BA．若点A、B恰好都在同一反比例函数的图象上，则的值等于

．

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化﹣旋转．

【分析】过A作AE⊥x轴，过B作BD⊥AE，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，且AO=AB，利用AAS得出三角形AOE与三角形ABD全等，由确定三角形的对应边相等得到BD=AE=b，AD=OE=a，进而表示出ED及OE+BD的长，即可表示出B坐标；由A与B都在反比例图象上，得到A与B横纵坐标乘积相等，列出关系式，变形后即可求出的值． 【解答】解：过A作AE⊥x轴，过B作BD⊥AE， ∵∠OAB=90°， ∴∠OAE+∠BAD=90°， ∵∠AOE+∠OAE=90°， ∴∠BAD=∠AOE， 在△AOE和△BAD中，

，

∴△AOE≌△BAD（AAS）， ∴AE=BD=b，OE=AD=a，

∴DE=AE﹣AD=b﹣a，OE+BD=a+b， 则B（a+b，b﹣a）；

∵A与B都在反比例图象上，得到ab=（a+b）（b﹣a）， 整理得：b﹣a=ab，即（）﹣﹣1=0， ∵△=1+4=5， ∴=

，

2

2

2

∵点A（a，b）为第一象限内一点， ∴a＞0，b＞0， 则=故答案为

．

．

18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是 1.2 ．

【考点】翻折变换（折叠问题）．

【分析】如图，延长FP交AB于M，当FP⊥AB时，点P到AB的距离最小，利用△AFM∽△ABC，得到

=

求出FM即可解决问题．

【解答】解：如图，延长FP交AB于M，当FP⊥AB时，点P到AB的距离最小．（点P在以F为圆心CF为半径的圆上，当FP⊥AB时，点P到AB的距离最小）

∵∠A=∠A，∠AMF=∠C=90°， ∴△AFM∽△ABC， ∴

=

，

∵CF=2，AC=6，BC=8， ∴AF=4，AB=∴

=

，

=10，

∴FM=3.2， ∵PF=CF=2， ∴PM=1.2

∴点P到边AB距离的最小值是1.2． 故答案为1.2．

三、解答题：（本大题共8小题，共84分．） 19．计算： （1）|﹣2|﹣（1+（2）（a﹣）÷

）0+

； ．

【考点】分式的混合运算；绝对值；算术平方根；零指数幂．

【分析】按照实数的运算法则依次计算，注意负指数为正指数的倒数；任何非0数的0次幂等于1．

【解答】解：（1）原式=2﹣1+2=3． （2）原式=

20．（1）解方程：（2）解不等式组：

+

=4． ．

．

【考点】解分式方程；解一元一次不等式组．

【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；

（2）首先解每个不等式，两个不等式组的解集的公共部分就是不等式组的解集． 【解答】解：（1）去分母得：x﹣5x=4（2x﹣3）， 解得：x=1，

经检验x=1是分式方程无解； （2）

∵由①得，x＜2，

，

由②得，x≥﹣1，

∴不等式组的解集是：﹣1≤x＜2．

21．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD，相交于点O，EF过点O且与AB、CD分别相交于点E、F，求证：AE=CF．

【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．

【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得AB∥CD，OA=OC，继而证得△AOE≌△COF，则可证得结论．

【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，OA=OC， ∴∠OAE=∠OCF， 在△OAE和△OCF中，

，

∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴AE=CF．

22．某学校为了解八年级学生的体能状况，从八年级学生中随机抽取部分学生进行八百米跑体能测试，测试结果分为A、B、C、D四个等级，请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：

（1）求本次测试共调查了多少名学生？

（2）求本次测试结果为B等级的学生数，并补全条形统计图；

（3）若该中学八年级共有900名学生，请你估计八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有多少人？

【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．

【分析】（1）设本次测试共调查了x名学生，根据总体、个体、百分比之间的关系列出方程即可解决．

（2）用总数减去A、C、D中的人数，即可解决，画出条形图即可． （3）用样本估计总体的思想解决问题．

【解答】解：（1）设本次测试共调查了x名学生． 由题意x?20%=10， x=50．

∴本次测试共调查了50名学生．

（2）测试结果为B等级的学生数=50﹣10﹣16﹣6=18人． 条形统计图如图所示，

（3）∵本次测试等级为D所占的百分比为=12%，

∴该中学八年级共有900名学生中测试结果为D等级的学生有900×12%=108人．

23．小宇想测量位于池塘两端的A、B两点的距离．他沿着与直线AB平行的道路EF行走，当行走到点C处，测得∠ACF=45°，再向前行走100米到点D处，测得∠BDF=60°．若直线AB与EF之间的距离为60米，求A、B两点的距离．

【考点】解直角三角形的应用．

【分析】根据题意作出合适的辅助线，画出相应的图形，可以分别求得CM、DN的长，由于AB=CN﹣CM，从而可以求得AB的长．

【解答】解：作AM⊥EF于点M，作BN⊥EF于点N，如右图所示， 由题意可得，AM=BN=60米，CD=100米，∠ACF=45°，∠BDF=60°， ∴CM=DN=

∴AB=CD+DN﹣CM=100+20

米， 米， ﹣60=（40+20

）米．

）米，

即A、B两点的距离是（40+20

24．随着柴静纪录片《穹顶之下》的播出，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也大增，商社电器从厂家购进了A，B两种型号的空气净化器，已知一台A型空气净化器的进价比一台B型空气净化器的进价多300元，用7500元购进A型空气净化器和用6000元购进B型空气净化器的台数相同．

（1）求一台A型空气净化器和一台B型空气净化器的进价各为多少元？

（2）在销售过程中，A型空气净化器因为净化能力强，噪音小而更受消费者的欢迎．为了增大B型空气净化器的销量，商社电器决定对B型空气净化器进行降价销售，经市场调查，当B型空气净化器的售价为1800元时，每天可卖出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，如果每天商社电器销售B型空气净化器的利润为3200元，请问商社电器应将B型空气净化器的售价定为多少元？ 【考点】一元二次方程的应用；分式方程的应用．

【分析】（1）设每台B种空气净化器为x元，A种净化器为（x+300）元，根据用6000元购进B种空气净化器的数量与用7500元购进A种空气净化器的数量相同，列方程求解； （2）根据总利润=单件利润×销量列出一元二次方程求解即可．

【解答】解：（1）设每台B型空气净化器为x元，A型净化器为（x+300）元， 由题意得，解得：x=1200，

=

，

经检验x=1200是原方程的根， 则x+300=1500，

答：每B型空气净化器、每台A型空气净化器的进价分别为1200元，1500元；

（2）设B型空气净化器的售价为x元，根据题意得；（x﹣1200）（4+解得：x=1600，

答：如果每天商社电器销售B型空气净化器的利润为3200元，请问商社电器应将B型空气净化器的售价定为1600元．

25．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A，C分别在y轴，x轴上，∠ACB=90°，OA=

，抛物线y=ax2﹣ax﹣a经过点B（2，

），与y轴交于点D．

）=3200，

（1）求抛物线的表达式；

（2）点B关于直线AC的对称点是否在抛物线上？请说明理由； （3）延长BA交抛物线于点E，连接ED，试说明ED∥AC的理由．

【考点】二次函数综合题． 【分析】方法一：

（1）把点B的坐标代入抛物线的表达式即可求得．

（2）通过△AOC∽△CFB求得OC的值，通过△OCD≌△FCB得出DC=CB，∠OCD=∠FCB，然后得出结论．

（3）设直线AB的表达式为y=kx+b，求得与抛物线的交点E的坐标，然后通过解三角函数求得结果． 方法二： （1）略．

（2）利用垂直公式及中点公式求出点B关于直线AC的对称点B’坐标，并得出B’与点D

重合．

（3）分别求出点A，C，E，D坐标，并证明直线ED与AC斜率相等． 【解答】方法一：

解：（1）把点B的坐标代入抛物线的表达式，得解得a=

，

x2﹣

x﹣

．

=a×2﹣2a﹣a，

2

∴抛物线的表达式为y=

（2）连接CD，过点B作BF⊥x轴于点F，则∠BCF+∠CBF=90° ∵∠ACB=90°， ∴∠ACO+∠BCF=90°， ∴∠ACO=∠CBF， ∵∠AOC=∠CFB=90°， ∴△AOC∽△CFB， ∴

=

，

设OC=m，则CF=2﹣m，则有解得m1=m2=1， ∴OC=CF=1， 当x=0时，y=﹣∴OD=

，

，

=，

∴BF=OD，

∵∠DOC=∠BFC=90°， ∴△OCD≌△FCB， ∴DC=CB，∠OCD=∠FCB， ∴点B、C、D在同一直线上， ∴点B与点D关于直线AC对称， ∴点B关于直线AC的对称点在抛物线上．

（3）过点E作EG⊥y轴于点G，设直线AB的表达式为y=kx+b，则，

解得k=﹣∴y=﹣

x+

，

，代入抛物线的表达式﹣

x+

=

x2﹣

x﹣

．

解得x=2或x=﹣2， 当x=﹣2时y=﹣

x+

=﹣

×（﹣2）+），

=

，

∴点E的坐标为（﹣2，

∵tan∠EDG=∴∠EDG=30° ∵tan∠OAC=

==，

==，

∴∠OAC=30°， ∴∠OAC=∠EDG， ∴ED∥AC． 方法二： （1）略．

（2）设C点坐标为（t，0），B点关于直线AC的对称点为B′， ∵∠ACB=90°， ∴AC⊥BC， ∴KAC×KBC=﹣1， ∵OA=

，∴A（0，

），B（2，

），C（t，0），

∴=﹣1，

∴t（t﹣2）=﹣1， ∴t=1，C（1，0）， ∴

，

，

，

∴B′x=0，B′Y=﹣

∴B关于直线AC的对称点即为点D．

（3）∵A（0，

），B（2，

），

∴，

解得：x1=2（舍），x2=﹣2， ∴E（﹣2，

），D（0，﹣

），A（0，

），C（1，0），

∴KED=∴KED=KAC， ∴ED∥AC．

，KAC=，

26．在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”，如图为点P，Q的“相关矩形”示意图． （1）已知点A的坐标为（1，0），

①若点B的坐标为（3，1），求点A，B的“相关矩形”的面积；

②点C在直线x=3上，若点A，C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的表达式； （2）⊙O的半径为

，点M的坐标为（m，3），若在⊙O上存在一点N，使得点M，N的“相

关矩形”为正方形，求m的取值范围．

【考点】圆的综合题．

【分析】（1）①由相关矩形的定义可知：要求A与B的相关矩形面积，则AB必为对角线，利用A、B两点的坐标即可求出该矩形的底与高的长度，进而可求出该矩形的面积； ②由定义可知，AC必为正方形的对角线，所以AC与x轴的夹角必为45，设直线AC的解析式为；y=kx+b，由此可知k=±1，再（1，0）代入y=kx+b，即可求出b的值；

（2）由定义可知，MN必为相关矩形的对角线，若该相关矩形的为正方形，即直线MN与x轴的夹角为45°，由因为点N在圆O上，所以该直线MN与圆O一定要有交点，由此可以求出m的范围．

【解答】解：（1）①∵A（1，0），B（3，1）

由定义可知：点A，B的“相关矩形”的底与高分别为2和1， ∴点A，B的“相关矩形”的面积为2×1=2；

②由定义可知：AC是点A，C的“相关矩形”的对角线， 又∵点A，C的“相关矩形”为正方形 ∴直线AC与x轴的夹角为45°， 设直线AC的解析为：y=x+m或y=﹣x+n 把（1，0）分别y=x+m， ∴m=﹣1，

∴直线AC的解析为：y=x﹣1， 把（1，0）代入y=﹣x+n， ∴n=1， ∴y=﹣x+1，

综上所述，若点A，C的“相关矩形”为正方形，直线AC的表达式为y=x﹣1或y=﹣x+1； （2）设直线MN的解析式为y=kx+b， ∵点M，N的“相关矩形”为正方形，

∴由定义可知：直线MN与x轴的夹角为45°， ∴k=±1， ∵点N在⊙O上，

∴当直线MN与⊙O有交点时，点M，N的“相关矩形”为正方形， 当k=1时，

作⊙O的切线AD和BC，且与直线MN平行，

其中A、C为⊙O的切点，直线AD与y轴交于点D，直线BC与y轴交于点B， 连接OA，OC，

把M（m，3）代入y=x+b， ∴b=3﹣m，

∴直线MN的解析式为：y=x+3﹣m ∵∠ADO=45°，∠OAD=90°， ∴OD=

OA=2，

∴D（0，2）

同理可得：B（0，﹣2）， ∴令x=0代入y=x+3﹣m， ∴y=3﹣m， ∴﹣2≤3﹣m≤2， ∴1≤m≤5，

当k=﹣1时，把M（m，3）代入y=﹣x+b， ∴b=3+m，

∴直线MN的解析式为：y=﹣x+3+m， 同理可得：﹣2≤3+m≤2， ∴﹣5≤m≤﹣1；

综上所述，当点M，N的“相关矩形”为正方形时，m的取值范围是：1≤m≤5或﹣5≤m≤﹣1

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