2008数学试卷答案及评分标准消防部队

二○○八年公安边防消防警卫部队院校 招生统一考试数学试卷答案及评分标准

一、单项选择题（共60分，每小题5分）

13．14．15．16．17． 18．三、解答题（共60分，其中19～20小题每小题10分，21小题12分，22～23小题每小题

14分）

23

(sin cos )2

左边

2cos2 2sin cos …………………………………………（4分） 19．证明：

(sin cos )2

2cos (cos sin )……………………………………………（6分）

sin cos

2cos ……………………………………………………（8分） 11 tan

2 2

右边

等式成立………………………………………………………………（10分）

20．解： 数列 an 为等差数列

an a1 (n 1)d，

Sn na1

n(n 1)

d2………………………………（2分）

由a3 8，得a1 2d 8，从而有a1 8 2d（1）

12 11

d 0

S 02 由12，得，即2a1 11d 0（2）

13 1213a1 d 0

2 由S13 0，得，即a1 6d 0（3）………………（6分）

16d

7 把（1）代入（2）得2(8 2d) 11d 0，解得

12a1

把（1）代入（3）得8 2d 6d 0，解得d 2………………………（8分）

公差d的取值范围为-

16

d 27 ……………………………………（10分）

21

．解： PF 5 点P(4,4)到准线x 1的距离为5

点P到焦点F的距离等于点P到准线的距离

圆锥曲线C为经过原点，开口向右的抛物线…………………………（2分）

2

设抛物线方程为y 2px，把点P(4,4)代入抛物线方程得p 2

2yC 圆锥曲线的方程为 4x……………………………………………（4分）

设直线l的方程为y 2x b，直线l与抛物线的两交点坐标分别为A(x1,y1)、

B(x2,y2)

22

4x 4(b 1)x b 0 Cl 把直线的方程代入圆锥曲线的方程得

b2

x1x2

x x 1 b4……………………………………（6分） 2 由韦达定理得1，

22

AB (x x) (y y)1212 ……………………………………………（8分） 22

(1 2)(x1 x2) 2

5[(x1 x2) 4x1x2]

22

5[(1 b) b] 5(1

2b)2

2

5(1 2b)

分）

解得b 4

直线l的方程为y 2x 4分）

22．解：设蓄水池的长为xm，造价为y

元 分）

由题意得 整理得

y (2 5 x 2 5

80008000

)a 2a(x 0)5x5

y 10a(x

1600

) 3200ax（x 06分）

1600…80x

y…10a 80 3200a 4000a10分）

x

1600x

x即x 40(m)时取等号 ………………………………（12分） 当且仅当

8000

40(m)

此时宽为5 40，造价y 4000a(元)

当蓄水池底面为边长40m的正方形时，蓄水池的造价最省，最省造价为4000a元……………………………………………………………………（14分）

x

23．解：连结AC、BD，设交点为O，AC与EF交于H，连结GH

（1） E、F分别为AB、AD的中点

EF∥BD

AC、BD为正方形ABCD的对角线

AC BD

EF AC 又GC 面ABCD

由三垂线定理得EF HG…………………………………………（2分） CHG为面GEF与面ABCD所成二面角的平面角……………（4分）

又由题可知AC

HC 在Rt△CHG

中，GC 2,HC tan CHG

GC HC3

面GEF与面ABCD

所成二面角的正切值为…………………（6分） （2） EF∥BD，且BD 面GEF

BD∥面GEF

点B到面GEF的距离等于点O到面GEF的距离………………（8分） 过O作OI GH，垂足为I EF 面CGH，OI 面CGH EF OI OI 面GEF

OI即为O到面GEF的距离 ……………………………………（10分） 在Rt△OHI

中，

HO tan CHG

…………………………………………………（12分）

OI HO sin CHG

点B到面GEF

的距离为…………………………………（14分）

sin CHG

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