2020版新设计一轮复习数学（文）江苏专版课时跟踪检测（三） 简

课时跟踪检测（三） 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

一抓基础，多练小题做到眼疾手快

1．(2019·南通中学高三检测)命题“?x∈(0，＋∞)，ln x＝x－1”的否定是“________________”． 答案：?x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1

2．(2018·镇江模拟)已知命题p：函数y＝ax1＋1(a＞0且a≠1)的图象恒过点(－1,2)；命题q：已

＋

知平面α∥平面β，则直线m∥α是直线m∥β的充要条件，则有下列命题：

①p∧q；②(綈p)∧(綈q)；③(綈p)∧q；④p∧(綈q)． 其中为真命题的序号是________．

解析：由指数函数恒过点(0,1)知，函数y＝ax1＋1是由y＝ax先向左平移1个单位，再

＋

向上平移1个单位得到．所以函数y＝ax1＋1恒过点(－1,2)，故命题p为真命题；命题q：

＋

m与β的位置关系也可能是m?β，故q是假命题．所以p∧(綈q)为真命题．

答案：④

3．若“x∈[2,5]或x∈(－∞，1)∪(4，＋∞)”是假命题，则x的取值范围是________．

??x＜2或x＞5，

解析：根据题意得“x?[2,5]且x?(－∞，1)∪(4，＋∞)”是真命题，所以?解得1≤x

?1≤x≤4，?

＜2，故x∈[1,2)．

答案：[1,2)

4．已知函数f(x)＝x2＋mx＋1，若命题“?x＞0，f(x)＜0”为真，则m的取值范围是________． 解析：因为函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象过点(0,1)，若命题“?x＞0，f(x)＜0”为真，则函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象的对称轴必在y轴的右侧，且与x轴有两个不同交点，

Δ＝m－4＞0，??

所以?m解得m＜－2，所以m的取值范围是(－∞，－2)．

??－2＞0，答案：(－∞，－2)

5．(2018·南京外国语学校模拟)已知命题p：?x∈R，使tan x＝1，命题q：x2－3x＋2＜0的解集是{x|1＜x＜2}，给出下列结论：

①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧綈q”是假命题；③命题“綈p∨q”是真命题；④命题

“綈p∨綈q”是假命题．其中正确的是________．

解析：命题p：?x∈R，使tan x＝1是真命题，命题q：x2－3x＋2＜0的解集是{x|1＜

x＜2}也是真命题，所以，①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧綈q”是假命题；③命题“綈p∨q”是真命题；④命题“綈p∨綈q”是假命题．故①②③④均正确．

答案：①②③④

6．(2019·海门实验中学检测)命题p：?x∈[－1,1]，使得2x＜a成立；命题q：?x∈(0，＋∞)，不等式ax＜x2＋1恒成立．若命题p∧q为真，则实数a的取值范围为________．

1解析：由x∈[－1,1]可知，当x＝－1时，2x取得最小值，

2

2

1

若命题p：?x∈[－1,1]，使得2x＜a成立为真，则a＞. 2若命题q：?x∈(0，＋∞)，不等式ax＜x2＋1恒成立为真， 1

即?x∈(0，＋∞)，a＜x＋恒成立为真，

x1

当x＝1时，x＋x取最小值2， 故a＜2.

1?

因为命题p∧q为真，所以a∈??2，2?. 1

，2? 答案：??2?

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1．命题“?n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是________________．

解析：全称命题的否定为存在性命题，因此命题“?n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是“?n∈N*，f(n)?N*或f(n)＞n”．

答案：?n∈N*，f(n)?N*或f(n)＞n

2．(2019·海安中学测试)若命题“?x∈[1,2]，x2－4ax＋3a2≤0”是真命题，则实数a的取值范围是________．

?f?1?＝1－4a＋3a2≤0，?2

解析：令f(x)＝x2－4ax＋3a2，根据题意可得?解得≤a≤1，所以实数a23??f?2?＝4－8a＋3a≤0，

2?的取值范围是??3，1?.

2?答案：??3，1?

3．(2018·南通大学附中月考)已知命题p：“任意x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“存在x∈R，使x2＋2ax＋2－a＝0”．若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是________．

解析：由题意知，p：a≤1，q：a≤－2或a≥1.因为“p∧q”为真命题，所以p，q均为真命题，所以a≤－2或a＝1.

答案：(－∞，－2]∪{1}

4．(2018·沙市区校级期中)函数f(x)＝x3－12x＋3，g(x)＝3x－m，若对?x1∈[－1,5]，?x2∈[0,2]，f(x1)≥g(x2)，则实数m的最小值是________．

解析：由f′(x)＝3x2－12，可得f(x)在区间[－1,2]上单调递减，在区间[2,5]上单调递增，∴f(x)min

＝f(2)＝－13，

∵g(x)＝3x－m是增函数，∴g(x)min＝1－m，

要满足题意，只需f(x)min≥g(x)min即可，解得m≥14， 故实数m的最小值是14. 答案：14

5．已知p：|x－a|＜4，q：(x－2)(3－x)＞0，若綈p是綈q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．

解析：由题意知p：a－4＜x＜a＋4，q：2＜x＜3，因为“綈p”是“綈q”的充分不必要条件，

???a－4≤2，?a－4＜2，?所以q是p的充分不必要条件．所以或?解得－1≤a≤6. ???a＋4＞3?a＋4≥3，

答案：[－1,6]

6．(2019·杨大附中月考)给出下列命题： ①?x∈N，x3＞x2；

②所有可以被5整除的整数，末位数字都是0； ③?x∈R，x2－x＋1≤0；

④存在一个四边形，它的对角线互相垂直． 则上述命题的否定中，真命题的序号为________．

解析：命题与命题的否定一真一假．①当x＝0或1时，不等式不成立，所以①是假命题，①的否定是真命题；②可以被5整除的整数，末位数字是0或5，所以②是假命题，②的否定是真命题；13

x－?2＋＞0恒成立，所以③是假命题，③的否定是真命题；④是真命题，所以④的③x2－x＋1＝??2?4否定为假命题．

答案：①②③

7．命题p的否定是“对所有正数x，x＞x＋1”，则命题p可写为________________________．

解析：因为p是綈p的否定，所以只需将全称命题变为存在性命题，再对结论否定即可．

答案：?x∈(0，＋∞)，x≤x＋1

ππ

－，?，m≤tan x＋1”为真命题，则实数m的最大值为________． 8．若“?x∈??44?

ππππ

－，?，可得－1≤tan x≤1，所以0≤tan x＋1≤2，因为?x∈?－，?，m≤tan 解析：由x∈??44??44?x＋1，所以m≤0，所以实数m的最大值为0.

答案：0

9．(2018·南京期末)已知m∈R，设命题p：?x∈R，mx2＋mx＋1＞0；命题q：函数f(x)＝x3－3x2

＋m－1只有一个零点，则使“p∨q”为假命题的实数m的取值范围为________．

解析：若p为真，当m＝0时，符合题意；

??m＞0，

当m≠0时，?则0＜m＜4， 2

?Δ＝m－4m＜0，?

∴命题p为真时，0≤m＜4.

若q为真，由f(x)＝x3－3x2＋m－1，得f′(x)＝3x2－6x， 令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.

∴当x∈(－∞，0)∪(2，＋∞)时，f′(x)＞0；当x∈(0,2)时，f′(x)＜0， ∴f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，单调递减区间为(0,2)．

∴f(x)的极大值为f(0)＝m－1，极小值为f(2)＝m－5.

要使函数f(x)＝x3－3x2＋m－1只有一个零点，则m－1＜0或m－5＞0，解得m＜1或m＞5. ∵“p∨q”为假命题，∴p为假，q为假，

??m＜0或m≥4，即?解得4≤m≤5， ?1≤m≤5，?

故实数m的取值范围为[4,5]． 答案：[4,5]

10．(2018·南京一中模拟)给出如下命题：

①“a≤3”是“?x∈[0,2]，使x2－a≥0成立”的充分不必要条件； ②命题“?x∈(0，＋∞)，2x＞1”的否定是“?x∈(0，＋∞)，2x≤1”； ③若“p∧q”为假命题，则p，q均为假命题． 其中正确的命题是________．(填序号)

解析：对于①，由?x∈[0,2]，使x2－a≥0成立，可得a≤4，因此为充分不必要条件，①正确；②显然正确；对于③，若“p且q”为假命题，则p，q中有一假命题即可，所以③错误．

答案：①②

11．已知命题p：函数y＝lg(ax2＋2x＋a)的定义域为R；命题q：函数f(x)＝2x2－ax在(－∞，1)上单调递减．

(1)若“p∧綈q”为真命题，求实数a的取值范围；

(2)设关于x的不等式(x－m)(x－m＋2)＜0的解集为A，命题p为真命题时，a的取值集合为B.若A∩B＝A，求实数m的取值范围．

解：(1)若p为真命题，则ax2＋2x＋a＞0的解集为R， 则a＞0且4－4a2＜0，解得a＞1. a

若q为真命题，则≥1，即a≥4.

4

因为“p∧綈q”为真命题，所以p为真命题且q为假命题， 所以实数a的取值范围是(1, 4)．

(2)解不等式(x－m)(x－m＋2)＜0，得m－2＜x＜m， 即A＝(m－2，m)． 由(1)知，B＝(1，＋∞)． 因为A∩B＝A，则A?B， 所以m－2≥1，即m≥3.

故实数m的取值范围为[3，＋∞).

12．设p：实数x满足x2－5ax＋4a2＜0(其中a＞0)，q：实数x满足2＜x≤5. (1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；

(2)若綈q是綈p的必要不充分条件，求实数a的取值范围． 解：(1)当a＝1时，x2－5x＋4＜0，解得1＜x＜4，

即p为真时，实数x的取值范围是1＜x＜4. 若p∧q为真，则p真且q真， 所以实数x的取值范围是(2,4)．

(2)綈q是綈p的必要不充分条件，即p是q的必要不充分条件，设A＝{x|p(x)}， B＝{x|q(x)}，则BA，

由x2－5ax＋4a2＜0得(x－4a)(x－a)＜0， 因为a＞0，所以A＝(a,4a)，

5

又B＝(2,5]，则a≤2且4a＞5，解得＜a≤2.

45?

所以实数a的取值范围为??4，2?.

13．(2019·启东检测)已知p：?x∈(0，＋∞)，x2－2eln x≤m；q：函数y＝x2－2mx＋1有两个零点．

(1)若p∨q为假命题，求实数m的取值范围；

(2)若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围． 解：若p为真，令f(x)＝x2－2eln x，问题转化为求函数f(x)的最小值．

2

2e2x－2e

f′(x)＝2x－x＝x，令f′(x)＝0，解得x＝e，

函数f(x)＝x2－2eln x在(0，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增， 故f(x)min＝f(e)＝0，故m≥0.

若q为真，则Δ＝4m2－4＞0，解得m＞1或m＜－1.

(1)若p∨q为假命题，则p，q均为假命题，即m＜0且－1≤m≤1， 所以实数m的取值范围为[－1,0)．

(2)若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则p，q一真一假．

??m≥0，

若p真q假，则实数m满足?即0≤m≤1；

?－1≤m≤1，???m＜0，

若p假q真，则实数m满足?即m＜－1.

?m＞1或m＜－1，?

综上所述，实数m的取值范围为(－∞，－1)∪[0,1]． 三上台阶，自主选做志在冲刺名校

x2

1．(2019·姜堰中学检测)设p：函数f(x)＝x－mx－1在区间[－1,1]上单调递减；q：方程＋m－1

3

y2

＝1表示焦点在y轴上的椭圆．如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数m的取值范围是9－m________．

解析：若p为真，由函数f(x)＝x3－mx－1在区间[－1,1]上单调递减， 得f′(x)＝3x2－m≤0在区间[－1,1]上恒成立，即m≥3x2，

当－1≤x≤1时，3x≤3，则m≥3；

x2y2

若q为真，由方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，

m－19－m9－m＞0，??

得?m－1＞0，??9－m＞m－1，

2

解得1＜m＜5.

如果p∨q为真命题，p∧q为假命题， 则p，q一真一假，

?m≥3，?若p真q假，则?得m≥5；

??m≥5或m≤1，??m＜3，

若p假q真，则?得1＜m＜3，

?1＜m＜5，?

综上，实数m的取值范围是(1,3)∪[5，＋∞)． 答案：(1,3)∪[5，＋∞)

2．(2018·宿迁中学月考)已知命题p：?x∈R，mx2＋2≤0，q：?x∈R，x2－2mx＋1＞0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围是________．

解析：因为p∨q为假命题，所以p，q都是假命题．

由p：?x∈R，mx2＋2≤0为假命题，得綈p：?x∈R，mx2＋2＞0为真命题，所以m≥0.

由q：?x∈R，x2－2mx＋1＞0为假命题，得綈q：?x∈R，x2－2mx＋1≤0为真命题， 所以Δ＝(－2m)2－4≥0，解得m≤－1或m≥1.

综上，可得m≥1. 答案：[1，＋∞)

当－1≤x≤1时，3x≤3，则m≥3；

x2y2

若q为真，由方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，

m－19－m9－m＞0，??

得?m－1＞0，??9－m＞m－1，

2

解得1＜m＜5.

如果p∨q为真命题，p∧q为假命题， 则p，q一真一假，

?m≥3，?若p真q假，则?得m≥5；

??m≥5或m≤1，??m＜3，

若p假q真，则?得1＜m＜3，

?1＜m＜5，?

综上，实数m的取值范围是(1,3)∪[5，＋∞)． 答案：(1,3)∪[5，＋∞)

2．(2018·宿迁中学月考)已知命题p：?x∈R，mx2＋2≤0，q：?x∈R，x2－2mx＋1＞0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围是________．

解析：因为p∨q为假命题，所以p，q都是假命题．

由p：?x∈R，mx2＋2≤0为假命题，得綈p：?x∈R，mx2＋2＞0为真命题，所以m≥0.

由q：?x∈R，x2－2mx＋1＞0为假命题，得綈q：?x∈R，x2－2mx＋1≤0为真命题， 所以Δ＝(－2m)2－4≥0，解得m≤－1或m≥1.

综上，可得m≥1. 答案：[1，＋∞)

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