2012级郑州大学工学院高数课后习题答案

习题2.1

1． 已知质点做直线运动的运动方程为s?t2?3，求该质点在t?5时的瞬时速度. 解：因为 s??t??2t，所以，v?5??s??5??2?5?10. 2． 若limf?x??f?a?x?ax?a，试判断下列命题是否正确. ?A（A为常数）

（1）f?x?在x?a处可导； （2）f?x?在x?a处连续. 解：

（1）因为f??a??limf?x??f?a?x?ax?a?A，所以，f?x?在x?a处可导，命题正确；

（2）因为可导必连续，故f?x?在x?a处连续，命题正确. 3．利用导数定义求下列函数在指定点的导数.

3（1）y?x,x0?1； （2）y?2x?1,x0?1；

（3）y?cosx,x0?解：

（1）f??1??lim（2）f??1??lim?2； （4）y?1x,x0?2.

f?x??f?1?x?1f?x??f?1?x?1x?1?limx?1x?13x?1?lim?x?1??x2?x?1x?1x?1?lim2?x?1?x?1??lim?xx?12?x?1?3；

?x?1?lim?2x?1??3x?1x?1x?1?2；

???（3）f????lim?2?x?????f?x??f???2?x??2?limx?cosxx??2?2?limx????sin??x??2?x???lim2x??x?2?2?22x??2??1；

1（4）f??2??lim

f?x??f?2?x?2x?2112?x??lim??. ?limx2?limx?22xx?2x?2x?22x?x?2?4?1?x2,x?1,4．讨论f?x???在点x?1处的连续性与可导性.

?2x,x?1,解：

（一） limf?x??limx?1；

2x?1?x?1?1

limf?x??lim2x?2.

x?1?x?1? 因为 limf?x??limf?x? ，因此f?x?点x?1处无极限，从而也不连续.

x?1?x?1?（二） 因为连续是可导的必要条件，所以，f?x?点x?1处不可导. ?x,x?0,1?5．讨论f?x???在点x?0处的连续性与可导性.

1?ex?x?0,?0,解：

x?（一）limf?x??limx?0?x?01?01?0?0；lim?f?x??lim?x.x?0e?1x?1x?0?01?0?0，

1?ex??x?01?e因为limf?x??limf?x??f?0?，故f?x?点x?0处连续.

x?0x?0（二）f???0??limf?x??f?0??x?0x?0?lim?x?011?11?01x??1；

1?ex f???0??limf?x??f?0??x?0x?0?lim?x?011?e?1x?01?0?0.

1?ex1?e因为f???0??f???0?，所以，f?x?点x?0处不可导. 6．已知f??3??2，求极限lim解：limf?3?h??f?3?2h??f?3?h??f?3?.

2hf?3???h???f?3??hh?012h?0limh?0??12f??3???1.

?2,x?1,?7．设f?x???1?x2已知函数点x?1处可导，试确定a,b的值.

?ax?b,x?1,?解：（一）因为可导必连续，所以f?x?在x?1处连续，即

limf?x??limf?x??f?1? ①

x?1?x?1?其中 f?1??1；

lim?f?x??lim?x?1x?1??21?x2?1；

limf?x??lim?ax?b??a?b.

x?1x?12

所以，有

a?b?1. ② （二）因为以f?x?在x?1处可导，所以，应满足f???1??f???1?.

2其中，f???1??limf?x??f?1??x?1x?1?lim?1?xx?1x?1??lim?x?12?1

??1；

?lim?x?11?x21?x1?x2?x?1??1?x2?f?x??f?1?x?1x?1f???1??lim?x?1?lim?x?1?ax?b??1x?1（由②）

?a?lim?x?1a?x??1?a???1??lim?x?1a?x?1?1?x2.

所以，a??1,b?2.

8．证明：

（1）可导的奇函数的导数为偶函数； （2）可导的偶函数的导数为奇函数；

（3）可导的周期函数的导数为具有相同周期的周期函数. 证明：

（1）设奇函数f?x?处处可导.在点x处由导数定义有 f??x??lim ?limf?x??x??f?x??x?xf??x??x??f??x??xf???x?????x???f??x???x?x?0（因为f?x?为奇函数）

??f??x??x?????f??x??

?x?0 ?lim??x?0 ?lim?x?0

?f???x?

即证明了对于任意点x，有 f???x??f??x?，所以，f??x?为偶函数. （2）设偶函数f?x?处处可导.在点x处由导数定义有 f??x??lim ?limf?x??x??f?x??x?0?xf??x??x??f??x??xf??x（因为f?x?为偶函数）

?x?0 ??lim???x?????x???f??x??x?0 ??f???x?

3

即证明了对于任意点x，有 f???x???f??x?，所以，f??x?为奇函数. （3）设以T为周期的函数f?x?处处可导.在点x处由导数定义有 f??x?T??lim ?limf?x?T??x??f?x?T?x?x??x?0（因为f?x?为周期函数）

f?x??x??f?x??x?0

??f??x?

即证明了对于任意点x，有 f??x?T??f??x?，所以，f??x?也是以T为周期的函数. 9．设f?0??0,f??0?存在，求lim. 2tanxf?1?cosx?f?0??1?cosx???f?0?1?cosx?lim.解：lim 22x?0x?0tanx1?cosxtanxx?0f?1?cosx? ?limf?0??1?cosx???f?0?1?cosx11 ?f??0???f??0?.

22x?0.lim1?cosxtanx2x?0

1其中 lim

f?0??1?cosx???f?0?1?cosxx?0?f??0? ；lim1?cosxtanx2x?01（等价替换）?lim22?.

x?02xx2习题2.2

1． 求下列函数的导数.

2（1）.y?4x?3x?1； （2）. y?2x?51x?sinx；

（3）. y?x4lnx； （4）. y?sinx?x?1；

（5）.y?2cosx?3x； （6）. y?2?3；

xx（7）. y?log2x?x2； （8）. y?x?lnx?1；

x2（9）.y?e?x?1?cosx； （10）. y?1?x1?x.

解：

（1）.y??4?x2???3?x????1???8x?3；

5（2）. y??2?x????1??4?????sinx??2?5x???x?1????2???cosx? ?x?4

?10x?41x2??cosx?； ?1（3）.y???x4?lnx?x4?lnx???4x3lnx?x4.?4x3?lnx?1?；

x（4）.y???sinx????x????1???cosx?1?0?cosx?1；

（5）.y??2?cosx??3?x???2sinx?3；

??（6）. y???2x???3x??2xln2?3xln3； （7）. y???log2x???x2????1xln2?2x??；

（8）. y???x????lnx????1??；

???（9）.y???ex??x2?1?cosx?ex?x2?1?cosx?ex?x2?1??cosx?

?e?ex?x?x2?1cosx?2xecosx?sinxe?1?cosx?sinx??2xecosxx?xx?x2?1?

x2?；

（10）.

??1?x???1?x???1?x??1?x??2?1?x?y?????.； ??22?1?x??1?x??1?x?2． 求下列函数的导数.

（1）.y?4?x?1???3x?1?； （2）. y??1?2x?；

227（3）. y?lnlnx； （4）. y?lnsinex；

（5）.y?2ln1x； （6）. y?arctan2x；

?x?2?（7）. y?e?3xsin2x； （8）. y?lntan?（9）.y?sinln2x?12???；

4?22； （10）. y?lnx??x?a.； 1?x；

2?（11）.y?arcsin?sin??x?； （12）.

1??； x?y?arccosx（13）. y?ln?arccos2 （14）. y?a?x1?x1?x2322；

（15）.y?sinx2sinx； （16）. y?3；

5

（17）. y?arctan（19）.y?x221?x1?x2； （18）. y?arctan?tan2x?；

a2x?a?2ln(x?x?a)

22（20）. y?lnx21?x?1?x?221?x1?x；

xa（21）.y?a?x?a22arcsin；

（22）.y?sin?sin(sinx)?. 解：

（1）.y??8?x?1??.x?1??2?3x?1??.3x?1??8?x?1??6?3x?1??26x?14；

??（2）. y??7.?1?2x?6?1?2x????14(1?2x)6； （3）. y??1lnx1sine1xx?lnx???x1xlnx；

1x （4）. y??（5）.y??2ln?sine???sine.cose.ex????exxcotex；

?1ln?1??ln2?ln??2xln2??lnx?； ?x?1（6）. y??1??2x?2?2x???21?4x2；

??（7）. y???e?3x??3x??sin2x?e?3x?cos2x?2x???e?3x??3sin2x?2cos2x?；

????????（8）.

?x??cos???????1x?x?24?x??????????2y??tan?????sec???.???? ??x???x????24???24??24??tan????sin?????2424??????x??cos???11?24??..??2?x??2?xsin???cos????24??24?

?1?x?2sin???24??x??cos??????24??1?sin?x??2?????1cosx?secx.

6

（9）.y??cosln?1?1?2x?1?ln?2x?1???cosln2?2?cosln2x?1.

?1?2x?1???2x?1???2x?1?

?12x?1（10）. y??x?1x?a1x?x?a2222?x?x?a22??x??1x?a22?1221?x?a?2????x?212?a2????

? ???11?.2x???22x?2x?a??1x?a22????x?a2?x?? 22x?a??2 ??1x?a22.

（11）.y??11?sin?2x?2?sin2?x ??11?sin4?.2sinx?sinx? x ?11?sinx4.2sinxcosx?sin2x1?sinx4；

??12?1?x?? 2?21?x?（12）. y???1?1?1?x?22?1?x????21x2??

?x1?1??????2x??2x?21?x2x1?x?；

????1??x??11x?1arccosx（13）. y??1arccos??arccos1?x?11???x?arccos???1?1????? 2?1??x??1?????x?? ????1arccos?x1?11??x?1?2xxx???????2x；

（14）. y????12222?1.a?x?x.?a?x?22?2a?x????a?x22?2

???1??2x??1.a?x?x.?22?2a?x?22?a?x22?2?a2?a?x22?3

7

（15）.y???2sinx?sinx???.sinx2?sin????sin22?22x.cosx.x????????x2

??2sinxcosx?.sinx2?sin2x.?2xcosx2?sinx22222

?sin2x.sinx?2xsinx.cosxsinx2?2322；

1?1?x??（16）. y???3?3?1?x????1?x2?1????1?x3?3??3?2x.1?x3?1?x2.?3x2?32221?x??1?x?????1?x3???1?????????

??? ?133?1?x3?2x?3x2?x4??； ?1?x3?.321?x??2??（17）.

?21?x?1?x?2??y???.??2?1?x?2??1?x?2?1?x?2?1?x??1?x?1???1?x??111?x2

?；

（18）. y?arctan?tan2x?；

y??11?tan?2x?22?tan；

2x???11?tan4?2tanx?tanx??????x?

?2tanx.secx1?tanxx24（19）.y?x?a?22a22ln(x?x?a)；

22?xy????2?2a?x?a??ln(x?2?22?x?a)

2????a?????2????x?22??

??1????2x?a22x?122??x?a2?2x2?a2??1x?a22(x??x?a)???22

?1???2x?a22?a2?????2222x?a???x?x2???1?1?.2x???22?22x?a?2x?a???1

8

?x2?a2?x2?a2????222?2x?a???1x?a1?x1?x22?2x?a2?22?2?x?a.

222x?a（20）. y?ln1?x?1?x?1?x?1?x?1?x；

y?ln??ln?1?x???1?x?1?x2x?22?1?1?x??ln

x?? ?ln1?1?x2?lnx.

y??ln1?1?x????2????lnx????11?1?x2?1?1?x2??1 x? ?11?1?x2?121?x?0?221?x??????1

?x2? ?1?11?x2.x1?x2?1x?1?1?xx2.x1?x2?1x

?1?1?xx1?x22?1x?1x1?x22；

xa（21）.y??xy????2x2a?x?2a22arcsin；

??2ax???22a?x???arcsin?

2a?????a2x?12222??a?x??.a?x???2?2a2?x22???

??1????2???x???2a?x???1????a?1?

?1212a?x?22x222?a22aa?x22a?x222.1a

?a?x?aa?x222；

2a?x（22）.y?sin?sin(sinx)?.

解：y??cos?sin(sinx)?(sin(sinx))??cos?sin(sinx)?.cos(sinx).(sinx)?

?sin(sixn)?. ?cosx.cos(sinx).cos9

3． 设y?f?sinx2?，其中f?x?可导，求y?.

?2?22222解：y??f??sinx2??.sinx??f??sinx?.cosx.?x??2xcosxf??sinx?.

??????4． 设函数u?x?,v?x?可微，求下列函数的导数.

（1）y?u2?x??v2?x?，?u2?x??v2?x??0?； （2）y?arccot解： （1）y??1212u?x?v?x?,?v?c??0?.

?u.2?x??v?x??2?12.u?2?x??v2?x??

? ?1u2?x??v?x?2.?2u?x?.u??x??2v?x?.v??x??；

（2）

?2?u??x?.v?x??u?x?.v?x??v?x??u?x??y???? 2???u2?x??v2?x??2???vx??vx????u?x???1????v?x??1 ??u??x?v?x??u?x?.v?x?u2?x??v2?x?.

5．设y????ln??x???，其中??x?为正值可导函数，求y?. ???x????1?????????????x.?x?ln?x.?x??????ln??x??????x??ln??x???ln??x???? 解：y??????.??.??????2???x????x?????x?????x?????? ????x??1?ln??x???2?x??ln??x??.????. ???x??6．设y?f??2x?3?2?，f??x??arctanx?2x?3? ① ，求y??0?.

?12?2x?3??2x?3??2x?3???f.解：因为y??f??. ② .?????2?2x?3??2x?3??2x?3??2x?3?10

所以，y??0??f???1?.x129?arctan??1??2129??3.

7．设y?arctane?ln解：y?arctanex? y??11??exe2x2x1?e,求y??0?.

2x12x?2x?ln?1?e??

11?e2x?2?e???1??2?2? ?1?e????2x??ex2x1?e2xx?1?2ee?1??2??. 2x?2x2?1?e?1?e所以，y??0??1.

习题2.3

5． 求下列方程所确定的隐函数的导数.

（1）.exy?sin?x?y??0； （2）y3?y2?2x2；

（3）. y?1?xey； （4）arctanyx?lnx?y.

22解：（1）方程exy?sin?x?y??0两边对自变量x求导，有 exy?y?xy???cos?x?y?.?1?y???0，即

?xexy?cos?x?y?.y???ye?xy?cos?x?y?

所以 y???yexexyxy?x?y??cos?x?y??cos.

（2）方程y3?y2?2x2两边对自变量x求导，有 3y2y??2yy??4x，即

3y?2yy??4x.

?2? 所以 y??y4x3y?2y2.

（3）解：方程y?1?xe两边对自变量x求导，有

y??0?ey?xeyy?，即?1?xey?y??ey.

11

所以 y??（4）先将方程arctanarctanyx2eyy1?xe2?ey2?y2.

yx??ln122x?y.化简为

lnx?y.

22??方程arctan

yx?lnx?y两边对自变量x求导，有

1?y?x?y?1.?..?2x?2yy??，即 ??2222?2x?y?y??x1????x?11?y?x?y?1.?..?2x?2yy?? ??22222x?y?x?2x?yx2 化简得 y?x?y?x?yy? 即 ?x?y?y??x?y 所以 y??2．求下列函数的导数（1） 解：

dydtx?yx?y.

.

dydx?x?a?t?sint?, ???y?a1?cost.??asintdydx?dydt；

dxdt??a?1?cost?. 1?costsint.

所以

dxdt?x?etcost,（2）? t?y?esint.解：

dydt?e?sint?cost?；

tdydt?e?cost?sint?.

t所以

dydx?dydtdxdt?sint?costcost?sint.

?x?3e?t,（3）? t?y?2e.解：

12

dydt?2et；

dydt??3e?t.

所以

dydx?dydtdxdt??23e.

2t3at?x?,2?1?t（4）? 23at?y?.21?t?解：

dydtdxdt?3a1?t???3at.2t?1?t?2222?3a?1?t2?1?t?6at2222?；

?6at?1?t??3at?1?t?222.2t?2t?1?t?2；.

所以

dydx?dydtdxdt?1?t.

?x?2cos3?,（5）? 3y?4sin?.?解：

dxd?dyd??6.cos?(?sin?)；

2?12sin?.cos?.

2所以

dydx?dyd?dxd???2tan?.

2??x?3t?2t,（6）?y

??esint?y?1?0.解：（将方程中x,y均视为t的函数），对所给方程两边关于t求导，得：

?dx?dt?6t?2?2?1?3t?,? ?dyydy?y??t??0?e.?.sint?ecos?dtdt????1?

?2?.由（2）式，得： 所以

dydx?dydtdxdt?ecost2?1?3t?1?esintyydydt?ecost1?esintyy （3）

??.

13

3.求下列函数的导数

dydx.

（1）y?xx?x?0?； 解：

dydx?e?xlnx???exlnx?xlnx?1?lnx??xx(1?lnx).?xlnx??e ①.

（2）y?x?xx?xx?x?0?； 解：?xxxx???e?xlnxx???exlnxx?xxlnx??

?exxlnx???x?x.?x?lnx?x?lnx?（由①） ?????xx1?.?x.?1?lnx?.lnx?x.?

x?? ?exxlnx ?xx.?xx.?1?lnx?.lnx?xx?1?； ②

xdydxx??x?x（将①、②代入） ??x???x??x?? ?1?xx?1?lnx??xx.?xx.?1?lnx?.lnx?xx?1?.

x（3）

1??y??1??x??x

解：lny?x?ln?1?x??lnx?. 上式两边关于x求导，得

11??1y???ln?1?x??lnx??x???y?1?xx?

?ln?1???1?1??x?1?x .

所以

??1?1??1???1?1?y??y?ln?1????1?.ln1?????????x?1?x??x???x?1?x???2x.

??x?1??x?2??x?3??3（4）y??? 3x?x?4???解：lny?14

23?ln?x?1??ln?x?2??ln?x?3??3lnx?ln?x?4??.

上式两边关于x求导，得

1yy??2?11131??????3??x?1x?2x?3xx?4?2

所以

2??x?1??x?2??x?3??3y??.??33?x?x?4??x1131??1.???????x?1x?2x?3xx?4?.

（5）y?x?x?0?.

解：lny?1xlnx.

上式两边关于x求导，得

1yy??1?lnxx2x ，所以， y??1?e.

14xx2x.?1?lnx?. .

（6）． y?解：lny?12?xsinx?lnx?12ln?sinx??ln1?e?x?.

两边关于x求导，得

1y1y??111111x.?..cosx?..?e. 即 x2x2sinx41?e??1111e y??.?.cotx?.. xy2x241?ex所以

x?111?1e1y??y?.?.cotx?.?x?241?e??2x2?xsinx?1?exx?11e??cotx?.x21?e?x??. ?4．求曲线?解：故

dydtdydx?x?sint,?y?cos2t.在参数所对应的点处的切线方程与法线方程.

?cost??2sin2t?dydtdxdt；

?dxdt.

?2sin2tcost??4sint.

曲线对应t???4处点的切线斜率为k?2dydx|t??4??4sin?4??22.

当t??2?,y?0，故切点坐标为?时，x?,0?. ??42?2?15

所以曲线对应t??4处点的切线方程为

?2??，即 y??22x?2. y??22?x??2???曲线对应t??4处点的法线方程为

?2??x??，即 ?2??22??1 y?? y?122x?14.

5．求曲线x2?xy?y2?4 ①在点?2,?2?处的切线方程与法线方程. 解：方程①两边对自变量x求导，有 2x??y?xy???2yy??0，即

?x?2y?y??所以 y????2x?y.

.

2x?yx?2y曲线在点?2,?2?的切线斜率为k?y?|?2,?2??1. 所以，曲线在点?2,?2?的切线方程为 y?2?1.?x?2?.即 y?x?4. 曲线在点?2,?2?的法线方程为

y?2??1.?x?2?.即 y??x. 6．求下列函数的导数. （1）y?x?3；

?3?x,x?3,?解：（1）y??0,x?3,

?x?3,x?3.?当x?3时，y??(3?x)???1； 当x?3时，y??(x?3)??1； 当x?3时，

??3??limy??x?3f?x??f?3?x?3?lim?x?3?3?x??0x?3??1；

16

??3??lim y?f?x??f?3??x?3x?3?lim?x?3?x?3??0x?3?1.

??3??y???3?，故y??3?不存在. 因为y?x?3,??1,?所以，y??不存在,x?3,

?1,x?3.??x3?2x2,x?0,?（2） y??2x2?x3,0?x?2,；

?32x?2x,x?2.?当x?0时，y??(x3?2x2)??3x2?4x； 当0?x?2时，y??(2x2?x3)??4x?3x2； 当x?2时，y??(x3?2x2)??3x2?4x.

??0??limy??x?0f?x??f?0?x?0f?x??f?0?x?0?lim?x?0x?2xx2x?xx232?0；

3??0??limy??x?0?lim?x?0?0.

??0??y???0??0，故y??0??0. 因为y???2??limy??x?2f?x??f?2?x?2f?x??f?2?x?2?lim?x?22x?xx?223?lim?x?2x2?2?x?x?2??4；

??2??limy??x?2?lim?x?2x?2xx?232?lim?x?2x2?x?2?x?2?4

??2?，故y??2?不存在. ??2??y?因为y??3x2?4x,x?0,?2?4x?3x,0?x?2所以，y???

?不存在，x?2,?3x2?4x,x?2.?1?xarctan,x?0,? f?x???x?0,x?0.?（3）

17

解：当x?0时

??11y??(xarctan)??arctan?x??xx?1???arctan??0??limy??x?0??1?1??.?2? 2??1??x??????x??1x1?xf?x??f?0?x?0?x2；

1x1x????lim?arctanx?0?2；

??0??limy??x?0f?x??f?0?x?0?lim?arctanx?0?2??0??y???0?，故y??0?不存在. ，因为y?所以，

1x??,x?0,?arctan2? f?x???x1?x?不存在,x?0.??xe?x,x?0,（4）f?x???

?ln(1?x),x?0.解：当x?0时，y??(xe?x)??e?x?xe?x??1?x?e?x；

当x?0时，y??(ln?1?x?)????0??limy??x?011?x.

?1；

f?x??f?0?x?0f?x??f?0?x?0?lim?x?0xe?xx??0??limy??x?0?lim?x?0ln?1?x?x?1.

??0??y???0??1，故y??0??1.所以 因为y????1?x?e?x,x?0,?x?0, f??x???1,?1?,x?0.?1?x习题2.4

6． 设k为常数，求下列函数的n阶导数.

（1）y?e； （2）y?sinkx； （3）y?coskx；（4）y?a. 解：（1）y???ekxkxkx???e?kx???kekxkxkxkx； ekxy???ke18

????k?ke??k2；

归纳可得 y?n??knekx.

（2）y???sinkx??coskx?kx??kcoskx；

??2y???k?coskx??k???sinkx??kx????ksinkx；

????y????ky?4?2???sin3??23kx???k?coskx?kx????kcoskx；

??????34kx???k??sinkx?kx???ksinkx.

??????k?cos 归纳可得 y?n??knsin?kx???n???. 2???n???. 2?（3）类似于（2）的求法，y?n??kncos?kx???（4）y???akx??akxlna.?kx??klna.akx；

y???klnaa????klna.?klna.a??kkxkx2.lna.a2kx；

归纳可得 y?n??knlnna.akx.

2．设y?a0?a1?x?x0??a2?x?x0??a3?x?x0????an?1?x?x0?23n?1?an?x?x0?

n，求函数在点x0处的各阶导数. 解：

y??0?a1?2a2?x?x0??3a3?x?x0?????n?1?an?1?x?x0?2n?2?nan?x?x0?n?1

所以，y??x0??a1；

y???2.1a2?3.2a3?x?x0?????n?1??n?2?an?1?x?x0?所以，y???x0??2!a2；

y????3.2.1a3????n?1??n?2??n?3?an?1?x?x0?n?4n?3?n?n?1?an?x?x0?n?2；

?n?n?1??n?2?an?x?x0?n?3；

所以，y????x0??3!a3； 归纳可得 yy?k??x0??k!ak(k?1,...n,)

?n).

?k??x0??0.(k23．已知y?ln?1?x19

?，求y???0?.

解：y??11?x2?1?x???22x1?x2；

?2221?x?2x.2x21?x?2x? y????； ???22222?1?x?1?x1?x???????? 所以，y???0??2.

1?x?t?,2?dy?t4．求由方程??t?0?确定的函数的二阶导数2. 2dx?y?t?lnt,?2?解： （一）

dydt?t?1t?1?tt?2；

dydtdxdtdxdt?1?1t2?1?tt22.

所以

dydx22dydx?t.

2（二）

d?dy?dt1t???. ???2dxdx?dx?dx1?tdt125．求由方程x?y?siny?0 ①所确定的隐函数的二阶导数

dydx22.

解：（一）①式两边关于x求导，得 1???dydx?12cosy.dydx?0

即 ?1?dydx21?dycosy?.?1 2?dx所以 ?1?112cosy?22?cosy. ②

（二）

dydx2?d?dy?d2() ???dx?dx?dx2?cosy ?ddy2?cosy4siny(2).dydx??2siny?2?cosy?2.22?cosy

???2?cosy?y3.

6．设函数y?y?x?由方程e?xe20

f?y? ①所确定，其中f二阶可导，且f??1，求y??.

解：①两边取对数，得

y?lnx?f?y? ② ②式两边关于x求导，得 y??1x?f??y?.y?

即 xy??1?xf??y?.y? ③ 由③式解得

y??1x?1?f??y?? 所以

y?????1???x?1?f??y?????x?1?f??y???????x?1?f??y???2 ???1?f??y???x?0?f???y?y??1?f??y??xy?f???y?x2?1?f??y??2??x2?1?f??y??2（将④代入）1?f??y??x.1x?1?f??y??.f???y? ??x2?1?f??y??2

???1?f??y??2?f???y?x2?1?f??y??3.

7．设y?1?n?x2?2x?3，求y.

解：y?1?x?1??x?3??1?11?14???x?1x?3????x?1??1??x?3?4??1?. y??14???1?.?x?1??2???1??x?3??2?；

y???14???1?.??2?.?x?1??3???1?.??2?.?x?3??3?；

归纳可得 y?n??1???1?.??2????n??x?1??n?1???1?.??2?.???n??x?3??n?14?

???1?nn!?14?n??1???x?1?1?x?3?n?1?. ?8．设y??1?x2?cosx，求y?n?.

9．设f?x?具有任意阶导数，且f??x???f?x??2.，求f?n??x??n?2?.

21

④

证明：因为f??x???f?x??2，

所以 f???x??2f?x?.f??x??2.1.?f?x??3； f????x??3.2.1?f?x??2.f??x??3!?f?x??4；

??归纳可得：f?n??x??n!?f?x??n?1.

复习题2

1. 设??x?在x?a处连续，试讨论f?x???x?a???x?与g?x??x?a??x?在x?a处的可导性. 解：

（一）因为limf?x??f?a?x?ax?a?lim?x?a???x?x?ax?a?lim??x????a?，所以，f?x?在x?a处

x?a可导，且f??a????a?.

??a??lim（二）g?g?x??g?a??x?ax?ag?x??g?a?x?a?lim??x?a???x?x?ax?a??lim??x?????a?；

x?a??a??lim g?x?a??lim?x?a???x?x?ax?a?lim??x?????a?.

x?a??a??0，所以，g?x?在x?a处可导，且g??a??0；??a??g?（1）当??a??0时，因为g? ??a??g???a?，所以，g?x?在x?a处不可导. （2）当??a??0时，因为g?2．设f?0??0，f??0?存在，求limf?1?cosx?2tanxf?1?cosx?f?0??1?cosx???f?0?1?cosx?lim.解：lim 22x?0x?01?cosxtanxtanxx?0.

?limf?0??1?cosx???f?0?1?cosx12?12f??0?.

x?0.lim1?cosxtanx2x?0

?f??0??1其中 limf?0??1?cosx???f?0?1?cosxx?0?f??0? ；limf?x?x1?cosxtanx2x?01（等价替换）?lim22?.

x?02xx23．若函数f?x?在点x?0处连续，且lim证明： 设limf?x?xx?0存在，证明f?x?在点x?0处可导.

x?0?A ①

.limf?x??A?0?0. ② 则 limf?x??lim?.x??limx?0x?0x?0x?0x?x?22

?f?x??f?x?

又因为f?x?在点x?0处连续，故 f?0??limf?x??0. ③

x?0所以 f??0??limf?x??f?0?x?0x?0 ?limf?x?xx?0?0.

4．设曲线y?f?x?在原点与曲线y?sinx相切，求limx????2?xf??. ?x?解：因为曲线y?f?x?在原点与曲线y?sinx相切，故

f?0??0 ① 且

?f??0???sinx?|x?0?cosx|x?0?1 ②

?2?f???f?0??x?.2?2xx???lim?2?xf???limx????x??2?f???f?0??x?2?2xx???lim2f??0??2.

5．设函数f?x?在???,???内有定义，f?x??0，f??0??1，且对任意x,y????,???，恒有f?x?y??f?x?.f?y?①成立，证明f?x?在???,???内可导，且f??x??f?x?. 证明：

（一）①中,取x?y?0，得 f?0??f所以f?0??1.

2?0?，故 f?0??1 或f?0??0.又因为f?x??0，

（二）由导数定义，对x????,???，

f??x??lim?limf?x??x??f?x??xf?x?.?f??x??1??x?0

?x?0 ?f?x?.lim?xf?0??x??f?1??x

?x?0?f?x?.f??0??f?x?.

?1?cosax,x?0,?x??x?0,在在???,???内处处可导，并求f??x?. 6．求a,b的值，使函数f?x???0,?2lnb?x?,x?0.?x???解：（一）因为可导必连续，所以f?x?在x?0处连续，即

23

limf?x??limf?x??f?0?.----------------------（1）

x?0?x?0?1 其中，limf?x??limx?0?1?cosaxxln?b?xx2x?0??lim2x?0?ax?x2?0；

所以，limf?x??limx?0??x?0??lim?fx?0?x??0.

因此，必有，limln?b?x2??lnb?0?b?1；

x?0（二）因为以f?x?在x?0处可导，所以，应满足： f???0??f???0?.

1?cosax其中，f???0??limx?0f1?x??f?0?x?0??lim?x?0xx?0

?lim1?cosxx2x?0?lim2x?0?ax?x22?12a;

2f???0??lim?x?0f?x??f?0?x?0?limln?b?xx22?x?0?limln?1?xx22?x?0?1.

所以，

a22?1?a??2. ??xsin2x?1?cos2x,x?0,2?x?且：f??x???1,x?0,.

?2222x?1?xln1?x?????,x?022?x?1?x??7．设f?x??3x?xx，试求f323??2x,x?0,解： f?x???3??4x,x?0.?n??0?存在的最高阶数n.

（一）f??0??limf?x??f?0?x?0x?0 ?lim3x?xxx32?lim3x?xx?0；

x?0x?0?2?2??6x,x?0, f??x???2??12x,x?0.

24

（二）f????0??limf??x??f??0??x?0x?0 ?limx?06x?0?2x?02?lim?6x?0；

x?0 f????0??limf??x??f??0??x?0x?0 ?limx?012x?0?x?0?lim?12x?0.

x?0 故 f???0??0. f???x????12x,x?0,?24x,x?0.

12x?0?（三）f?????0??lim f????0??limf???x??f???0??x?0x?0f???x??f???0?x?0?n? ?limx?0x?0? ?limx?0x?024x?0x?0?12；

??24..

故 f????0?不存在.所以求f?0?存在的最高阶数n?2.

22?dy?x?3t?2t?3,8．设y?y?x?由方程?所确定，求. 2|t?0ydx??esint?y?1?0,解：（将方程中x,y均视为t的函数），对所给方程两边关于t求导，得：

?dx?6t?2?21t?3??????????dt ?dyydyy?sinte?ecot?s???0??dtdt?(1)------------（*）

(2).由（2）式，得：

dydt?ecost1?eyysitn?eycots????(3) ?2y由（1）、（3）式得：

y??dydxy?dydt

?ecostdx?dt2?1?3?t??2cots2?1?t3?y???(4)y?2?ye

y?????????????(5)（5）式两端关于x求导，得：

?y?e?ey??2?y?yye2yy??2?yeyy????1?sitn??1t?323tcdtosdx?1?3t?32，

即：?3?yeyy??22?yeyy????1?1?3t?sint?3cost4?1?3t???????(6).

25

又当t?0时，y?1?y?|所以，

dydx22t?0?e2，代入（6）式??e2?1ey??|t?0??34

|t?0?y??|t?0?e3?e?e?????2e?3?. ?24?4y9．设y?y?x?由方程y?1?xe ①所确定，求解：（一）①关于x求导得

dy?ydy?y?0?1.e?x?e.? dxdx??ydydx33.

即 ?1?xe由②式解得

2?dydx?e ②

ydydx?eyy1?xe（因为①）?ey1??y?1??ey2?y. ③

（二）

dydx2yd?dy?d?e?????dx?dx?dx??2?yyy?d?e????dy?2?y??2y?dy?.?dx ? ?e?2?y??ey??1?ey.22?y?2?y??e?3?y?. ④ 3?2?y?（三）

dydx332d?dy??2dx?dx?2y2y2y?d?e?3?y??d?e?3?y??dy?????.?? 3?3??dx?????2?y??dy??2?y??dx?2e ? ?e3y?3?y??e2y?.?2?y?3??e2y?3?y??.?3?2?y?2.??1??ey.2?y?2?y?62

19?12y?2y?2?y?5.

10．设雨点为球状物，若雨点体积对时间的变化率与表面积成正比，证明雨点半径增加的速

率为一常数.

解：设半径为r的球体的体积及表面积分别为V和S. 则有 V?43?r ① ， S?4?r2 ②

3 ① ①式两边关于t求导得

dVdt?4?r.2drdt?S.drdt ③

由题意，雨点体积对时间的变化率与表面积成正比，故可设

26

将④代入③得

dVdt?kS（k为正常数） ④

kS?S.drdt

所以，有

1xdrdt?k，即证明了雨点半径增加的速率为常数k.

11．曲线y?的切线与x轴、y轴围成一个图形.记切点的横坐标为a，试求切线方程

和这个图形的面积.当切点沿曲线趋于无穷远时，该面积的变化趋势如何？ 解：（一）y?1x在点M?a,??1??处的切线斜率为 a??1? k????x??|x?a??112xx|x?a??12aa.1.

故y?1x在点M?a,??1??处的切线方程为 a? y?即

x3a1a??12aa.1?x?a?

?y32a?1 ①

（二）点M?a,??1??处的切线与x轴、y轴围成一个图形面积为 a? S?a??12.3a.32a94?94a.

94（三）limS?a??lima???a???a???；lim?S?a??lim?a?0a?0a?0.

12．一电线杆高AB?5m，顶端B处有一盏灯，一人高CD?1.8m，且以1m/s的速率前进.求当人与电线杆的距离AC?10m时（1）人影头顶E处前进的速率；（2）人影CE 的伸长速率.

解：（一）由于?CDE～?ABE，故有

即

27

CDAB1.85??CEAE

?1?ACAEAE?ACAE

所以 AC?①两边关于t求导得

将AC?10m，

d?ACdt1625AE ①

d?ACdt??16d?AE? ② .25dt??1m/s代入②，得

d?AEdt

?|AC?10?2516(m/s).

（二）由于?CDE～?ABE，故有

即

CDAB1.85??CEAECEAE925

也就是 CE?③两边关于t求导得

将AC?10m时，

d?AEdtAE ③

d?CEdt2516dt??925.d?AEdt? ④

?|AC?10?m/s代入④，得

13．设y?xa?xx，求y?. 解：y?ealnxxxad?CE??92516.25?916(m/s).

?exlnxa，所以

ay??e?alnxx????exlnx???e1alnxx?axlnx????exlnxa??xa?lnx

? ?eaxlnx?x?aln???2x?ax?xlnxa?1a?1 a??eaxlnx?xx????? ?xa.ax?lna.lnx?2xa1?x?a?1?alnx?1?. ??xx?14．求抛物线y?x?ax与y?x?bx(b?a?0)的公切线的方程.

解：所谓两条曲线的公切线是指同时与两条曲线相切的那条直线，比如中学时学过的两个圆周曲线的内、外公切线.

由y?x?ax得y??2x?a.抛物线y?x?ax在点M1x1,x1?ax1处的切线方程 为 y?x1?ax1??2x1?a??x?x1?，即

2222?2??? y??2x1?a?x?x1 ②

228

同理，抛物线y?x2?bx在点M2?x2,x2?bx2处的切线方程

2?为 y?x2?bx2??2x2?b??x?x2?，即

2?? y??2x2?b?x?x2 ③

2由切线方程②，③是完全相同的，故有

?x1??x2 ④ 且 2x1?a?2x2?b ⑤ 由④式得 x1?x2（舍去，否则与⑤式矛盾！）或x1??x2.将x1??x2代入⑤，得 x1?222b?a4

b?a4b?3a?2ab1622从而 x1?ax1?所以公切线斜率为

k?2x1?a?2.?b?a?216?a.?

b?a4?a?a?b2

所以公切线方程为 y?b?3a?2ab1622?a?b?b?a??x?? 2?4?2即 y?a?b2a?b2x?b?3a?2ab162?b?a822

也就是 y?x??b?a?216.

15．设函数g?x?在x?0处的某邻域内有定义，且g?x?在x?0处可导，

1???gxarctan2,x?0,? f?x???x?0,x?0.?

其中g?0??g??0??0，求f??0?.

解：f??0??limf?x??f?0?x?0g?x??g?0?x?0x?0?limg?x?xx?0arctan1x2

?limx?01?.limarctan2?g??0???0. x?02x29

16．设函数f?x??limxe4n?x?1??ax?b3??，其中a,b为常数，则a,b取何值时，函数f?x?n??enx?1?1在其定义域内处处可导. 解：（一） 1． 当x?1时，f?x??1?a?b2；

2． 当x?1时，f?x??ax3?b； 433． 当x?1时，f?x??limxen?x?1??ax?b43e?n(x?1)?be?n(x?1)n??en?x?1??1?limx?axn??1?e?n?x?1? ?x4. 即

?ax3?b,x?1,? f?x????1?a?b,x?1, ?2?x4?,x?1.（二）要使得f?x?在其定义域内处处可导，只须保证f?x?在x?0处可导. 1．要使f?x?在x?0处可导，首先要保证f?x?在x?0处连续，为此有 limf?x??limfx?1??x??f?1?

x?1?因此有 a?b?1 2．要使f?x?在x?0处可导，必须要保证f???1??f???1? ff?x??f?1?ax3?b?f?1????1??limx?1?x?1?limx?1?x?1（因为①）

32 ?lima?x?1??alim?x?1??x?x?1?x?1?x?1x?1?x?1?3a；

?1??limf?x??f?1?x4?1x??1??x3?x2 f?x?1???.

x?1?x?1?limx?1?x?1?limx?1?x?1?4因此，有 3a?4?a?43.

所以 b??13.

30

①

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/msva.html