乌鲁木齐地区2015年高三第二次诊断性测验答案及评分标准[理科数

乌鲁木齐地区2015年高三年级第二次诊断性测验

理科数学试题参考答案及评分标准

一、选择题:共12小题，每小题5分，共60分. 题号 选项 1 C 2 D 3 C 4 B 5 D 6 A 7 A 8 C 9 C 10 C 11 A 12 B 1.选C.【解析】∵A?x?3?x?1，B?{x|?2?x?2}，∴A故选C. 2.选D.【解析】∵

??B???2,1?，

2i?1?i?2i2i?2????1?i，其共轭复数是?1?i故选D. 1?i?1?i??1?i?237，则cos(p-2a)=-cos2a=-(2cos2a-1)= 5253.选C.【解析】依题意，cosa=-故选C.

4.选B. 【解析】①错，②对，③对，④错. 故选B.

5.选D.【解析】y￠=ex+xex，曲线在(1,e)处切线的斜率k=2e，∵此切线与直线

a1a1 . 故选D. =-，即=b2eb2e16.选A.【解析】由题意得f￠(x)=1-2cosx 0，即cosx3解得：

2ax+by+c=0垂直，∴直线ax+by+c=0的斜率-2k???3?x?2k??]í犏2kp-轾犏臌?3,?k?Z?，∵f(x)?x?2sinx是区间[t,t?2kp-?2]上的减函数,

∴[t,t??2ppp,2kp+，∴2kp-＃t333p，故选A. 67.选A.【解析】如图该几何体为一三棱锥，设外接球半径为r 由题意得r2=(3-r)2+12，解得r=2316p∴S球=4pr2=，故选A. 338.选C.【解析】执行第一次运算r=91,m=119,n=91，

执行第二次运算r=28,m=91,n=28，执行第三次运算r=7,m=28,n=7，执行第四

次运算r=0输出n=7.故选C.

49.选C.【解析】将四个不同小球放入四个不同盒子，每个盒子放一个小球，共有A4种不同

放法，放对的个数?可取的值有0，1,2,4. 其中P???0??93?，4A481211C4?21C41P??4??,,， P???1???P??2??????444A424A43A44乌鲁木齐地区2015年高三年级第二次诊断性测验理科数学试题参考答案第1页（共9页）

3111E??0??1??2??4??1.故选C.

83424骣1÷骣1÷?x+,0÷对称，则函10.选C.【解析】∵f?为奇函数，则函数的图像关于点y=fx()÷????桫2÷桫2÷骣1÷,1÷对称，故函数g(x)满足g(x)+g(1-x)=2. 数y=g(x)的图象关于点???桫2÷骣1鼢骣2+g+设S=g珑鼢珑珑桫16鼢桫16骣骣15 15鼢骣14珑+g S=g+g+，倒序后得 鼢 珑 16 珑桫桫16鼢桫16骣1 +g ，两式相加 16 桫轾骣轾骣1鼢骣152鼢骣14珑珑犏犏后得2S=g珑鼢+g+g+g+鼢珑鼢桫鼢桫珑珑犏犏桫桫16161616臌臌∴S=15.故选C.

11.选A.【解析】F2(c,0)，渐近线方程为y=轾骣15鼢骣1+犏g珑+g=15 2， 鼢珑鼢桫珑犏桫1616臌bbx,y=-x直线AB的方程为：aaìy=-x+c??y=-x+c，设A(x1,y1)，B(x2,y2)依题意知，A,B分别满足?，íb?y=x??a?ìy=-x+c??acac?,x2=,∵F2A?AB，∴F2B=2F2A, ，得x1=íb?a+ba-by=-x??a?∴

ac-c=a-b骣ac2?-c÷÷?÷，化简得b=3a.故选A. ?桫a+b12.选B.【解析】∵c=acos(A+C)，∴sinC=sinAcos(A+C),即

sin轾(A+C)-A=sinAcos(A+C),整理的sin(A+C)?cosA臌2sinA?cos(AC),则

故tan(A+C)=2tanA,∵c=acos(A+C)>0,∴cos(A+C)>0,∴A+C为锐角，

tan(A+C)-tanAtanA A+C-A==A为锐角，则tanA>0，tanC=tan轾()臌1+tan(A+C)tanA1+2tan2A=11+2tanAtanA?211×2tanAtanA21,当且仅当=2tanA时等号成立， 4tanA∴tanC的最大值为

2.故选B. 4乌鲁木齐地区2015年高三年级第二次诊断性测验理科数学试题参考答案第2页（共9页）

二、填空题

13.填?1.【解析】由题意得：Tr+1=Cxr55-r骣m÷rr5-2r?=Cmx=10x，∴r=2,m= 1. ÷?5?桫x÷r14.填18.【解析】∵?C?90?,∴CA?CB?0,∵BM?2AM, ∴CM?CB?2CM?CA,∴CM?2CA?CB, ∴CM?CA??(2CA-CB)?CA2CA=2CA=18

22ì?1-2x?15.填???,0?.【解析】f(x)=íx???2-1(x 0)

(x>0)若a

16.填4.【解析】依题意知，直线AB的斜率k存在，且k10，F(1,0),Q(-1,0) 设其方程为y=k(x-1)代入y2=4x有k2x2-(2k2+4)x+k2=0

设A(x1,y1),B(x2,y2)则x1x2=1，又y12=4x1，y22=4x2，∴y12y22=16x1x2=16,而y1,y2异号，∴y1y2=-4，∵FA=(x1-1,y1),QB=(x2+1,y2),又∵QB^AF， 故(x1-1,y1)?(x2即x1x2+(x1-x2)+y1y2-1=0,将x1x2=1，y1y2=-4代1,y2)=0，

入，有1+(x1-x2)-4-1=0,∴x1-x2=4，又AF=x1+1,BF=x2+1, ∴AF-BF=4

三、解答题 17．（12分）

S1=2a1+1-3，（Ⅰ）当n=1时，得a1=2，由Sn=2an+n-3得Sn+1=2an+1+n+1-3，

两式相减，得an+1=2an+1-2an+1，即an+1=2an-1，∴an+1-1=2(an-1)，而

a1-1=1，∴数列{an-1}是首项为1，公比为2的等比数列； …6分

乌鲁木齐地区2015年高三年级第二次诊断性测验理科数学试题参考答案第3页（共9页）

（Ⅱ）由（Ⅰ）得an-1=1?2n-1∴Tn=(1?202n-1，即an=2n-1+1，nan=n(2n-1+1)=n?2-1n

1)+(2?212?212?212?212?222)+(3?223)++(n?2n-1n) +n)

=(1?20=(1?20令Vn=1?20则2Vn=1?213?223?223?223?23+n?2n-1)(1+2+3++n?2n-1)+n 2n-1 +n 2n

1?(12n)1-2n(n+1) 2两式相减得-Vn=1+21+22+∴Vn=n?2n+2n-1-n?2n=n?2n2n-1-n 2n

∴Tn=(n-1)2n+2n+1=(n-1)2n+1，

n(n+1)+1 …12分 2

18. (12分)

（Ⅰ）连结AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AB?BC

又∵?ABC60 ，∴DABC是等边三角形， ∵M是BC中点, ∴AM^BC，

∵PA^平面ABCD,BC?平面ABCD, ∴PA?BC，在平面PMA中AMPA?A ∴BC^平面PMA

∴平面PBC^平面PMA； …6分 （Ⅱ）设AC,BD交于点O，过O作OZ//AP,

以点O为坐标原点，分别以AC,BD,OZ所在直线为x轴，y轴，z轴，如图所示，建立空间直角坐标系：∵四边形ABCD是边长为2的菱形，?ABC60 得

AC?2,BD?23,PA=于是A(-1,0,0),B0,-6，

(3,0,D0,3,0,P-1,0,6

)()()骣136÷∵N是PB的中点, ∴N?，∵PA^平面ABCD, ?,-,÷÷?÷?22桫2∴平面ABD的一个法向量为n1=(0,0,1)设平面AND的法向量n2=(x1,y1,z1)

ì?136ì??nAN=0x-y+z1=0136?211,),AD=(1,3,0),由?∵AN=(,-得?， 22íí2??222??n2AD=0????x1+3y1=0乌鲁木齐地区2015年高三年级第二次诊断性测验理科数学试题参考答案第4页（共9页）

令y1=1，得x1=-3，z1=2,∴n2=(-3,1,2),∴cosn1,n2=n1×n2n1n2=3 3∴二面角N?AD?B的平面角的余弦值为 19．（12分）

3． …12分 3（Ⅰ）上半年的数据为：43,44,48,51,52,56,57,59,61,64,65,65,65,68,72,73,75,76,76,

83,84,87,88,91,93其“中位数”为65，优质品有6个，合格品有10个，次品有9

个.下半年的数据为：43,49,50,54,54,58,59,60,61,62,63,63,65,66,67,70,71,72,

72,73,77,79,81,88,92其“中位数”为65，优质品有9个，合格品有11个，次品有

5个.则该企业生产一件产品的利润的分布列为：

?5 14 P 50142115E?X???5??5??10?505050X （Ⅱ）由题意得： 优质品 非优质品 5 21 5010 15 50?3.7 …5分

上半年 下半年 6 19 25 29 16 25 15 35 50 50??6?16?9?19?6K2???0.857

25?25?15?357由于0.857?3.841，所以没有95%的把握认为“优质品与生产工艺改造有关”. …12分

20.（12分）

x2y2（Ⅰ）已知椭圆2+2=1的右焦点为F(1,0)，∴a2-b2=1

ab又直线y=x-ì?y=x-7??∴方程组?有且仅有一个解， 7与椭圆有且仅有一个交点，íx2y2?+2=1?2?b??a即方程(b2+a2)x2-27a2x+7a2-a2b2=0有且仅有一个解

∴D=28a4-4(a2+b2)(7a2-a2b2)=0，即a2+b2=7，又∵a2-b2=1，

x2y2+=1； …5分 ∴a=4,b=3，∴椭圆M的标准方程是4322乌鲁木齐地区2015年高三年级第二次诊断性测验理科数学试题参考答案第5页（共9页）

（Ⅱ）依题意知椭圆的右焦点F的坐标为(1,0)，直线AB的方程为x=ky+t（其中t为

直线AB在x轴上的截距）设A(x1,y1),B(x2,y2)

ìx=ky+t??2解方程组?，得关于y的一元二次方程3(ky+t)+4y2-12=0 íx2y2?+=1??43??即(3k2+4)y2+6tky+3t2-12=0

D=(6tk)-4(3k2+4)(3t2-12)=48(3k2-t2+4)>0，即3k2?t?4

2-6tk3t2-12∵y1,y2是方程的两个解，∴y1+y2=，y1y2=，

3k2+43k2+4∵x1=ky1+t，x2=ky2+t

4t2-12k2∴x1x2=(ky1+t)(ky2+t)=ky1y2+kt(y1+y2)+t=

3k2+48t x1+x2=k(y1+y2)+2t=，∵FA^FB，∴(x1-1,y1)?(x21,y2)=0

3k2+4224t2-12k28t3t2-12-+1+=0 即x1x2-(x1+x2)+1+y1y2=0，∴

3k2+43k2+43k2+42即7t2-8t-8=9k2，又3k?t?4，∴7t2-8t-8>3(t2-4)，即?t?1??0，2∴t?1，而k?0，∴7t2-8t-8 0，解得t￡24-624+62或t3， 774-624+62或t3 …12分 7721．（12分）

∴t￡骣1÷1?1?1??11+x?0,（Ⅰ）∵f￠,∵∴，∴ln(x)=ln(x+1)-lnx=ln?÷??1???0， ?桫x÷x?x?∴f??x??0,∴函数f(x)在区间?0,???上单调递增. …4分 （Ⅱ）⑴当a?0时，-a 0，

由x?0知1+骣1÷11+÷>0，ln(1+x)>0， >1，1+x>1，则ln??÷?桫xx轾骣1∴g(x)=f(x)-a(x+1)=x犏ln?1+÷÷?÷-a+ln(x+1)-a>0 ?犏桫x臌∴当a￡0时，函数g(x)在(0，+￥)上无零点；

乌鲁木齐地区2015年高三年级第二次诊断性测验理科数学试题参考答案第6页（共9页）

⑵当0

骣1÷11?ln1+÷-a>0,∴g'(x)>0, ，∴当时，>10纟1骣1?ú0，,，+￥÷∴函数g(x)在区间?上为增函数，在区间÷??aa÷上为减函数. ??èe-1ú桫e-1?骣1∴maxg(x)=g珑珑珑x>0桫ea-由x?0，ln?1?x??骣11鼢=ln1+-a=ln>0 鼢1鼢桫ea-1ea-1x；0?x3，ln(x+1)<3x成立， x+3骣1÷11+÷骣1鼢骣1xln珑1+鼢+lnx+1+ax?xln1+ln(x+1)+ax ()珑珑桫x鼢桫x0

纟1ú为增函数,且(0,1)ì0，由函数零点定理和函数g(x)在区间???èea-1ú?纟1?ú 0，??èea-1ú?禳镲24-2a2+41-a2镲∴$x1 (0,1)使得g(x1)=0，取M=max睚-1,， 2镲a2a镲镲铪4-2a2+41-a22由0M时，都有x>-1，x>

2a2a乌鲁木齐地区2015年高三年级第二次诊断性测验理科数学试题参考答案第7页（共9页）

∴

1axa<，<，∵x>0,ln(1+x) x， x+12x+12∴

骣1÷x111ln?1+÷+lnx+1)使得g(x2)=0

∴当0

由⑵知函数g(x)在区间(0,1]上为增函数，在区间(1，+￥)为减函数. ∴maxg(x)=g(1)=0，∴对\x>0，g(x)￡0

且当01时，g(x)ln2时，e?2，e?1?1 由⑵知函数g(x)在区间?0,aa??1??1?为增函数，在区间,0??为减函数， aa?e?1??e?1??1??1?maxg?x??g?a??ln?a??0，∴对?x??0,???，g?x??0。 x?0?e?1??e?1?此时g(x)在(0，+￥)上无零点.

综上所述：⑴当a￡0时，函数g(x)在(0，+￥)上无零点； )上有两个零点；

⑵当0

⑷当a>ln2时，函数g(x)在(0，+￥)上无零点. …12分 22．（10分）

（Ⅰ）连结BC，∵CD是圆的切线,AC是弦∴?DCF CBA

∵DF=DC，∴?DCF DFC，∴?DFC CBA，

ACB=90，∴DACH∽DABC， 又∵CH^AB，邪∴?ACH CBA，∴?ACH DFC， ∴DE//CH； …5分

ADMFECHB乌鲁木齐地区2015年高三年级第二次诊断性测验理科数学试题参考答案第8页（共9页）

（Ⅱ）设AD与半圆交于点M,连结BM，∵CD是圆的切线,∴DC2=DA DM，

AMB=90，∴DAED∽DAMB，∴又∵DE^AB,邪∴AE?ABAEAM, =DAABDA AM,∴DA2-DF2=DA2-DC2=DA2-DA DM DM)=DA?AMAE AB. …10分

=DA?(DA 23．(10分)

ìx=cosq?（Ⅰ）圆C的参数方程为?（q为参数）； í?y=1+sinq??ì?x=t直线l的参数方程为?（t为参数）； …5分 í?y=3??（Ⅱ）圆C的极坐标方程为r=2sinq，直线l的极坐标方程为rsinq=3，设M点的极坐

标为(r1，q)，N点的极坐标为(r2，q)依题意有：r1=2sinq，r2sinq=3，

ON=r1r2=2sinq?∴OM鬃24．(10分)

3sinq6为定值． …10分

ì??x-2?????（Ⅰ）f(x)=?í-3x????-x+2?????

y121-1?x，其图像如图所示.

2x<-1x -1o12x令f(x)=0解得x1=0,x2=2，∴f(x)<0的解集为{x03，要使f(x)>f(a)，需且只需f(a)￡3，

而f?a?=3时，有?3a?3，或?a?2?3，即a??1，或a?5，得-1＃a5.

…10分

以上各题的其他解法，限于篇幅从略，请相应评分．

乌鲁木齐地区2015年高三年级第二次诊断性测验理科数学试题参考答案第9页（共9页）