上海市黄浦区2015年高三一模数学试卷(文理合卷)含答案完美PDF版

黄浦区2014学年第一学期高三年级期终调研测试

数学试卷（文理合卷）

2015年1月8日

一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．

1

1．已知全集U=R，集合A x||x| 1 ，B x|x ，则(CUB) A ．

2

2

．函数f(x) ．

3．已知直

线l1:x y 3 0,l2:(1x (1y 1 0，则直线l1与l2的夹角的大小是 ．

14m

31

则|n mi|（其 m中第1行第2列的元素3的代数余子式的值是 15，

4．若三阶行列式2n 1 2

2n 1

中i是虚数单位，m、n R）的值是 ．

22

xy5．已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点与双曲线： 1的右焦点重合，则抛物线C的方程72

是 ． 6．若函数f(x) 2

x2 ax 1 3a

是定义域为R的偶函数，则函数f(x)的单调递减区间是．

7．已知角 的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，角 的终边与圆心在原点的单位圆（半径为1的圆）交于第二象限内的点A(xA,，则sin2 ＝（用数值表示）

8．已知二项式(1 2x)(n 2,n N)的展开式中第3项的系数是A，数列 an (n N)是公差为2

n

*

*

4

5

的等差数列，且前n项和为Sn，则lim

A

＝ ． n Sn

3

9．已知某圆锥体的底面半径r 3，沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心角为2 的扇形，则该圆锥体的表面积是 ．

10．若从总体中随机抽取的样本为 1,3, 1,1,1,3,2,2,0,0，则该总体的标准差的点估计值是 ．

11．已知 m、n、 、 R,m n, ，若 、 是函数f(x) 2(x m)(x n) 7的零点，则

m、n、 、 四个数按从小到大的顺序是．（用符号“ ”连接起来） 整理人 谭峰

12．一副扑克牌（有四色，同一色有13张不同牌）共52张．现随机抽取3张牌，则抽出的3张牌有且仅有2张花色相同的概率为 ．（用数值作答）

13．已知x R，定义：A(x)表示不小于x

的最小整数．如A 2,A( 0.4) 0,A( 1.1) 1 . （理科）若A(2x A(x)) 5，则正实数x的取值范围是 ． （文科）若A(2x 1) 3，则实数x的取值范围是

14．（理科）已知点O是 ABC的重心，内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且

2a OA b OB c OC 0,则角C的大小是．

3

（文科） 已知点P、Q是 ABC所在平面上的两个定点，且满足

PA PC 0,2QA QB QC BC，若|PQ|= |BC|，则正实数 ＝ ．

二、选择题(本大题满分20分) 本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．

15．给定空间中的直线l及平面 ，条件“直线l与平面α内的无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直的 （ ）．

16．已知向量a ( 3,4)，则下列能使a e1 e2( 、 R)成立的一组向量e1,e2是（ ）．

A．e1 (0,0)，e2 ( 1,2) B．e1 ( 1,3)，e2 (2, 6) 1 C．e1 ( 1,2)，e2 (3, 1) D．e1 ( ,1)，e2 (1, 2)

2

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件

17．一个算法的程序框图如右图所示，则该程序运行后输出的值是（ ）．

A．4 B． 5 C． 6 D． 7

18．已知z a bi(a、b R，i是虚数单位)，z1,z2 C，定义：

D(z) ||z|| |a| |b|，D(z1,z2) ||z1 z2||．给出下列命题：

① 对任意z C，都有D(z) 0；

② 若z是复数z的共轭复数，则D(z) D(z)恒成立； ③ 若D(z1) D(z2)(z1、z2 C)，则z1 z2；

④（理科）对任意z1、z2、z3 C，结论D(z1,z3) D(z1,z2) D(z2,z3)恒成立； （文科）对任意z1、z2 C，结论D(z1,z2)=D(z2,z1)恒成立； 则其中真命题是（ ）．

A．①②③④ B．②③④ C．②④ D．②③

整理人 谭峰

三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．

19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分． 在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB AA1 4,BC 3，点P是棱A1B1上的动点，E、F分别是所在棱AB、BC的中点，联结EF,AC1．如图所示．

（1）求异面直线EF、AC1所成角的大小（用反三角函数值表示）； （2）（理科）求以E、F、A、P为顶点的三棱锥的体积．

（文科）求以E、B、F、P为顶点的三棱锥的体积．

20．（本题满分12

分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分． 已知函数f(x) xcosx cos2x,x R． （1）求函数f(x)的单调递增区间；

（2）在 ABC中，内角A、B、C所对边的长分别是a、b、c，若f(A) 2,C

求 ABC的面积S ABC的值．

21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分． 已知函数g(x) 10x 1,x R，函数y f(x)是函数y g(x)的反函数．

10 1（1）求函数y f(x)的解析式，并写出定义域D； （2）（理科）设h(x)

x

,c 2， 4

1

f(x)，若函数y h(x)在区间(0,1)内的图像是不间断的光滑曲线； x

求证：函数y h(x)在区间( 1,0)内必有唯一的零点(假设为t)，且 1 t 1．

2（文科）设h(x)

1

f(x)，试判断函数y h(x)在区间( 1,0)上的单调性，并说明你的理由． x

整理人 谭峰

22．（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分7分，第3小题满分7分． 定义：若各项为正实数的数列 a

n 满足an 1 n N*)，则称数列 an 为“算术平方根递推数列”；已知数列 xn 满足xn 0，n N*,且x1 9,点(xn 1,xn)在二次函数f(x) 2x2 2x的图像上；

2

（1）试判断数列 2xn 1 (n N)是否为算术平方根递推数列？若是，请说明你的理由； （2）记yn lg(2xn 1)(n N)，求证：数列 yn 是等比数列，并求出通项公式yn；

*

*

（3）从数列 yn 中依据某种顺序自左至右取出其中的项yn1,yn2,yn3, ，把这些项重新组成一个新数

列 zn ：z1 yn1,z2 yn2,z3 yn3, ；

（理科）若数列 zn 是首项为z1 (1m 1、公比为q 1k(m,k N*)的无穷等比数列，且数列 zn 各

22项的和为16，求正整数k、m的值．

63

11

（文科）若数列 zn 是首项为z1 (m 1，公比为q k(m,k N*)的无穷等比数列，且数列 zn 各

22

项的和为1，求正整数k、m的值．

3

23．（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． 在平面直角坐标系中，已知动点M(x,y)，点A(0,1),B(0, 1),D(1,0),点N与点M关于直线y x对称，且AN BN 1x2.直线l是过点D的任意一条直线．

2

（1）求动点M所在曲线C的轨迹方程； （2）设直线l与曲线C交于G、

H两点，且|GH|

，求直线l的方程； 2

（3）（理科）若直线l与曲线C交于G、H两点，与线段AB交于点P（点P不同于点O、A、B），直

线GB与直线HA交于点Q，求证：OP OQ是定值．

（文科）设直线l与曲线C交于G、H两点，求以|GH|的长为直径且经过坐标原点O的圆的方程．

整理人 谭峰

黄浦区2014学年度第一学期高三年级期终调研测试数学试卷(文理合卷)

参考答案和评分标准(2015年1月8日)

一、填空题

1．( 1, 1； 2．(1, )； 3． ； 4．2； 5．y2 12x；

236．( ,0]； 7．

24

； 8．2； 9．36 ； 10

； 2511． m n ； 12．

23451

； 13．(理)1 x ；(文) x 1； 14．(理) ；(文) 1． 4254232

二、选择题： 15．B 16．C 17．A 18．C 三、解答题

19．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分６分，第2小题满分６分．

解(1)联结AC，在长方体ABCD A1B1C1D1中，有AC EF. 又 CAC1是直角三角形ACC1的一个锐角，

∴ CAC1就是异面直线AC1与EF所成的角. 由AB AA1 4,BC

3，可算得AC ∴tan CAC1

5.

CC144

，即异面直线AC1与EF所成角的大小为arctan. AC55

(理) (2)由题意可知，点P到底面ABCD的距离与棱AA1的长相等． ∴VP AEF ∴VP AEF

11133S AEF AA1．∵S AEF AE BF 2 ， 32222

113

S AEF AA1= 4=2． 332

(文) (2)由题意可知，点P到底面ABCD的距离与棱AA1的长相等． ∴VP EBF

11133113S EBF AA1，S EBF EB BF 2 ，∴VP EBF S EBF AA1= 4=2． 32222332

20．(本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分６分，第2小题满分６分． 解(1)

∵f(x) xcosx cos2x，x R，∴f(x) 2sin(2x 由2k

. 6

2x 2k ,k Z，解得k x k ,k Z. 26263

,k ],k Z. 63

∴函数f(x)的单调递增区间是[k

整理人 谭峰

(2)∵在 ABC中，f(A) 2,C 又0 A ， ∴A

,c 2，∴2sin(2A 2,解得A k ,k Z. 463

ac.

依据正弦定理，有 ,解得a .

3sinsin34

∴B A C

113 5

.

∴S ABC acsinB 2 . 122242

21．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．

10x 1222

解(1) g(x) x 1 x,x R， g(x) 1.又10x 1 1， 1 x 1 1.

10 110 110 10 110x 11 y1 yx

,x lg 1 g(x) 1. 由y x，可解得10 .

10 11 y1 y

f(x) lg

1 x

，D ( 1,1). 1 x

111 x11 x f(x) lg lg. xx1 xx1 x

(理)证明 (2)由(1)可知，h(x)

可求得函数h(x)的定义域为D1 ( 1,0) (0,1). 对任意x D1，有h(x) h( x)

11 x11 x

lg lg 0， x1 x x1 x

所以，函数y h(x)是奇函数. 当x (0,1)时， 于是，lg

11 x2

在(0,1)上单调递减，= 1 在(0,1)上单调递减， x1 x1 x

1 x

在(0,1)上单调递减.因此，函数y h(x)在(0,1)上单调递减. 1 x

依据奇函数的性质，可知，

函数y h(x)在( 1,0)上单调递减，且在( 1,0)上的图像也是不间断的光滑曲线. 又h( 2 lg3 0,h(

1299100100 lg199 2 0, 1009999

1

. 2

所以，函数y h(x)在区间( 1,0)上有且仅有唯一零点t，且 1 t

(文) (2) 答：函数y h(x)在区间( 1,0)上单调递减. 理由：由(1)可知，h(x)

111 x11 x f(x) lg lg. xx1 xx1 x

可求得函数h(x)的定义域为D1 ( 1,0) (0,1).

整理人 谭峰

对任意x D1，有h(x) h( x)

11 x11 x lg lg 0， x1 x x1 x

所以，函数y h(x)是奇函数. 当x (0,1)时， 于是，lg

11 x2

在(0,1)上单调递减，= 1 在(0,1)上单调递减， x1 x1 x

1 x

在(0,1)上单调递减. 因此，函数y h(x)在(0,1)上单调递减. 1 x

依据奇函数的性质，可知， 函数y h(x)在( 1,0)上单调递减.

22．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分7分，第3小题满分7分．

解(1)答：数列 2xn 1 是算术平方根递推数列.

理由： 点(xn 1,xn)在函数f(x) 2x 2x的图像上， xn 2xn 1 2xn 1,

22*

即2xn 1 4xn 1 4xn 1 1，2xn 1 (2xn 1 1). 又xn 0,n N，

22

∴2xn 1 1

n N*．∴数列 2xn 1 是算术平方根递推数列.

n N*， y

n 1

证明

(2) yn lg(2xn 1),2xn 1 1 又 y1 lg(2x1 1) 1(x1 yn y1 (1

yn. 2

91

, 数列 yn 是首项为y1 1,公比q 的等比数列. 22

1

2

n 1

,n N*.

12m 1

,公比

(理)(3)由题意可知，无穷等比数列 zn 的首项z1

1*

(k、m N且k、m为常数)， k2

1

161663 ．化简，得k m 1 16． 221 k632

若m 1 3，则

166316631663

m 1 k+ + 16.这是矛盾！ m 1 2. k2228281663

16, m 1 2,即m 3. 2k2m 1

又m 1 0或1时，

m 3,1663k

k 16 ,2 64,解得k 6.

24k 6.

(文) (3)由题意可知，无穷等比数列 zn 的首项z1

12m 1

,公比

1

(k、m N*且k、m为常数)， k2

整理人 谭峰

1

m 1113 ． 化简，得k m 1 1． 221 32

若m 1 3，则

131313 + + 1.这是矛盾！ m 1 2. 2k2m 12k828

13 1, m 1 2,即m 3. km 122

又m 1 0或1时，

m 3,13k

1 ,2 4,解得k 2. 2k4k 2.

23．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．

解(1)依据题意，可得点N(y,x). AN (y,x 1),BN (y,x 1)．

12x21222

又AN BN x， y x 1 x. 所求动点M的轨迹方程为C: y2 1.

222

(2) 若直线l

y轴，则可求得|GH，这与已知矛盾，因此满足题意的直线l不平行于y轴．

x2

y2 1,2222

设直线l的斜率为k，则l:y k(x 1)． 由 2 得(1 2k)x 4kx 2k 2 0．

y k(x 1).

4k2x x , 122k2 1

设点H(x1,y1)、G(x2,y2)，有 且 0恒成立(因点D在椭圆内部)．

2

xx 2k 212 2k2 1

又|GH|

，

22

，解得k ．

22

所以，所求直线l:y

(x 1)． 2

(理)证明(3) 直线l与线段AB交于点P，且与点O、A、B不重合，

直线l的斜率k满足： 1 k 1,k 0． 由(2)可得点P(0, k)， 2kk2

可算得y1 y2 ,y1y2 2．

2k2 12k 1整理人 谭峰

又直线HA:y 1

y1 1y 1

x,GB:y 1 2x． x1x2

y1 1

x，x1yQ 1y2 1

x.x2

得

y 1

设点Q(xQ,yQ)，则由

y 1

yQ 1

yQ 1

2

yQ 1

y1 1x2

(此等式右边为正数). y2 1x1

2

2

(y1 1)2x21 (y1 y2) y1y2

0，且( yQ 1yQ 1(y2 1)2x121 y1 y2 y1y2 1+k

= ． 1 k

yQ 11 k11

，解得yQ . OP OQ (0, k) (xQ, 1为定值.

yQ 11 kkk

(文) (3) 当直线l

y轴时，|GH|

，点O到圆心的距离为1.即点O在圆外，不满足题意.

满足题意的直线l的斜率存在，设为k，则l:y k(x 1).

2k 4k2

y y ,x x ,1212 22 2k 12k 1

设点H(x1,y1)、G(x2,y2)，由(2)知， 进一步可求得 22

xx 2k 2. yy k.121222 2k 1 2k 1

2k2 2 k2

依据题意，有OG OH， x1x2 y1y2 0， 即 2 0，解得k . 2

2k 12k

1

所求圆的半径r

1|GH| ， 25

圆心为(

x1 x2y1 y244218, (, .

所求圆的方程为：(x 2 (y . 22555525

整理人 谭峰

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/msrj.html