上海市黄浦区2015年高三一模数学试卷(文理合卷)含答案完美PDF版
更新时间:2023-08-18 02:02:01 阅读量: 资格考试认证 文档下载
黄浦区2014学年第一学期高三年级期终调研测试
数学试卷(文理合卷)
2015年1月8日
一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题,考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果,每题填对得4分,否则一律得零分.
1
1.已知全集U=R,集合A x||x| 1 ,B x|x ,则(CUB) A .
2
2
.函数f(x) .
3.已知直
线l1:x y 3 0,l2:(1x (1y 1 0,则直线l1与l2的夹角的大小是 .
14m
31
则|n mi|(其 m中第1行第2列的元素3的代数余子式的值是 15,
4.若三阶行列式2n 1 2
2n 1
中i是虚数单位,m、n R)的值是 .
22
xy5.已知抛物线C的顶点在坐标原点,焦点与双曲线: 1的右焦点重合,则抛物线C的方程72
是 . 6.若函数f(x) 2
x2 ax 1 3a
是定义域为R的偶函数,则函数f(x)的单调递减区间是.
7.已知角 的顶点在坐标原点,始边与x轴的正半轴重合,角 的终边与圆心在原点的单位圆(半径为1的圆)交于第二象限内的点A(xA,,则sin2 =(用数值表示)
8.已知二项式(1 2x)(n 2,n N)的展开式中第3项的系数是A,数列 an (n N)是公差为2
n
*
*
4
5
的等差数列,且前n项和为Sn,则lim
A
= . n Sn
3
9.已知某圆锥体的底面半径r 3,沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心角为2 的扇形,则该圆锥体的表面积是 .
10.若从总体中随机抽取的样本为 1,3, 1,1,1,3,2,2,0,0,则该总体的标准差的点估计值是 .
11.已知 m、n、 、 R,m n, ,若 、 是函数f(x) 2(x m)(x n) 7的零点,则
m、n、 、 四个数按从小到大的顺序是.(用符号“ ”连接起来) 整理人 谭峰
12.一副扑克牌(有四色,同一色有13张不同牌)共52张.现随机抽取3张牌,则抽出的3张牌有且仅有2张花色相同的概率为 .(用数值作答)
13.已知x R,定义:A(x)表示不小于x
的最小整数.如A 2,A( 0.4) 0,A( 1.1) 1 . (理科)若A(2x A(x)) 5,则正实数x的取值范围是 . (文科)若A(2x 1) 3,则实数x的取值范围是
14.(理科)已知点O是 ABC的重心,内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c,且
2a OA b OB c OC 0,则角C的大小是.
3
(文科) 已知点P、Q是 ABC所在平面上的两个定点,且满足
PA PC 0,2QA QB QC BC,若|PQ|= |BC|,则正实数 = .
二、选择题(本大题满分20分) 本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题卷的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分.
15.给定空间中的直线l及平面 ,条件“直线l与平面α内的无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直的 ( ).
16.已知向量a ( 3,4),则下列能使a e1 e2( 、 R)成立的一组向量e1,e2是( ).
A.e1 (0,0),e2 ( 1,2) B.e1 ( 1,3),e2 (2, 6) 1 C.e1 ( 1,2),e2 (3, 1) D.e1 ( ,1),e2 (1, 2)
2
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.非充分非必要条件
17.一个算法的程序框图如右图所示,则该程序运行后输出的值是( ).
A.4 B. 5 C. 6 D. 7
18.已知z a bi(a、b R,i是虚数单位),z1,z2 C,定义:
D(z) ||z|| |a| |b|,D(z1,z2) ||z1 z2||.给出下列命题:
① 对任意z C,都有D(z) 0;
② 若z是复数z的共轭复数,则D(z) D(z)恒成立; ③ 若D(z1) D(z2)(z1、z2 C),则z1 z2;
④(理科)对任意z1、z2、z3 C,结论D(z1,z3) D(z1,z2) D(z2,z3)恒成立; (文科)对任意z1、z2 C,结论D(z1,z2)=D(z2,z1)恒成立; 则其中真命题是( ).
A.①②③④ B.②③④ C.②④ D.②③
整理人 谭峰
三、解答题(本大题满分74分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤.
19.(本题满分12分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分6分. 在长方体ABCD A1B1C1D1中,AB AA1 4,BC 3,点P是棱A1B1上的动点,E、F分别是所在棱AB、BC的中点,联结EF,AC1.如图所示.
(1)求异面直线EF、AC1所成角的大小(用反三角函数值表示); (2)(理科)求以E、F、A、P为顶点的三棱锥的体积.
(文科)求以E、B、F、P为顶点的三棱锥的体积.
20.(本题满分12
分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分6分. 已知函数f(x) xcosx cos2x,x R. (1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)在 ABC中,内角A、B、C所对边的长分别是a、b、c,若f(A) 2,C
求 ABC的面积S ABC的值.
21.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分7分,第2小题满分7分. 已知函数g(x) 10x 1,x R,函数y f(x)是函数y g(x)的反函数.
10 1(1)求函数y f(x)的解析式,并写出定义域D; (2)(理科)设h(x)
x
,c 2, 4
1
f(x),若函数y h(x)在区间(0,1)内的图像是不间断的光滑曲线; x
求证:函数y h(x)在区间( 1,0)内必有唯一的零点(假设为t),且 1 t 1.
2(文科)设h(x)
1
f(x),试判断函数y h(x)在区间( 1,0)上的单调性,并说明你的理由. x
整理人 谭峰
22.(本题满分18分)本题共有3小题,第1小题满分4分,第2小题满分7分,第3小题满分7分. 定义:若各项为正实数的数列 a
n 满足an 1 n N*),则称数列 an 为“算术平方根递推数列”;已知数列 xn 满足xn 0,n N*,且x1 9,点(xn 1,xn)在二次函数f(x) 2x2 2x的图像上;
2
(1)试判断数列 2xn 1 (n N)是否为算术平方根递推数列?若是,请说明你的理由; (2)记yn lg(2xn 1)(n N),求证:数列 yn 是等比数列,并求出通项公式yn;
*
*
(3)从数列 yn 中依据某种顺序自左至右取出其中的项yn1,yn2,yn3, ,把这些项重新组成一个新数
列 zn :z1 yn1,z2 yn2,z3 yn3, ;
(理科)若数列 zn 是首项为z1 (1m 1、公比为q 1k(m,k N*)的无穷等比数列,且数列 zn 各
22项的和为16,求正整数k、m的值.
63
11
(文科)若数列 zn 是首项为z1 (m 1,公比为q k(m,k N*)的无穷等比数列,且数列 zn 各
22
项的和为1,求正整数k、m的值.
3
23.(本题满分18分)本题共有3小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分. 在平面直角坐标系中,已知动点M(x,y),点A(0,1),B(0, 1),D(1,0),点N与点M关于直线y x对称,且AN BN 1x2.直线l是过点D的任意一条直线.
2
(1)求动点M所在曲线C的轨迹方程; (2)设直线l与曲线C交于G、
H两点,且|GH|
,求直线l的方程; 2
(3)(理科)若直线l与曲线C交于G、H两点,与线段AB交于点P(点P不同于点O、A、B),直
线GB与直线HA交于点Q,求证:OP OQ是定值.
(文科)设直线l与曲线C交于G、H两点,求以|GH|的长为直径且经过坐标原点O的圆的方程.
整理人 谭峰
黄浦区2014学年度第一学期高三年级期终调研测试数学试卷(文理合卷)
参考答案和评分标准(2015年1月8日)
一、填空题
1.( 1, 1; 2.(1, ); 3. ; 4.2; 5.y2 12x;
236.( ,0]; 7.
24
; 8.2; 9.36 ; 10
; 2511. m n ; 12.
23451
; 13.(理)1 x ;(文) x 1; 14.(理) ;(文) 1. 4254232
二、选择题: 15.B 16.C 17.A 18.C 三、解答题
19.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分6分.
解(1)联结AC,在长方体ABCD A1B1C1D1中,有AC EF. 又 CAC1是直角三角形ACC1的一个锐角,
∴ CAC1就是异面直线AC1与EF所成的角. 由AB AA1 4,BC
3,可算得AC ∴tan CAC1
5.
CC144
,即异面直线AC1与EF所成角的大小为arctan. AC55
(理) (2)由题意可知,点P到底面ABCD的距离与棱AA1的长相等. ∴VP AEF ∴VP AEF
11133S AEF AA1.∵S AEF AE BF 2 , 32222
113
S AEF AA1= 4=2. 332
(文) (2)由题意可知,点P到底面ABCD的距离与棱AA1的长相等. ∴VP EBF
11133113S EBF AA1,S EBF EB BF 2 ,∴VP EBF S EBF AA1= 4=2. 32222332
20.(本题满分12分) 本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分6分. 解(1)
∵f(x) xcosx cos2x,x R,∴f(x) 2sin(2x 由2k
. 6
2x 2k ,k Z,解得k x k ,k Z. 26263
,k ],k Z. 63
∴函数f(x)的单调递增区间是[k
整理人 谭峰
(2)∵在 ABC中,f(A) 2,C 又0 A , ∴A
,c 2,∴2sin(2A 2,解得A k ,k Z. 463
ac.
依据正弦定理,有 ,解得a .
3sinsin34
∴B A C
113 5
.
∴S ABC acsinB 2 . 122242
21.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分7分,第2小题满分7分.
10x 1222
解(1) g(x) x 1 x,x R, g(x) 1.又10x 1 1, 1 x 1 1.
10 110 110 10 110x 11 y1 yx
,x lg 1 g(x) 1. 由y x,可解得10 .
10 11 y1 y
f(x) lg
1 x
,D ( 1,1). 1 x
111 x11 x f(x) lg lg. xx1 xx1 x
(理)证明 (2)由(1)可知,h(x)
可求得函数h(x)的定义域为D1 ( 1,0) (0,1). 对任意x D1,有h(x) h( x)
11 x11 x
lg lg 0, x1 x x1 x
所以,函数y h(x)是奇函数. 当x (0,1)时, 于是,lg
11 x2
在(0,1)上单调递减,= 1 在(0,1)上单调递减, x1 x1 x
1 x
在(0,1)上单调递减.因此,函数y h(x)在(0,1)上单调递减. 1 x
依据奇函数的性质,可知,
函数y h(x)在( 1,0)上单调递减,且在( 1,0)上的图像也是不间断的光滑曲线. 又h( 2 lg3 0,h(
1299100100 lg199 2 0, 1009999
1
. 2
所以,函数y h(x)在区间( 1,0)上有且仅有唯一零点t,且 1 t
(文) (2) 答:函数y h(x)在区间( 1,0)上单调递减. 理由:由(1)可知,h(x)
111 x11 x f(x) lg lg. xx1 xx1 x
可求得函数h(x)的定义域为D1 ( 1,0) (0,1).
整理人 谭峰
对任意x D1,有h(x) h( x)
11 x11 x lg lg 0, x1 x x1 x
所以,函数y h(x)是奇函数. 当x (0,1)时, 于是,lg
11 x2
在(0,1)上单调递减,= 1 在(0,1)上单调递减, x1 x1 x
1 x
在(0,1)上单调递减. 因此,函数y h(x)在(0,1)上单调递减. 1 x
依据奇函数的性质,可知, 函数y h(x)在( 1,0)上单调递减.
22.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分7分,第3小题满分7分.
解(1)答:数列 2xn 1 是算术平方根递推数列.
理由: 点(xn 1,xn)在函数f(x) 2x 2x的图像上, xn 2xn 1 2xn 1,
22*
即2xn 1 4xn 1 4xn 1 1,2xn 1 (2xn 1 1). 又xn 0,n N,
22
∴2xn 1 1
n N*.∴数列 2xn 1 是算术平方根递推数列.
n N*, y
n 1
证明
(2) yn lg(2xn 1),2xn 1 1 又 y1 lg(2x1 1) 1(x1 yn y1 (1
yn. 2
91
, 数列 yn 是首项为y1 1,公比q 的等比数列. 22
1
2
n 1
,n N*.
12m 1
,公比
(理)(3)由题意可知,无穷等比数列 zn 的首项z1
1*
(k、m N且k、m为常数), k2
1
161663 .化简,得k m 1 16. 221 k632
若m 1 3,则
166316631663
m 1 k+ + 16.这是矛盾! m 1 2. k2228281663
16, m 1 2,即m 3. 2k2m 1
又m 1 0或1时,
m 3,1663k
k 16 ,2 64,解得k 6.
24k 6.
(文) (3)由题意可知,无穷等比数列 zn 的首项z1
12m 1
,公比
1
(k、m N*且k、m为常数), k2
整理人 谭峰
1
m 1113 . 化简,得k m 1 1. 221 32
若m 1 3,则
131313 + + 1.这是矛盾! m 1 2. 2k2m 12k828
13 1, m 1 2,即m 3. km 122
又m 1 0或1时,
m 3,13k
1 ,2 4,解得k 2. 2k4k 2.
23.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.
解(1)依据题意,可得点N(y,x). AN (y,x 1),BN (y,x 1).
12x21222
又AN BN x, y x 1 x. 所求动点M的轨迹方程为C: y2 1.
222
(2) 若直线l
y轴,则可求得|GH,这与已知矛盾,因此满足题意的直线l不平行于y轴.
x2
y2 1,2222
设直线l的斜率为k,则l:y k(x 1). 由 2 得(1 2k)x 4kx 2k 2 0.
y k(x 1).
4k2x x , 122k2 1
设点H(x1,y1)、G(x2,y2),有 且 0恒成立(因点D在椭圆内部).
2
xx 2k 212 2k2 1
又|GH|
,
22
,解得k .
22
所以,所求直线l:y
(x 1). 2
(理)证明(3) 直线l与线段AB交于点P,且与点O、A、B不重合,
直线l的斜率k满足: 1 k 1,k 0. 由(2)可得点P(0, k), 2kk2
可算得y1 y2 ,y1y2 2.
2k2 12k 1整理人 谭峰
又直线HA:y 1
y1 1y 1
x,GB:y 1 2x. x1x2
y1 1
x,x1yQ 1y2 1
x.x2
得
y 1
设点Q(xQ,yQ),则由
y 1
yQ 1
yQ 1
2
yQ 1
y1 1x2
(此等式右边为正数). y2 1x1
2
2
(y1 1)2x21 (y1 y2) y1y2
0,且( yQ 1yQ 1(y2 1)2x121 y1 y2 y1y2 1+k
= . 1 k
yQ 11 k11
,解得yQ . OP OQ (0, k) (xQ, 1为定值.
yQ 11 kkk
(文) (3) 当直线l
y轴时,|GH|
,点O到圆心的距离为1.即点O在圆外,不满足题意.
满足题意的直线l的斜率存在,设为k,则l:y k(x 1).
2k 4k2
y y ,x x ,1212 22 2k 12k 1
设点H(x1,y1)、G(x2,y2),由(2)知, 进一步可求得 22
xx 2k 2. yy k.121222 2k 1 2k 1
2k2 2 k2
依据题意,有OG OH, x1x2 y1y2 0, 即 2 0,解得k . 2
2k 12k
1
所求圆的半径r
1|GH| , 25
圆心为(
x1 x2y1 y244218, (, .
所求圆的方程为:(x 2 (y . 22555525
整理人 谭峰
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