高考数学 真题分类汇编：专题(15)复数（理科）及答案

专题十五 复数

1.【20xx高考新课标2，理2】若a为实数且(2?ai)(a?2i)??4i，则a?（ ） A．?1 B．0 C．1 D．2 【答案】B

【解析】由已知得4a?(a?4)i??4i，所以4a?0,a?4??4，解得a?0，故选B． 【考点定位】复数的运算．

【名师点睛】本题考查复数的运算，要利用复数相等列方程求解，属于基础题． 2.【20xx高考四川，理2】设i是虚数单位，则复数i3?222( ) i（A）-i （B）-3i （C）i. （D）3i 【答案】C 【解析】

i3?22i??i?2??i?2i?i，选C. ii【考点定位】复数的基本运算.

【名师点睛】复数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题.一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可.

3.【20xx高考广东，理2】若复数z?i?3?2i? ( i是虚数单位 )，则z?（ ） A．3?2i B．3?2i C．2?3i D．2?3i 【答案】D．

【解析】因为z?i?3?2i??2?3i，所以z?2?3i，故选D． 【考点定位】复数的基本运算，共轭复数的概念．

【名师点睛】本题主要考查复数的乘法运算，共轭复数的概念和运算求解能力，属于容易题；复数的乘法运算应该是简单易解，但学生容易忘记和混淆共轭复数的概念，z?a?bi的共轭复数为z?a?bi．

4.【20xx高考新课标1，理1】设复数z满足

1?z=i，则|z|=( ) 1?z（A）1 （B）2 （C）3 （D）2

【答案】A

【解析】由

1?z?1?i(?1?i)(1?i)==i，故|z|=1，故选A. ?i得，z?1?z1?i(1?i)(1?i)【考点定位】本题主要考查复数的运算和复数的模等.

【名师点睛】本题将方程思想与复数的运算和复数的模结合起来考查，试题设计思路新颖，本题解题思路为利用方程思想和复数的运算法则求出复数z，再利用复数的模公式求出|z|,本题属于基础题，注意运算的准确性.

5.【20xx高考北京，理1】复数i?2?i??（ ） A．1?2i 【答案】A

B．1?2i

C．?1?2i

D．?1?2i

考点定位：本题考查复数运算，运用复数的乘法运算方法进行计算，注意i2??1. 【名师点睛】本题考查复数的乘法运算，本题属于基础题，数的概念的扩充部分主要知识点有：复数的概念、分类，复数的几何意义、复数的运算，特别是复数的乘法与除法运算，运算时注意i2注意运算的准确性,近几年高考主要考查复数的乘法、除法，求复数的模、??1，

复数的虚部、复数在复平面内对应的点的位置等.

6.【20xx高考湖北，理1】 i为虚数单位，i607的共轭复数为（ ） ．．．．

A．i B．?i C．1 D．?1 【答案】A

【解析】i607?i4?151?i3??i,所以i607的共轭复数为i，选A . ．．．．【考点定位】共轭复数.

【名师点睛】复数中，i是虚数单位,i??1；i24n?1?i，i4n?2??1，i4n?3??i，i4n?1(n?Z)

7.【20xx高考山东，理2】若复数z满足

z?i，其中i为虚数为单位，则z=（ ） 1?i（A）1?i （B）1?i （C）?1?i （D）?1?i 【答案】A 【解析】因为

z?i，所以，z?i?1?i??1?i ，所以，z?1?i 故选：A. 1?i【考点定位】复数的概念与运算.

【名师点睛】本题考查复数的概念和运算，采用复数的乘法和共轭复数的概念进行化简求解. 本题属于基础题，注意运算的准确性.

8.【20xx高考安徽，理1】设i是虚数单位，则复数

2i在复平面内所对应的点位于（ ） 1?i （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 【答案】B 【解析】由题意

2i2i(1?i)?2?2i????1?i，其对应的点坐标为(?1,1)，位于第二1?i(1?i)(1?i)2象限，故选B.

【考点定位】1.复数的运算；2.复数的几何意义.

【名师点睛】复数的四则运算问题主要是要熟记各种运算法则，尤其是除法运算，要将复数

分母实数化（分母乘以自己的共轭复数），这也历年考查的重点；另外，复数z?a?bi在复平面内一一对应的点为Z(a,b).

9.【20xx高考重庆，理11】设复数a+bi（a，b?R）的模为3，则（a+bi）（a-bi）=________. 【答案】3 【解析】由

a?bi?3得

a2?b2?3，即a2?b2?3，所以

(a?bi)(a?bi)?a2?b2?3.

【考点定位】复数的运算.

【名师点晴】复数的考查核心是代数形式的四则运算，即使是概念的考查也需要相应的运算支持．本题首先根据复数模的定义得a?bi?a2?b2，复数相乘可根据平方差公式求得

(a?bi)(a?bi)?a2?(bi)2

?a2?b2，也可根据共轭复数的性质得(a?bi)(a?bi)?a2?b2．

10.【20xx高考天津，理9】i是虚数单位，若复数?1?2i??a?i? 是纯虚数，则实数a的值为 . 【答案】?2

【解析】?1?2i??a?i??a?2??1?2a?i是纯虚数，所以a?2?0，即a??2. 【考点定位】复数相关概念与复数的运算.

【名师点睛】本题主要考查复数相关概念与复数的运算.先进行复数的乘法运算，再利用纯虚数的概念可求结果，是容易题.

11.【20xx江苏高考，3】设复数z满足z2?3?4i（i是虚数单位），则z的模为_______. 【答案】5

【解析】|z2|?|3?4i|?5?|z|2?5?|z|?5 【考点定位】复数的模

【名师点晴】在处理复数相等的问题时，一般将问题中涉及的两个复数均化成一般形式，利用复数相等的充要条件“实部相等，虚部相等”进行求解.本题涉及复数的模，利用复数模的

z|z||z|2?z2，|z1z2|?|z1||?z2|，|1|?1.z2|z2|

性质求解就比较简便：

?1?i?12.【20xx高考湖南，理1】已知

z2，则复数z=（ ） ?1?i（i为虚数单位）

A.1?i B.1?i C.?1?i D.?1?i 【答案】D.

【考点定位】复数的计算.

【名师点睛】本题主要考查了复数的概念与基本运算，属于容易题，意在考查学生对复数代

数形式四则运

算的掌握情况，基本思路就是复数的除法运算按“分母实数化”原则，结合复数的乘法进行

计算，而复数

的乘法则是按多项式的乘法法则进行处理.

13.【20xx高考上海，理2】若复数z满足3z?z?1?i，其中i为虚数单位，则z? ． 【答案】

【解析】设z?a?bi(a,b?R)，则3(a?bi)?a?bi?1?i?4a?1且2b?1?z?【考点定位】复数相等，共轭复数

11?i 4211?i 42【名师点睛】研究复数问题一般将其设为z?a?bi(a,b?R)形式，利用复数相等充要条件：实部与实部，虚部与虚部分别对应相等，将复数相等问题转化为实数问题：解对应方程组问题.复数问题实数化转化过程中，需明确概念，如z?a?bi(a,b?R)的共轭复数为z?a?bi(a,b?R)，复数加法为实部与实部，虚部与虚部分别对应相加.

【20xx高考上海，理15】设z1，z2?C，则“z1、z2中至少有一个数是虚数”是“z1?z2是虚数”的（ ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B

【解析】若z1、z2皆是实数，则z1?z2一定不是虚数，因此当z1?z2是虚数时，则“z1、z2中至少有一个数是虚数”成立，即必要性成立；当z1、z2中至少有一个数是虚数，z1?z2不一定是虚数，如z1?z2?i，即充分性不成立，选B. 【考点定位】复数概念，充要关系

【名师点睛】形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．判断概念必须从其定义出发，不可想当然.

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