2007年安徽理科数学高考考试试卷

2007年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)

数 学（理科）

参考公式：

如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式 P(A+B)=P(A)+P(B) S=4Πr2

如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径 P(A·B)=P(A)+P(B) 球的体积公式

n(n?1)43

V=?R 23n(n?1)(2n?1)12+22+…+n2= 其中R表示球的半径

61+2+…+n

n2(n?1)21+2++n=

43

3

3

第Ⅰ卷（选择题共55分）

一、选择题：本大题共11小题，每小题5分，共55分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1)下列函数中，反函数是其自身的函数为

(A)f(x)?x3,x??0,??? （B）f(x)?x3,x????,???

1,x?(0,??) x(2)设l,m,n均为直线，其中m,n在平面?内，“l??”是“l?m且l?n”的

(C)f(x)?cx,x?(??,??) (D)f(x)?（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件

(C)充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 (3)若对任意x?R,不等式x≥ax恒成立，则实数a的取值范围是

(A)a＜－1 (B)a≤1 (C) a＜1 （D）a≥1

（4）若a为实数，

2?ai1?2i

＝－2i，则a等于

（A）2

（B）－2

2?x

（C）22 （D）－22

（5）若A?x??2?2为

（A）0

??8?，B??x?R|log2x|?1}，则A?(CRB)的元素个数

（C）2

（D）3

（B）1

（6）函数f(x)?3sin(2x?)的图象为C，：

π311?对称; ①图象C关于直线x?12

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π5π,)内是增函数; 1212π③由y?3sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C.

3②函数f(x)在区间(? 以上三个论断中正确论断的个数为 （A）0 （B）1

（C）2

（D）3

?2x?y?2?0?（7）如果点P在平面区域?x?2y?1?0上，点Q在曲线x2?(y?2)2?1上，那么PQ

?x?y?2?0?的最小值为 （A）5?1

（B）

45?1

（C）22?1 （D）2?1

（8）半径为1的球面上的四点A,B,C,D是正四面体的顶点，则A与B两点间的球面距离

为

（A）arccos(?3) 3（B）arccos(?116) （C）arccos(?)（D）arccos(?)

343x2r2（9）如图，F1和F2分别是双曲线2?2?1(a?0,b?0)的两

ab个焦点，A和B是以O为圆心，以OF1为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为 （A）3

（B）5

（C）

5 2

（D）1?3

（10）以?(x)表示标准正态总体在区间（??,x）内取值的概率，若随机变量?服从正态

分布N(?,?2)，则概率P(?????)等于 （A）?(???)－?(???) （C）?(

（B）?(1)??(?1) （D）2?(???)

1???)

（11）定义在R上的函数f(x)既是奇函数，又是周期函数，T是它的一个正周期.若将方程

f(x)?0在闭区间??T,T?上的根的个数记为n，则n可能为

（A）0

（B）1 （C）3 （D）5

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第Ⅱ卷(非选择题 共95分)

二、填空题:本大共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在答题卡的相应位置. (12)若(2x3+

1x)n的展开式中含有常数项，则最小的正整数n等于 .

???????????????（13）在四面体O－ABC中，OA?a,OB?b,OC?c,D为BC的中点，E为AD的中点，

???则OE= （用a,b,c表示）.

（14）如图，抛物线y=－x2+1与x轴的正半轴交于点A，将线段OA的n等分点从左至右依次记为P1,P2,…,Pn－1,过这些分点分别作x轴的垂线，与抛物线的交点依次为Q1，Q2，…，Qn－1，从而得到n－1个直角三角形△Q1OP1, △Q2P1P2,…, △Qn－1Pn－1Pn－1,当n→∞时，这些三角形的面积之和的极限为 . (15)在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的

4

个顶点，这些几何形体是

（写出所有正确结论的编号）. ．．

①矩形；

②不是矩形的平行四边形；

③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体； ④每个面都是等边三角形的四面体； ⑤每个面都是直角三角形的四面体.

三、解答题：本大题共6小题，共79分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （16）（本小题满分12分）

已知0＜a＜

?4,?为f(x)?cos(2x??8)的最小正周期，a?(tan(a?1?),?1),求42cos2??sin2(???).

cos??sin?(17) (本小题满分14分)

如图，在六面体ABCD－A1B1C1D1中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形A1B1C1D1是边长为1的正方形，DD1⊥平面A1B1C1D1，DD1⊥平面ABCD，DD1＝2.

（Ⅰ）求证：A1C1与AC共面，B1D1与BD共面； （Ⅱ）求证：平面A1ACC1⊥平面B1BDD1； （Ⅲ）求二面角A－BB1－C的大小（用反三角函数值表示）.

(18) (本小题满分14分)

设a≥0，f (x)=x－1－ln2 x＋2a ln x（x>0）. （Ⅰ）令F（x）＝xf＇（x），讨论F（x）在（0.＋∞）内的单调性并求极值；

（Ⅱ）求证：当x>1时，恒有x>ln2x－2a ln x＋1. (19) (本小题满分12分)

如图，曲线G的方程为y2=20（y≥0）.以原点为圆心，以

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t（t >0）为半径的圆分别与曲线G和y轴的正半轴相交于点A与点B.直线AB与x轴相交于点C.

（Ⅰ）求点A的横坐标a与点C的横坐标c的关系式； （Ⅱ）设曲线G上点D的横坐标为a＋2，求证：直线CD的斜率为定值. (20) (本小题满分13分)

在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔.以ξ表示笼内还剩下的果蝇．．．．．．．的只数.

（Ⅰ）写出ξ的分布列（不要求写出计算过程）； （Ⅱ）求数学期望Eξ； （Ⅲ）求概率P（ξ≥Eξ）. (21) (本小题满分14分)

某国采用养老储备金制度.公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加d（d>0），因此，历年所交纳的储务金数目a1，a2，…是一个公差为d的等差数列，与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利.这就是说，如果固定年利率为r（r>0），那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就

－－

变为a1（1＋r）a1，第二年所交纳的储备金就变为a2（1＋r）a2，……，以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额.

（Ⅰ）写出Tn与Tn－1（n≥2）的递推关系式； （Ⅱ）求证：Tn＝An＋Bn，其中｛An｝是一个等比数列，｛Bn｝是一个等差数列.

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2007年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）

数学（理科）试题参考答案

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分55分． 题号 答案 1 D 2 A 3 B 4 B 5 C 6 C 7 A 8 C 9 D 10 B 11 D 1,x?(0,??)，选D。 x(2) 设l,m,n均为直线，其中m,n在平面?内，“l??”，则“l?m且l?n”，反之若“l?m且l?n”，当m//n时，推不出“l??”，∴ “l??”是“l?m且l?n”的充分不必要条件，选A。

(1) 在下列函数中，反函数是其自身的函数为f(x)?(3)若对任意x?R,不等式x≥ax恒成立，当x≥0时，x≥ax，a≤1，当x<0时，－x≥ax，∴a≥－1，综上得?1?a?1，即实数a的取值范围是a≤1，选B。

（4）若a为实数，

2?ai1?2i2?x＝－2i，则2?ai?2?2i，a=－2，选B。

（5）A?x??2?2??8?={0,1}，B??x?R|log2x|?1}={x|x?2或0?x?1}，2∴ A?(CRB)={0,1}，其中的元素个数为2，选C。 （6）函数f(x)?3sin(2x?①图象C关于直线2x?π)的图象为C 3?k??11?对称；①正

3212π5π?π5π??)时，2x?∈(－，)，∴ 函数f(x)在区间(?,)内是确；②x∈(?,22121231212π增函数；②正确；③由y?3sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到

32?y?3sin(2x?)，得不到图象，③错误；∴ 正确的结论有2个，选C。

3对称，当k=1时，图象C关于x????2x?y?2?0?（7）点P在平面区域?x?2y?1?0上，画出可

?x?y?2?0?行域如图，点Q在圆x?(y?2)?1上，那么PQ 的最小值为圆心(0，－2)到直线x

-2-12232101-1-223－2y+1=0的距离减去半径1，即为5－1，

选A。

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（8）半径为1的球面上的四点A,B,C,D是正四面体的顶点，设AB=a，P为△BCD的中

心，O为球心，则OB=1，OP=

1326222，BP=a，由OB?OP?BP解得a?，33311)，∴ A与B两点间的球面距离为arccos(?)，33∴ 由余弦定理得∠AOB=arcos(－选C。

x2r2（9）如图，F1和F2分别是双曲线2?2?1(a?0,b?0)的两

ab个焦点，A和B是以O为圆心，以OF1为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，连接AF1，∠

AF2F1=30°，|AF1|=c，|AF2|=3c，∴ 2a?(3?1)c，双曲线的离心率为1?3，选D。

（10）以?(x)表示标准正态总体在区间（??,x）内取值的概率，若随机变量?服从正态

分布N(?,?2)，则概率P(?????)=P(???)?P(???)=?(?????)－??(?????)=?(1)??(?1)，选B。 ?（11）定义在R上的函数f(x)是奇函数，f(0)?0，又是周期函数，T是它的一个正周期，∴f(T)?f(?T)?0，f(?TTTTTT)??f()?f(??T)?f()，∴f(?)?f()?0，222222则n可能为5，选D。

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分． 题号 答案 (12)若(2x3+

12 7 13 14 15 ①③④⑤ 1?1?1?a?b?c 244n?r1 33n?r1x)n的展开式中含有常数项，Tr?1?Cn(2x)?(1r)为常数项，即x7r=0，当n=7，r=6时成立，最小的正整数n等于7. 2???????????????（13）在四面体O－ABC中，OA?a,OB?b,OC?c,D为BC的中点，E为AD的中点，

????????????1????????1????????则OE=OA?AE?OA?AD?OA?(AO?OD)

22?1????????1?1?1?1???=OA?(OB?OC)?a?b?c. 242443n?（14）如图，抛物线y=－x2+1与x轴的正半轴交于点A(1，0)，

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将线段OA的n等分点从左至右依次记为P1,P2,…,Pn－1,过这些分点分别作x轴的垂线，与抛物线的交点依次为Q1，Q2，…，Qn－1，从而得到n－1个直角三角形△Q1OP1, △Q2P1P2,…,

k?11k?1(k?1)2,0)，Qk?1(|PP|?,1?)△Qn－1Pn－2Pn－1, ∴ Pk?1(，，当n→∞时，n?2n?12nnnn11122(n?1)2)]. 这些三角形的面积之和的极限为lim?[(1?2)?(1?2)??(1?n??2nnnn21(n?1)n2?(n?1)(n?2)(2n?3)116整理得lim=。 []2n??2n3n(15)在正方体ABCD－A1B1C1D1上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体

的4个顶点，这些几何形体是①矩形如ACC1A1；. ③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体，如A－A1BD；④每个面都是等边三角形的四面体，如ACB1D1；⑤每个面都是直角三角形的四面体，如AA1DC，所以填①③④⑤。

.三、解答题

16．本小题主要考查周期函数、平面向量数量积与三角函数基本关系式，考查运算能力和推理能力．本小题满分12分． 解：因为?为f(x)?cos?2x???π??的最小正周期，故??π． 8???1????2． 4?·b?m，又a因a·b?cos?·tan???故cos?·tan???由于0?????1????m?2． 4?π，所以 42cos2??sin2(???)2cos2??sin(2??2π)?

cos??sin?cos??sin?2cos2??sin2?2cos?(cos??sin?)??

cos??sin?cos??sin??2cos?1?tan?π???2cos?·tan?????2(2?m)．

1?tan?4??17．本小题主要考查直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系、二面角及其平面角等

有关知识，考查空间想象能力和思维能力，应用向量知识解决立体几何问题的能力．本小题满分14分．

解法1（向量法）： 以D为原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系

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D?xyz如图，

则有A(2，0，，0)B(2，2，，0)C(0，2，，0)A1(10，，，2)B1(11，，，2)C1(01，，，2)D1(0，0，2)． （Ⅰ）证明：

?????????????????? ∵AC，，，AC?(?2，2，，0)D1B1?(110)，，，DB?(2，2，0)．11?(?110)D1zC1∴???AC??2????AC??????????11，DB?2D1B1． ∴???AC?与????AC??????????11平行，DB与D1B1平行， 于是AC11与

AC共面，B1D1与BD共面． （Ⅱ）证明：????DD?·????1AC?(0，0，2)·(?2，2，0)?0， ???DB?·???AC??(2，2，0)·(?2，2，0)?0， ∴????DD?????????????1?AC，DB?AC．

DD1与DB是平面B1BDD1内的两条相交直线．

∴AC?平面B1BDD1．

又平面A1ACC1过AC．

∴平面A1ACC1?平面B1BDD1．

（Ⅲ）解：???AA?1?(?10，，，2)???BB??????1?(?1，?12)，，CC1?(0，?12)，．设n?(x1，y1，z1)为平面A1ABB1的法向量，

n·???AA?0，n·???BB?1??x1?2z1?1??x1?y1?2z1?0．

于是y1?0，取z1?1，则x1?2，n?(2，0，1)． 设m?(x2，y2，z2)为平面B1BCC1的法向量，

m·???BB??x?????1?2?y2?2z2?0，m·CC1??y2?2z2?0．

于是x2?0，取z2?1，则y2?2，m?(0，21)，． cosm，n?m·nmn?15．

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A1B1D C yA xB 1∴二面角A?BB1?C的大小为π?arccos．

5解法2（综合法）：

（Ⅰ）证明：∵D1D?平面A1B1C1D1，D1D?平面ABCD．

∴D1D?DA，D1D?DC，平面A1B1C1D1∥平面ABCD．

于是C1D1∥CD，D1A1∥DA．

D1

，DC的中点，连结EF，A1E，C1F， 设E，F分别为DA有A，C1F∥D1D，DE?1，DF?1． 1E∥D1DC1 B1

A1 ∴A1E∥C1F，

于是AC11∥EF．

由DE?DF?1，得EF∥AC，

A

D M

F C

E O B AC共面． 故AC11∥AC，AC11与

过点B1作B1O?平面ABCD于点O，

∥AE，BO ∥CF，连结OE，OF， 则B1O 111∥BA，OF ∥BC，∴OE?OF． 于是OE 1111∵B1A1?A1D1，∴OE?AD．

∵B1C1?C1D1，∴OF?CD．

所以点O在BD上，故D1B1与DB共面．

（Ⅱ）证明：∵D1D?平面ABCD，∴D1D?AC， 又BD?AC（正方形的对角线互相垂直），

D1D与BD是平面B1BDD1内的两条相交直线，

∴AC?平面B1BDD1．

∴平面A1ACC1?平面B1BDD1． 又平面A1ACC1过AC，

（Ⅲ）解：∵直线DB是直线B1B在平面ABCD上的射影，AC?DB， 根据三垂线定理，有AC?B1B．

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M，连结MC，MO， 过点A在平面ABB1A1B于1内作AM?B则B1B?平面AMC， 于是B1B?MC，B1B?MO，

所以，?AMC是二面角A?B1B?C的一个平面角． 根据勾股定理，有A，C1C?5，B1B?6． 1A?5∵OM?B1B，有OM?21010B1O·OB2，BM?，AM?，CM?． ?B1B33331AM2?CM2?AC21cos?AMC???，?AMC?π?arccos，

52AM·CM5二面角A?BB1?C的大小为π?arccos1． 518．本小题主要考查函数导数的概念与计算，利用导数研究函数的单调性、极值和证明不等式的方法，考查综合运用有关知识解决问题的能力．本小题满分14分． （Ⅰ）解：根据求导法则有f?(x)?1?2lnx2a?，x?0， xx故F(x)?xf?(x)?x?2lnx?2a，x?0， 于是F?(x)?1?列表如下：

2x?2?，x?0， xxx F?(x) (0，2) 2 0 极小值F(2) (2，?∞) ? ? ? ? F(x) 2)内是减函数，在(2，?∞)内是增函数，所以，在x?2处取得极小值故知F(x)在(0，F(2)?2?2ln2?2a．

（Ⅱ）证明：由a≥0知，F(x)的极小值F(2)?2?2ln2?2a?0．

?∞)，恒有F(x)?xf?(x)?0． 于是由上表知，对一切x?(0，?∞)内单调增加． 从而当x?0时，恒有f?(x)?0，故f(x)在(0，所以当x?1时，f(x)?f(1)?0，即x?1?lnx?2alnx?0．

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故当x?1时，恒有x?lnx?2alnx?1．

19．本小题综合考查平面解析几何知识，主要涉及平面直角坐标系中的两点间距离公式、直线的方程与斜率、抛物线上的点与曲线方程的关系，考查运算能力与思维能力、综合分析问题的能力．本小题满分12分．

y 解：（Ⅰ）由题意知，A(a，2a)． 2因为OA?t，所以a?2a?t．

B A 由于t?0，故有t?a2?2a． （1） 由点B(0，t)，C(c，0)的坐标知， 直线BC的方程为

O a 222G:y?2x

D a?2 Ｃ x xy??1． ct又因点A在直线BC上，故有

a2a??1， ct将（1）代入上式，得

a2a??1， ca(a?2)解得c?a?2?2(a?2)．

（Ⅱ）因为D(a?2，2(a?2))，所以直线CD的斜率为

kCD?2(a?2)2(a?2)2(a?2)????1．

a?2?ca?2?(a?2?2(a?2))?2(a?2)所以直线CD的斜率为定值．

20．本小题主要考查等可能场合下的事件概率的计算、离散型随机变量的分布列、数学期望的概念及其计算，考查分析问题及解决实际问题的能力．本小题满分13分． 解：（Ⅰ）?的分布列为：

? P

0 1 2 3 4 5 6 7654321 282828282828282(1?6?2?5?3?4)?2． 285?4?3?2?115?（Ⅲ）所求的概率为P(?≥E?)?P(?≥2)?．

2828（Ⅱ）数学期望为E??

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21．本小题主要考查等差数列、等比数列的基本概念和基本方法，考查学生阅读资料、提取信息、建立数学模型的能力、考查应用所学知识分析和解决实际问题的能力．本小题满分14分．

解：（Ⅰ）我们有Tn?Tn?1(1?r)?an(n≥2)． （Ⅱ）T1?a1，对n≥2反复使用上述关系式，得

Tn?Tn?1(1?r)?an?Tn?2(1?r)2?an?1(1?r)?an??

?an?21(1?r)n?1?a2(1?r)???an?1(1?r)?an，

①

在①式两端同乘1?r，得

(1?r)Tn?a1(1?r)n?a2(1?r)n?1???a2n?1(1?r)?an(1?r)

②

②?①，得rTn?a1(1?r)n?d[(1?r)n?1?(1?r)n?2???(1?r)]?an

?dr[(1?r)n?1?r]?a1(1?r)n?an． 即Tar?dndar?dn?1r2(1?r)?rn?1r2．

如果记Aar?dnar?ddn?1r2(1?r)，B1n??r2?rn，

则Tn?An?Bn． 其中?An?是以

a1r?dr2(1?r)为首项，以1?r(r?0)为公比的等比数列；?a1r?dddr2?r为首项，?r为公差的等差数列．

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?Bn?是以

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