2013届高考数学一轮复习讲义 5.1 平面向量的概念及线性运算

一轮复习讲义

平面向量的概念及线性运算

要点梳理1.向量的有关概念 名称 向量

忆一忆知识要点

定义 既有 大小 又有方向的量； 向 量的大小叫做向量的长度 (或称为模) 长度为 0 的向量； 其方向 是任意的

备注 平面向量是自由向量

零向量

记作 0

单位向量

非零向量 a 的单位向量 长度等于1个单位 的向量 a 为± |a|

要点梳理平行向量 共线向量 相等向量 相反向量

忆一忆知识要点

方向 相同 或 相反 的非 零向量 0 与任一向量 平行 或 共线 两向量只有相等或不 等，不能比较大小 0 的相反向量为 0

方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量 长度 相等 且方向 相同 的向量 长度 相等 且方向相反 的向量

忆一忆知识要点

2.向量的线性运算 向量 运算 定义 法则(或几 何意义) 运算律

(1)交换律： 加法 求两个向量 和的运算平行四边形 三角形

a+b=b+a (2)结合律： (a+b)+c=a+(b+c) .

要点梳理求 a 与 b 的相 减法 反向量-b 的 和的运算叫做 a 与 b 的差

忆一忆知识要点

a-b=a+(-b)

三角形 法则(1)|λa|= |λ||a| ;

(2)当 λ>0 时， 的方向 λ(μa)= λμa ; λa 求实数 λ 与向 与 a 的方向 相同 ；当 (λ+μ)a= λa+ 数乘 量 a 的积的运 μa ; λ<0 时，λa 的方向与 a 算 的方向 相反 ；当 λ=0 λ(a+b)=λa+λb 时，λa= 0

要点梳理3.共线向量定理

忆一忆知识要点

b=λa

向量 a(a≠0)与 b 共线的充要条件是存在惟一一个实数 λ, 使得 .

[难点正本

疑点清源]

1.向量的两要素 向量具有大小和方向两个要素. 用有向线段表示向量时， 与 有向线段起点的位置没有关系.同向且等长的有向线段都表 示同一向量. 或者说长度相等、 方向相同的向量是相等的. 向 量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说，即向量不能比较 大小. 2.向量平行与直线平行的区别 向量平行包括向量共线和重合的情况， 而直线平行不包括共 线的情况.因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必 须说明这两条直线不重合.

平面向量的概念辨析例 1 给出下列命题： ①若|a|=|b|,则 a=b;②若 A,B,C,D 是不共线的四点，则 → → AB=DC是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件； ③若 a=b, b=c,则 a=c;④a=b 的充要条件是|a|=|b|且 a∥b. 其中正确的序号是________.①不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一 定相同.→ → → → → → ②正确.∵AB=DC,∴|AB|=|DC|且AB∥DC, 又∵A,B,C,D 是不共线的四点，∴四边形 ABCD 为平行四边 → → → 形；反之，若四边形 ABCD 为平行四边形，则AB∥DC且|AB|= → → → |AB|,因此，AB=DC.

③正确.∵a=b,∴a,

b 的长度相等且方向相同；又 b=c, ∴b,c 的长度相等且方向相同， ∴a,c 的长度相等且方向相同，故 a=c. ④不正确.当 a∥b 且方向相反时，即使|a|=|b|,也不能得到 a =b,故|a|=|b|且 a∥b 不是 a=b 的充要条件，而是必要不充分 条件. 综上所述，正确命题的序号是②③.答案 ②③

探究提高(1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键. (2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性. (3)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关. (4)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时， 不要把它与函数图象移动混为一谈. a a (5)非零向量 a 与 的关系是： 是 a 方向上的单位向量. |a| |a|

变式训练 1判断下列命题是否正确，不正确的请说明理由. (1)若向量 a 与 b 同向，且|a|>|b|,则 a>b; (2)若|a|=|b|,则 a 与 b 的长度相等且方向相同或相反； (3)若|a|=|b|,且 a 与 b 方向相同，则 a=b; (4)由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行； (5)若向量 a 与向量 b 平行，则向量 a 与 b 的方向相同或相反； → → (6)若向量AB与向量CD是共线向量，则 A,B,C,D 四点在一 条直线上； (7)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； (8)任一向量与它的相反向量不相等.

解

(1)不正确，因为向量只讨论相等和不等，而不能比较大小.

(2)不正确，因为向量模相等与向量的方向无关.(3)正确. (4)不正确，因为规定零向量与任意向量平行. (5)不正确，因为两者中若有零向量，零向量的方向是任意的. → → (6)不正确，因为AB 与CD 共线，而 AB 与 CD 可以不共线即

AB∥CD.(7)正确. (8)不正确，因为零向量可以与它的相反向量相等.

向量的线性运算例2 在△ABC 中，D、E 分别为 BC、AC 边上的中点，G 为 → → BE 上一点，且 GB=2GE,设AB=a,AC=b,试用 a,b 表示 → → AD,AG.

结合图形性质， 准确灵活运用三角形法则和平行四边形法则是向 量加减运算的关键. → =1(AB+AC)=1a+1b; → → 解 AD 2 2 2 → =AB+BG=AB+2BE=AB+1(BA+BC) → → → → AG → → → 3 3 2→ 1 → → 1→ 1→ 1 1 = AB+ (AC-AB)= AB+ AC= a+ b. 3 3 3 3 3 3

探究提高(1)解题的关键在于搞清构成三角形的三个问题间的相互关系， 能 熟练地找出图形中的相等向量， 并能熟练运用相反向量将加减法 相互转化. (2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧： ①观察各向量 的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④ 化简结果.

变式训练 2在△ABC 中，E、F 分别为 AC、AB 的中点，BE 与 CF 相交于 G → → → 点，设AB=a,AC=b,试用 a

,b 表示AG.→ → → → → AG=AB+BG=AB+λBE → λ → → =AB+ (BA+BC) 2 λ → λ → → = 1-2 AB+ (AC-AB) 2 → +λ AC=(1-λ)a+λb. → =(1-λ) AB 2 2 解

→ =AC+CG=AC+mCF=AC+m(CA+CB) → → → → 又AG → → → 2 → +mAB=ma+(1-m)b, → =(1-m) AC 2 2 m 1-λ= 2 2 → =1a+1b. ∴ ,解得 λ=m= ,∴AG 3 3 3 λ 1-m= 2

平面向量的共线问题例 3 设两个非零向量 a 与 b 不共线， → → → (1)若AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b),求证：A、B、 D 三点共线； (2)试确定实数 k,使 ka+b 和 a+kb 共线.

解决点共线或向量共线问题，要结合向量共线定理进行. → → → (1)证明 ∵AB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b), → → → ∴BD=BC+CD=2a+8b+3(a-b)→ =2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5AB. → → ∴AB、BD共线，又∵它们有公共点 B,

∴A、B、D 三点共线.

(2)解

∵ka+b 与 a+kb 共线，

∴存在实数 λ,使 ka+b=λ(a+kb), 即 ka+b=λa+λkb.∴(k-λ)a=(λk-1)b.

∵a、b 是不共线的两个非零向量， ∴k-λ=λk-1=0,∴k2-1=0.∴k=± 1.

探究提高(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与 三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出 三点共线. (2)向量 a、b 共线是指存在不全为零的实数 λ1,λ2,使 λ1a+λ2b= 0 成立，若 λ1a+λ2b=0,当且仅当 λ1=λ2=0 时成立，则向量 a、 b 不共线.

变式训练 2如图所示，△ABC 中，在 AC 上取一点 N, 1 使得 AN= AC,在 AB 上取一点 M,使得 3 1 AM= AB,在 BN 的延长线上取点 P,使得 3 1 → → → NP= BN,在 CM 的延长线上取点 Q,使得MQ=λCM时，AP= 2 → QA,试确定 λ 的值. 1 → → 1→ → → → 1 → → 解 ∵AP=NP-NA= (BN-CN)= (BN+NC)= BC, 2 2 2 → → → 1→ → QA=MA-MQ= BM+λMC, 2 1→ → → → 1→ 又∵AP=QA,∴ BM+λMC= BC, 2 2 1 → 1→ 即 λMC= MC,∴λ= . 2 2

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