8奥数全套--8-1最短路线 题库教师版

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8-8最短路线

教学目标

1. 准确运用“标数法”解决题目. 2. 培养学生的实际操作能力．

知识精讲

知识点说明

从一个地方到另外一个地方，两地之间有许多条路，就有许多种走法，如果你能从中选择一条最近的路走，也就是指要选择一条最短的路线走，这样你就可以节省许多时间了，那么如何能选上最短的路线呢？亲爱的小朋友们，你要记住两点：⑴两点之间线段最短．⑵尽量不走回头路和重复路，这样的话，你就做到了省时省力．

例题精讲

【例 1】 一只蚂蚁在长方形格纸上的A点，它想去B点玩，但是不知走哪条路最近．小朋友们，你能给

它找到几条这样的最短路线呢？

AAE1C1F231D

3G6BB

H1I

【解析】 （方法一）从A点走到B点，不论怎样走，最短也要走长方形AHBD的一个长与一个宽，因此，

在水平方向上，所有线段的长度和应等于AD；在竖直方向上，所有线段的长度和应等于DB．这样我们走的这条路线才是最短路线．为了保证这一点，我们就不应该走“回头路”，只能向右和向下走．所有最短路线：

A?C?D?G?B 、A?C?F?G?B、A?E?F?G?B A?C?F?I?B、A?E?F?I?B、A?E?H?I?B

这种方法不能保证“不漏”．如果图形再复杂些，做到“不重”也是很困难的．

（方法二）遵循“最短路线只能向右和向下走”，观察发现这种题有规律可循． ①看C点：只有从A到C的这一条路线．同样道理：从A到D、从A到E、从A到H也都只有一条路线．我们把数字“1”分别标在C、D、E、H这四个点上．②看F点：从A点出发到F，可以是

也可以是A?E?F，共有两种走法．那么我们在F点标上数字“2”（11．③A?C?F，=2?）

看G点：从A?G有三种走法，即：A?C?D?G、 A?C?F?G、A?E?F?G．在

“3”（1．④看I点：共有三种走法，即：A?C?F?I、A?E?F?I、G点标上数字=32?）

A?E?H?I，在I点标上“3” （3=1?2）．⑤看B点：从上向下走是G?B，从左向右走是I?B，那么从出发点A?B有六种走法，即：A?C?D?G?B、A?C?F?G?B、A?E?F?G?B、A?C?F?I?B、A?E?F?I?B、A?E?H?I?B，在B点标上“6”（6?3?3），观察发现每一个小格右下角上标的数正好是这个小格右上角与1

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左下角的数的和，这个和就是从出发点A到这点的所有最短路线的条数．此法能够保证“不重”也“不漏”，这种方法叫“对角线法”或“标号法”．

【巩固】 如图所示，从A点沿线段走最短路线到B点，每次走一步或两步，共有多少种不同走法？

B

【解析】 这是一个较复杂的最短路线问题，我们退一步想想，先看看简单的情况．

从A到B的各种不同走法中先选择一条路线来分析：

如果按路线A→C→D→E→F→B来走，这条路线共有5条线段，每次走一步或两步，要求从A走到B，会有几种走法？这不是“上楼梯”问题吗．根据“上楼梯”问题的解法可得在A→C→D→E→F→B这条路线中有8种符合条件的走法．而对于从A到B的其他每条最短路线而言，每一条路线都有5条线段，所以每条路线都有8种走法．

进一步：从A到B共有多少条最短路线？这正是“最短路线”问题！用“标数法”来解决，有10条．综上所述，满足条件的走法有8?10?80种．

FDACEABDCFEB11A1321610B3141A

【巩固】 从A到B的最短路线有几条呢？

B

A

【解析】 图中从A到B的最短路线都为6条．

【巩固】 有一只蜗牛从A点出发,要沿长方形的边或对角线爬到C点,中间不许爬回A点,也不能走重复的

路，那么，它有多少条不同的爬行路线？最短的是哪条呢？

AOBCD

【解析】 共有9种，即：A?O?C、 A?O?D?C、 A?O?B?C、 A?B?C

A?B?O?C、 A?B?O?D?C、 A?D?C、 A?D?O?C A?D?O?B?C,最短的路是:A?O?C．

【例 2】 阿呆和阿瓜到少年宫参加2008北京奥运会志愿者培训．如果他们从学校出发，共有多少种不

同的最短路线？

学校学校E1F1少年宫G1A12J3I4HB13C610少年宫D

【解析】 从学校到少年宫的最短路线，只能向右或向下走．我们可以先看A点：从学校到A点最短路线只

有1种走法，我们在A点标上1．B、E、F、再看J点：最短路线可以是A?J、E?JG点同理．1

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共2条，我们在J点标上2．我们发现2?1?1正好是对角线A点和E点上的数字和．所有的最短路线都符合这个规律，最终从学校到少年宫共有10种走法．

【巩固】 方格纸上取一点A作为起点，再在A的右上方任取一点B作为终点，画一条由A到B的最短路

线，聪明的小朋友，你能画出来吗？总共能画出几条呢？

BA

【解析】 根据“标号法”可知共有10种，如图．

【巩固】 如图，从F点出发到G点，走最短的路程，有多少种不同的走法？

G

F

【分析】 共有115种．

【巩固】 小聪明想从北村到南村上学，可是他不知道最短路线的走法共有几种？小朋友们，快帮帮忙呀！

北村南村

【分析】 根据“对角线法”知共有126种，如图．

北村11111234513610151410203515153570162156126南村

【例 3】 “五一”长假就要到了，小新和爸爸决定去黄山玩．聪明的小朋友请你找找看从北京到黄山的

最短路线共有几条呢？

1

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北京北京111221黄山122471310黄山3

【解析】 采用对角线法（如图）这道题的图形与前几题的图形又有所区别，因此，在解题时要格外注意是

由哪两点的数之和来确定另一点的．从北京到黄山最近的道路共有10条．

【巩固】 从甲到乙的最短路线有几条？

乙甲

【解析】 有11条．

【例 4】 古希腊有一位久负盛名的学者，名叫海伦．他精通数学、物理，聪慧过人．人一天一位将军向

他请教一个问题：如下图，将军从甲地骑马出发，要到河边让马饮水，然后再回到乙地的马棚，为了使行走的路线最短，应该让马在什么地方饮水？

甲地乙地

【解析】 本题主要体现最值思想和对称的思想，教师应充分引导孩子观察行走路线的变化情况

甲地河流乙地

逐步引导学生通过对称来找到相应的点，进一步了解图形最值问题中应该如何解决问题．

【例 5】 学校组织三年级的小朋友去帮助农民伯伯锄草，大家从学校乘车出发，去往的李家村（如图）．爱

动脑筋的嘟嘟就在想，从学校到李家村共有多少种不同的最短路线呢？

学校学校河流123456136101521102546103581李家村11111李家村

【解析】 我们采用对角线法（如图），从学校到李家村共有81种不同的最短路线．

［拓展］ 亲爱的小朋友们，你们觉得从A到B共有几条最短路线呢？

1

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B

【解析】 此题与上题不同，但方法相同．我们采用对角线法（如图）可知：可以选择的最短路线共有41条．

【例 6】 阿花和阿红到少年宫参加2008北京奥运会志愿者培训．他们从学校出发到少年宫最多有多少种

不同的行走路线？

少年宫少年宫904248206学校1281451141494155312211学校A

【解析】 采用对角线法（如图）．可得从学校到少年宫共有90种走法．

［铺垫］ 小海龟在小猪家玩，它们想去游乐场坐碰碰车，爱动脑筋的小朋友，请你想一想，从小猪家到游

乐场共有几条最短路线呢？

游乐场游乐场14594小猪家5312211小猪家

1【解析】 “对角线”法（如图），共14 条．

【例 7】 阿强和牛牛结伴骑车去图书馆看书，第一天他们从学校直接去图书馆；第二天他们先去公园看

大熊猫再去图书馆；第三天公园修路不能通行．咱们学而思的小朋友都很聪明，请你们帮阿强和牛牛想想这三天从学校到图书馆的最短路线分别有多少种不同的走法？

学校公园图书馆

【解析】 仍然用对角线法求解．第一天（无限制条件）共有16条；第二天（必须经过公园）共有8条；第

三天（必须不经过公园）共有8条．

【巩固】 大熊和美子准备去看望养老院的李奶奶，可是市中心在修路(城市的街道如图所示),他们从学校到

养老院最短路线共有几条呢？聪明的小朋友，请你们快想想吧！ 1

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