北师大版八年级下因式分解及应用（难）

第11讲：因式分解的方法

【知识梳理】 一、因式分解的意义

把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，其操作过程叫分解因式。其中每一个整式叫做积的因式。 二、因式分解的方法

1、常用方法有提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等，通常根据多项式的项数来选择分解的方法。 2、一些复杂的因式分解的方法：

（1）换元法：对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化、明朗化，在减少多项式项数、降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用。

（2）主元法：在解多变元问题时，选择其中某个变元为主要元素，视其他变元为常量，将原式重新整理成关于这个字母的按降幂排列的多项式，则能排除字母间的干扰，简化问题的结构。

（3）拆项、添项法：拆项是将多项式中的某项拆成两项或更多项的代数和的一种恒等变形；添项是特殊的拆项，即把零拆成两个相反项的和。配方法则是一种特殊的拆项、添项法。

（4）待定系数法：对所给的数学问题，根据已知条件和要求，先设出问题的多项式表达式（含待定的字母系数），然后利用已知条件，确定或消去所设待定系数，使问题得以解答。

（5）常用的公式：

平方差公式：a2?b2??a?b??a?b?； 完全平方公式：a2?2ab?b2??a?b?；

2 a2?b2?c2?2ab?2bc?2ca??a?b?c?；

2 a2?b2?c2?2ab?2bc?2ca??a?b?c?；

2 a2?b2?c2?2ab?2bc?2ca??a?b?c?；

2

立方和（差）公式：a3?b3??a?b??a2?ab?b2?； a3?b3??a?b??a2?ab?b2?； 完全立方公式：a3?3a2b?3ab2?b3??a?b?；

3 a3?3a2b?3ab2?b3??a?b?。

3【例题精讲】

◆例1：（1）4x（a－b）＋（b2－a2）；

（3）x4＋2x2－3；

（5）x3－2x2－3x；

（7）a2－c2+2ab+b2－d2－2cd

◆例2：分解因式：

（1）?x4?x2?4??x4?x2?3??10； （2）?x?1??x?2??x?3??x?6??x2； （3）1999x2??19992?1?x?1999。

（2）（a2＋b2）2－4a2b2；4）（x＋y）2－3（x＋y）＋2；

（6）4a2－b2＋6a－3b； （8）a2－4b2－4c2－8bc

（

【巩固】分解因式：

1、?x2?x?1??x2?x?2??12； 2、?x2?4x?8??3x?x2?4x?8??2x2；

2

3、?6x?1??2x?1??3x?1??x?1??x2； 4、?y?1???y?3??272

44

【拓展】分解因式：?x?y?2xy??x?y?2???xy?1?；

2

◆例3：把下列各式分解因式：

1、a2?b?c??b2?c?a??c2?a?b?； 2、x2?xy?2y2?x?7y?6。

【巩固】分解因式：

1、ab?a?b?2??a?b??1； 2、x2?xy?6y2?x?13y?6。

2

◆例4：分解因式：x3?3x2?4。

【巩固】分解因式：

1、x4?x2y2?y4； 2、a4?64b4；

【拓展】分解因式：a4?2a3b?3a2b2?2ab3?b4。

◆例5：已知多项式2x2?3xy?2y2?x?8y?6的值恒等于两个因式?x?2y?A?，

?2x?y?B?乘积的值，则A?B?______________。

◆例6：分解因式：x2?xy?6y2?x?13y?6。

【巩固】分解因式：

1、x2?xy?2y2?x?5y?2；

2、3x2?5xy?2y2?x?9y?4；

【拓展】

1、k为何值时，多项式x2?2xy?ky2?3x?5y?2能分解成两个一次因式的积？

2、多项式x2?axy?by2?5x?y?6的一个因式是x?y?2，试确定a?b的值。

3、求证：8x2?2xy?3y2可以化为两个整系数多项式的平方差。

【课后练习】

1、分解因式：a3?2a2b?ab2?___________________________； 2、分解因式：x2?2xy?y2?9?________________________________；

3、分解因式：?x2?x?1??x2?x?2??12?___________________________________； 4、已知a、b、c满足a?b?5，c2?ab?b?9，则c?_______________；

5、分解因式：a2?b2?4a?2b?3的结果是____________________________________；

6、已知x2??a?5?x?5a?1能分解成两个整系数一次因式的乘积，则a为____________； 7、把下列各式分解因式：

（1）x2y2?4xy?x2?y2?1； （2）x2?8ax?40ab?25b2；

（3）用换元法分解?x2?5x?6??x2?7x?6??3x2；

（4）用待定系数法分解x2?xy?2y2?x?5y?2。

7、k是什么数时，kx2?2xy?3y2?3x?5y?2能分解成两个一次因式的积？

第12讲 因式分解的应用

【知识梳理】

许多多项式分解因式后的结果在解题中经常用到，我们应熟悉以下的常用结果：

（1）ab?b?a?1??a?1??b?1?； （2）ab?a?b?1??a?1??b?1?； （3）a4?4??a2?2a?2??a2?2a?2?； （4）4a4?1??2a2?2a?1??2a2?2a?1?； （5）a2?b2?c2?2ab?2bc?2ac??a?b?c?；

2（6）a3?b3?c3?3abc??a?b?c??a2?b2?c2?ab?bc?ac?。 【例题精讲】

◆例1：若?ABC的三条边a、b、c满足关系式a4?b2c2?a2c2?b4?0，则?ABC的形状

_____。

【巩固】1、已知a、b、c是三角形三边长，则代数式a2?2ab?c2?b2的值是（ ） A.大于0 B.等于0 C.小于0 D.符号不定 2、设a、b、c是三角形三边长，化简c?a2?b2?c2?2ab?2bc?2ca。

【拓展】已知a、b、c是一个三角形的三边，则a4?b4?c4?2a2b2?2b2c2?2c2a2的值是（ ）

A.恒正 B.恒负 C.可正可负 D.非负

◆例2：已知x2?4x?1?0，则2x4?8x3?4x2?8x?1的值是多少？

【巩固】

1、已知a2?b2?4a?6b?13?0，求a?b的值。

1?1??1?2、已知a?2?a??a?a?1??2，求?a2?2?的值。

2?a??a?

3、设3b?a?2c，求a2?9b2?4c2?4ac的值。

◆例3：已知a、b是自然数，且a2?b2?2007，求a与b的值。

【巩固】设a、b是自然数，a3?b3?7，求a、b的值。

【拓展】设a、b是相邻的两个自然数，问a2?b2?a2b2?4ab是否为平方数？ ◆例4：（1）求证：817?279?913能被45整除；

（2）证明：当n为自然数时，2?2n?1?形式的数不能表示成两个整数的平方差。

【课后作业】

1、?ABC的三边满足a2?2bc?c2?2ab，则?ABC是（ ）

A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.锐角三角形 2、如果100x2?kxy?49y2是一个完全平方式，那么k等于（ ）

A.4900 B.700 C.?140 D.?70 3、若x2?y2?mx?5y?6能分解为两个一次因式的积，则m的值为（ ） A.1 B.?1 C.?1 D.2 4、若n为奇数，则

12n?1（ ） 4?? A.一定是奇数 B.一定是偶数

C.可能是奇数，也可能是偶数 D.可能是整数，也可能是分数（分母不是1）

5、若a、b为有理数，且a2?b2?4a?2b?5?0，则ba?______________。 6、已知x?y?1，x2?y2?2，那么x4?y4?________________。 7、计算：1.212?0.792?2.42?0.79。 8、已知ab?a?b?1?13，求a、b的值。

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