浙教版七年级数学下册试题专训一：分式的意义及性质的巧用.docx

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鑫达捷 解码专训一：分式的意义及性质的巧用

名师点金：

1.从以下几个方面透彻理解分式的意义：(1)分式无意义?分母为零；(2)分式有意义?分母不为零；(3)分式值为零?分子为零且分母不为零；(4)分式值为正数?分子、分母同号；

(5)分式值为负数?分子、分母异号．

2．分式的基本性质是约分、通分的依据，而约分、通分为分式的化简求值奠定了基

础． 分式的识别

1．在3x 4x －2，－5x 2＋7，4x －25，2m ，x 2π＋1，2m 2

m

中，不是分式的式子有( )个． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

2．请你从a －1，3＋π，2，x 2＋5中任选2个构成分式，共有________个．

分式有无意义的条件

3．无论a 取何值，下列分式总有意义的是( )

A .a ＋1a 2

B .a －1a 2＋1

C .1a 2－1

D .1a ＋1

4．当x ＝________时，分式x －1x 2－1

无意义． 5．已知不论x 为何实数，分式

3x ＋5x 2－6x ＋m 总有意义，试求m 的取值范围． 分式值为正、负数或0的条件

6．若x ＋2x 2－2x ＋1

的值为正数，则x 的取值范围是( ) A ．x ＜－2 B ．x ＜1

C ．x ＞－2且x ≠1

D ．x ＞1

7．(中考·常德)若分式x 2－1x ＋1

的值为0，则x ＝________． 8．已知分式a －1a 2－b 2

的值为0，求a 的值及b 的取值范围． 分式的基本性质及其应用

9．下列各式正确的是( )

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鑫达捷 A .a b ＝a 2b 2 B .a b ＝ab a ＋b

C .a b ＝a ＋c b ＋c

D .a b ＝ab b 2 10．要使式子1x －3＝x ＋2x 2－x －6

从左到右变形成立，x 应满足的条件是( ) A ．x ＞－2 B ．x ＝－2

C ．x ＜－2

D ．x ≠－2

11．已知x 4＝y 6＝z 7≠0，求x ＋2y ＋3z 6x －5y ＋4z

的值． 12．已知x ＋y ＋z ＝0，xyz ≠0，求x |y ＋z|＋y |z ＋x|＋z |x ＋y|

的值．

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鑫达捷 解码专训二：分式运算的八种技巧

名师点金：

分式的加减运算中起关键作用的就是通分．但对某些较复杂或具有特定结构的题目，使用一般方法有时计算量太大，容易出错，有时甚至算不出来，若能结合题目结构特征，灵活运用相关性质、方法、解题技巧，选择恰当的运算方法与技能，常常达到事半功倍、化繁为简的效果．

约分计算法

1．计算：a 2＋6a a 2＋3a －a 2－9a 2＋6a ＋9. 顺次相加法

2．计算：1x －1＋1x ＋1＋2x x 2＋1＋4x 3x 4＋1.

整体通分法

3．计算：a －2＋4

a ＋2.

换元通分法

4．计算：(3m －2n)＋（3m －2n ）3

3m －2n ＋1－(3m －2n)2＋2n －3m

3m －2n －1.

裂项相消法? ????

即1

n （n ＋1）＝1

n －1n ＋1

5．计算：1a （a ＋1）＋1

（a ＋1）（a ＋2）＋1

（a ＋2）（a ＋3）＋

…＋1

（a ＋99）（a ＋100）.

整体代入法

6．已知1a ＋1b ＝16，1

b ＋1

c ＝1

9，1

a ＋1c ＝115，求abc

ab ＋bc ＋ac 的值．

倒数求值法

7．已知x x 2－3x ＋1＝－1，求x 2

x 4－9x 2＋1的值．

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鑫达捷 消元法

8．已知4x －3y －6z ＝0，x ＋2y －7z ＝0，且xyz ≠0，求5x 2＋2y 2－z 22x 2－3y 2－10z 2

的值． 解码专训三：分式求值的方法与技巧

名师点金：

分式的求值既突出了式子的化简计算，又考查了数学方法的运用，在计算中若能根据特点，灵活选用方法，往往会收到意想不到的效果．常见的分式求值技巧有：设参数求值、活用公式求值、整体代入法求值、巧变形法求值、化简求值等．

直接代入法求值

1．(中考·鄂州)先化简，再求值：? ????2a ＋1＋a ＋2a 2－1÷a a －1

，其中a ＝2－1. 活用公式求值

2．已知x 2－5x ＋1＝0，求x 4＋1x

4的值． 3．已知x ＋y ＝12，xy ＝9，求x 2＋3xy ＋y 2

x 2y ＋xy 2

的值． 整体代入法求值

4．(中考·乌鲁木齐)先化简，再求值：? ??

??a ＋2a 2－2a ＋1－a a 2－4a ＋4÷a －4a ，其中a 满足a 2－4a －1＝0.

巧变形法求值

5．已知实数x 满足4x 2－4x ＋1＝0，求2x ＋

12x

的值． 设参数求值

6．已知x 2＝y 3＝z 4≠0，求x 2－y 2＋2z 2

xy ＋yz ＋xz 的值． 解码专训四：巧用分式方程的解求字母的值

名师点金：

巧用分式方程的解求字母的值主要体现在以下几方面：(1)利用方程解的定义求字母的

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鑫达捷 值，解决这类问题的方法是将其解代入分式方程，即可求出待定字母的值；(2)利用分式方程有解、有增根、无解求字母的取值范围或值时，一般都是列出关于待定字母的不等式或方程，通过解不等式或方程得到字母的取值范围或值．

利用分式方程解的定义求字母的值

1．已知关于x 的分式方程2x ＋4＝m x 与分式方程32x ＝1x －1

的解相同，求m 2－2m 的值． 利用分式方程有解求字母的取值范围

2．若关于x 的方程x －2x －3＝m x －3

＋2有解，求m 的取值范围． 利用分式方程有增根求字母的值

3．若关于x 的方程x x －1－m 1－x

＝2有增根，则m ＝________. 4．若关于x 的方程m x 2－9＋2x ＋3＝1x －3

有增根，则增根是多少？并求方程产生增根时m 的值．

利用分式方程无解求字母的值

5．(中考·东营)若关于x 的方程x －a x ＋1

＝a 无解，则a 的值为________． 6．已知关于x 的方程x －4x －3－m －4＝m 3－x

无解，求m 的值． 7．已知关于x 的分式方程x ＋a x －2－5x

＝1. (1)若方程的增根为x ＝2，求a 的值；

(2)若方程有增根，求a 的值；

(3)若方程无解，求a 的值．

解码专训五：六种常见的高频考点热门题

名师点金：

本章主要考查分式的概念、分式有意义的条件、分式的性质及运算，考试中题型以选择题、填空题为主，分式的化简求值主要以解答题的形式出现．

分式方程是中考的必考内容之一，一般着重考查解分式方程，并要求会用增根的意义解题，考题常以解答题的形式出现，有时也会出现在选择题和填空题中．

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鑫达捷 分式的识别与求解

1．已知代数式a 2－b 2a －b . (1)是分式，还是整式？ (2)若a ＝－3，b ＝2，求a 2－b 2

a －b

的值． (3)当a ，b 具有怎样的关系时，代数式无意义？

(4)当a ，b 具有怎样的关系时，代数式的值为0?

运用分式的基本性质化简求值

2．化简求值：4x 2－8xy ＋4y 2

2x 2－2y 2

，其中x ＝2，y ＝3. 分式的有关运算

3．(中考·临沂)计算：a a ＋2－4a 2＋2a

＝__________． 4．化简：?

????1－1m ＋1(m ＋1)＝________． 5．计算下列各题．

(1)4a a 2

－1＋1＋a 1－a －1－a 1＋a ； (2)m m ＋3－69－m 2÷2m －3

. 分式方程的增根

6．若关于x 的方程1x －1＋m x －2＝2m ＋2（x －1）（x －2）

有增根，求m 的值． 解分式方程

7．(中考·菏泽)解分式方程：

2x 2－4＋x x －2＝1. 分式方程的应用

8．进入防汛期后，某地对河堤进行了加固．该地驻军在河堤加固的工程中出色完成了任务，这是记者与驻军工程指挥官的一段对话(如图)：

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鑫达捷(第8题)

通过这段对话，请你求出该地驻军原来每天加固的米数．

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鑫达捷 解码专训六：思想方法荟萃

名师点金：

本章涉及的思想方法有：数形结合思想、方程思想、整体思想、消元思想、类比思想等．在分式的学习过程中，若能灵活运用这些思想方法，往往会给你带来意想不到的效果．

数形结合思想

1．如图，点A ，B 在数轴上，它们所对应的数分别是－4

，2x ＋23x －5，且点A ，B 到原点的距离相等，求x 的值．

(第1题) 方程思想

2．已知3x ＋5（x －1）（x ＋2）＝A x －1＋B x ＋2

，求A ，B 的值． 整体思想 3．已知实数a 满足a 2

＋4a －8＝0，求1a ＋1－a ＋3a 2－1·a 2－2a ＋1a 2＋6a ＋9的值． 4．已知a ＋x 2＝2 013，b ＋x 2＝2 014，c ＋x 2＝2 015，且abc ＝24，求

c ab ＋b ac ＋a bc －1a

－1b －1c

的值． 消元思想 5．已知2x －3y ＋z ＝0，3x －2y －6z ＝0，且z ≠0，求x 2＋y 2＋z 2

2x 2＋y 2－z 2

的值． 类比思想

6．观察下面一类分式方程的解的规律：

∵x ＋2x ＝3＋23，∴x 1＝3，x 2＝23

； ∵x ＋2x ＝4＋24，∴x 1＝4，x 2＝24

； ….

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鑫达捷 (1)若x ＋2x ＝a ＋2a

(a ≠0)，猜想x 1＝________，x 2＝________； (2)试用求出关于x 的方程x ＋2x ＝a ＋2a

(a ≠0)的解的方法，证明你的猜想； (3)利用你猜想的结论，解关于x 的方程x ＋2x －1

＝a ＋错误!(a ≠1)． 答案

解码专训一

1．C 点拨：4x －25，2m ，x 2

π＋1

不是分式． 2．6 点拨：以a －1为分母，可构成3个分式；以x 2＋5为分母，可构成3个分式，所以共可构成6个分式．

3．B 4.±1

5．解：x 2－6x ＋m ＝(x －3)2＋(m －9)．

因为(x －3)2≥0，

所以当m －9＞0，即m ＞9时，x 2－6x ＋m 始终为正数，分式总有意义．

6．C 点拨：x 2－2x ＋1＝(x －1)2.因为已知分式的值为正数，所以x ＋2＞0，x －1≠0.解得x ＞－2且x ≠1.

7．1 点拨：由题意得x 2－1＝0，x ＋1≠0，解得x ＝1.

8．解：因为分式a －1a 2－b 2的值为0，所以a －1＝0且a 2－b 2≠0.解得a ＝1且b ≠±1. 9．D 10.D

11．解：设x 4＝y 6＝z 7＝k(k ≠0)，则x ＝4k ，y ＝6k ，z ＝7k.所以x ＋2y ＋3z 6x －5y ＋4z

＝4k ＋2×6k ＋3×7k 6×4k －5×6k ＋4×7k ＝37k 22k ＝3722

. 12．解：由x ＋y ＋z ＝0，xyz ≠0可知，x ，y ，z 必为两正一负或两负一正．当x ，y ，z

为两正一负时，不妨设x ＞0，y ＞0，z ＜0，则原式＝x |－x|＋y |－y|＋z |－z|

＝1＋1－1＝1；当x ，y ，z 为两负一正时，不妨设x ＞0，y ＜0，z ＜0，则原式＝

x |－x|＋y |－y|＋z |－z|＝1－1－1＝－1.

解码专训二

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鑫达捷 1．解：原式＝a （a ＋6）a （a ＋3）－（a ＋3）（a －3）（a ＋3）2

＝ a ＋6a ＋3－a －3a ＋3＝9a ＋3

. 点拨：在分式的加减运算中，若分式的分子、分母是多项式，则首先把能因式分解的分子、分母分解因式，其次把分子、分母能约分的先约分，然后再计算，这样可使计算过程简化．

2．解：原式＝x ＋1x 2－1＋x －1x 2－1＋2x x 2＋1＋4x 3x 4＋1＝2x x 2－1＋2x x 2＋1＋4x 3

x 4＋1

＝2x （x 2＋1）＋2x （x 2－1）（x 2－1）（x 2＋1）＋4x 3x 4＋1＝4x 3x 4－1＋4x 3x 4＋1＝4x 3（x 4＋1）＋4x 3（x 4－1）（x 4－1）（x 4＋1）＝8x 7x 8－1

. 点拨：此类题在计算时，采用“分步通分相加”的方法，逐步递进进行计算，达到化繁为简的目的．在解题时既要看到局部特征，又要全局考虑．

3．解：原式＝a －21＋4a ＋2

＝a 2－4a ＋2＋4a ＋2

＝a 2

a ＋2

. 点拨：整式与分式相加减时，可以先将整式的分母看成“1”，然后通分相加减．

4．解：设3m －2n ＝x ，则原式＝x ＋x 3x ＋1－x 2－x x －1

＝ x （x 2－1）＋x 3（x －1）－x 2（x 2－1）－x （x ＋1）（x ＋1）（x －1）

＝ －2x （x ＋1）（x －1）

＝ 2（2n －3m ）（3m －2n ＋1）（3m －2n －1）

. 5．解：原式＝1a －1a ＋1＋1a ＋1－1a ＋2＋1a ＋2－1a ＋3＋…＋1a ＋99－1a ＋100＝1a －1a ＋100

＝100a （a ＋100）

.

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鑫达捷 点拨：对于分子是1，分母是相差为1的两个整式的积的分式相加减，常用

1n （n ＋1）

＝1n －1n ＋1

进行裂项，然后相加减，这样可以抵消一些项． 6．解：1a ＋1b ＝16，1b ＋1c ＝19，1a ＋1c ＝115

， 上面各式两边分别相加，得? ??

??1a ＋1b ＋1c ×2＝16＋19＋115， 所以1a ＋1b ＋1c ＝31180

. 易知abc ≠0，所以abc ab ＋bc ＋ac ＝abc ÷abc （ab ＋bc ＋ac ）÷abc ＝11c ＋1a ＋1b ＝18031. 7．解：由x x 2－3x ＋1

＝－1，知x ≠0， 所以x 2－3x ＋1x ＝－1.所以x －3＋1x ＝－1，即x ＋1x

＝2. 因为x 4－9x 2＋1x 2＝x 2－9＋1x 2＝?

????x ＋1x 2－11＝－7， 所以x 2x 4－9x 2＋1＝－17

. 8．解：以x ，y 为主元，将已知的两个等式化为???4x －3y ＝6z ，x ＋2y ＝7z.

所以x ＝3z ，y ＝2z(z ≠0)．

所以原式＝5×9z 2＋2×4z 2－z 2

2×9z 2－3×4z 2－10z 2

＝－13. 点拨：此题无法直接求出x ，y ，z 的值，因此需将三个未知数的其中一个作为常数，解关于另外两个未知数的二元一次方程组，然后代入待求值的分式消元求值．

解码专训三

1．解：原式＝(2a ＋1＋a ＋2（a ＋1）（a －1）)×a －1a

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鑫达捷 ＝2（a －1）＋（a ＋2）（a ＋1）（a －1）×a －1a

＝3a ＋1

. 当a ＝2－1时，原式＝

32－1＋1＝322. 2．解：由x 2－5x ＋1＝0得x ≠0，∴x ＋1x ＝5. ∴x 4

＋1x 4＝? ????x 2＋1x 22－2＝??????? ????x ＋1x 2－22

－2＝527. 点拨：在求解有关分式中两数(或两式)的平方和问题时，可考虑运用完全平方公式进行解答．

3．解：x 2＋3xy ＋y 2

x 2y ＋xy 2

＝x 2＋2xy ＋y 2＋xy xy （x ＋y ）

＝（x ＋y ）2＋xy xy （x ＋y ）

因为x ＋y ＝12，xy ＝9，

所以原式＝122＋99×12＝1712

. 4. 解：原式＝（a ＋2）（a －2）＋a （1－a ）a （a －2）2·a a －4＝1（a －2）2

. 由a 2－4a －1＝0，得(a －2)2＝5，代入上式，结果为15

. 5．解：∵4x 2－4x ＋1＝0，

∴(2x －1)2＝0，∴2x ＝1.

∴原式＝1＋11

＝2. 6．解：设x 2＝y 3＝z 4

＝k ≠0，则x ＝2k ，y ＝3k ，z ＝4k.

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鑫达捷 所以x 2－y 2＋2z 2

xy ＋yz ＋xz

＝（2k ）2－（3k ）2＋2（4k ）2

2k ·3k ＋3k ·4k ＋2k ·4k

＝27k 226k 2＝2726

. 解码专训四

1．解：解分式方程32x ＝1x －1，得x ＝3.将x ＝3代入2x ＋4＝m x ，得27＝m 3.解得m ＝67

.∴m 2－2m ＝? ??

??672

－2×67＝－4849. 2．解：去分母并整理，得x ＋m －4＝0.解得x ＝4－m.

∵分式方程有解，∴x ＝4－m 不能为增根．

又∵原方程若有增根，则增根为x ＝3，

∴4－m ≠3.解得m ≠1.

∴当m ≠1时，原分式方程有解．

3．－1

4. 解：因为原方程有增根，且增根必定使最简公分母(x ＋3)(x －3)＝0，

所以x ＝3或x ＝－3是原方程的增根．

原方程两边同乘(x ＋3)(x －3)，得m ＋2(x －3)＝x ＋3.

当x ＝3时，m ＋2×(3－3)＝3＋3，解得m ＝6；

当x ＝－3时，m ＋2×(－3－3)＝－3＋3，解得m ＝12.

综上所述，当原方程的增根是x ＝3时，m ＝6；当原方程的增根是x ＝－3时，m ＝12. 点拨：只要令最简公分母等于零，就可以求出分式方程的增根，再将增根代入分式方程化成的整式方程，就能求出相应的m 的值．

5．1或－1

6．解：原方程可化为(m ＋3)x ＝4m ＋8.由于原方程无解，故有以下两种情形：

(1)若整式方程无实根，则m ＋3＝0且4m ＋8≠0，此时m ＝－3；

(2)若整式方程的根是原方程的增根，则

4m ＋8m ＋3＝3，解得m ＝1.经检验，m ＝1是方程4m ＋8m ＋3＝3的解．

综上所述，m ＝－3或1.

7．解：(1)原方程去分母并整理，得(3－a)x ＝10.

因为原方程的增根为x ＝2，所以(3－a)×2＝10.解得a ＝－2.

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鑫达捷 (2)因为原分式方程有增根，所以x(x －2)＝0.解得x ＝0或x ＝2.

因为x ＝0不可能是整式方程(3－a)x ＝10的解，所以原分式方程的增根为x ＝2.所以(3－a)×2＝10.解得a ＝－2.

(3)①当3－a ＝0，即a ＝3时，整式方程(3－a)x ＝10无解，则原分式方程也无解；

②当3－a ≠0时，要使原方程无解，则由(2)知，此时a ＝－2.综上所述，a ＝3或－2. 点拨：分式方程有增根时，一定存在使最简公分母等于0的整式方程的解．分式方程无解是指整式方程的解使最简公分母等于0或整式方程无解．

解码专训五

1．解：(1)是分式．

(2)a 2－b 2a －b ＝（a ＋b ）（a －b ）a －b

＝a ＋b ，当a ＝－3，b ＝2时，原式＝－1. (3)当a ＝b 时，代数式无意义．

(4)当a ＝－b 时，代数式的值为0.

2．解：原式＝4（x －y ）22（x ＋y ）（x －y ）＝2（x －y ）x ＋y

. 当x ＝2，y ＝3时，原式＝2×（2－3）2＋3＝－25

. 3.a －2a

4.m 5．解：(1)原式＝4a （a ＋1）（a －1）－（a ＋1）2（a －1）（a ＋1）－（a －1）（1－a ）（a ＋1）（a －1）

＝4a －（a ＋1）2＋（a －1）2

a 2－1

＝0.

(2)原式＝m m ＋3－6（3－m ）（3＋m ）·m －32

＝m m ＋3＋3m ＋3

＝1.

6．解：将分式方程去分母得：x －2＋m(x －1)＝2m ＋2，因为方程有增根，所以x ＝1或

x ＝2.把x ＝1代入x －2＋m(x －1)＝2m ＋2得m ＝－32

，把x ＝2代入x －2＋m(x －1)＝2m ＋2，

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鑫达捷 得m ＝－2，所以m 的值是－2或－32

. 7．解：方程两边同时乘x 2－4，得2＋x(x ＋2)＝x 2－4，

解得x ＝－3.

经检验，x ＝－3是原方程的解．

8．解：设原来每天加固x 米，根据题意得600x ＋4 800－6002x

＝9，解得x ＝300.检验：当x ＝300时，2x ≠0(或分母不等于0)，∴x ＝300是原方程的解，故该地驻军原来每天加固300米．

点拨：解决与对话有关的实际问题，应根据对话的内容确定相等关系，根据相等关系列出方程．

解码专训六

1．解：由题意得2x ＋23x －5

＝4.去分母，得2x ＋2＝4(3x －5)．解得x ＝2.2，经检验，x ＝2.2是原方程的根．所以x 的值是2.2.

点拨：本题运用了数形结合思想，通过观察数轴上A ，B 两点的位置情况并结合已知条件“点A ，B 到原点的距离相等”可知，A ，B 两点所表示的数互为相反数，于是可建立方程求出x 的值．

2．解：∵3x ＋5（x －1）（x ＋2）＝A x －1＋B x ＋2

， ∴3x ＋5（x －1）（x ＋2）＝A （x ＋2）＋B （x －1）（x －1）（x ＋2）＝（A ＋B ）x ＋（2A －B ）（x －1）（x ＋2）.∴???A ＋B ＝3，2A －B ＝5.

解得?????A ＝83，B ＝13.

点拨：本题先将等式的右边通分，然后根据两个分式相等，分母相等，则分子相等，构建关于A ，B 的二元一次方程组，即可求出A ，B 的值，体现了方程思想的运用．

3．解：原式＝1a ＋1－a ＋3（a ＋1）（a －1）·（a －1）2（a ＋3）2＝1a ＋1－a －1（a ＋1）（a ＋3）

＝4（a ＋1）（a ＋3）＝4a 2＋4a ＋3.由a 2＋4a －8＝0得a 2＋4a ＝8，故原式＝411

. 点拨：本题根据已知条件求出a 的值很困难，因此考虑将已知条件变形后整体代入化简后的式子．

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鑫达捷 4．解：∵a ＋x 2＝2 013，b ＋x 2＝2 014，c ＋x 2＝2 015，∴b －a ＝1，c －b ＝1，c －a ＝

2.又∵abc ＝24，

∴c ab ＋b ac ＋a bc －1a －1b －1c ＝c 2＋b 2＋a 2－bc －ac －ab abc ＝（a －b ）2＋（a －c ）2＋（b －c ）22abc

＝1＋4＋148＝18

. 点拨：本题利用了整体思想．由已知条件，分别求出b －a ，c －b 及c －a 的值，将所求式子通分并利用同分母分式的加减运算法则计算，分子利用完全平方公式变形后，将b －a ，c －b ，c －a 及abc 的值整体代入计算，即可求解．

5．解：由2x －3y ＋z ＝0，3x －2y －6z ＝0，z ≠0，得到???2x －3y ＝－z ，3x －2y ＝6z.解得?

??x ＝4z ，y ＝3z. 所以原式＝16z 2＋9z 2＋z 232z 2＋9z 2－z 2＝1320

. 点拨：本题将z 看成已知数，解方程组求出x 与y ，然后代入原式消去x ，y 这两个未知数，从而简便求值，体现了消元思想．

6．解：(1)a ；2a

(2)∵x ＋2x ＝a ＋2a

(a ≠0)，∴ax 2＋2a ＝a 2x ＋2x.∴ax 2－(a 2＋2)x ＋2a ＝0，即(x －a)(ax －2)＝0.∴x 1＝a ，x 2＝2a .经检验，x 1＝a ，x 2＝2a

均是原方程的根． (3)原方程可化为x －1＋2x －1＝a －1＋2a －1.∴x －1＝a －1或x －1＝2a －1

. ∴x 1＝a ，x 2＝a ＋1a －1.经检验，x 1＝a ，x 2＝a ＋1a －1

均是原方程的根． 点拨：本题先观察规律，然后由猜想到论证，并依此规律解决相关问题．体现了归纳、类比思想在解方程

中的应用．

初中数学试卷

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