传感器与传感器技术（第二版 - 何道清） - 课后答案

《传感器与传感器技术》计算题答案

第1章 传感器的一般特性

1—5 某传感器给定精度为2%F2S，满度值为50mV，零位值为10mV，求可能出现的最大误差?(以mV计)。当传感器使用在满量程的1/2和1/8时，计算可能产生的测量百分误差。由你的计算结果能得出什么结论?

解：满量程（F?S）为50﹣10=40(mV) 可能出现的最大误差为：

?m＝40?2%=0.8(mV) 当使用在1/2和1/8满量程时，其测量相对误差分别为：

0.8?100%?4@?12 0.8?2??100%?160?8

?1?1—6 有两个传感器测量系统，其动态特性可以分别用下面两个

微分方程描述，试求这两个系统的时间常数?和静态灵敏度K。 （1）

式中, y——输出电压，V；T——输入温度，℃。

（2）

式中，y——输出电压，?V；x——输入压力，Pa。

解：根据题给传感器微分方程，得 （1） τ=30/3=10(s)，

K=1.5?10?5/3=0.5?10?5(V/℃)；

(2) τ=1.4/4.2=1/3(s)，

K=9.6/4.2=2.29(?V/Pa)。

1—7 已知一热电偶的时间常数?=10s，如果用它来测量一台炉子的温度，炉内温度在540℃至500℃之间接近正弦曲线波动，周期为80s，静态灵敏度K=1。试求该热电偶输出的最大值和最小值。以及输入与输出之间的相位差和滞后时间。

解：依题意，炉内温度变化规律可表示为

x(t) =520+20sin(?t)℃

由周期T=80s，则温度变化频率f=1/T，其相应的圆频率 ?=2?f=2?/80=?/40；

温度传感器（热电偶）对炉内温度的响应y(t)为

y(t)=520+Bsin(?t+?)℃

1.4dy?4.2y?9.6xdt 30dy?3y?1.5?10?5Tdt

热电偶为一阶传感器，其响应的幅频特性为

A????B?2011?????2?1???1???10??40???2?0.786因此，热电偶输出信号波动幅值为

B=20?A(?)=20?0.786=15.7℃

由此可得输出温度的最大值和最小值分别为

y(t)|max=520+B=520+15.7=535.7℃

y(t)|min=520﹣B=520-15.7=504.3℃

输出信号的相位差?为

?(ω)= ?arctan(ω?)= ?arctan(2?/80?10)= ?38.2?

相应的时间滞后为

80?38.2?8.4?s?360?t =

1—8 一压电式加速度传感器的动态特性可以用如下的微分方

程来描述，即

d2y3dy1010?3.0?10?2.25?10y?11.0?10x2dtdt

式中，y——输出电荷量，pC；x——输入加速度，m/s2。试求其固有

振荡频率?n和阻尼比?。

解: 由题给微分方程可得

?n??2.25?10?/1?1.5?10?rad/s?

105

1—9 某压力传感器的校准数据如下表所示，试分别用端点连线法和最小二乘法求非线性误差，并计算迟滞和重复性误差；写出端点连线法和最小二乘法拟合直线方程。

校准数据表 输 出 值 (mV) 压 力 第一次循环 第二次循环 第三次循环 (MPa) 正行程 反行程 正行程 反行程 正行程 反行程 0 -2.73 -2.71 -2.71 -2.68 -2.68 -2.69 0.02 0.56 0.66 0.61 0.68 0.64 0.69 0.04 3.96 4.06 3.99 4.09 4.03 4.11 0.06 7.40 7.49 7.43 7.53 7.45 7.52 0.08 10.88 10.95 10.89 10.93 10.94 10.99 0.10 14.42 14.42 14.47 14.47 14.46 14.46 ??3.0?1032?2.25?10?110?0.01解 校验数据处理（求校验平均值）： 压 力 (MPa) (设为x) 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 输 出 值 (mV) 第一次循环 第二次循环 第三次循环 校验平均值 正行反行正行反行正行反行(设为程 程 程 程 程 程 y) -2.73 -2.71 -2.71 -2.68 -2.68 -2.69 -2.70 0.56 0.66 0.61 0.68 0.64 0.69 0.64 3.96 4.06 3.99 4.09 4.03 4.11 4.04 7.40 7.49 7.43 7.53 7.45 7.52 7.47 10.88 10.95 10.89 10.93 10.94 10.99 10.93 14.42 14.42 14.47 14.47 14.46 14.46 14.45 （1）端点连线法 设直线方程为

y=a0+kx，

取端点（x1，y1）=（0，-2.70）和(x6，y6)=（0.10，14.45）。则a0由x=0时的y0值确定，即

a0=y0?kx=y1=-2.70 (mV)

k由直线的斜率确定，即

k?y6?y114.45?(?2.70)??171.5x6?x10.10?0（mV/MPa）

拟合直线方程为

y=?2.70+171.5x

?求非线性误差： 压 力 (MPa) 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 校验平均值 (mV) -2.70 0.64 4.04 7.47 10.93 14.45 直线拟合值 (mV) -2.70 0.73 4.16 7.59 11.02 14.45 非线性误差 (mV) 0 -0.09 -0.12 -0.12 -0.09 0 最大非线性误差 (mV) -0.12 所以，压力传感器的非线性误差为

?L?? ?求重复性误差：

0.12?100%??0.7.45?(?2.70)

输 出 值 (mV) 压 力 (MPa) 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10

正行程 反行程 不重不重1 2 3 复误1 2 3 复误差 差 -2.73 -2.71 -2.68 0.05 -2.71 -2.68 -2.69 0.03 0.56 0.61 0.64 0.08 0.66 0.68 0.69 0.03 3.96 3.99 4.03 0.07 4.06 4.09 4.11 0.05 7.40 7.43 7.45 0.05 7.49 7.53 7.52 0.04 10.88 10.89 10.94 0.06 10.95 10.93 10.99 0.04 14.42 14.47 14.46 0.05 14.42 14.47 14.46 0.05

最大不重复误差为0.08 mV，则重复性误差为

?R??0.08?100%??0.47.45?(?2.70)

?求迟滞误差： 压 力 第一次循环 (MPa正行反行迟) 程 程 滞 -2.7-2.70.00 3 1 2 0.10.02 0.56 0.66 0 0.10.04 3.96 4.06 0 0.00.06 7.40 7.49 9 10.810.90.00.08 8 5 7 14.414.40.10 0 2 2 输 出 值 (mV) 第二次循环 第三次循环 正行反行迟反行迟正行程 程 程 滞 程 滞 -2.7-2.60.0-2.60.0-2.68 1 8 3 9 1 0.00.00.61 0.68 0.64 0.69 7 5 0.10.03.99 4.09 4.03 4.11 0 8 0.10.07.43 7.53 7.45 7.52 0 7 10.810.90.010.90.010.94 9 3 4 9 5 14.414.414.414.40.0 0.0 7 7 6 6

最大迟滞为0.10mV，所以迟滞误差为

?H??0.10?100%??0.58.45?(?2.70)

（2）最小二乘法

设直线方程为

y=a0+kx

数据处理如下表所示。 序号 1 0 2 0.02 3 0.04 4.04 4 0.06 7.47 5 0.08 6 0.10 ∑ 0.3 x y x2 xy ?2.70 0.64 0 0 10.93 14.45 34.83 0.0004 0.0016 0.0036 0.0064 0.01 0.022 0.0128 0.1616 0.4482 0.8744 1.445 2.942 根据以上处理数据，可得直线方程系数分别为：

a0??2x???y??x??xyn?x2???x?2?0.022?34.83?0.3?2.9426?0.022?0.320.76626?0.8826??2.77(mV)0.0422k?n?xy??x??yn?x2???x?

?6?2.942?0.3?34.83?171.5(mV/MPa)26?0.022?0.3所以，最小二乘法线性回归方程为

y=?2.77+171.5x

求非线性误差： 压 力 (MPa) 0 0.02 0.04 0.06 0.08 校验平均值 (mV) -2.70 0.64 4.04 7.47 10.93 直线拟合值 (mV) -2.77 0.66 4.09 7.52 10.95 非线性误差 (mV) 0.07 -0.02 -0.05 -0.05 -0.02 最大非线性误差 (mV) -0.07

0.10 14.45 14.38 0.07 所以，压力传感器的非线性误差为

?L??0.07?100%??0.41.38?(?2.77)

可见，最小二乘法拟合直线比端点法拟合直线的非线性误

差小，所以最小二乘法拟合更合理。

重复性误差?R和迟滞误差?H是一致的。

1—10 用一个一阶传感器系统测量100Hz的正弦信号时，如幅值误差限制在5%以内，则其时间常数应取多少?若用该系统测试50Hz的正弦信号，问此时的幅值误差和相位差为多？

解: 根据题意

??11?????2?1??5% （取等号计算）

21??????11??1.05261?5%0.95

解出

ωτ =0.3287

所以

??0.3287/??0.3287?0.523?10?3?s?2??100=0.523ms

当用该系统测试50Hz的正弦信号时，其幅值误差为

??11?????2?1?11?2??50?0.523?10??32??1??1.32%相位差为

?=﹣arctan(??)=﹣arctan(2π35030.523310?3)=﹣9.3° 1—11一只二阶力传感器系统，已知其固有频率f0=800Hz，阻尼比?=0.14，现用它作工作频率f=400Hz的正弦变化的外力测试时，其幅值比A(?)和相位角?(?)各为多少；若该传感器的阻尼比?=0.7时，其A(?)和?(?)又将如何变化?

2?ff?400????0.5解: ?n2?f0f0800

所以，当ξ=0.14时

A????1?1?????n?2?4?2???n?2

1?2

?1?0.5?22?1.31?4?0.142?0.52

??????arctan2????n?21????n???arctan 当ξ=0.7时

A????2?0.14?0.5?????0.1845rad??10.61?0.52

1?1?0.5?22?0.975?4?0.72?0.52

??????arctan2?0.7?0.5?????0.75rad??431?0.52

1—12 用一只时间常数?=0.318s的一阶传感器去测量周期

分别为1s、2s和3s的正弦信号，问幅值相对误差为多少?

解：由一阶传感器的动态误差公式

??11?????2?1??0.318s,?=0.318s

11??2??0.318?2?1?T?1s?f?1Hz???2??rad???1??1??55.2%?2?T?2s??3?T?3s?f?0.5Hz?????rad???2??29.3%f?12Hz?????rad???3??16.83

1—13 已知某二阶传感器系统的固有频率f0=10kHz，阻尼比?=0.1，若要求传感器的输出幅值误差小于3%，试确定该传感器的工作频率范围。

解：由f0=10kHz，根据二阶传感器误差公式，有

??1?1???????4?????n222n?1?3%2

?1???????4?????n222n12?1.032?1.069将?=0.1代入，整理得

???n?4?1.96???n?2?0.0645?0

??????n??1.927????1.388(舍去）???0.0335?0.183????n?

2 ?f?0.183fo?0.183?10?1.83?kHz?

1—14 设有两只力传感器均可作为二阶系统来处理，其固有振荡频率分别为800Hz和1.2kHz，阻尼比均为0.4。今欲测量频率为400Hz正弦变化的外力，应选用哪一只?并计算将产生多少幅

?2?ff???0.183?n2?fofo度相对误差和相位差。 解：由题意知

??400/800?0.5???n?400/1200?1/3

1?12则其动态误差???0.4?

?1??1??????n22?4????n?2

?1?1?0.5??4?0.422?12?0.52 ?17.6%?2?1

?4?0.42??13??12?1??13??22 =7.76%

相位差

?1??tan?12???/?n??12?0.4?0.5??tan21?0.52 1? ??/?n??????0.49rad??27.9 2?0.4??13??2??tan?12??1?1/3 = ?0.29(rad)= ?16.6°

第2章 电阻应变式传感器

2—5 一应变片的电阻R0=120Ω，K=2.05，用作应变为800μm/m的传感元件。(1)求△R与△R/R；(2)若电源电压Ui=3V，求其惠斯通测量电桥的非平衡输出电压U0。

?R/R 解：由 K=

?，得

?R800?m?K??2.05?6?1.64?10?3R10?m则

ΔR=1.64310?3 3R=1.64310?3 3120Ω=0.197Ω

其输出电压为

U0?Ui?R3???1.64?10?3?1.23?10?3?V?4R4=1.23(mV)

2—6 一试件的轴向应变εx=0.0015，表示多大的微应变

(με)？该试件的轴向相对伸长率为百分之几?

解： εx =0.0015=1500310-6 =1500(?ε) 由于

εx =Δl/l

所以

Δl/l=εx =0.0015=0.15%

2—7 某120Ω电阻应变片的额定功耗为40mW，如接人等臂直流电桥中，试确定所用的激励电压。

解：由电阻应变片R=120?，额定功率P=40mW，则其额定端电压为

U=PR?120?40?10?2.19V

当其接入等臂电桥中时，电桥的激励电压为

Ui =2U=232.19=4.38V≈4V

2—8 如果将120Ω的应变片贴在柱形弹性试件上，该试件的截面积S=0.5310-4m2，材料弹性模量E=23101lN/m2。若由53104N的拉力引起应变片电阻变化为1.2Ω，求该应变片的灵敏系数K。 解：应变片电阻的相对变化为 柱形弹性试件的应变为

F5?104?????0.005；ESE0.5?10?4?2?1011

?R1.21???0.01R120100

?3? 应变片的灵敏系数为

K??R/R??2—10 以阻值R=120Ω，灵敏系数K=2.0的电阻应变片与阻值

120Ω的固定电阻组成电桥，供桥电压为3V，并假定负载电阻为无穷大，当应变片的应变为2με和2000με时，分别求出单臂、双臂差动电桥的输出电压，并比较两种情况下的灵敏度。

解：依题意 单臂：

Ui3?3?10?6(V)???2??Uo?k???2.0?????344?3?10(V)???2000??

0.01?20.005

差动：

Ui3?3?10?6(V)???2??Uo?k???2.0?????322?3?10(V)???2000??

灵敏度：

Ku?UoKU/4(单臂）???KUi/2(差动）?i?

可见，差动工作时，传感器及其测量的灵敏度加倍。 2—11 在材料为钢的实心圆柱试件上，沿轴线和圆周方向各贴一

片电阻为120Ω的金属应变片R1和R2，把这两应变片接人差动电桥(参看习题图2—11)。若钢的泊松比μ=0.285，应变片的灵敏系数K=2，电桥的电源电压Ui=2V，当试件受轴向拉伸时，测得应变片R1的电阻变化值△R=0.48Ω，试求电桥的输出电压U0；若柱体直径d=10mm，材料的弹性模量E=231011N/m2，求其所受拉力大小。

习题图2-11 差动电桥电路 解：由?R1/R1=K?1，则

?1? ?2= ???1= ?0.285?0.002= ?0.00057

所以电桥输出电压为

UiK??1??2?42??2?(0.002?0.00057)4?0.00257(V)?2.57mV

?F?1??ES?E，得 时，由 U0??R/R10.48/120??0.002K2

当柱体直径d=10mm

F??1ES?0.002?2?1011??3.14?10(N)4???10?10?3?42

2—12 一台采用等强度梁的电子称，在梁的上下两面各贴有两片电阻应变片，做成称重传感器，如习题图2—12所示。已知l=10mm，b0=llmm，h=3mm，E=2.13104N/mm2，K=2，接入直流四臂差动电桥，供桥电压6V，求其电压灵敏度(Ku=Uo/F)。当称重0.5kg时，电桥的输出电压Uo为多大?

(a) (b)

W?lCplR????2s?d4

0.06???12500?4??4???102???1.75?10?6??249.6???4?0.06?10?1??2 (4)线圈的品质因数

?L

2?fL2??4000?1.57?10?1Q????15.8RR249.6???

(5)当存在分布电容200PF时，其等效电感值

Lp??L1??2LC?L1??2?f?LC21.57?10?11??2??4000??1.57?10?1?200?10?122

3—18 如图3—4（b）所示差动螺管式电感传感器，其结构参数如下：l=160mm，r=4mm，rc=2.5mm，lc=96mm，导线直径d=0.25mm，电阻率ρ=1.75310-6Ω2cm，线圈匝数W1=W2=3000匝，铁芯相对磁导率μr=30，激励电源频率f=3000Hz。要求：

(1)估算单个线圈的电感值L=?直流电阻R=?品质因数Q=? (2)当铁芯移动±5mm时，线圈的电感的变化量△L=?

(3)当采用交流电桥检测时，其桥路电源电压有效值E=6V，

要求设计电路具有最大输出电压值，画出相应桥路原理图，并求输出电压值。 解：（1）单位线圈电感值

?0?W2?l2lc2??L?r??rc?r?2?2??l/2??24??10?7???30002?16096???10?3?42?10?6?30??10?3?2.52?10?6??22?2??160?3??10??2???5.70?10?2????57.0?m???1.60?10?1????160m?

W?lCpl??S?d2/4 （lcp=2?r，每匝导线长度）

?6R??电阻值

3000?2??4?10?1?1.75?10?26.9(?)2?2??0.25?10/4

则品质因数

(2)铁芯位移Δlc=±5mm时，单个线圈电感的变化

?L??2?fL2??3000?5.70?10?2Q????39.9RR26.9???

?L???W24??10???30002?l/2??72?rrc2?lc?32 ??5.2?10?????5.2m?

(3)要使电桥输出最大，须使电桥为等臂电桥，则相邻桥臂阻抗比值a=1；且将电感线圈L和平衡电阻R放置在桥路输出的两侧，则? =±(π/2)，这时电桥的灵敏度|K|=0.5，差动工作时为其2倍，故其输出电压

?3?1602?10??30?2.5?10?3??5?10?3???2?Uo?2?K?L5.2E?2?0.5??6L57

=0.544(V)=544mV

其电桥电路如下图所示，其中Z1、Z2为差动螺管式电感传感器、R1、R2为电桥平衡电阻。

题3-18题解图 第4章 电容式传感器

4—2 试计算习题图4-2所示各电容传感元件的总电容表达式。

(a) (b) (c)

习题图4-2

解：由习题图4-2可见

（1）图(a)等效为三个平板电容器串联 总电容量为

C1??1Sd1，

C2??2Sd2，

C3??3Sd3

故

C串?ddd1111????1?2?3C串C1C2C3?1S?2S?3Sd???d2?1?3?d3?1?2?123?1?2?3S

?1?2?3SS?d1?2?3?d2?1?3?d3?1?2d1/?1?d2/?2?d3/?3

（2）图(ba)等效为两个平板电容器并联

C1?C2?C??Sd；C并?C1?C2?2C?2?Sd

（3）图(c)等效为两柱形电容器并联，总电容量为

C?2??0(L?H)2??0L2?(???0)2??H???Hln?d2/d1?ln(d2/d1)ln(d2/d1)ln(d2/d1)

4—3 在压力比指示系统中采用差动式变间隙电容传感器和电桥

测量电路，如习题4—3图所示。已知：δ0=0.25mm；D=38.2mm；R=5.1kΩ；Usr=60V(交流)，频率f=400Hz。试求： (1)该电容传感器的电压灵敏度Ku (V/μm)；

(2)当电容传感器的动极板位移△δ=10μm时，输出电压Usc值。

习题图4—3 解：由传感器结构及其测量电路可知

（1）初始电容

C1?C2?C0??0?4D2?08.85?10?12???38.2?10?3?4?0.25?10?3?40.6?10?12?F??40.6pF?

?2由于 则

Xc?111???C02?fC02??400?40.6?10?12

6?????R(?5.1k?) ?9.8?10

U0?Ui?CUi?d?2C02?0

从而得

Ku?U0Ui60???120V/mm?0.12V/μm?d2?02?0.25

(2) U0 = Ku Δd=0.12V/?m310?m=1.2V

4—4 有一台变间隙非接触式电容测微仪，其传感器的极板半径r=4mm，假设与被测工件的初始间隙d0=0.3mm。试求： (1)如果传感器与工件的间隙变化量△d=±10μm，电容变化量为多少?

(2)如果测量电路的灵敏度足Ku=100mV/pF，则在△d=±1μm时的输出电压为多少? 解：由题意可求

（1）初始电容：

8.85?10?12???4?10?3C0???d0d00.3?10?3?1.48?10?12?F??1.48pF?0S?0?r2??2

?C?d?C由 0d0，则当Δd=±10um时

?d?10?10?3?C?C0?1.48???0.049pFd00.3

如果考虑d1=0.3mm+10μm与d2=0.3mm﹣10μm之间的电容变化量

ΔC′，则应为

ΔC′=2|ΔC|=230.049=0.098pF

(2) 当Δd=±1μm时

?C??d?1?mC0??1.48pF??0.0049pF3d00.3?10?m

由 Ku=100mV/pF=U0/ΔC，则

U0=KuΔC=100mV/pF3(±0.0049pF)=±0.49mV

4—5有一变间隙式差动电容传感器，其结构如习题图4-5所示。选用变压器交流电桥作测量电路。差动电容器参数：r=12mm；d1=d2=d0=0.6mm；空气介质，即ε=ε0=8.85310-12F/m。测量电路参数：usr=u=Usr= 3sinωt (V)。试求当动极板上输入位移(向上位移) △x=0.05mm时，电桥输出端电压Usc?

? 习题图4-5

解：由习题图4-5可求

初始电容

C1=C2=C0=?S/d=?0?r2/d0

8.85?10?12???12?10?3?0.6?10?3

??2?6.67?10?12F?6.67pF

变压器输出电压

其中Z1 ,Z2 分别为差动电容传感器C1 ,C2 的阻抗.在ΔX<

?C??x?0.05Usc?U?Usr??3sin?t?0.25sin?tC0d00.6(V)

?Usc????Z2Z?Z1?C1?C2??2U?U?2U?UZ1?Z2Z1?Z2C1?C24—6 如习题图4-6所示的一种变面积式差动电容传感器，选用

二极管双厂网络测量电路。差动电容器参数为：a=40mm，b=20mm，dl=d2=d0=1mm；起始时动极板处于中间位置，Cl=C2=C0，介质为空气，ε=ε0=8.85310-12F/m。测量电路参数：D1、D2为理想二极管；及R1=R2=R=10KΩ；Rf=1MΩ，激励电压Ui=36V，变化频率f=1MHz。试求当动极板向右位移△x=10mm时，电桥输出端电压Usc?

习题图4-6

解：由习题图4-6可求

传感器初始电容

a40?10?3?12???b8.85?10??20?10?30?S22C0?0??d0d01?10?3

=3.54310?12（F）=3.54pF

当动极板向右移Δx=10mm时，单个电容变化量为

?C??x101C0?C0??3.54?1.77?pF?a/240/22

（或

8.85?10?12?20?10?3?10?10?3?12?c??x??1.77?10(F)?1.77pF?3d1?10 ）

?0b则 C1 = C0+ΔC，C2 = C0??C，由双T二极管网络知其输出电压

USC = 2 k Ui fΔC

则

fH =0.205f0 =0.205330=6.15(kHz)

压电式加速度传感器下限截止频率取决于前置放大器特性，对电压放大器，其幅频特性

K?????/?n1???/?n?22???1?????2????1?????

?1??2%由题意得 （取等号计算）

(??)2 =0.9604+0.9604 (??)2

(??)2 =24.25 ? ??=4.924 ? ω=4.924/τ

fL =ω/2π=4.924/(2??)=4.924/(2? RC)=4.924/(2?353108310?9 ) =1.57(Hz)

其误差在2%以内的频率范围为： 1.57Hz~6.15kHz

5—6 石英晶体压电式传感器，面积为100mm2，厚度为1mm，固定在两金属板之间，用来测量通过晶体两面力的变化。材料的弹性模量为931010Pa，电荷灵敏度为2pC／N，相对介电常数是5.1，材料相对两面间电阻是1014Ω。一个20pF的电容和一个100MΩ的电阻与极板并联。若所加力F=0.01sin(1000t)N，求： (1)两极板间电压峰—峰值； (2)晶体厚度的最大变化。 解：（1）石英压电晶片的电容

Ca????0.981?????2

?0?rSd =4.514 310-?12 (F) ≈4.5pF

由于Ra =1014Ω，并联电容R并=100MΩ=108Ω 则总电阻

R=Ra // R并 = 1014 //108 ≈108Ω

总电容

C=Ca //C并 =4.5+20=24.5(pF)

又因

F=0.01sin(1000t)N=Fm sin(ωt)N，kq =2 pC/N

则电荷

Q=d11 F= kq F

Qm = d11 Fm = kq Fm =2 pC/N30.01N=0.02 pC

所以

8.85?10?12?5.1?100?10?6?1?10?3

Uim?d11Fm?R1???RC?2??3

0.02?10?12?103?1081?103?108?24.5?10?12??2 =0.756310 (V)=0.756mV 峰—峰值：

Uim-im =2Uim =230.756=1.512mV

（2）应变εm =Fm /SE =0.01/(100310?63931010 )=1.11310?9 =Δdm /d

Δdm =d?m = 131.11310?9 (mm)=1.11310?9 mm

厚度最大变化量（即厚度变化的峰—峰值 ）

Δd =2Δdm =231.11310?9 =2.22310?9 (mm)

=2.22310?12 m

5—7 用石英晶体加速度计及电荷放大器测量机器的振动，已知：加速度计灵敏度为5pC/g，电荷放大器灵敏度为50mV/pC，当机器达到最大加速度值时相应的输出电压幅值为2V，试求该机器的振动加速度。(g为重力加速度) 解：由题意知，振动测量系统（压电式加速度计加上电荷放大器）的总灵敏度

K=Kq?Ku =5pC/g 350 mV/pC=250mV/g=Uo/a

式中，Uo为输出电压；a为振动系统的加速度。

则当输出电压Uo=2V时，振动加速度为

a=Uo/K=23103/250=8(g)

5—8 用压电式传感器测量最低频率为1Hz的振动，要求在lHz时灵敏度下降不超过5％。若测量回路的总电容为500pF，求所用电压前置放大器的输入电阻应为多大?

解： 由题意知，对于电荷放大器，动态响应幅值误差为

???/?n1???/?n?2

?1??5%，（取等号计算）

(ω/ωn)2 =0.9025+0.9025 (ω/ωn)2

ω/ωn =3.04

τ=1/ωn =3.04/ω=3.04/(2π31)=0.484(s)=RC

所以

R=τ/C=0.484/(500310?12) =9.683108?=968M?

5—9 已知压电式加速度传感器的阻尼比ζ=0.1，其无阻尼固有频率f0=32kHz，若要求传感器的输出幅值误差在5％以内，试确定传感器的最高响应频率。

解： 由加速度传感器的频率特性知，动态响应幅值误差为

?/?n?0.951???/?n?2

解出

??/?n?

24221?2???n?????n??4?0.1???n??0.90722n??1?1???/????4?22?1?5%?1???/???n22?4?2??/?n??1/1.05 （取等号）

2(ω/ωn)4﹣1.96(ω/ωn)2 +0.093=0 (ω/ωn)2 =0.0485或(ω/ωn)2 =1.912（舍去）

则

ω/ωn≈0.22 ? ωH =0.22ωn

则

fH =0.22f0 =0.22332=7.04(kHz)

5—10 某压电式压力传感器的灵敏度为80pC/Pa，如果它的电容量为1nF，试确定传感器在输入压力为1.4Pa时的输出电压。 解：当传感器受压力1.4 Pa时，所产生的电荷

Q=80 pC/Pa 31.4Pa=112 pC

输出电压为

Ua =Q/Ca =112310?12 /(1310?9)=0.112(V)

5—11 一只测力环在全量程范围内具有灵敏度3.9pC/N，它与一台灵敏度为10mV/pC的电荷放大器连接，在三次试验中测得以下电压值：(1)?100mV；(2)10V；(3)?75V。试确定三次试验中的被测力的大小及性质。

解：测力环总灵敏度

K=3.9 pC/N 310mV/pC=39 mV/N = U0/F

式中，U0为输出电压，F为被测力，所以

F1 =U01 /K=﹣100mV/39mV/N=﹣2.56N (压力)

F2 =U02 /K=10310 3mV/39mV/N=256N (拉力) F3 =U03 /K=﹣75310 3mV/39mV/N=﹣1923N (压力)

5—14 某压电式压力传感器为两片石英晶片并联，每片厚度h=0.2mm，圆片半径r=1cm，εr=4.5，X切型d11=2.31?10-12C/N。当0.1MPa压力垂直作用于PX平面时，求传感器输出电荷Q和电极间电压Ua的值。

解：当两片石英晶片并联时，所产生电荷

Q并=2Q=2?d11 F=2?d11 ?πr2 =232.31310?1230.13106 3π3(1310?2 )2

=145310?12 (C) =145pC

总电容

C并=2C=2?0?rS/h=2?0?r?r2 /h

=238.85310?1234.53?3(1310?2)2/0.2?10?3 =125.1310?12 (F) =125.1pF 电极间电压为

U并= Q并/C并=145/125.1=1.16V

第6章 磁电式传感器

6—5 某动圈式速度传感器弹簧系统的刚度k=3200N／m，测得其固有频率为20Hz，今欲将其固有频率减小为10Hz，问弹簧刚度应为多大? 解：

?n?k/m?2?f0?f0?12?k/m?2?m?k/f0

f0 =20Hz ， k=3200N/m时， 2?m?3200/20?22

f0′=10Hz时，由k?2?mf0'

则

k?2?m??26—6 已知恒磁通磁电式速度传感器的固有频率为10Hz，质量块重2.08N，气隙磁感应强度为1T，单匝线圈长度为4mm，线圈总匝数1500匝，试求弹簧刚度k值和电压灵敏度Ku值(mV/(m/s))。 解：由??k/m，则

k=ω2 m=(2?f)2 m=(2?310)232.08/9.8

=8.383102 (N/m)

Ku =e/v=NB0l0v/v=NB0l0

=15003134310?3 =6V/(m/s)=6000mv/(m/s)

6—7 某磁电式传感器要求在最大允许幅值误差2％以下工作，若其相对阻尼系数ξ=0.6，试求ω/ωn的范围。 解：由磁电势传感器的幅频特性

A????f0'2?22?102?800??/m?

??2得其幅值动态误差为

????/?n?222?1???/?n???4?2??/?n?2 ??/?n?2?1?2%2?1???/???n22?4?2??/?n?

???n?4?1.022?1????n?2??2?4?0.62???n?2?取其等号计算

解得 (ω/ωn)2 =12.354，或(ω/ωn)2 =2.067

ω/ωn =3.515，或 ω/ωn =1.438（舍去） 最大幅值误差小于2%时，其频率范围ω/ωn ≥3.515

第7章 热电式传感器

7—14 已知铜热电阻—Cul00的百度电阻比W(100)=1.42，当用此热电阻测量50℃温 度时，其电阻值为多少?若测温时的电阻值为92Ω，则被测温度是多少?

解：由 W（100）=R100 /R0 =1.42，则其灵敏度为

K?R100?R01.42R0?R00.42R0100?0.42????0.42?/oC100?0100100100??则温度为50℃时，其电阻值为

R50 = R0 +K350=100+0.42350=121(?)

当Rt=92?时，由Rt = R0 +Kt，得

t=( Rt﹣R0)/K=(92?100)/0.42=﹣19(℃)

7—17 用分度号为Ptl00铂电阻测温，在计算时错用了Cul00的分度表，查得的温度为140℃，问实际温度为多少?

解 查Cul00的分度表，140℃对应电阻为159.96?，而该电阻值实际为Ptl00铂电阻测温时的电阻值，反查Ptl00的分度表，得实际温度为157℃。

7—18 在某一瞬间，电阻温度计上指示温度θ2=50℃，而实际温度θ1=100℃，设电阻温度计的动态关系为

d?2?k(?1??2)dt

其中k=0.2/s。试确定温度计达到稳定读数(0.995θ1)所需时间。

解：θ2 从50℃上升到0.995θ1 =0.9953100=99.5℃

d?2d?2?k??1??2???kdtdt?1??2?99.550td?2??kdt0?1??2

??0.5500.5?ln??1??2?507—19 某热敏电阻，其B值为2900K，若冰点电阻为500KΩ，求热敏电阻在100℃时的阻值。

解：T0 =0℃=273K，R0 =500k?；T=100℃=373K

td??1??2??k?dt0??1??2? 50?kt?t?ln0.2?23?s?0.5

则

R373 =R273 e2900(1/373?1/273) =28.98(k?)

7—20 将一灵敏度为0.08mV/℃的热电偶与电位计相连接测量其热电势，电位计接线端是30℃，若电位计上读数是60mV，热电偶的热端温度是多少?

解：

7—16 参考电极定律有何实际意义?已知在某特定条件下材料A与铂配对的热电势为13.967mV，材料B与铂配对的热电势是8.345mV，求出在此特定条件下，材料A与材料B配对后的热电势。 解：由标准电极定律

E (T,T0 )=EA铂(T,T0 )?EB铂 (T,T0 )

=13.967?8.345=5.622(mV)

7-19 镍铬-镍硅热电偶灵敏度为0.04mV/℃，把它放在温度为1200℃处，若以指示仪表作为冷端，此处温度为50℃，试求热电势大小。

解： E(1200,50)= (1200?50)30.04=46(mV)

7—24 用K型热电偶测某设备的温度，测得的热电势为20mV，冷端（室温）为25C，求设备的温度？如果改用E型热电偶来测温，在相同的条件下，E热电偶测得的热电势为多少？

解 用K型热电偶测温时，设设备的温度为t，则E(t，25)=20mV，查K型热电偶分度表，E(25，0)=1.000mV。根据中间温度定律，

E(t，0)= E(t，25)+ E(25，0)=20+1.0=21.000 mV

反查K型热电偶分度表，得t=508.4℃

若改用E型热电偶来测次设备温度，同样，根据中间温度定律，测得热电势为

EE(508.4，25)= EK(508.4，0)? EK(25，0)=37678.6?1496.5=36182.1?V?36.18mV。

7—25 现用一支镍铬-铜镍热电偶测某换热器内的温度，其冷端温度为30℃，显示仪表的机械零位在0℃时，这时指示值为400℃，则认为换热器内的温度为430℃对不对？为什么？正确值为多少度？

解 认为换热器内的温度为430℃不对。

设换热器内的温度为t，实测热电势为E(t，30)，根据显示仪表指示值为400℃，则有E(t，30)= E(400，0)，由中间温度定律并查镍铬-铜镍（E型）热电偶分度表，有

E(t，0)= E(t，30)+ E(30，0)= E(400，0)+ E(30，0)=28943+1801=30744?V

反查镍铬-铜镍热电偶分度表，得换热器内的温度t=422.5℃

t?60mV?30?C?780?C0.08mV/?C

7—20 热电偶温度传感器的输入电路如习题7-26图所示，已知铂铑-铂热电偶在温度0~100℃之间变化时，其平均热电势波动为6μV/℃，桥路中供桥电压为4V，三个锰铜电阻(Rl、R2、R3)的阻值均为1Ω，铜电阻的电阻温度系数为α=0.004/℃，已知当温度为0℃时电桥

平衡，为了使热电偶的冷端温度在0~50℃范围其热电势得到完全补偿，试求可调电阻的阻值只R5。 解：热电偶冷端补偿电势

E(t,0)=kt， 习

题图7-26

式中，k为热电偶灵敏度(k=6?V/℃)，

而补偿电桥输出电压（见习题图7-26）

U0?冷端补偿时有

kt?Ui?RUR?tUi????t4R4R4

Ui4k4?6?t?Ui???6000?V4?0.004=6mV

根据电桥电路，其等效电路为R1、Rcu和R2、R3分别串联后再并联，

然后与电源、R5串联，桥臂电阻串并联后为1Ω，由此可得

13Ui =1?E/(R+1)

所以

R=E/ Ui?1=4000/6?1=665.7(Ω)

7—28 有一台数字电压表，其分辨力为100?V/1个字，现与Cul00热电阻配套应用，测量范围为0～100℃，试设计一个标度变换电路，使数字表直接显示温度数值。

解 利用Cul00热电阻测温，测温范围为0～100℃时，其电阻变化100~142.8?，即电阻满度变化值?Rt=42.8?。数字电压表分辨力为100?V/1个字，若要使数字表直接显示温度数值，当被测温度为满度值100℃时，要显示“100”这个数字，电压表需要输入电压为100?100=10000?V=10mV。现在的任务就是要将“42.8?”转换为“10mV”，这种转换电路（即标度变换电路）可选电子电桥电路，如题解图7—28所示。

题解7-28 电阻信号的标度变换（R-V变换）

根据不平衡电桥原理（题解图7—28），可得

Uo?当被测温度处于下限（0℃）时，有Rt=Rt0=R0，则

桥路设计时取R>>R0，那么在被测温度处于非下限时有

I1?EE??I2?IR?RtR?R0EERt?RoR?RtR?Ro

EE?R?Rt0R?R0于是

Uo=I(Rt?R0)=I(?Rt)

上式说明了可由不平衡电桥的转换关系，通过改变桥路参数来实现标度变换。

根据前面分析，有

I?显然通过适当选取E或R便可得到I=0.234mA。当取R=20k?时，电源电压E为

E?I?(R?R0)?0.234?(20000?100)?4703.4mV?4.7V

Uo10??0.234(mA)?R142.80

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/mrkg.html