第一章 函数极限连续教案

第一章 函数·极限·连续

知识点：

?义域?函数的定义和函数的定??函数的简单性质???函数??基本初等函数??复合函数与初等函数?????简单的经济函数模型???定义?数列极限与函数极限的???函数的左、右极限????极限?无穷大量和无穷小量??极限的四则运算法则?????两个重要极限????函数连续的定义??间??函数的间断点与连续区?连续?初等函数的连续性????质 ?闭区间上连续函数的性??教学目的要求：

（1）理解函数的概念，会求函数的定义域及函数值；理解并掌握函数的简单性质；熟练掌握基本初等函数的表达式、定义域、图形和特性；理解复合函数的概念，会正确分析复合函数的复合过程；理解初等函数的概念；能建立简单实际问题的函数关系式。

（2）理解数列和函数极限的描述性定义；理解函数左、右极限的定义，理解函数极限存在的充分必要条件；理解无穷小量和无穷大量的概念及相互关系，理解与掌握无穷小量的性质，了解无穷小量的比较；熟练掌握极限四则运算法则和两个重要极限，会求极限。

（3）理解函数连续与间断的概念，掌握判断函数连续性的方法；理解函数连续和极限存在之间的关系；会求函数的间断点与连续区间；理解初等函数的连续性，并能利用函数连续性求极限；了解闭区间上连续函数的性质。

教学重点：

1．函数的定义域 2．基本初等函数 3．复合函数

1

4．极限的运算 5．连续的概念

教学难点：

1．复合函数 2．极限的概念 3．重要极限 4．连续的概念

1.1 函数

【教学内容】函数的定义和函数的定义域，函数的简单性质，基本初等函数，复合函数以

及初等函数，简单的经济函数模型。

【教学目的】理解函数的概念，会求函数的定义域及函数值；理解并掌握函数的简单性质；

熟练掌握基本初等函数的表达式、定义域、图形和特性；理解复合函数的概念，会正确分析复合函数的复合过程；理解初等函数的概念；能建立简单实际问题的函数关系式。

【教学重点】1．函数的定义域；2．基本初等函数的图像与性质；3．复合函数的分解；4．成

本函数、收入函数、利润函数。

【教学难点】1．复合函数的概念与分解；2．经济函数模型建立。 【教学时数】3学时 【教学进程】

一、函数的概念与性质 (一) 函数的概念

提问：什么叫函数？请你举出1到2个函数的例子。

教师可举例：在某商店，可一双皮鞋卖200元，两双多少元？x双呢？（y?200x）从而归纳出函数的定义。

１．定义

定义1．1 设有两个变量x和y，当变量x在非空数集D内取某一数值时，变量y按照某种对应法则f，有惟一确定的数值与之对应，则称变量y为变量x的函数，记作

y?f(x)

其中x称为自变量，y称为函数或因变量，数集D称为函数f(x)的定义域．

2

函数的表示方法，一般有解析法、表格法、图像法。 2．定义域

提问：如何求函数的定义域？

当函数用解析法表示时，求函数的定义域的原则是使函数表达式有意义。因此，要求： （1）分式，分母必须不等于零；

（2）偶次根式，被开方式必须大于等于0； （3）对数，真数必须大于零，底大于零且不等于1； （4）正切符号下的式子必须不等于k??（k?Z）；

2（5）余切符号下的式子必须不等于k?（k?Z）； （6）反正弦、反余弦符号下的式子的绝对值必须小于等于1．

如果表达式中同时有以上几种情况，需同时考虑，并求它们的交集．在实际应用问题中，除了要根据解析式子本身来确定自变量的取值范围以外，还要考虑到变量的实际意义

例1 求下列函数的定义域。 （1）y??22； （2）y?x?3； 2x?2xln(x2?4x?3)arcsin(x?1)（3）y?； （4）y??log3(2x?1)

2x?14?x2解 （1）分式的分母不能为0，由x?2x?0解得x?0且x?2，即定义域为

(??,0)?(0,2)?(2,??)．

（2）偶次根式被开方式大于等于零，由x?3?0解得x??3或x?义域为(??,?3]?[3,??)．

23；即定

?x2?4x?3?0?x?1或x?3（3）对数的真数大于零，由?解得?；即定义域为

x??1x?1?0??(??,?1)?(?1,1)?(3,??)．

??x?1?10?x?2???2

（4）要使式子有意义，x必须满足的条件?4?x?0，即??2?x?2，解得

?2x?1?0?x?1??2?1?1??x?2；即定义域为?,2?． 2?2?课堂练习：

3

（1）f(x)?1x?1613?x2 （答案：(??,??)）

（2）f(x)??ln(2x?4) （答案：(2,3)）

（3）f(x)?arcsin1?x （答案：[?2,4]） 3强调定义域必须用区间或集合表示。

介绍邻域概念：我们称开区间(x0??，x0??)为点x0的?邻域，简称点x0的邻域。

?为正数，称为邻域的半径。如点1的2邻域，即1为中心，2为半径的邻域指的是开区间

（-1，3）。

3．函数值

提问：什么叫函数值？如何求函数值？

如果x取数值x0?D时，则函数f(x)在x0处有定义，与x0对应的数值y0称为函数

f(x)在点x0的函数值，记作

f(x0)或y|x?x0

即

y0＝f(x0)或y|x?x0＝f(x0)

全体函数值的集合，称为函数的值域。

例2 已知f(x)?解 f(2)?11f(?)。 f(2)f(a)f(x?1)，求，，，2x1?x11111?f(a)?，，， f(x?1)??222251?21?a1?(x?1)x?2x?21 f(?)?xx2． ?221?x?1?1?????x?1提问：什么样的函数是表示同一只函数？

函数的定义域、对应法则、值域称为函数的三要素。当两个函数的定义域与对应法则一致时，这两个函数表示的是同一个函数。如f(x)?x2与g(x)?|x|，它们的定义域与对

应法则一致，只是表示不同而已，实际是同一个函数。

４．分段函数

提问：我们在产品销售中往往会遇到这样的事，某产品销量在100件以内（包括100

4

件）按每件50元销售，超过100件，超过的部分可打八折，那么销售收入与销售量之间的关系如何表示？

显然，销售收入y与销售量x之间的关系式要用两个式子表示，当0?x?100时，

y?50x；当x?100时，y?50?100?50?80%?(x?100)．所以可表示成

0?x?100?50x， y???50?100?50?80%?(x?100)，x?100即

0?x?100?50x， y??，x?100?40x?1000象这样，两个变量之间的函数关系有的要用两个或多于两个的数学式子来表达，即对一个函数，在其定义域的不同范围内用不同数学式子来表达，称为分段函数．分段函数的定义域为各段自变量取值集合的并集．

?x?1，?1?x?0??例3 设函数f(x)??0，，求：(1)函数的定义域；(2)f(0)，f(?1)，x?0???x?1，x?0f(2)；(3)作出图象．

解

(1)定义域为D?[-1,??)； (2)f(0)?0，

f(?1)??1?1??2， f(2)?2?1?3；

(3)函数的图象如图1-1所示． 课堂练习：

根据中华人民共和国主席令2005年第44号，自2006年1月1日起施行新的个人所得税纳税标准，新纳税标准以月收入额1600元为起征点，具体如下：

表1－1

全月应纳税所得额（月收入额－1600元） 税率 不超过500元的 5% 5

超过500元至2000元的部分 超过2000元至5000元的部分 超过5000元至20000元的部分 超过20000元至40000元的部分 超过40000元至60000元的部分 超过60000元至80000元的部分 超过80000元至100000元的部分 超过100000元的部分 10% 15% 20% 25% 30% 35% 40% 45% 试表示应缴税款y和月收入额x之间的关系；某人月收入额为3900元应缴税多少元？

0?x?1600?0,?1600?x?2100?(x?1600)?5%,?(x?2100)?10%?25,2100?x?3600??(x?3600)?15%?175,3600?x?6600??(x?6600)?20%?625,6600?x?21600答案：y??

(x?21600)?25%?3625,21600?x?41600??(x?41600)?30%?8625,41600?x?61600??(x?61600)?35%?14625,61600?x?81600?)?40%?21625,81600?x?101600?(x?81600?(x?101600)?45%?29625,x?101600?)?15%?175?220元． 月收入3900元应缴税(3900?3600二、函数的性质

提问：函数的性质有哪些？让学生敍述函数的四大性质。 1。函数的单调性

定义1．2 设函数f(x)在区间I上有定义，如果x1、x2?I，当x1?x2时，有

f(x1)?f(x2)，则称函数f(x)在I上是单调增加的；当x1?x2时，有f(x1)?f(x2)，

则称函数f(x)在I上是单调减少的．

2．函数的奇偶性

设函数y?f(x)的定义域D关于原点对称，如果对任意x?D，有f(?x)??f(x)，则称函数f(x)为奇函数；如果对任意x?D，f(?x)?f(x)，则称函数f(x)为偶函数．既

6

不是奇函数，又不是偶函数的函数称为非奇非偶函数.

奇偶函数的定义域D关于原点对称，且在平面直角坐标系中，偶函数的图形关于y轴对称；奇函数的图形关于原点对称。

例4 判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)?3x2?2x4?1； (2)f(x)?sixn?2x； (3)f(x)?5x3?2

解 (1)因为f(?x)?3(?x)2?2(?x)4?1?3x2?2x4?1?f(x)，所以

f(x)?3x2?2x4?1为偶函数．

(2)因

为

f(?x)?si?x)n?2((?x)??six?n2x??f(x)，所以

f(x)?six?n2x为奇函数．

显然f(?x)??f(x)，f(?x)?f(x)，(3)因为f(?x)?5(?x)3?2??5x3?2，

所以f(x)?5x3?2是非奇非偶函数．

课堂练习：

判断下列函数的奇偶性。

(1)f(x)?x4?x2?1 （答案：偶函数） (2)f(x)?x?2cosx （答案：非奇非偶函数）

e?x?ex(3)f(x)? （答案：奇函数）

x3．函数的周期性

提问：学过的函数中哪些具有周期性？

定义1．4 设函数y?f(x)的定义域为D，如果存在常数T，对任意的x?D，有

x?T?D，且使

f(x?T)?f(x)

恒成立，则称函数y?f(x)为周期函数，满足上式的最小正数T称为函数y?f(x)的周期．

4．函数的有界性

提问：学过的函数中哪些是有界的？

定义1．5 设函数y?f(x)的定义域为D，如果存在正数M，使得对任意的x?D，有

7

|f(x)|?M

则称函数f(x)为有界函数；否则称为无界函数．有界函数的图像y?f(x)必介于两条平行于x轴的直线y??M和y?M之间。 三、初等函数

提问：哪些是基本初等函数？ 1．基本初等函数

我们在中学里学过的常数函数y?c（c为常数）、幂函数y?x?（?为任意实数）、指数函数y?ax?a?0,a?1?、对数函数y?logax?a?0,a?1?、三角函数y?sinx，

y?cosx，y?tanx，y?cotx与反三角函数y?arcsinx，y?arccosx，y?arctanx，

y?arccotx统称为基本初等函数，

关键搞清它们的图像与性质。 2．复合函数

举例引出复合函数的概念。

定义1．6 设y?f(u)是u的函数，u??(x)是x的函数．如果u??(x)的值域或其部分是y?f(u)的定义域的子集，则y通过u构成x的函数称为x的复合函数，记为

y?f[?(x)]

通常y?f(u)称为外层函数，简称外函数；u??(x)称为内层函数，简称内函数；u称为中间变量．

uu?x2构成了复合函数y?cosx2。u?1?x2例如，由函数y?cosu，由函数y?e，

2构成了复合函数y?e1?x。

例6 指出下列复合函数是由哪些简单函数复合而成的．

(1)y?tan(2?x2)； (2)y?lnsin21； (3)y?ex2arcsin(x?1) ．

解 (1)y?tan(2?x)由函数y?tanu,u?2?x复合而成；

11(2)y?lnsin由函数y?lnu，u?sinv，v?复合而成的；

xx(3)y?earcsin(x?1)由函数y?e，u?u v，v?arcsinw，w?x?1复合而成．

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课堂练习：

指出下列复合函数是由那些简单函数复合而成的。

（1）y?sin(5x?4) （答案：y?sinu,u?5x?4） （2）y?etan2x （答案：y?eu,u?v2,v?tanx）

（3）y?lnlnx （答案：y?lnu,u?（4）y?v,v?x） arccot(x?1) （答案：y?u,u?arccotv,v?x?1） 3．初等函数

由基本初等函数经过有限次四则运算或有限次复合运算所构成，并可用一个式子表示的函数叫初等函数。

x?1sinx?3exy?5lntanx?如y?，等都是初等函数。 x3sinexcos2x四、经济函数模型举例

1．需求函数与供给函数模型

在研究市场问题时，常常会涉及两个重要的函数，即需求函数和供给函数。 市场对某种商品的需求量Q，主要受到该商品的价格的影响，通常降低商品的价格会使需求量增加，提高商品的价格会使需求量减少。在假定其它因素不变的条件下，市场需求量Q可视为该商品价格p的函数，称为需求函数，记作

Q?Q(p)

供给是与需求相对应的概念，需求是就市场中的消费者而言，供给是就市场中的生产销售者而言的。某种商品的市场供给量S也受商品价格p的制约，价格上涨将刺激生产者向市场提供更多的商品，供给量增加；反之，价格下跌将使供给量减少。在假定其它因素不变的条件下，供给量S也可看成价格p的函数，称为供给函数，记作

S?S(p)

常见的需求函数和供给函数有线性函数，二次函数，指数函数等。一般地，需求函数是价格的单调减函数，供给函数是价格的单调增函数。当市场的需求量与供给量持平时，称为供需平衡。此时的价格称为供需平衡价格或均衡价格，记为p0；需求量称为均衡量，记为Q0。

例7 市场调查显示，某商品当售价为每件70元时，市场需求量为1万件，若该商品每件降低3元时，需求量将增加0.3万件，试求该商品的线性需求函数。

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解 设Q?a?bp(a?0,b?0)，由题意得，

?a?580b?800 ??a?680b?6000b?2，得需求函数为 解方程组得a?196,Q?1960?2p

从上式中解出p，即得价格函数为

1p?980?Q

2例8 上例中，当市场售价为每件70元时，生产厂商愿向市场提供4万件商品，当价

格每件增加3元时，生产厂商就多提供0.6万件商品，试求该商品的线性供给函数。

?800?c?580d解 依题意有?，解得c?220，d?1．所以供给函数为

900?c?680d?S?220?p

例9 试求出上两例中该商品的市场均衡价格与均衡量。 解 由供需均衡条件S?Q，可得

220?p?1920?2p

解得

p?567

即均衡价格为567元． 2．成本、收入和利润函数模型

在生产和产品的经营活动中，人们总希望尽可能降低成本，提高收入和增加利润。而成本、收入和利润这些经济变量都与产品的产量或销售量q密切相关，它们都可以看作q的函数，我们分别称为总成本函数，记作C(q)；总收入函数，记作R(q)；总利润函数，记作L(q)

总成本由固定成本C0和可变成本C1(q)两部分组成：

C(q)?C0?C1(q)

其中固定成本C0与产量q无关，如厂房、设备费等；变动成本C1(q)随产量q的增加而增加，如原材料费等．

10

(1)lim(x?sinx)x?0(2)lim3sinxx?0(3)lim(x?1)cosx

x?1(4)limx??sinxx21x(5)limx2sinx?0五、无穷小的比较

定义 设?和?是同一变化过程中的两个无穷小，即lim ?=0和lim?=0 (１) 如果lim??0，那么称?是?的高阶无穷小； ????，那么称?是?的低阶无穷小； ???c(c?0)，那么称?是?的同阶无穷小； ???1时，则称?与?是等价无穷小,记作： ???。 ?(２) 如果lim(３) 如果lim特别是当c=1时，即当lim例1 选择题

（1）当x?0时，变量x2是变量3x的（ ）

[A]高阶无穷小； [B]低阶无穷小； [C]同阶无穷小；[D]等价无穷小

x2x?lim?0, 选A 解：(1)limx?03xx?03（2）当x?0时，变量3x是变量2x的（ ）

[A]高阶无穷小； [B]低阶无穷小； [C]同阶无穷小；[D]等价无穷小

3x3? ，选C 解：(2)limx?02x2

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第1章 函数、极限与连续 第1.3节 极限的运算

【教学目的与要求】

1.掌握极限的四则运算法则并熟练运用法则求解极限问题； 2.熟悉熟练掌握用两个重要极限求极限的方法； 3.了解利用无穷小量的等价替换求极限的方法．

【教学重点、难点】

1.熟练运用法则求解极限问题； 2.两个重要极限的应用。

【教学内容】

1.3.1极限的四则运算

一、极限运算法则

定理1 设limf(x)?A,limg(x)?B,则(1)lim[f(x)?g(x)]?A?B;证

：

(2)lim[f(x)?g(x)]?A?B; (3)limf(x)g(x)?AB,其中B?0.limf(x)?A,limg(x)?B.

?f(x)?A??,g(x)?B??.其中??0,??0.

[f(x)?g(x)]?(A?B)?????0.?0. ?(1)成立.

由无穷小运算法则,得

[f(x)?g(x)]?(A?B)?(A??)(B??)?AB ?(A??B?)????0. ?(2)成立.

推论1

如果limf(x)存在,而c为常数,则lim[cf(x)]?climf(x).

即：常数因子可以提到极限记号外面.

推论2

如果limf(x)存在,而n是正整数,则lim[f(x)]n?[limf(x)]n.

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?

定理2 （复合函数的极限）

设 y?f(?(x)) 是由 y?f(u) 及 u??(x) 复合而成 ,若 lim?(x)?u0 , 且在 去心邻域 x?x0U?(x0,?) 内 ?(x)?u0 , 又有ulim?uf(u)?a , 则 limf(?(x))?limf(u)?a . 0x?x0u?u0

二、求极限方法举例

常见方法：

a.多项式与分式函数代入法求极限; b.消去零因子法求极限; c.无穷小因子分出法求极限; d.利用无穷小运算性质求极限; e.利用左右极限求分段函数极限.

（一）多项式与分式函数代入法求极限

1.设f(x)?a0xn?a?11xn???an,则有

xlim?xf(x)?a0(limx?xx)n?a1(limx)n?1???an

00x?x0?ann?10x0?a1x0???an?f(x0).

2.设f(x)?P(x)Q(x),且Q(x0)?0,则有 f(x)?xlim?xP(x)0P(x0)xlim?xlimQ(x)?0x?xQ(x?f(x0). 0)0若Q(x0)?0,则商的法则不能应用. 例1 求limx?2(x2?3x?5).

解：limx?2(x2?3x?5)?limx?2x2?limx?23x?limx?25

?(limx?2x)2?3limx?2x?limx?25?22?3?2?5?3.

例2 求lim3x3?2x2?x?1x?2x2?5x?3. 解：lim3x3?2x2?x?13?23?2?22?x?2x2?5x?3?2?122?5?2?3??613 例3 求limn??(13?115?135???14n2?1)

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解：? 14n2?1?1(2n?1)(2n?1)?1?2?1?2n?1?1?2n?1?? ? 13?115?135???111114n2?1?1?3?3?5?5?7??(2n?1)(2n?1) ?1??2????1?1?3?????1?3?1?5?????1?5?1?7???????1?2n?1?1??2n?1?????1?2??1?1?2n?1?? limn??(13?115?135???11?1?14n2?1)?limn??2??1?2n?1???2 . 例4 求lim1n??(n2?2n2???nn2). 解：当n??时,是无限多个无穷小之和． 先变形再求极限.

lim12n1?2n??(???nn2?n2???n2)?limn??n2 12n(n?1)?limn??n2?lim1n??2(1?1n)?12. (二)(00型)消去零因子法求极限

消去零因子法：（1）因式分解；（2）有理化法；（3）变量替换法

（1）因式分解

例1 求limx2?1x?1x2?2x?3. (00型) 解：x?1时,分子,分母的极限都是零.

先约去不为零的无穷小因子(x?1)后再求极限.

limx2?1(x?1)(x?1)x?11x?1x2?2x?3?limx?1(x?3)(x?1)?limx?1x?3?2. lim(x?h)3?x3练习：求h?0h

解：原=lim(x?h?x)[(x?h)2?(x?h)x?x2]?lim[(x?h)2?(x?h)x?x2h?0hh?0]?3x2 式

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（2）有理化法，将分子或分母有理化，约去极限为零的因式。

例2 求 limx?25?2x?3 .

2x?2 . 解：由于 lim(2x?2)?0 , 故不能直接用公式计算x?2limx?25?2x?3(5?2x?3)(5?2x?3)(2x?2)?limx?2(5?2x?3)(2x?2)(2x?2)2x?2

?lim(2x?4)(2x?2)

x?2(5?2x?3)(2x?4)lim(2x?2)2x?22?lim?x?2? . x?25?2x?3lim(5?2x?3)3x?2练习：求limx?0?0? ??

1?x?1?x?0?x解=limx?0：原式

x(1?x?1?x)(1?x?1?x)x(1?x?1?x)=1 ?lim?limx?0x?02x2(1?x)?(1?x)（3）变量替换法

例5. limx?1x?13?0? ?? x?1?0?解：令x?t6,则t?6x且x?1时，t?1

t3?1(t?1)(t2?t?1)(t2?t?1)3? 原式=lim2?lim?limt?1t?1t?1t?12(t?1)(t?1)(t?1)(三) (?型)无穷小因子分出法 ? 当a0?0,b0?0,m和n为非负整数时有?a0?b,当n?m,0a0xm?a1xm?1???am??lim??0,当n?m,x??bxn?bxn?1???b01n??,当n?m,???

无穷小因子分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,

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然后再求极限.

2x3?3x2?5. 例1 求lim3x??7x?4x2?1解：x??时,分子,分母的极限都是无穷大.

先用x3去除分子分母,分出无穷小,再求极限.3?2x?3x?5xlim3?limx??7x?4x2?1x??47??x322?5x3?2. 17x3练习：求下列极限

3x3?2x?43? 1、limx??22x3?12x4?x?42、lim=0 5x??2x?13、limx??3x4?x?12x?13??

（四）利用无穷小运算性质求极限

1、利用有界函数与无穷小乘积是无穷小

sinx例1 求lim.

x??x1解：当x??时,为无穷小,

x而sinx是有界函数.

sinx?0.

x??x2、利用无穷小与无穷大的关系（倒数关系）

4x?1. 例2 求lim2x?1x?2x?3?limsinxy?x解?lim(x2?2x?3)?0,商的法则不能用

x?1x2?2x?30又?lim(4x?1)?3?0,?lim??0.

x?1x?134x?1由无穷小与无穷大的关系,得 limx?14x?1??. 2x?2x?331

（五）(???型)

两个无穷大量相减的问题，我们首先进行通分运算，设法去掉不定因素，然后运用四则运算法则求其极限。

0?也就是说，要将(???型)转化为型或型。具体有通分法、分子有理化。

0?13?3) 例1 求lim(x?1x?1x?1x2?x?1?3(x?1)(x?2)(x?2)?lim?lim?1 解：原式=lim223x?1x?1x?1(x?1)(x?x?1)(x?x?1)x?1例2 lim(x(x?3)?x)

x???x(x?3)?解：原式=limx???x2x(x?3)?x?limx??3xx(x?3)?x?limx??33(1?)?1x?3 2练习：求 lim解： limx???x?1 (x?2?x) .

x???x?1 (x?2?x) ?limx???x?1 (x?2?x)(x?2?x)

x?2?x?1 .

?limx???2x?1 ?limx?2?xx???2 1?11?1?x?1x?1（六）利用左右极限与极限的关系

?ex?1, x?0例1设f(x)?? ,问 b 取何值时, limf(x)存在, 并求其值。.

x?0?x?b, x?0xf(x)?lim(e?1)?2 解 ? lim??x?0x?0x?0?limf(x)?lim?(x?b)?b

x?0? 由函数的极限与其左、右极限的关系, 得b = 2 ,

limf(x)?2 .

x?0?1?x,x?0练习：设f(x)??2,求limf(x).

x?0x?1,x?0?,两个单侧极限为解：x?0是函数的分段点

x?0?limf(x)?lim(1?x)?1, ?x?0 32

xlim?0?f(x)?xlim?0?(x2?1)?1, 左右极限存在且相等，故limx?0f(x)?1.

（七）复合函数求极限方法

例1求 limesinxx?0.

解：因为 x?0 时, u?sinx?0 所以，由复合函数求极限法则

limeu?1 , lim?0esinxu?0x?1 .

注：这类复合函数的极限通常可写成limesinxx?0?exlim?0sinx?e0?1 . 例2求 limx??xcosx.

解：limxcosx?limecosxlnx?exlim??cosxlnx?ln?x??x???e?1? .

1.3.2两个重要的极限

一、limsinxx?0x?1 对limsinxx?0x?1使用时须注意: (1)类型是00型；

(2)推广形式limsin?(x)x?x?1其中lim?(x)?0

(或x??0x?)?(x)x(或x??0)(3)x单位是弧度。 例1 求limsin4xx?0x

解：原式=limsin4xx?04x.4=4 例2 求1、limsin3xx?0sin2x2、limtanxx?0x

sin3x解：1、limsin3x?3x3?limsin3xx?03xx?0sin2x?lim3xx?0sin2x??3?1?3 2x?2x2?limsin2x2?12x?02x33

sinx2、limtanxx?0x?limcosxx?0x?limsinxx?0xcosx?limsinxx?0x?lim1x?0cosx?1?1?1 例3 求极限lim3x??xsinx

33解：lim3sinxsinx??xsinx ?limx??(x?3?3x) ?3limxx??3 ?3?1?3 xx练习：求limtanx. ?sinxx?0x3 sinx?sinx解：原式=limcosxx?0x3?lim1?cosxsinxx?0x2cosx.x 22sin2x??sinx??lim2sinx?x?0x2.1cosx.x?lim?2???sinx?111x?0??? ?x??x?cosx22?2??1二、 lim(1?1)x?e lim(1?x)xx?0?e (1?)x??x

1对limxx?0(1?x)?limx??(1?1x)x?e使用须注意: (1)类型是1?型； (2)推广形式

1xlim?x[1??(x)]?(x)?e,0xlim?x?(x)?0 0xlim?x[1?1?(x)]?(x)?e,lim?(x)??

0x?x0例4 求lim1x??(1?x)x.

解：原式?lim[(1?1)?x]?1x???lim1x???1?x. (1?1?xe?x)1例5

(1)limxx??(1?3x)x (2)limx?0(1?3x)

34

解：

33(1)lim(1?)x?lim[(1?)3]3 ?e3 x??x??xxx(2)lim(1?3x)?lim[1?(?3x)]x?0x?01x1?(?3)?3x ?lim{[1?(?3x)]}?3 ?e?3

x??1?3x例6求lim(1?解：

14x?3)

x??2x11111lim(1?)4x?3 ?lim(1?)4x(1?)3 ?lim[(1?)2x]2lim(1?)3 x??2xx??2x2xx??2xx??2x?e2?1 ?e2

例7求lim(x?2x??x?1)2x

解：limx?22x12(x?1x??(x?1) ?limx??(1?x?1))?2 ?lim1x??(1?x?1)2(x?1)?(1?1x?1)?2 ?limx??[(1?1x?1)x?1]2?limx??(1?1x?1)?2 ?e2 练习 求lim3?xx??(2?x)2x. 解1原式?lim1x??(1?x?2)2(x?2)?4?limx??[(1?1x?2)x?2]2(1?1x?2)?4?e2. 解2原式?lim1x??(1?x?2)2x令1x?2?t,则x?1t?2,且x??,t?0 22原式?limt?4?lim?1t?0(1?t)t?0?(1?t)t??lim(1?t)?4=e2

??t?0【补充】等价无穷小代换

定理(等价无穷小代换定理) 设?~??,?~??且lim???????存在,则lim??lim??.

常用等价无穷小: 当x?0时,

x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln(1?x)~ex?1,1?cosx~1

2x2tan2例1 求lim2xx?01?cosx. 解：当x?0时,1?cosx~12x2,tan2x~2x. 35

(2x)2?8. 原式?limx?012x2若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换，而不会改变原式的极限．

(x?1)sinx. 例2 求limx?0arcsinx(x?1)x?lim(x?1)?1. 解当x?0时,sinx~x,arcsinx~x.原式?limx?0x?0x注意 不能滥用等价无穷小代换。切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换，对于代数和中各无穷小不能分别代换.

tanx?sinx. 例3 求limx?0sin32x错解当x?0时,tanx~x,sinx~x.原式?limx?x?0. （?）

x?0(2x)313x, 2解：当x?0时,sin2x~2x,tanx?sinx?tanx(1?cosx)~13x12原式?lim?.

x?0(2x)316

1.4 函数的连续性

【教学内容】连续与间断的概念；函数连续性的判断；闭区间上连续函数的性质。 【教学目的】使学生理解与掌握连续与连续函数的概念，会求间断点与连续区间，了解闭

区间连续函数的性质。

【教学重点】1．连续的概念；2．求函数的间断点或连续区间。 【教学难点】连续的概念。 【教学时数】2学时 【教学进程】

一、函数的连续性

1．函数的改变量

提出问题：通过具体图像观察，提出当自变量由一个值变化到另一个值时，自变量改变了多少？同时，函数值变化了吗？函数值的改变用什么来表示？

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y?f(x)y ?x?y o x0 x 定义1．13 设函数y?f(x)在x0的某邻域内有定义，当自变量x由x0变到x，称差

x-x0为自变量x在x0处的改变量或增量，通常用?x表示，即?x=x-x0．相应地，

函数值由f(x0)变到f(x)，称差f(x)?f(x0)为函数f(x)在x0处的改变量或增量，记作

?y，即

?y=f(x)?f(x0)

例1 设f(x)?2x?3，在下列变化情况下求?x和?y． (1)x由2变到2．01 （答案：0.02） (2)x由2变到1．98 （答案：－0.04） 说明：?x和?y可以是正值，也可以是负值，也可以为零。 2．连续的概念 1）定义

提问：什么样的函数是连续的？（让学生观察下列图像，分析两个图像的不同处，提出用什么式子来衡量。）

观察图1-26和图1-27中两条曲线在x?x0处的情况．

y?f(x) y?f(x)

y ?y y ?x M ?y N ?x o x0x 0??x x 图1-26

O x x0??x 0图1-27

x

归纳结论：由图1-26中可以看出，函数y?f(x)在x0处是连续的，且显然

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当?x?0时，有?y?0．

由图1-27中可以看出，函数y?f(x)在x0处是断开的，且显然当?x?0时，有?y?|MN|（不趋近于零）．

定义1．14 设函数y?f(x)在点x0的某个邻域内有定义，如果在x0处，当自变量的增量?x无限趋近于0时，函数的增量?y也无限趋近于0，即

?x?0lim?y?lim[f(x0??x)?f(x0)]?0

?x?0则称函数f(x)在点x0处连续，称点x0为函数f(x)的连续点；否则就称函数f(x)在点x0处间断，点x0为函数f(x)的间断点．

例2 用定义证明y?4x2?3在x?2处连续．

再提问：函数在某点处连续，那么这点处的极限如何？与这点的函数值有何关系？（让学生观察图像，分析两个图像的不同处，提出用什么式子来衡量。）

定义1.14? 设函数y?f(x)在点x0的某个邻域内有定义，如果

x?x0limf(x)?f(x0)

那么函数f(x)在点x0处连续．称点x0为函数f(x)的连续点．否则称函数f(x)在点x0处间断，x0称为函数f(x)的间断点。

提问：如何来判断函数在某点连续呢？（让学生先归纳出判断某点连续的方法，然后由老师进行总结。）

2）判断连续的方法

一般地，函数f(x)在点x?x0处连续必须满足下面三个条件： （1） 函数f(x)在点x?x0处有定义； （2） limf(x)存在；

x?x0（3） limf(x)?f(x0)，即函数f(x)在点x0处的极限值等于这一点的函数值。

x?x0如果lim?f(x)?f(x0)，则称函数f(x) 在点x0处右连续；如果lim?f(x)?f(x0)，

x?x0x?x0则称函数f(x)在点x0处左连续。图1－15(b)中的函数曲线是左连续的。

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例3 讨论函数f(x)?2x?1在点x?1处的连续性。 （答案：连续）

?sinx，x?0??x例4 试说明函数f(x)??在x?0处是连续的．（答案：连续）

?1，x?0???x2?4，x?0??x?0在x?0处连续，求a与b例5 已知函数f(x)??a，?2x?b，x?0??的值． （答案：a?b?2）

3）课堂练习：

(?x)，x?0?ln1??1．讨论函数f(x)??0， x?0在x?0处的连续性． （答案：连续）

?xe?1，x?0???x2?5x?6，x?3??x?32．试说明函数f(x)??在x?3处间断。

?4，x?3??提问：两个函数在某点连续，进行四则运算后是否在此点仍连续？（让学生先思考，然后由老师进行总结。）

4）连续的运算

? 如果函数f(x)和g(x)在点x0处连续，则它们的和、差、积、商（g(x0)?0）在

点x0处均连续。

? 如果函数u??(x)在x0点连续，且lim?(x)?u0，函数y?f(u)在u0连续，则

x?x0它们的复合函数y?f??(x)?在x0点必连续，且

limf??(x)??f?lim?(x)??? x?x0?x?x0?例6 求limln(1?x) （答案：1）

x?0x5）极限与连续的关系

定理1·6 如果函数y?f(x)在点x0处连续，则f(x)点x0处的极限一定存在；反之，

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x2?1不一定成立。例如，函数y?在x?1处的极限存在，但在x?1处不连续。 x?13．连续函数的概念 1）连续函数的定义

定义1．15 如果函数y?f(x)在区间内(a,b)每一点都连续，则称函数

y?f(x)在区间(a,b)内连续；如果函数y?f(x)在开区间(a,b)内连续，又在左

端点a处右连续，在右端点b处左连续，则称函数在闭区间[a,b]上连续． 2）重要结论

连续函数的和、差、积、商及复合的函数都是连续函数。由于初等函数是由基本初等函数经过有限次四则运算及复合构成的，基本初等函数在其定义域内都是连续的，所以初等函数在其定义域内均连续。 二、间断点与连续区间的求法

1）方法（可由老师提问，让学生先思考，）

一般地，如果函数f(x)是初等函数，则求它的连续区间只需考虑它有定义；如果函数

f(x)是分段函数，则它的连续性着重应考虑它的分段点。

2）举例

例7 判断下列函数在指定点处的连续性。 （1）y?1在x?1处 （答案：不连续） 2x?1?x?1?（2）y??0?x?1?例8 说明函数y?x?0x?0在x?0处 （答案：不连续） x?0ln(1?x)x在什么区间连续。 （答案：(0,??)）

例9 求下列函数的间断点。 （1）y?x?21x?? （答案：，x?2）

33x2?5x?2?cosx?（2）y??0?ex?1?x?0x?0 （答案：x?0） x?03）课堂练习：

求下列函数的间断点与连续区间

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