高中数学必修1全一册教学设计（18份） 人教课标版16（新教案）

幂函数

教学分析

幂函数作为一类重要的函数模型，是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本的初等函数．学生已经有了学习指数函数和对数函数的图象和性质的学习经历，幂函数概念的引入以及图象和性质的研究便水到渠成．因此，学习过程中，引入幂函数的概念之后，尝试放手让学生自己进行合作探究学习．本节通过实例，让学生认识到幂函数同样也是一种重要的函数模型，通过研究＝，＝，＝，＝，＝x等函数的性质和图象，让

－

12学生认识到幂指数大于零和小于零两种情形下，幂函数的共性：当幂指数α＞时，幂函数的图象都经过点()和()，且在第一象限内函数单调递增；当幂指数α＜时，幂函数的图象都经过点()，且在第一象限内函数单调递减且以两坐标轴为渐近线．在方法上，我们应注意从特殊到一般地去进行类比研究幂函数的性质，并注意与指数函数进行对比学习．

将幂函数限定为五个具体函数，通过研究它们来了解幂函数的性质．其中，学生在初中已经学习了＝，＝，＝等三个简单的幂函数，对它们的图象和性质已经有了一定的感性认识．现在明确提出幂函数的概念，有助于学生形成完整的知识结构．学生已经了解了函数的基本概念、性质和图象，研究了两个特殊函数：指数函数和对数函数，对研究函数已经有了基本思路和方法．因此，教材安排学习幂函数，除内容本身外，掌握研究函数的一般思想方法是另一目的，另外，应让学生了解利用信息技术来探索函数图象及性质是一个重要途径．

学习中学生容易将幂函数和指数函数混淆，因此在引出幂函数的概念之后，可以组织学生对两类不同函数的表达式进行辨析．

三维目标

．通过生活实例引出幂函数的概念，会画幂函数的图象，通过观察图象，了解幂函数图象的变化情况和性质，加深学生对研究函数性质的基本方法和流程的经验，培养学生的概括抽象和识图能力，使学生体会到生活中处处有数学，激发学生的学习兴趣．

．了解几个常见的幂函数的性质，通过这几个幂函数的性质，总结幂函数的性质，通过画图比较，使学生进一步体会数形结合的思想，利用计算机等工具，了解幂函数和指数函数的本质差别，使学生充分认识到现代技术在人们认识世界的过程中的作用，从而激发学生的学习欲望．

．应用幂函数的图象和性质解决有关简单问题，培养学生观察分析归纳能力，了解类比法在研究问题中的作用，渗透辩证唯物主义观点和方法论，培养学生运用具体问题具体分析的方法去分析和解决问题的能力．

重点难点

教学重点：从五个具体的幂函数中认识幂函数的概念和性质．

－

教学难点：根据幂函数的单调性比较两个同指数的指数式的大小． 课时安排 课时

导入新课 思路

．如果张红购买了每千克元的水果千克，那么她需要付的钱数(元)和购买的水果量(千克)之间有何关系？根据函数的定义可知，这里是的函数．

．如果正方形的边长为，那么正方形的面积＝，这里是的函数． ．如果正方体的边长为，那么正方体的体积＝，这里是的函数． ．如果正方形场地面积为，那么正方形的边长＝S，这里是的函数． ．如果某人 内骑车行进了，那么他骑车的速度＝，这里是的函数．

以上是我们生活中经常遇到的几个数学模型，你能发现以上几个函数解析式有什么共同点吗？(右边指数式，且底数都是变量)．

(适当引导：从自变量所处的位置这个角度)(引入新课，书写课题：幂函数)． 思路．我们前面学习了三类具体的初等函数：二次函数、指数函数和对数函数，这一节课我们再学习一种新的函数——幂函数，教师板书课题：幂函数．

推进新课 (\\\\(新知探究))提出问题

12－

－1

12

()给出下列函数：＝，＝x，＝，＝，＝，考察这些解析式的特点，总结出来，是否为指数函数？

()根据()，如果让我们起一个名字的话，你将会给他们起个什么名字呢？请给出一个一般性的结论．

()我们前面学习指对数函数的性质时，用了什么样的思路？研究幂函数的性质呢？ ()画出＝，＝x，＝，＝，＝五个函数图象，完成下列表格.

－

12

()通过对以上五个函数图象的观察，哪个象限一定有幂函数的图象？哪个象限一定没有幂函数的图象？哪个象限可能有幂函数的图象，这时可以通过什么途径来判断？

()通过对以上五个函数图象的观察和填表，你能类比出一般的幂函数的性质吗？ 活动：考虑到学生已经学习了指数函数与对数函数，对函数的学习、研究有了一定的经验和基本方法，所以教学流程又分两条线，一条以内容为明线，另一条以研究函数的基本内容和方法为暗线，教学过程中同时展开，学生相互讨论，必要时，教师将解析式写成指数幂形式，以启发学生归纳，学生作图，教师巡视，学生小组讨论，得到结论，必要时，教师利用几何画板演示．

讨论结果：

()通过观察发现这些函数的变量在底数位置，解析式右边都是幂，因为它们的变量都在底数位置上，不符合指数函数的定义，所以都不是指数函数．

()由于函数的指数是一个常数，底数是变量，类似于我们学过的幂的形式，因此我们称这种类型的函数为幂函数，如果我们用字母α来表示函数的指数，就能得到一般的式子，即幂函数的定义：一般地，形如＝的函数称为幂函数，其中是自变量，α是常数．

如＝，＝x，＝等都是幂函数，幂函数与指数函数、对数函数一样，都是基本初等函数．

()我们研究指数、对数函数时，根据图象研究函数的性质，由具体到一般；一般要考虑函数的定义域、值域、单调性、奇偶性；有时也通过画函数图象，从图象的变化情况来看函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等性质，研究幂函数的性质也应如此．

()学生用描点法，也可应用函数的性质，如奇偶性、定义域等，画出函数图象．利用描点法，在同一坐标系中画出函数＝，＝x，＝，＝，＝的图象．

－

α

1212列表：

… － － － … ＝ ＝x ＝ ＝ ＝ －… … … … … － － － … … … … … 12 － － － － － － 描点、连线．画出以上五个函数的图象如图.

图

让学生通过观察图象，分组讨论，探究幂函数的性质和图象的变化规律，教师注意引导学生用类比研究指数函数、对数函数的方法研究幂函数的性质．

通过观察图象，完成表格.

()第一象限一定有幂函数的图象；第四象限一定没有幂函数的图象；而第二、三象限可能有，也可能没有图象，这时可以通过幂函数的定义域和奇偶性来判断．

()幂函数＝的性质．

①所有的幂函数在(，＋∞)上都有定义，并且图象都过点()(原因：＝)；

α

②当α＞时，幂函数的图象都通过原点，并且在[，＋∞)上是增函数(从左往右看，函数图象逐渐上升)．

特别地，当α＞时，∈()，＝的图象都在＝图象的下方，形状向下凸，α越大，下凸的程度越大．

当＜α＜时，∈()，＝的图象都在＝的图象上方，形状向上凸，α越小，上凸的程度越大．

③当α＜时，幂函数的图象在区间(，＋∞)上是减函数．

思路

(\\\\(应用示例))

α

α

例 判断下列函数哪些是幂函数． ①＝；②＝；③＝；④＝x.

－

－

15活动：学生独立思考，讨论回答，教师巡视引导，及时评价学生的回答．根据幂函数的定义判别，形如＝的函数称为幂函数，变量的系数为，指数α是一个常数，严格按这个标准来判断．

解：①＝的底数是，因此不是幂函数；

②＝的底数是变量，指数是常数，因此是幂函数； ③＝的底数是变量，指数是常数，因此是幂函数； ④＝x的底数是变量，指数是常数，因此是幂函数． 点评：判断函数是否是幂函数要严格按定义来判断.

变式训练 判别下列函数中有几个幂函数？ ①y?x；②＝；③y?x；④＝＋；⑤＝－. 解：①③的底数是变量，指数是常数，因此①③是幂函数； ②的变量的系数为，因此不是幂函数； ④的变量是和的形式，因此也不是幂函数； ⑤的变量的系数为－，因此不是幂函数. 例 求下列幂函数的定义域，并指出其奇偶性、单调性． ()y?x；()y?x23?321323－－

α

15；()＝.

－

活动：学生思考，小组讨论，教师引导，学生展示思维过程，教师评价．根据你的学习经历，回顾求一个函数的定义域的方法，判断函数奇偶性、单调性的方法．判断函数奇偶性、单调性的方法，一般用定义法．解决有关函数求定义域的问题时，可以从以下几个方面来考

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/mrdh.html