数学选修1-1单元检测----圆锥曲线

共10页 第1页 数学单元检测----圆锥曲线

时间：90分钟 分数：120分

一、选择题（每小题5分，共60分）

1．椭圆122=+my x 的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为（ ）

A ．41

B ．2

1 C ．

2 D ．4 2．过抛物线x y 42=的焦点作直线l 交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则||AB 等于（ ）

A ．10

B ．8

C ．6

D ．4

3．若直线y ＝kx ＋2与双曲线622=-y x 的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是（ ）

A ．315(-，)315

B ．0(，)315

C ．315(-，)0

D ．3

15(-，)1- 4．（理）已知抛物线x y 42=上两个动点B 、C 和点A （1，2）且∠BAC ＝90°，则动直线BC 必过定点（ ）

A ．（2，5）

B ．（-2，5）

C ．（5，-2）

D ．（5，2）

（文）过抛物线)0(22>=p px y 的焦点作直线交抛物线于1(x P ，)1y 、2(x Q ，)2y 两点，若p x x 321=+，则||PQ 等于（ ）

A ．4p

B ．5p

C ．6p

D ．8p

5.已知两点)4

5,4(),45

,1(--N M ,给出下列曲线方程：①0124=-+y x ;②322=+y x ;③1222=+y x ;④12

22

=-y x .在曲线上存在点P 满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是（ ） （A ）①③ （B ）②④ （C ）①②③ （D ）②③④

6．已知双曲线122

22=-b

y a x （a ＞0，b ＞0）的两个焦点为1F 、2F ，点A 在双曲线第一象限的图象上，若△21F AF 的面积为1，且2

1tan 21=

∠F AF ，2tan 12-=∠F AF ，则双曲线方程为（ ） A ．1351222=-y x B ．1312522=-y x C ．1512322=-y x D ．112

532

2=-y x 7．圆心在抛物线)0(22

>=y x y 上，并且与抛物线的准线及x 轴都相切的圆的方程是（ ）

共10页 第2页 A ．04

122

2=---+y x y x B ．01222=+-++y x y x C ．01222=+--+y x y x D ．041222=+--+y x y x 8．双曲线的虚轴长为4，离心率2

6=e ，1F 、2F 分别是它的左、右焦点，若过1F 的直线与双曲线的右支交于A 、B 两点，且||AB 是||2AF 的等差中项，则||AB 等于（ ）

A ．28

B ．24

C ．22

D ．8．

9．（理）已知椭圆2222

1a y x =+（a ＞0）与A （2，1），B （4，3）为端点的线段没有公共点，则a 的取值范围是（ ）

A ．2230<

B ．2230<

82>a C ．223a D ．2

82223<

A ．0

B ．2

3 C ．2 D ．3 10．已知双曲线中心在原点且一个焦点为)0,7(F ,直线1-=x y 与其相交于N M ,两点, MN 中点横坐标为3

2-,则此双曲线的方程是( ) (A) 14322=-y x (B) 13422=-y x (C) 12522=-y x (D) 15

22

2=-y x 11.将抛物线342+-=x x y 绕其顶点顺时针旋转0

90，则抛物线方程为（ ）

（A ）x y -=+2)1(2 （B ）2)1(2-=+x y

（C ）x y -=-2)1(2 （D ）2)1(2-=-x y

12．若直线4=+ny mx 和⊙O ∶422=+y x 没有交点，则过),(n m 的直线与椭圆14

92

2=+y x 的交点个数（ ） A ．至多一个 B ．2个 C ．1个 D ．0个

二、填空题（每小题4分，共16分）

共10页 第3页 13．椭圆19

8log 2

2=+y x a 的离心率为21，则a ＝________． 14．已知直线1+=x y 与椭圆122=+ny mx )0(>>n m 相交于A ，B 两点，若弦AB 的中点的横坐标等于31-，则双曲线122

22=-n

y m x 的两条渐近线的夹角的正切值等于________． 15．长为l (0＜l ＜1)的线段AB 的两个端点在抛物线2x y =上滑动，则线段AB 中点M 到x 轴距离的最小值是________．

16．某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心F 为焦点的椭圆，测得近地点A 距离地面)km (m ，远地点B 距离地面)km (n ，地球半径为)km (R ，关于这个椭圆有以下四种说法：

①焦距长为m n -；②短轴长为))((R n R m ++；③离心率R

n m m n e 2++-=；④若以AB 方向为x 轴正方向，F 为坐标原点，则与F 对应的准线方程为)

())((m n R n R m x -++2-=，其中正确的序号为________．

三、解答题（共44分）

17．（本小题10分）已知椭圆的一个顶点为A （0，-1），焦点在x 轴上.若右焦点到直线022=+-y x 的距离为3.

（1）求椭圆的方程;

（2）设椭圆与直线)0(≠+=k m kx y 相交于不同的两点M 、N.当AN AM =时，求m 的取值范围.

18．（本小题10分）双曲线)0,0(122

22>>=-b a b

y a x 的右支上存在与右焦点和左准线等距

共10页 第4页 离的点，求离心率e 的取值范围.

19.（本小题12分）如图，直线l 与抛物线x y =2交于),(,),(2211y x B y x A 两点，与x 轴相交于点M ，且121-=y y .

（1）求证：M 点的坐标为)0,1(；

（2）求证：OB OA ⊥；

（3）求AOB ?的面积的最小值.

20．（本小题12分）已知椭圆方程为18

2

2=+y x ，射线x y 22=（x ≥0）与椭圆的交点为M ，过M 作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于A 、B 两点（异于M ）．

（1）求证直线AB 的斜率为定值；

共10页 第5页 （2）求△AMB 面积的最大值．

圆锥曲线单元检测答案

1. A

2.B 3 D 4 理C 文A 5 D 6 A 7 D 8A 9 理B 文B 10 D 11 B 12 B

13．24或69 14．34 15．4

2

l 16．①③④ 17.（1）依题意可设椭圆方程为 1222

=+y a

x ，则右焦点F （0,12-a ）由题设 322

212=+-a 解得32

=a 故所求椭圆的方程为1322=+y x . 13

22

=+y x ………………………………………………4分. （2）设P 为弦MN 的中点，由?????=++=13

22y x m kx y 得 0)1(36)13(222=-+++m mkx x k 由于直线与椭圆有两个交点，,0>?∴即 132

2+

3322+-=+=∴k m k x x x N M p 从而132+=+=k m m kx y p p mk k m x y k p p Ap 3131

2++-=+=

∴ 又MN AP AN AM ⊥∴=,，则 k

mk k m 13132-=++- 即 1322+=k m ②…………………………8分

共10页 第6页 把②代入①得 22m m > 解得 20<

122>-=m k 解得21>m .故所求m 的取范围是（2,2

1）……………………………………10分 18．设M )(0,0y x 是双曲线右支上满足条件的点，且它到右焦点F 2的距离等于它到左准线的距离2MN ，即MN MF =2，由双曲线定义可知 e MF MF e MN MF =∴=21

1

……5分

由焦点半径公式得 000x e a ex a ex ∴=-+e

e e a -+=2)1(…………………………7分 而a e

e e a a x ≥-+∴≥20)1( 即 0122≤--e e 解得1221+≤≤-e 但 1211+≤<∴>e e ……………………………………10分

19. (1 ) 设M 点的坐标为)0,(0x , 直线l 方程为0x my x +=, 代入x y =2得 002=--x my y ① 21,y y 是此方程的两根,

∴1210=-=y y x ，即M 点的坐标为（1, 0）.

(2 ) ∵ 121-=y y

∴ 0)1(2121212

2212121=+=+=+y y y y y y y y y y x x

∴ OB OA ⊥.

（3）由方程①，m y y =+21, 121-=y y , 且 1||0==x OM , 于是=-=?||||2

121y y OM S AOB 212214)(21y y y y -+=4212+m ≥1， ∴ 当0=m 时，AOB ?的面积取最小值1.

20．解析：（1）∵ 斜率k 存在，不妨设k ＞0，求出M （2

2，2）．直线MA 方程为)22(2-=-x k y ，直线AB 方程为)2

2(2--=-x k y ． 分别与椭圆方程联立，可解出2

284222-+-=k k k

x A ，2284222-++=k k k x B ． ∴ 22)(=--=--B

A B A B A B A x x x x k x x y y ． ∴ 22=AB k （定值）． （2）设直线AB 方程为m x y +=22，与18

2

2=+y x 联立，消去y 得mx x 24162+ 0)8(2=-+m ．

共10页 第7页

由0>?得44<<-m ，且0≠m ，点M 到AB 的距离为3

|

|m d =

． 设AMB ?的面积为S ．

∴ 2)2

16(321)16(321||41222222

=≤-==

?m m d AB S ． 当22±=m 时，得2max =S ．

圆锥曲线课堂小测

时间：45分钟 分数：60分 命题人：郑玉亮

一、选择题（每小题4分共24分）

1．0≠c 是方程 c y ax =+22 表示椭圆或双曲线的 （ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．不充分不必要条件

2．与曲线1492422=+y x 共焦点，而与曲线164

362

2=-y x 共渐近线的双曲线方程为 （ ） A ．19

162

2=-x y

B ．19

162

2=-y x

C ．

116

92

2=-x y

D ．

116

92

2=-y x

3．我国发射的“神舟3号”宇宙飞船的运行轨道是以地球的中心2F 为一个焦点的椭圆，近地点A 距地面为m 千米，远地点B 距地面为n 千米，地球半径为R 千米，则飞船运行轨道的短轴长为（ ）

A ．))((2R n R m ++

B ．))((R n R m ++

C ．mn

D ．2mn

4．若椭圆)1(12

2>=+m y m x 与双曲线)0(122>=-n y n

x 有相同的焦点F 1、F 2，P 是两曲线的一个交点，则21PF F ?的面积是 （ ） A ．4

B ．2

C ．1

D ．

2

1

5．圆心在抛物线x y 22

=上，且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（ ） A ．04

1

22

2

=-

--+y x y x B ．0122

2=+-++y x y x

C ．0122

2

=+--+y x y x

D ．04

1

22

2

=+

--+y x y x

共10页 第8页 6．已知双曲线122

22=-b

y a x 的离心率2[∈e ，]2．双曲线的两条渐近线构成的角中，以实轴为角平分线的角记为θ，则θ的取值范围是（ ）．

A ．6π[，]2π

B ．3π[，]2π

C ．2π[，]32π

D ．3

2π[，π] 二、填空题（每小题4分共16分）

7．若圆锥曲线15

22

2=++-k y k x 的焦距与k 无关，则它的焦点坐标是__________． 8．过抛物线x y 42=的焦点作直线与此抛物线交于P ，Q 两点，那么线段PQ 中点的轨迹方 程是 .

9．连结双曲线12222=-b y a x 与122

22=-a

x b y （a ＞0，b ＞0）的四个顶点的四边形面积为1S ， 连结四个焦点的四边形的面积为2S ，则2

1S S 的最大值是________． 10．对于椭圆191622=+y x 和双曲线19

72

2=-y x 有下列命题： ①椭圆的焦点恰好是双曲线的顶点;

②双曲线的焦点恰好是椭圆的顶点;

③双曲线与椭圆共焦点;

④椭圆与双曲线有两个顶点相同.

其中正确命题的序号是 .

三、解答题（20分）

11．（本小题满分10分）已知直线l 与圆022

2=++x y x 相切于点T ，且与双曲线122=-y x 相交于A 、B 两点.若T 是线段AB 的中点，求直线l 的方程.

共10页 第9页 12．（10分）已知椭圆2222b y a x +（a ＞b ＞0）的离心率3

6=e ，过点),0(b A -和)0,(a B 的直线与原点的距离为2

3． （1）求椭圆的方程．

（2）已知定点)0,1(-E ，若直线)0(2≠+=k kx y 与椭圆交于C 、D 两点．问：是否存在k 的值，使以CD 为直径的圆过E 点?请说明理由．

圆锥曲线课堂小测答案

1 B

2 A

3 A

4 C

5 D

6 C 7．（0，7±）8．222-=x y 9．2

1 10.①② 11．解：直线l 与x 轴不平行，设l 的方程为 a ky x += 代入双曲线方程 整理得 012)1(222=-++-a kay y k ……………………3分 而012≠-k ， 1

22--=+=k ak y y y B A T 从而12--=+=k a a ky x T T 即 )1,1(22k a k ak T --……5分

共10页 第10页 点T 在圆上 012)1()1(22222=-+-+-∴k

a k a k ak 即22+=a k ① 由圆心)0,1(-'O .l T O ⊥' 得 1-=?'l T O k k 则 0=k 或 122+=a k

当0=k 时，由①得 l a ∴-=,2的方程为 2-=x ；

当122+=a k 时，由①得 1=a l K ∴±=,3的方程为13+±=y x .故所求直线l 的方程为2-=x 或 13+±=y x …………………………10分

12．解：（1）直线AB 方程为：0=--ab ay bx ．

依题意???????=+=233622b

a a

b a

c ， 解得 ???==13b a ， ∴ 椭圆方程为 13

22

=+y x ． （2）假若存在这样的k 值，由??

?=-++=033222y x kx y ，得)31(2k +09122=++kx x ． ∴ 0)31(36)12(22>+-=?k k ． ①

设1(x C ，)1y 、2(x D ，)2y ，则???

????+=+-=+?2212

213193112k x x k k x x ， ② 而4)(2)2)(2(21212

2121+++=++=?x x k x x k kx kx y y ． 要使以CD 为直径的圆过点E （-1，0），当且仅当CE ⊥DE 时，则1112211-=++?x y x y ，即0)1)(1(2121=+++x x y y ．

∴ 05))(1(2)1(21212=+++++x x k x x k ． ③ 将②式代入③整理解得67=

k ．经验证，67=k ，使①成立． 综上可知，存在67=

k ，使得以CD 为直径的圆过点E ．

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